2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（　　）
A．126 B．127 C．128 D．129
2．（4分）若点A的坐标为（3，﹣2），则点A所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．，，1 C．，，3 D．6，8，9
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）下列说法：①﹣27的立方根是3，②36的算术平方根是±6，③的立方根是，④的平方根是±3，其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（4分）在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝5、b＝12、c＝13 B．a＝b＝5、c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝11、b＝12、c＝15
7．（4分）在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；
②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；
③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；
④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm
9．（4分）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折，设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2）），折痕交AE于点G，则EG的长度是（　　）
A．8﹣4 B．4 C．4﹣2 D．2
10．（4分）有一列数按一定规律排列：，，，，，…，则第n个数是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在△ABC中，点E在边AC上，EC＝EB，∠C＝2∠ABE，AD⊥BE交BE于点D，若AC＝22，BD＝16，则AB＝　 　．
12．（4分）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 　 　．
13．（4分）若x，y为实数，且满足，则yx的值为 　 　．
14．（4分）点P（5，﹣4）到x轴的距离是　 　．
15．（4分）如图，数轴上A、B两点对应的实数是和1，则A、B两点间的距离为 　 　.
16．（4分）直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长为 　 　．
三．解答题（共4小题，满分36分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）（）．
18．（6分）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．
19．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点M1，M2，M3，且M1M2∥y轴，M2M3∥x轴，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点M1，M2，M3的“近距”．例如：点M1（1，2），M2（1，﹣1），M3（﹣3，﹣1）的“近距”是3．
（1）已知，A（3，1），B（3，7），C（x，7）．
①若A，B，C的“近距”是4，则x的值为 　 　；
②点A，B，C的“近距”的最大值为 　 　；
（2）已知点D（8，0），E（0，﹣4），点P（m，n）为线段DE上一动点．当F（1，0），G（1，n），P（m，n）的“近距”最大时，求此时点P的坐标．
20．（7分）如图，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝8，BC＝6，∠D＝30°，求CD的长．
2024—2025学年上学期山东初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（　　）
A．126 B．127 C．128 D．129
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【解答】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2＝3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22＝7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23＝15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26＝127（个）．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理及图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
2．（4分）若点A的坐标为（3，﹣2），则点A所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】D
【分析】根据点的横、纵坐标的符号可得所在象限．
【解答】解：∵A的横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负，
∴点A（3，﹣2）第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负的点在第四象限．
3．（4分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．，，1 C．，，3 D．6，8，9
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理如果三角形三边满足a2+b2＝c2，那么三角形是直角三角形，逐一判断即可．
【解答】解：∵1+3＜5，
∴A不可以组成三角形，不符合题意；
（）2+（）2＝12，
∴B可以组成直角三角形，符合题意；
∵（）2+（2）2≠32，
∴C不可以组成直角三角形，不符合题意；
∵62+82≠92，
∴D不可以组成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的含义和求法，逐项判断即可．
【解答】解：∵5≠3+4，
∴选项A不符合题意；
∵3×4，
∴选项B符合题意；
∵，
∴选项C不符合题意；
∵0.6，0.6，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确算术平方根的含义和求法．
5．（4分）下列说法：①﹣27的立方根是3，②36的算术平方根是±6，③的立方根是，④的平方根是±3，其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的意义判断即可．
【解答】解：①﹣27的立方根是﹣3，故①错误；
②36的算术平方根是6，故②错误；
③的立方根是，故③正确；
④的平方根是±，故④错误；
所以：正确说法的个数是：1个，
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的意义是解题的关键．
6．（4分）在以下列线段a、b、c的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）
A．a＝5、b＝12、c＝13 B．a＝b＝5、c＝5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝11、b＝12、c＝15
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形；
B、∵52+52＝（5）2，∴能构成直角三角形；
C、∵a：b：c＝3：4：5，
∴可设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴（3k）2+（4k）2＝（5k）2，
∴能构成直角三角形；
D、∵112+122≠152，∴不能构成直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．（4分）在平面直角坐标系中，下列说法：
