2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题）
1．在实数3，，，，3.14159，，0.2020020002…（每两个2之间依次增加一个0）中，无理数有（　　）个
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数
B．没有立方根
C．正数的两个平方根互为相反数
D．的平方根是±4
4．4的平方根是x，27的立方根是y，则x+y的值为（　　）
A．2 B．3 C．5或1 D．5或﹣1
5．若，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
6．下列实数中，最小的是（　　）
A．0 B．﹣π C． D．﹣3
7．一个圆柱形的油桶高120cm，底面直径为50cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为（　　）
A．5cm B．100cm C．120cm D．130cm
8．下面四幅图中，能证明勾股定理的有（　　）
A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0
10．估算的值（　　）
A．在6和7之间 B．在7和8之间
C．在8和9之间 D．在9和10之间
11．如图，圆柱高为7cm，底面周长为48cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　）
A．31cm B．32cm C．25cm D．24cm
12．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41
C．52，122，132 D．7，24，25
二．填空题（共6小题）
13．已知直角三角形两直角边x、y的长满足|x2﹣4|，则斜边长为　 　．
14．长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕点D翻转第2次；继续翻转，则翻转2019次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是　 　．
15．5的相反数是　 　．
16．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点D为AC的中点，点E为BC一动点（不与端点重合），且CE＜4，沿直线DE折叠该纸片，点C的对应点为C1，再沿直线BC折叠该纸片，点C的对应点为C2，设点C2，D之间的距离为d，则d的取值范围为 　 　．
17．现有一组数据：1，，…，观察发现：1，这六个数依次重复出现，第50个数是 　 　，把从第1个数开始的前2019个数相加，结果是 　 　．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　 　．
三．解答题（共6小题）
19．计算题：
（1）2﹣1|﹣2|+（）0；
（2）（3）；
（3）（21）2+（2）（2）．
20．求下列各式中未知数的值：
（1）|x﹣2|；
（2）x2＝3；
（3）8（x+1）3﹣27＝0．
21．西城中学“主题开放日”到了，曹师傅正在对活动会场进行精心布置．如图，曹师傅将梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC长为2m．底端B到墙面的距离BC为1.5m．
（1）求曹师傅所用梯子的长度；
（2）若梯子的底端B向墙角内移动0.8m到B′时，顶端A向上滑动到A′，求AA′的长．
22．已知：如图，在△BCD中，CE⊥BD于点E，点A是边CD的中点，EF垂直平分线AB
（1）求证：BECD；
（2）当AB＝BC，∠ABD＝25°时，求∠ACB的度数．
23．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？
（2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？
24．（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　．
（2）如果的小数部分为的整数部分为b，求的值．
（3）已知x是的小数部分，y是小数部分，求出x﹣y的值．
2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在实数3，，，，3.14159，，0.2020020002…（每两个2之间依次增加一个0）中，无理数有（　　）个
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】应用题；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：在实数3，，，，3.14159，，0.2020020002…（每两个2之间依次增加一个0）中，
无理数有，，，0.2020020002…（每两个2之间依次增加一个0）共4个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义：无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、3与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．下列说法正确的是（　　）
A．无限小数都是无理数
B．没有立方根
C．正数的两个平方根互为相反数
D．的平方根是±4
【考点】实数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方根，立方根，无理数的意义逐一判断即可．
【解答】解：A、无限循环小数是有理数，故该选项不符合题意；
B、有立方根是，故该选项不符合题意；
C、正数的两个平方根互为相反数，正确，故该选项符合题意；
D、，4的平方根是±2，的平方根是±2，则故该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握平方根，立方根，无理数的意义是解题的关键．
4．4的平方根是x，27的立方根是y，则x+y的值为（　　）
A．2 B．3 C．5或1 D．5或﹣1
【考点】立方根；平方根．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方根、立方根定义求出x、y．
【解答】解：∵4的平方根是x，
∴x＝±2，
∵27的立方根是y，
∴y＝3，
∴x+y＝2+3＝5，或x+y＝﹣2+1＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根定义在解题中起关键作用．
5．若，则（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【考点】负整数指数幂；有理数大小比较；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，求出a、b、c的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
