2024—2025学年上学期河南初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河南初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）△ABC是不规则三角形，若线段AD把△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD应该是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上都不对
2．（3分）已知：在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，则∠A的度数是（　　）
A．90° B．30° C．（）° D．45°
3．（3分）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）小明同学为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（　　）
A．24米 B．20米 C．15米 D．不能确定
5．（3分）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，∠DEC的大小为（　　）
A．60° B．75° C．80° D．105°
6．（3分）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
7．（3分）如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB＝16，AD＝13，则AC
的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）如图，一副直角三角板按图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠EFD＝45°，则∠CAF的大小是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠CAE＝15°，∠C＝40°，∠DBC＝20°，则∠AFB的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
10．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C．三角形的外角和为180°
D．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）从10边形的某一个顶点出发，连接该顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分成 　 　个三角形．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BDC＝120°，∠B的平分线和∠C的平分线相交于点D，则∠A＝　 　．
13．（3分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是 　 　．
14．（3分）一个三角形的两边长分别为2.5和1.5，且第三条边长为整数，则第三条边长为 　 　．
15．（3分）图中有　 　个三角形．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，CD是△ABC的高、CE是△CDB的角平分线，则∠ECD＝　 　．
17．（3分）已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　 　．
18．（3分）在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地同时开工，若干天后准确接通，则乙地所修公路的走向是　 　．
19．（3分）如图，∠BAC的角平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C﹣∠B＝28°，则∠F的度数为 　 　．
20．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E， ，按此方法继续下去，第n个等腰三角形的底角度数是 　 　．
三．解答题（共7小题，满分40分）
21．（4分）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝35°，求∠EHD的度数．
22．（5分）如图，试说明：①∠BDC＞∠A；
②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．
23．（6分）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图①，过点E作EF∥AB
∴∠BAE＝∠1（　 　）
∵AB∥CD（　 　）
∴CD∥EF（　 　）
∴∠2＝∠DCE
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（　 　）
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC
【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE＝360°；
【应用】点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③．若∠EFG＝36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝　 　°．
24．（6分）（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D．请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
25．（6分）画一画
如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置．
（1）你是否同意甲的意见？　 　（填“是”或“否”）；
（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．
26．（6分）在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF＞AC+BE．
27．（7分）如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E的度数为 　 　°；
（2）如图2，若再分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，试求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH、∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH（m、n为常数），请直接写出m、n的值：m＝　 　，n＝　 　．
2024—2025学年上学期河南初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）△ABC是不规则三角形，若线段AD把△ABC分为面积相等的两部分，则线段AD应该是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上都不对
【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
【答案】B
【分析】作三角形ABC的高AE，根据三角形面积公式，分别表示出S△ABD和S△ACD，即可得出BD＝CD，即线段AD是三角形的中线．
【解答】解：作AE⊥BC，
∴S△ABDBD×AE，
S△ACDCD×AE，
∵S△ABD＝S△ACD，
即BD×AECD×AE，
∴BD＝CD，
即线段AD是三角形的中线．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积相等的两部分．
2．（3分）已知：在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，则∠A的度数是（　　）
A．90° B．30° C．（）° D．45°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】方程思想．
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝2∠C，则有∠A∠A∠A＝180°，解方程即可得到∠A的度数．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
而∠A＝2∠B＝2∠C，
∴∠A∠A∠A＝180°，
∴∠A＝90°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．注意将三个未知数转化为一个未知数．
3．（3分）下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
B、图中，BE是△ABC中AC边上的高，本选项符合题意；
C、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
D、图中，BE不是△ABC中AC边上的高，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
4．（3分）小明同学为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（　　）