①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；
②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；
③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；
④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标进行判断．
【解答】①∵点A（a，b）在坐标轴上，
∴a＝0或b＝0，
∴ab＝0，故①符合题意；
②∵m2≥0，
∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，故②不符合题意；
③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，
∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），
∴P点共有4个，故③不符合题意；
④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），
∴M、N两点在y＝3的直线上，
∴MN∥x轴，故④符合题意；
综上所述正确的有：①④．
故选：B．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握平面直角坐标系中点的坐标的特征是关键．
8．（4分）如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形．一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．10dm B．12dm C．15dm D．20dm
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】几何图形；空间观念．
【答案】C
【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．
【解答】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，AD＝6，BD＝6+9＝15，
AB（dm）；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC＝6+6＝12，BC＝9，
AB15（dm），
③将长方体的正面和左面展开在同一平面内，同理可得AB15（dm），
由于15＜3，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故选：C．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．
9．（4分）将一张边长为2的正方形纸片ABCD对折，设折痕为EF（如图（1））；再沿过点D的折痕将∠A翻折，使得点A落在线段EF上的点H处（如图（2）），折痕交AE于点G，则EG的长度是（　　）
A．8﹣4 B．4 C．4﹣2 D．2
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由于正方形纸片ABCD的边长为2，所以将正方形ABCD对折后AF＝DF＝1，由折叠的性质得出AD＝DH＝2，AG＝GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的长，进而求出EH的长，再设EG＝x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为2，
∴将正方形ABCD对折后AE＝DF＝1，
∵△GDH是△GDA沿直线DG翻折而成，
∴AD＝DH＝2，AG＝GH，
在Rt△DFH中，
HF，
∴EH＝2，
在Rt△EGH中，设EG＝x，则GH＝AG＝1﹣x，
∴GH2＝EH2+EG2，
即（1﹣x）2＝（2）2+x2，
解得x＝23．
∴EG＝23．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，关键是学会用方程的思想方法解题．
10．（4分）有一列数按一定规律排列：，，，，，…，则第n个数是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】算术平方根；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】根据奇数个数为负数，偶数个为正数，再按分子，分母分别找规律求解即可．
【解答】解：根据规律可知，奇数个数为负数，偶数个为正数，该列数的分子是，分母是2n，
所以第n个数是（﹣1）n．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，找到变化规律是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，在△ABC中，点E在边AC上，EC＝EB，∠C＝2∠ABE，AD⊥BE交BE于点D，若AC＝22，BD＝16，则AB＝　8　．
【考点】勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】8．
【分析】延长BD至点F，使DF＝BD＝16，连接AF，过点A作AG∥BC，交DF于点G，利用平行线的性质，等腰三角形的性质求得FG＝AG，利用三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理与性质定理和勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：延长BD至点F，使DF＝BD＝16，连接AF，过点A作AG∥BC，交DF于点G，如图，
∵EC＝EB，
∴∠C＝∠EBC，
∵AG∥BC，
∴∠AGB＝∠EBC，∠GAC＝∠C，
∴∠AGB＝∠GAC，
∴EA＝EG，
∴EG+EB＝AE+EC，
∴BG＝AC＝22．
∴GD＝BG﹣BD＝6，
∴FG＝DF﹣DG＝16﹣6＝10．
∵∠C＝2∠ABE，
∴∠AGB＝2∠ABE，
∵AD⊥BE，DF＝BD，
∴AD为BF的垂直平分线，
∴AF＝AB，
∴∠F＝∠ABE．
∴∠AGB＝2∠F，
∵∠AGB＝∠F+∠FAG，
∴∠F＝∠FAG，
∴GF＝GA＝10，
∴AD8．
∴AB8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的内角和定理，依据已知条件恰当的添加辅助线是解题的关键．
12．（4分）如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为 　25　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】25．
【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出DE2是解决问题的关键．
【解答】解：如图所示：
根据题意得：EF2＝169，DF2＝144，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
DE2＝EF2﹣DF2＝169﹣144＝25，
即正方形A的面积为25；
故答案为：25．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出DE2是解决问题的关键．
13．（4分）若x，y为实数，且满足，则yx的值为 　1　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣2022＝0，y+1＝0，
∴x＝2022，y＝﹣1，
∴yx＝（﹣1）2022＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（4分）点P（5，﹣4）到x轴的距离是　4　．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】4．
【分析】求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离．
【解答】解：∵|﹣4|＝4，
∴点P（5，﹣4）到x轴的距离是4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
15．（4分）如图，数轴上A、B两点对应的实数是和1，则A、B两点间的距离为 　　.