【解答】解：a，b1，c＝（0.75）﹣1，
∵1，
∴a＞c＞b．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算，解答此题的关键是要明确：（1）a0＝1（a≠0）；（2）a﹣p．
6．下列实数中，最小的是（　　）
A．0 B．﹣π C． D．﹣3
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据负数比较大小，绝对值大的数反而小作出判断即可．
【解答】解：﹣π＜＜﹣30．
所以最小的数是﹣π．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
7．一个圆柱形的油桶高120cm，底面直径为50cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为（　　）
A．5cm B．100cm C．120cm D．130cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】由题意画出图形，再由勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图，AC为油桶底面直径，BC为油桶高，
由题意可知，∠ACB＝90°，AC＝50cm，BC＝120cm，
则线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
由勾股定理得：AB130（cm），
即桶内所能容下的最长的木棒长为130cm，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．
8．下面四幅图中，能证明勾股定理的有（　　）
A．一幅 B．两幅 C．三幅 D．四幅
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据每幅图的面积的不同表示方法判断是否最终可化成a2+b2＝c2，可得结论．
【解答】解：如图1，梯形的面积，
整理得，a2+b2＝c2，
故能证明勾股定理；
如图2，图中没有c，
故不能证明勾股定理；
如图3，大正方形的面积＝（a+b）2＝4，
整理得，a2+b2＝c2，
故能证明勾股定理；
如图4，大正方形的面积，
整理得，a2+b2＝c2，
故能证明勾股定理；
故能证明勾股定理的有三幅，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键．
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4 C．x＞4 D．x≥0
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；符号意识．
【答案】B
【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，求出答案即可．
【解答】解：在实数范围内有意义，
则x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数的符号分析是解题关键．
10．估算的值（　　）
A．在6和7之间 B．在7和8之间
C．在8和9之间 D．在9和10之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】关键夹逼法估计大小即可．
【解答】解：∵64＜72＜81，
∴，
即89，
即在8和9之间，
故选：C．
【点评】C．
11．如图，圆柱高为7cm，底面周长为48cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　）
A．31cm B．32cm C．25cm D．24cm
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【解答】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC48＝24（cm），∠C＝90°，BC＝7cm，
由勾股定理得：AB25cm．
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．
12．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6，9，12 B．﹣9，40，41
C．52，122，132 D．7，24，25
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵62+92≠122，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（﹣9）2+402＝412，能组成直角三角形，但﹣9不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵252+1442≠1692，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵72+242＝252，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查勾股数，关键是根据满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答．
二．填空题（共6小题）
13．已知直角三角形两直角边x、y的长满足|x2﹣4|，则斜边长为　　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据非负数的性质得到x2﹣4＝0，y2﹣2y﹣3＝0，再利用因式分解法解两个一元二次方程得到满足条件的x和y的值，然后根据勾股定理计算斜边的长．
【解答】解：根据题意得x2﹣4＝0，y2﹣2y﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣2（舍去），y1＝3，y2＝﹣1（舍去），
所以斜边的长
故答案为．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了非负数的性质．
14．长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕点D翻转第2次；继续翻转，则翻转2019次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是　3028　．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力；模型思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据翻转4次为一个周期循环，依据翻转总次数，得出翻转几个周期循环，推算出移动的距离得出结果．
【解答】解：如图，翻转4次，为一个周期，右边的点移动6个单位，
∵2019÷4＝504……3，因此右边的点移动504×6+5＝3029，
∴﹣1+3029＝3028，
故答案为：3028
【点评】考查数轴表示数的意义和方法，得出翻转周期循环和移动距离是解决问题的关键．
15．5的相反数是　5　．
【考点】实数的性质．