A．24米 B．20米 C．15米 D．不能确定
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】A
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
∵每一次都是左转15°，
∴多边形的边数＝360°÷15°＝24，
周长＝24×1＝24米；
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
5．（3分）把两块三角板按如图所示那样拼在一起，∠DEC的大小为（　　）
A．60° B．75° C．80° D．105°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DEC＝∠ACB+∠CFD．
【解答】解：由三角形的外角性质，∠DEC＝∠ACB+∠CFD，
＝30°+45°，
＝75°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要求熟练掌握三角板的度数．
6．（3分）把12cm长的铁丝截成三段，每段长度为整数．若将这三段铁丝首尾顺次相接组成三角形，则不同的三角形有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题目要求，根据构成三角形的条件，周长为12cm，可逐步分析，将每个符合题意的三角形写出即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，最短的边是1时，不成立；
当最短的边是2时，三边长是：2，5，5；
当最短的边是3时，三边长是：3，4，5；
当最短的边是4时，三边长是：4，4，4；
最短的边一定不能大于4．
综上，有3种不同的三角形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
7．（3分）如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB＝16，AD＝13，则AC
的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】两点间的距离．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】利用线段的和差与线段中点的定义计算．
【解答】解：∵AB＝16，AD＝13，
∴DB＝AB﹣AD＝16﹣13＝3，
∵D为线段BC的中点，
∴CB＝2DB＝2×3＝6，
∴AC＝AB﹣CB＝16﹣6＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是掌握线段的和差与线段中点的定义．
8．（3分）如图，一副直角三角板按图示放置，点C在DF的延长线上，点A在边EF上，AB∥CD，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠B＝60°，∠EFD＝45°，则∠CAF的大小是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC，利用角的和差解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠EFD＝45°，
∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠CAE＝15°，∠C＝40°，∠DBC＝20°，则∠AFB的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质先求出∠AEB＝55°，进而可求出∠AFB的度数．
【解答】解：∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝40°，∠CAE＝15°，
∴∠AEB＝55°．
∵∠DBC＝20°，
∴∠AFB＝∠DBC+∠AEB＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
10．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和
C．三角形的外角和为180°
D．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
【考点】三角形的外角性质；命题与定理．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角性质，外角和定理对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、三角形的外角大于与它不相邻的内角，故本选项错误；
B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故本选项错误；
C、三角形的外角和为360°，故本选项错误；
D、三角形的一个内角小于和它不相邻的外角，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记性质的外涵与内延是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
11．（3分）从10边形的某一个顶点出发，连接该顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分成 　8　个三角形．
【考点】多边形的对角线．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成（n﹣2）个三角形，依此可得这个10边形分成三角形的个数．
【解答】解：根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可组成（n﹣2）个三角形，
∴10﹣2＝8（个），即三角形的个数是8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BDC＝120°，∠B的平分线和∠C的平分线相交于点D，则∠A＝　60°　．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】60°．
【分析】在△BCD中根据三角形的内角和定理求得∠DBC与∠DCB的和，然后根据角平分线的定义可以证得：∠DBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB），求出∠ABC+∠ACB，根据三角形的内角和定理即可求得∠A的度数．
【解答】解：在△BCD中，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°，
∵BD和CD是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB（∠ABC+∠ACB），
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝2×60°＝120°．
又∵△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知“三角形内角和是180°”是解答此题的关键．
13．（3分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是 　5　．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；多边形与平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题需先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了多边形内角与外角，在解题时要根据外角和的度数以及内角和度数的计算公式解出本题即可．
14．（3分）一个三角形的两边长分别为2.5和1.5，且第三条边长为整数，则第三条边长为 　2或3　．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】2或3．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合整数直接求解即可得到答案．
【解答】解：由三角形三边关系，设第三条边长为x，可得：2.5﹣1.5＜x＜2.5+1.5，
即1＜x＜4，
∵第三条边长为整数，
∴第三条边长为2或3，
故答案为：2或3．
【点评】本题考查三角形三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
15．（3分）图中有　4　个三角形．
【考点】三角形．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】4．
【分析】根据图中得出三角形的个数解答即可．
【解答】解：图中的三角形有△ABD，△ACE，△BEO，△ODC，
故答案为：4．
【点评】此题考查三角形，关键是根据图中得出三角形的个数解答．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，CD是△ABC的高、CE是△CDB的角平分线，则∠ECD＝　15°　．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】15°．
【分析】由CD是△ABC的高可得出∠BDC＝90°，在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠BCD的度数，再利用角平分线的定义，可求出∠ECD的度数．