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；几何直观；运算能力．
【答案】．
【分析】根据点A所对应的实数为，点B所对应的实数为1，可分别求出点A，B到原点O之间的距离，然后再根据AB＝OA+OB即可得出答案．
【解答】解：在数轴上，点A所对应的实数为，点B所对应的实数为1，
∴，OB＝1，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是理解在数轴上，点A所对应的实数为xA，点B所对应的实数为xB，则点A到原点O之间的距离为|xA|，点B到原点O之间的距离为|xB|．
16．（4分）直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长为 　5或　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】5或．
【分析】分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：当4是直角边时，斜边5，
当4是斜边时，另一条直角边，
则第三边长为5或，
故答案为：5或．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
三．解答题（共4小题，满分36分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）（）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）6；
（2）7．
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则运算，然后化简后进行有理数的加减运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：（1）原式
＝3﹣2+5
＝6；
（2）原式＝（436）
＝7
＝7．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
18．（6分）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条钢索，若地面钢索固定点A到电线杆底部B的距离为2m，求钢索的长度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】米．
【分析】设钢索的顶部为点C，根据勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，代入数值计算即可．
【解答】解：设钢索的顶部为点C，
根据勾股定理得：BC2+AB2＝AC2，
∴AC（米），
答：钢索的长度为米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据图中构造的直角三角形，运用勾股定理列出等式是解题的关键．
19．（7分）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点M1，M2，M3，且M1M2∥y轴，M2M3∥x轴，这三个点中任意两个点之间的距离的最小值称为点M1，M2，M3的“近距”．例如：点M1（1，2），M2（1，﹣1），M3（﹣3，﹣1）的“近距”是3．
（1）已知，A（3，1），B（3，7），C（x，7）．
①若A，B，C的“近距”是4，则x的值为 　﹣1或7　；
②点A，B，C的“近距”的最大值为 　6　；
（2）已知点D（8，0），E（0，﹣4），点P（m，n）为线段DE上一动点．当F（1，0），G（1，n），P（m，n）的“近距”最大时，求此时点P的坐标．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】数形结合；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①﹣1或7；②6；（2）（，）．
【分析】（1）①根据“近距“的定义即可求解；
②根据讨论可知，当两直角边相等时，“近距”取值最大；
（2）根据三角形面积与两直角边相等时，“近距”取值最大这两个条件，列方程组进行求解．
【解答】解：（1）①∵AC＞AB，AC＞BC，
∴A，B，C的“近距”只能是AB或BC．
又∵AB＝6，
∴BC为“近距”，
∴|x﹣3|＝4，x﹣3＝±4，x＝3±4，
∴x＝﹣1或x＝7．
故答案为：﹣1或7．
②∵AC＞AB，AC＞BC，
∴A，B，C的“近距”只能是AB或BC．
当BC＜6时，“近距”为|x﹣3|；
当BC＞6时，“近距”为6；
∴当BC＝AB＝6时，点A，B，C的“近距”取值最大，最大值为6．
故答案为：6．
（2）
∵S△OED＝S△OPD+S△OPE，
S△OED8×4＝16，S△OPD8（﹣n）＝﹣4n，S△OPE4m＝2m，
∴16＝﹣4n+2m，即m﹣2n＝8①．
∵由题意可知，当点G在△ODE内部，并且GF＝GP时，点F、G、P的“近距”最大，
∴﹣n＝m﹣1②．
解由方程①和方程②组成的方程组，得n，m．
∴此时点P的坐标为（，）．
【点评】本题通过引入“近距”的概念，将坐标与图形结合起来，考查坐标与图形的性质，有一定难度，要认真审题，深刻领会题意是解答本题的关键．
20．（7分）如图，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝8，BC＝6，∠D＝30°，求CD的长．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】10．
【分析】根据勾股定理得出AC，进而利用勾股定理得出CD即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，，
在Rt△ABC中，∠D＝30°，
∴AD＝2AC＝20．
∴．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AC和CD解答．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
5．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
8．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
11．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
12．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
13．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
14．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
15．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
16．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
17．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．