2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）
1．（3分）下列式子没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简所得的结果是（　　）
A．0 B．2a C．﹣2b D．2a﹣2c
3．（3分）下列运算错误的是（　　）
A． B．
C．235 D．
4．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，树的顶端落在离树干3米远处，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是DC、AD的中点，EF⊥AB，若BC＝13，AB＝5，则EF的长度为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（3分）如图，对折一张矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM交EF于点K，若纸片宽AB为6，则KN的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
7．（3分）要用对折法检验一张四边形的纸片是否是正方形（对折后可以重新铺平），所需要对折的最少次数是（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
8．（3分）若正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），则m的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
9．（3分）在一次函数y＝2x+1的图象上的一个点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
10．（3分）如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，则方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．无法确定
11．（3分）如图表示两种材料的电阻R（Ω）与温度T）的关系，下列说法错误的是（　　）
A．当T＝a时，两种材料的电阻大小相同
B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小
C．当温度低于a℃时，半导体热敏电阻的电阻值在bΩ以上
D．当铂热电阻的电阻值超过bΩ时，温度在a℃以上
12．（3分）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
13．（3分）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内累计的读书时间，如表所示，对于这10个同学的一周累计读书时间，下列说法错误的是（　　）
一周内累计的读书时间（小时） 6 8 10 11
人数（个） 1 4 3 2
A．众数是8 B．中位数是9 C．平均数是9 D．方差是1.5
14．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）
A．a B．a＞0 C．a≠0 D．a
15．（3分）把下列一元二次方程化成一般形式后，常数项为0的方程是（　　）
A．4x﹣3＝5x2 B．（3x+1）2x＝1
C．3x（x+1）＝2（x﹣3）+6 D．（x+4）（x+2）＝﹣8
16．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
17．（3分）已知y与2x+1成正比例，且x＝5时，y＝﹣2，则x＝1时，y＝　 　．
18．（3分）已知，那么a＝　 　，b＝　 　．
19．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝6，EF＝1，则BC的长为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分63分）
20．（10分）计算：
（1）|4﹣3|+（1）0+（）﹣1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
21．（10分）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，求木杆折断之前的高度．
22．（10分）如图，在 ABCD中，点G，H分别在边BC，AD上，且AH＝CG．求证：四边形AGCH是平行四边形．
23．（10分）已知关于x的正比例函数y＝（5﹣2k）x．
（1）当k取何值时，y随x的增大而增大；
（2）当k取何值时，y随x的增大而减小．
24．（12分）开学后，某区针对各校在线教学进行评比，A校通过初评决定从甲、乙两个班中推荐一个作为在线教学先进班级，如表是这两个班的四项指标的考评得分表（单位：分）：
班级 课程质量 在线答疑 作业情况 课堂参与
甲班 10 5 10 7
乙班 8 8 9 7
请根据统计表中的信息解答下列问题：
（1）请确定如下的“四项指标的考评得分分析表”中的a＝　 　，b＝　 　；
班级 平均分 众数 中位数
甲班 8 10 a
乙班 8 b 8
（2）如果A校把“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“课堂参与”这四项指标得分按照2：3：2：3的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？
（3）通过最终考评，A校总共36个班级里有3个班级获得在线教学先进班级，若该区所有学校总共有1200个班级数，估计该区总共有多少班级可获得在线教学先进班级？
25．（11分）某甜品店用A，B两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料所需用量如表所示．该店制作甲款甜品x份，乙款甜品y份，共用去A原料2000克．
款式 原料 A原料（克） B原料（克）
甲款甜品 30 15
乙款甜品 10 20
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）已知每份甲甜品的利润为5元，每份乙甜品的利润为2元，假设两款甜品均能全部卖出．若获得总利润不少于360元，则至少要用去B原料多少克？
2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分48分，每小题3分）
1．（3分）下列式子没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】A
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：A、被开方数是负数，该式子无意义，故本选项正确；
B、被开方数是0，该式子有意义，故本选项错误；
C、﹣（﹣2）＝2，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项错误；
D、（﹣1）2＝1，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（3分）实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简所得的结果是（　　）
A．0 B．2a C．﹣2b D．2a﹣2c
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据数轴表示数的方法得到b＜c＜0＜a，且|b|＞a，根据二次根式的性质得到原式＝a+|a+b|﹣|c|﹣|b﹣c|，然后根据绝对值的意义去绝对值得到原式＝a﹣（a+b）+c+b﹣c，再去括号合并即可．
【解答】解：∵b＜c＜0＜a，且|b|＞a，
∴原式＝a+|a+b|﹣|c|﹣|b﹣c|
＝a﹣（a+b）+c+b﹣c
＝a﹣a﹣b+c+b﹣c
＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质：|a|．也考查了绝对值的意义和实数与数轴．
3．（3分）下列运算错误的是（　　）
A． B．
C．235 D．
【考点】二次根式的混合运算；分母有理化．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：，故A正确，不符合题意；
||，故B错误，符合题意；
235，故C正确，不符合题意；
，故D正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
4．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，树的顶端落在离树干3米远处，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．5米 B．7米 C．8米 D．9米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】D
【分析】设出大树原来高度，用勾股定理建立方程求解即可．
【解答】解：设这棵大树在折断之前的高度为x，
根据题意得，42+32＝（x﹣4）2，
∴x＝9或x＝﹣1（舍去），
∴这棵大树在折断之前的高度为9米，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是DC、AD的中点，EF⊥AB，若BC＝13，AB＝5，则EF的长度为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】三角形中位线定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】连接AC，由E、F分别是DC、AD的中点，可知EF∥AC，而EF⊥AB，所以AC⊥AB，在Rt△ABC中，，进而可求出即可解答．
【解答】解：如图，连接AC，
∵E、F分别是DC、AD的中点，
∴EF∥AC，，
又∵EF⊥AB，
∴AC⊥AB，
则∠BAC＝90°，
∴在Rt△ABC中，，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的中位线及勾股定理，解题的关键在于正确的作辅助线，找到三角形的中位线．
6．（3分）如图，对折一张矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM交EF于点K，若纸片宽AB为6，则KN的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，得出∠ENB＝30°＝∠NBC，进而得到∠ABM＝∠MBN＝30°，于是BK＝NK，在Rt△BEK中，由勾股定理求解即可．
【解答】解：由折叠可得，∠ABM＝∠MBN，AE＝BE，AB＝BN，EF∥BC，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC∥EF，
∠A＝∠BEN＝90°，∠ENB＝∠NBC，
又∵BEABBN，
∴∠ENB＝30°＝∠NBC，
∴∠ABM＝∠MBN（90°﹣30°）＝30°，
∴BK＝NK，
在Rt△BEK中，
∵∠EBK＝30°，EBAB＝3，
设BK＝x，则EKx，由勾股定理得，
32+（x）2＝x2，
解得x＝2（取正值）
∴BK＝2NK，
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解决问题的关键．
7．（3分）要用对折法检验一张四边形的纸片是否是正方形（对折后可以重新铺平），所需要对折的最少次数是（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【考点】正方形的判定．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】由折叠得出四个角相等的四边形是矩形，再由一组邻边相等，即可得出四边形是正方形．
【解答】解：用次数最少的对折方法验证四边形纸片的形状是正方形，所需要对折的最少次数是2次；
理由如下：
把纸片对折1次（共2层），2组邻角相等，且一组对边相等；
将纸片展开后沿对角线对折，则对角相等，两组邻边长度相等，所以4个角相等，且4条边相等．则这个四边形是正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握翻折变换和正方形的判定是解决问题的关键．
8．（3分）若正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），则m的值为（　　）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】D
【分析】根据正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），可以得到3﹣m＝4×2，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝4x的图象经过点A（2，3﹣m），
∴3﹣m＝4×2，
解得m＝﹣5，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（3分）在一次函数y＝2x+1的图象上的一个点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C． D．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将每个选项中的横坐标代入函数解析式，求出y的值，再进一步比较即可．
【解答】解：当x＝2时，y＝2x+1＝4+1＝5，
故A不符合题意，C不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝2x+1＝﹣4+1＝﹣3，
故B不符合题意；
当x时，y＝2x+1＝1+1＝2，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．（3分）如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，则方程kx+b＝2的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．无法确定
【考点】一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【答案】B
【分析】直接利用函数图象结合点的坐标得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k≠0）图象上的一点，
∴方程kx+b＝2的解是：x＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合是解题关键．
11．（3分）如图表示两种材料的电阻R（Ω）与温度T）的关系，下列说法错误的是（　　）
A．当T＝a时，两种材料的电阻大小相同
B．两种材料的电阻都是随着温度的增大而减小
C．当温度低于a℃时，半导体热敏电阻的电阻值在bΩ以上
D．当铂热电阻的电阻值超过bΩ时，温度在a℃以上
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】B
【分析】根据两种材料的电阻R（Ω）与温度T）的函数图象的交点及其增减性解答即可．
【解答】解：由图象可知：
当T＝a时，两种材料的电阻大小相同，故选项A说法正确，不符合题意；
铂热电阻的电阻值随着温度的增大而增大，故选项B说法错误，符合题意；
当温度低于a℃时，半导体热敏电阻的电阻值在bΩ以上，故选项C说法正确，不符合题意；
当铂热电阻的电阻值超过bΩ时，温度在a℃以上，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
12．（3分）喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【考点】中位数；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据平均数的定义先求出这组数据的x，再将这组数据从小到大排列，然后找出最中间的数即可．