【解答】解：∵CD是△ABC的高，
∴∠BDC＝90°．
在△BCD中，∠BDC＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
又∵CE是△CDB的角平分线，即CE平分∠BCD，
∴∠ECD∠BCD30°＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
17．（3分）已知△ABC中，∠A＝70°，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，交点为D，则∠D＝　35°　．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】35°．
【分析】由角平分线的定义可得∠CBD∠ABC，∠DCE∠ACE，再由三角形的外角性质可得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，从而可求解．
【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角角平分线，
∴∠CBD∠ABC，∠DCE∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△BCD的外角，
∴∠ACE＝∠A+∠ABC＝70°+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，
∴∠D＝∠DCE﹣∠CBD
∠ACE﹣∠CBD
（70°+∠ABC）﹣∠CBD
＝35°∠ABC﹣∠CBD
＝35°．
故答案为：35°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
18．（3分）在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°，甲、乙两地同时开工，若干天后准确接通，则乙地所修公路的走向是　南偏西48°　．
【考点】方向角．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意画出图形，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：如图，∵AC∥BD，∠1＝48°，
∴∠2＝∠1＝48°，
根据方向角的概念可知，乙地所修公路的走向是南偏西48°．
故答案为：南偏西48°．
【点评】此题主要考查了方向角，从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解是解答此题的关键．
19．（3分）如图，∠BAC的角平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C﹣∠B＝28°，则∠F的度数为 　14°　．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】14°．
【分析】由三角形内角和定理结合已知条件得出∠BAC+∠C＝104°，由角平分线的定义得出∠CAE∠BAC，进而得出∠CEA＝76°，得出∠FED＝∠CEA＝76°，由垂直的定义求出∠FDE＝90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠F＝的度数．
【解答】解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠C﹣∠B＝28°，
∴∠BAC+2∠C＝208°，
∴∠BAC+∠C＝104°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAE∠BAC，
∵∠CEA＝180°﹣（∠CAE+∠C）＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝180°﹣104°＝76°，
∴∠FED＝∠CEA＝76°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°，
∴∠F＝180°﹣∠FED﹣∠FDE＝180°﹣76°﹣90°＝14°，
故答案为：14°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义是解决问题的关键．
20．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E， ，按此方法继续下去，第n个等腰三角形的底角度数是 　（）n﹣1×80°　．
【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（）n﹣1×80°．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个等腰三角形的底角度数．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝20°，A1B＝CB，
∴∠BA1C80°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1∠BA1C80°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×80°，∠FA4A3＝（）3×80°，
∴第n个等腰三角形的底角度数是（）n﹣1×80°．
故答案为：（）n﹣1×80°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
三．解答题（共7小题，满分40分）
21．（4分）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝35°，求∠EHD的度数．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】见试题解答内容
【分析】在四边形BEHD中，根据内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，
∴∠BEH＝∠BDH＝90°
∴四边形BEHD中，∠EHD＝360﹣∠B﹣∠BEH﹣∠BDH＝360﹣90﹣90﹣35＝145°．
【点评】本题主要考查了垂直的定义，以及四边形的内角和定理．
22．（5分）如图，试说明：①∠BDC＞∠A；
②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）延长BD交AC于E，根据三角形内角与外角的关系即可解答；
（2）根据∠BDC是△CDE的外角，∠DEC是△ABE的外角即可求解．
【解答】证明：（1）延长BD交AC于E，
则∠BDC＞∠DEC，而∠DEC＞∠A，
所以∠BDC＞∠A；
（2）由∠BDC＝∠C+∠DEC，而∠DEC＝∠A+∠B，
所以∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
【点评】本题考查的知识点为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
23．（6分）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠BAE+∠DCE＝∠AEC．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程，并填空（理由或数学式）：
解：如图①，过点E作EF∥AB
∴∠BAE＝∠1（　两直线平行内错角相等　）
∵AB∥CD（　已知　）
∴CD∥EF（　平行于同一直线的两条直线平行　）
∴∠2＝∠DCE
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（　等式的性质　）
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC
【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE＝360°；
【应用】点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③．若∠EFG＝36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝　396　°．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】【感知】如图①，过点E作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题；
【探究】如图2中，作EF∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
【应用】作FH∥AB，利用平行线的性质即可解决问题；
【解答】解：【感知】如图①，过点E作EF∥AB
∴∠BAE＝∠1（两直线平行内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行）
∴∠2＝∠DCE
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性质）
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
故答案为：两直线平行内错角相等，已知，平行于同一直线的两条直线平行，等式的性质；
【探究】如图2中，作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝360°．