【专题】实数；数感．
【答案】5．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：5的相反数是：﹣（5）5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相反数的性质是解题关键．
16．如图，直角三角形纸片ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点D为AC的中点，点E为BC一动点（不与端点重合），且CE＜4，沿直线DE折叠该纸片，点C的对应点为C1，再沿直线BC折叠该纸片，点C的对应点为C2，设点C2，D之间的距离为d，则d的取值范围为 　1≤d＜5　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】展开与折叠；推理能力．
【答案】1≤d＜5．
【分析】由勾股定理可得AC＝10，设C1D与BC交于点F，作点D关于直线BC的对称点D'，连接DD'交BC于G，由DG∥AB，点D为AC的中点，可得DD′＝6，连接C2D'，FD'，则FD'与FD关于直线BC对称，由对称性可得点C2在以点D'为圆心，5为半径的上运动，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
如图，设C1D与BC交于点F，作点D关于直线BC的对称点D'，连接DD'交BC于G，
∵点D与点D′关于BC对称，
∴DD′⊥BC，DG＝D′G，
∵∠CGD＝∠ABC＝90°，
∴DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∵点D为AC的中点，
∴CDAC，即，
∴，
∴DG＝3，
∴DD′＝6，
连接C2D'，FD'，则FD'与FD关于直线BC对称，
∵FC1、FC2关于直线BC对称，且点C1，F，D共线，点C2，F，D'共线，且C2D′＝C1D＝CD＝5，点C2在以点D'为圆心，5为半径的上运动，
∴当点C2在DD'上时，点D、C2之间的距离最小，最小值为6﹣5＝1，
又∵d＜5，
∴d的取值范围为1≤d＜5．
故答案为：1≤d＜5．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆外一点到圆上点的距离最值等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
17．现有一组数据：1，，…，观察发现：1，这六个数依次重复出现，第50个数是 　﹣1　，把从第1个数开始的前2019个数相加，结果是 　　．
【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；实数；数感；运算能力．
【答案】﹣1，．
【分析】根据所给数据的规律可以求得第50个数是什么数；根据题意可以求得重复出现的每六个数相加的和，从而可以得到把从第1个数开始的前2019个数相加的和．
【解答】解：∵50÷6＝8…2，
∴第50个数是﹣1；
∵1+（﹣1）（）（）＝0，2019÷6＝336…3，
∴从第1个数开始的前2019个数相加，结果是1+（﹣1）．
故答案为：﹣1，．
【点评】本题考查算术平方根、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的数字的变化规律解答．
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝　86　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】86．
【分析】由正方形的性质得S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，再由勾股定理得BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，则S1+S4＝S3+S2，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD，
由正方形的性质可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
在Rt△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
∴S2＝135﹣49＝86，
故答案为：86．
【点评】本题考查的是勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解答的关键．
三．解答题（共6小题）
19．计算题：
（1）2﹣1|﹣2|+（）0；
（2）（3）；
（3）（21）2+（2）（2）．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）12﹣4．
【分析】（1）根据算术平方根、负整数指数幂、立方根、绝对值以及零指数幂的性质进行计算即可；
（2）根据实数的混合运算的计算法则进行计算即可；
（3）根据完全平方公式、平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝32﹣2+1
；
（2）原式＝（64）
；
（3）原式＝13﹣43﹣4
＝12﹣4．
【点评】本题考查算术平方根、负整数指数幂、立方根、绝对值、零指数幂以及完全平方公式、平方差公式，掌握算术平方根、负整数指数幂、立方根、绝对值以及零指数幂的性质、完全平方公式、平方差公式的结构特征时针去解答的前提．
20．求下列各式中未知数的值：
（1）|x﹣2|；
（2）x2＝3；
（3）8（x+1）3﹣27＝0．
【考点】实数的性质；平方根；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x2或x2；
（2）x或x；
（3）x．
【分析】（1）直接流绝对值的性质得出答案；
（2）直接利用平方根的定义得出答案；
（3）直接利用立方根的定义得出答案．
【解答】解：（1）|x﹣2|，
则x﹣2＝±，
解得：x2或x2；
（2）x2＝3，
则x2＝6，
解得：x或x；
（3）8（x+1）3﹣27＝0，
则（x+1）3，
故x+1
解得：x．
【点评】此题主要考查了立方根以及绝对值的性质、平方根，正确掌握相关性质是解题关键．
21．西城中学“主题开放日”到了，曹师傅正在对活动会场进行精心布置．如图，曹师傅将梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC长为2m．底端B到墙面的距离BC为1.5m．
（1）求曹师傅所用梯子的长度；
（2）若梯子的底端B向墙角内移动0.8m到B′时，顶端A向上滑动到A′，求AA′的长．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）2.5m；
（2）0.4m．
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长即可；
（2）由勾股定理求出A'C的长，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：∠ACB＝90°，AC＝2m，BC＝1.5mm，