【解答】解：∵5，5，6，7，x，7，8的平均数是6，
∴（5+5+6+7+x+7+8）÷7＝6，
解得：x＝4，
将这组数据从小到大排列为4、5、5、6、7、7、8，
最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6，
故选：C．
【点评】此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．
13．（3分）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内累计的读书时间，如表所示，对于这10个同学的一周累计读书时间，下列说法错误的是（　　）
一周内累计的读书时间（小时） 6 8 10 11
人数（个） 1 4 3 2
A．众数是8 B．中位数是9 C．平均数是9 D．方差是1.5
【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．
【答案】D
【分析】根据众数、中位数、方差、平均数的概念求解．
【解答】解：众数是8，中位数是9，平均数9，
方差3.4，
故选：D．
【点评】本题考查了众数、方差、中位数和平均数的概念，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
14．（3分）若关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（　　）
A．a B．a＞0 C．a≠0 D．a
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
15．（3分）把下列一元二次方程化成一般形式后，常数项为0的方程是（　　）
A．4x﹣3＝5x2 B．（3x+1）2x＝1
C．3x（x+1）＝2（x﹣3）+6 D．（x+4）（x+2）＝﹣8
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据等式的性质化成一元二次方程的一般形式，再得出选项即可．
【解答】解：A．4x﹣3＝5x2，
5x2﹣4x+3＝0，
常数项是3，不是0，故本选项不符合题意；
B．（3x+1）2x＝1，
6x2+2x﹣1＝0，
常数项是﹣1，不是0，故本选项不符合题意；
C．3x（x+1）＝2（x﹣3）+6，
3x2+3x＝2x﹣6+6，
3x2+3x﹣2x＝0，
3x2+x＝0，
常数项是0，故本选项符合题意；
D．（x+4）（x+2）＝﹣8，
x2+4x+2x+8+8＝0，
x2+6x+16＝0，
常数项是16，不是0，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
16．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，点P是∠AOB内部的一点，且OP＝4，点M、N分别是射线OA和射线OB上的一动点，则△PMN的周长的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质证出△OCD是等边三角形，求得CD的长，进而可求解．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA、OB的对称点D、C，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝4．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4，
故选：B．
【点评】此题主要考查轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
二．填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
17．（3分）已知y与2x+1成正比例，且x＝5时，y＝﹣2，则x＝1时，y＝　　．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正比例的定义，设y＝k（2x+1），把x＝5，y＝﹣2代入可计算出k，于是得到yx，然后计算自变量为1时的函数值即可．
【解答】解：设y＝k（2x+1），
当x＝5，y＝﹣2时，则k （10+1）＝﹣2，解得k，
所以yx，
当x＝1时，y1．
故答案为．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
18．（3分）已知，那么a＝　﹣2　，b＝　1　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2，1．
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负数的性质可求得a＝﹣2，b＝1．
【解答】解：∵，而，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
故答案为：﹣2，1．
【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根．利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．
19．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，点F在DE上，连接BF，且BF平分∠ABC，若AB＝6，EF＝1，则BC的长为 　8　．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】8．
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定得到DF＝DB＝3，进而求出DE，得到答案．
【解答】解：∵点D是的边AB的中点，AB＝6，
∴BD＝3，
∵点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝3，
∵EF＝1，
∴DE＝4，
∴BC＝2DE＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
三．解答题（共6小题，满分63分）
20．（10分）计算：
（1）|4﹣3|+（1）0+（）﹣1；
（2）2x2﹣4x﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）7；
（2）x1＝1，x2＝1．
【分析】（1）根据二次根式的除法法则，绝对值的性质，零指数幂和负指数幂的意义计算即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝3（34）+1+2
＝334+1+2
＝7；
（2）∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴2x2﹣4x＝1，
则x2﹣2x，
∴x2﹣2x+11，即（x﹣1）2，
∴x﹣1＝±，
则x1＝1，x2＝1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；也考查了实数的运算．
21．（10分）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，求木杆折断之前的高度．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】8m．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为 5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
22．（10分）如图，在 ABCD中，点G，H分别在边BC，AD上，且AH＝CG．求证：四边形AGCH是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AH＝CG．