【应用】作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH＝360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD＝360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD＝720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG＝720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG＝720°﹣360°+36°＝396°
故答案为396．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
24．（6分）（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D．请猜想∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再根据三角形内角和定理求解即可；
（2）先根据外角平分线的性质求出∠DBC、∠DCB与∠A的关系，再由三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC∠ABC，∠DCB∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，
∴∠BDC＝90°∠A．
（2）∵BD、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线，
∴∠CBD（∠A+∠ACB），∠BCD（∠A+∠ABC），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCD＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（2∠A+180°﹣∠A）＝90°∠A．
即∠BDC＝90°∠A．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理：
（1）三角形外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
25．（6分）画一画
如图所示，河流在两个村庄A、B的附近可以近似地看成是两条折线段（图中l），A、B分别在河的两旁．现要在河边修建一个水泵站，同时向A、B两村供水，为了节约建设的费用，就要使所铺设的管道最短．某人甲提出了这样的建议：从B向河道作垂线交l于P，则点P为水泵站的位置．
（1）你是否同意甲的意见？　否　（填“是”或“否”）；
（2）若同意，请说明理由，若不同意，那么你认为水泵站应该建在哪？请在图中作出来，并说明作图的依据．
【考点】线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据线段的性质可判断；
（2）水泵应在线段AB上，连接AB，与l的交点，即为水泵的位置；
【解答】解：（1）否；
（2）连接AB，交l于点Q，
则水泵站应该建在点Q处；
依据为：两点之间，线段最短．
【点评】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短；体现了数学知识在实际中的应用．
26．（6分）在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，求证：AB+CF＞AC+BE．
【考点】三角形三边关系；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】在△ABC中，BE和CF是高，AB＞AC，根据三角形三边关系及角平分线，中线和高的知识即可证明．
【解答】证明：∵BE和CF是高，，
∴△AFC∽△ABE，
∵AB＞AC，
∴1，1，AF＜AE
∴（AC）2﹣（CF）2＜（AB）2﹣（BE）2即（AC）2+（BE）2＜（AB）2+（CF）2，
∵AC×BE＝AB×CF
∴（AC）2+2 AC×BE+（BE）2＜（AB）2+2AB×CF+（CF）2，
∴（AC+BE）2＜（AB+CF）2，
∴AC+BE＜AB+CF，即证明之．
【点评】本题考查了三角形三边关系及及角平分线，中线和高，难度较大，关键是根据已知条件进行变形求证．
27．（7分）如图1，在△ABC中，∠B＝90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）∠E的度数为 　45　°；
（2）如图2，若再分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F，试求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，如图3，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH、∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH（m、n为常数），请直接写出m、n的值：m＝　3　，n＝　﹣4　．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）45；
（2）∠AFC＝67.5°；
（3）3，﹣4．
【分析】（1）根据角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，三角形的外角性质求解；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论；
（3）先根据条件画图，设∠FAH＝∠FAE＝α，根据三角形的内角和定理分别表示∠FCH和∠FPH，代入∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH求解．
【解答】解：（1）∠E＝45°．
理由如下：∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC＝2∠2，∠ACB＝2∠1，
∵∠DAC＝∠B+∠ACB，∠B＝90°，
∴2∠2＝90°+2∠1，
∴∠2＝45°+∠1，
又∵∠2＝∠E+∠1
∴∠E＝45°；
（2）如图2所示，
∵CF平分∠ECB，
∴∠ECFy．
∵∠E+∠EAF＝∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF＝∠Fy①，
同理可得：∠E+∠EAB＝∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF＝90°+y，
∴∠EAF②，
把②代入①得：45°∠Fy，
∴∠AFC＝67.5°；
故答案为：67.5°；
（3）如图3，设∠FAH＝∠FAE＝α，
∵∠AFM∠AFC67.5°．
∵∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，
∴∠FCH＝∠E+∠EAF﹣∠AFC＝45°+α﹣67.5°＝α①．
∵∠AHN∠AHC（∠B+∠BCH）（90°+2∠FCH）∠FCH．
又∵∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，∠AFM∠AFC67.5°，
∴α∠FCH+∠FPH②，
将①代入②得．
∵∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，
∴αmα+n[]，
∴mn＝1，n＝﹣22.5，
解得 m＝3，n＝﹣4．
故答案为：3，﹣4．
【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
3．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
4．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
5．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
6．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
7．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
8．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
9．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
10．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
11．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
12．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
13．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
14．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
15．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
16．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
17．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．