由勾股定理得：AB2.5（m），
即曹师傅所用梯子的长度为2.5m；
（2）CB′＝BC﹣BB′＝1.5﹣0.8＝0.7（m），
在Rt△A′CB′中，A'B'＝AB＝2.5mm，
由勾股定理得：A'C2.4（m），
∴AA'＝A'C﹣AC＝2.4﹣2＝0.4（m）．
【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出梯子的长度是解题的关键．
22．已知：如图，在△BCD中，CE⊥BD于点E，点A是边CD的中点，EF垂直平分线AB
（1）求证：BECD；
（2）当AB＝BC，∠ABD＝25°时，求∠ACB的度数．
【考点】勾股定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AE，根据直角三角形的性质得到AE＝ADCD，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，等量代换证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠AED，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵CE⊥BD，点A是边CD的中点，
∴AE＝ADCD，
∵EF垂直平分线AB，
∴EA＝EB，
∴BECD；
（2）∵EA＝EB，
∴∠EAB＝∠ABD＝25°，
∴∠AED＝∠EAB+∠ABD＝50°，
∵EA＝AD，
∴∠D＝∠AED＝50°，
∴∠BAC＝∠ABD+∠D＝75°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝75°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
23．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为15米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为5米，请回答：
（1）梯子滑动后，梯子的高度CE是多少米？
（2）梯子顶端A下落的长度AE有多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）15；
（2）5．
【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，由于梯子的长度不变，在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CE的长，从而即可得出答案；
（2）由AE＝AC﹣EC即可求得结果．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，
AB＝25米，BC＝15米，
∴AC20（米），
在Rt△CDE中，
∵DE＝AB＝25米，CD＝BC+BD＝15+5＝20（米），
∴EC15（米），
答：梯子滑动后，梯子的高度CE是15米；
（2）由（1）知，AC＝20米，EC＝15米，
则AE＝AC﹣EC＝20﹣15＝5（米）．
答：梯子顶端A下落的长度AE有5米．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，先根据勾股定理求出AC及EC的长是解答此题的关键．
24．（1）的整数部分是 　5　，小数部分是 　　．
（2）如果的小数部分为的整数部分为b，求的值．
（3）已知x是的小数部分，y是小数部分，求出x﹣y的值．
【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）5；；（2）；（3）．
【分析】（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分；
（2）分别估算，的大小，进而求得a，b的值，代入代数式进行计算即可求解；
（3）由已知条件可先求出x，从而求出y，代入即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为5，小数部分为，
故答案为：5；；
（2）∵，，
∴，
∴，b＝6，
∴；
（3）∵，
∴，，
∵x是的小数部分，y是小数部分，
∴，，
∴
．
【点评】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的计算是关键．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
5．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
8．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
9．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
10．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
11．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
12．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
13．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
14．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
15．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
16．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
17．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
18．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
19．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
20．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
21．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
22．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
26．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
27．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
28．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
29．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．