∴四边形AGCH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
23．（10分）已知关于x的正比例函数y＝（5﹣2k）x．
（1）当k取何值时，y随x的增大而增大；
（2）当k取何值时，y随x的增大而减小．
【考点】正比例函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正比例函数的性质解答．
【解答】解：根据正比例函数的性质，
（1）正比例函数y＝（5﹣2k）x，当5﹣2k＞0时，y随x的增大而增大．
所以k，
故当k时，y随x的增大而增大．
（2）正比例函数y＝（5﹣2k）x，当5﹣2k＜0时，y随x的增大而增减小，
所以k，
故当k时，y随x的增大而减小．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，对于正比例函数y＝kx，当k大于0时，y随x的增大而大；当k小于0时，y随x的增大而减小．
24．（12分）开学后，某区针对各校在线教学进行评比，A校通过初评决定从甲、乙两个班中推荐一个作为在线教学先进班级，如表是这两个班的四项指标的考评得分表（单位：分）：
班级 课程质量 在线答疑 作业情况 课堂参与
甲班 10 5 10 7
乙班 8 8 9 7
请根据统计表中的信息解答下列问题：
（1）请确定如下的“四项指标的考评得分分析表”中的a＝　8.5　，b＝　8　；
班级 平均分 众数 中位数
甲班 8 10 a
乙班 8 b 8
（2）如果A校把“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“课堂参与”这四项指标得分按照2：3：2：3的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？
（3）通过最终考评，A校总共36个班级里有3个班级获得在线教学先进班级，若该区所有学校总共有1200个班级数，估计该区总共有多少班级可获得在线教学先进班级？
【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据中位数、众数的意义，求出中位数和众数即可；
（2）求出甲班、乙班的加权平均数，即可推荐为先进班级；
（3）样本中先进班级占，因此估计总体1200个班级的是先进班级．
【解答】解：（1）甲班四项指标得分从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为8.5，即a＝8.5；
乙班四项指标得分出现次数最多的是8，因此众数是8，即b＝8；
故答案为：8.5，8；
（2）甲7.6，
乙7.9，
∵7.6＜7.9，
∴推荐乙班为先进班级；
（3）1200100（个），
答：该区总共有100个班级可获得在线教学先进班级．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确计算的前提．
25．（11分）某甜品店用A，B两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料所需用量如表所示．该店制作甲款甜品x份，乙款甜品y份，共用去A原料2000克．
款式 原料 A原料（克） B原料（克）
甲款甜品 30 15
乙款甜品 10 20
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）已知每份甲甜品的利润为5元，每份乙甜品的利润为2元，假设两款甜品均能全部卖出．若获得总利润不少于360元，则至少要用去B原料多少克？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝200﹣3x；
（2）至少要用去B原料2200克．
【分析】（1）根据甲、乙两种甜品所需A种原料及其总的消耗量得出30x+10y＝2000，变换成函数解析式即可；
（2）根据利润的要求5x+2y≥360，与（1）中的关系求出变量x的范围，设用去B原料m克，可得m＝15x+20y＝15x+20（200﹣3x）＝4000﹣45x，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题可得，30x+10y＝2000，即y＝200﹣3x，
故y关于x的函数表达式为y＝200﹣3x；
（2）由题意可得：5x+2y≥360，
∴5x+2（200﹣3x）≥360，
∴x≤40，
设用去B原料m克，
∴m＝15x+20y＝15x+20（200﹣3x）＝4000﹣45x，
∵k＝﹣45，
∴m随x的增大而减小，
∴当x＝40时，
∴m的最小值为4000﹣45×40＝2200（克）
答：至少要用去B原料2200克．
【点评】本题考查的是一次函数的应用，充分结合了方程、不等式的综合应用，学会利用函数求最值及特殊解是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
5．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
6．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
7．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
8．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
11．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
12．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
13．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
14．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
15．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
16．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
17．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
18．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
19．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
20．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
21．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
22．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
23．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
25．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
27．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
28．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
29．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
30．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
31．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
32．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．