2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 504.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 20:02:31 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．π B．2.3 C．﹣1 D．3.14
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣4，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B．3x＞3y C．﹣5x＞﹣5y D．﹣x+4＜﹣y+4
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）函数y的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列各式一定正确的是（ ）
A．（﹣a）3＝|﹣a3| B．a3＝（﹣a）3 C．（﹣a）2＝|﹣a2| D．﹣a2＝（﹣a）2
8．（3分）观察下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④全等三角形的周长相等．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．75°
10．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
11．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（2分）一只蚂蚁从一个长方体纸盒上的A点沿纸盒表面爬行到B点，若纸盒的长、宽、高分别为6cm，3cm，12cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．9cm B．15cm C．18cm D．
15．（2分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B间的距离是（ ）
A．18米 B．20米 C．24米 D．32米
16．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1；按这样的规律进行下去，第2018个正方形面积为（ ）
A．5×（）4034 B．5×（）2017
C．5×（）2018 D．5×（）2019
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（3分）分解因式：ab2﹣a2b+ab＝ ．
18．（3分）二元一次方程组的解是 ．
19．（4分）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为a、b，若ab＝9，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是 ．
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．（8分）计算：（1）．
（2）．
（3）先化简：再求值．其中实数a在数轴上的位置如图所示．
21．（8分）某教育局为了解八年级学生一个学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中的a＝ ，该校八年级共有 名学生；
（2）求调查中一学期参加综合实践活动天数的平均数，众数和中位数分别是多少？
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．请判断四边形ABCD的形状，并证明理由．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）已知点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，写出顶点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）动点P在y轴上，画出B1P+B2P为最小值时点P的位置，并求出B1P+B2P的最小值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
25．（12分）夏季来临，某批发商决定购进一批防晒产品来销售，批发商分别用2000元购进了遮阳帽，用3000元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，其中太阳伞的单价比遮阳帽贵5元．
（1）遮阳帽的单价为多少元；
（2）由于畅销，该批发商决定再购进这两款产品共750件，其中购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的2倍，销售时，售价均定为20元每件，那么该批发商需购进这两数产品各多少件才能使利润最大，最大利润为多少？
26．（12分）自主探究：
在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG，连接DG交AE于点H，在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD＝HG，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明HD＝HG，已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；
勤奋组：要想证明HD＝HG，可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；
操作思考：
（1）请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．
奋进组： ．
勤奋组： ．
（2）请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择 ．
A．“奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确
B．“勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确
D．“奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
变式证明：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．
拓展延伸：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG，连接DG交FA的延长线于点H，且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出的值；如果不相等，请说明理由．
2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．π B．2.3 C．﹣1 D．3.14
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、π是无理数，故此选项符合题意；
B、2.3是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣4，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据点的坐标特征：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）求解即可．
【解答】解：点（﹣4，1）在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3．（3分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B．3x＞3y C．﹣5x＞﹣5y D．﹣x+4＜﹣y+4
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
故A不符合题意；
∵x＞y，
∴3x＞3y，
故B不符合题意；
∵x＞y，
∴﹣5x＜﹣5y，
故C符合题意；
∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴﹣x+4＜﹣y+4，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，正确理解中心对称图形的定义是解题的关键．
5．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减、乘法、除法进行计算即可求解．
【解答】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减、乘法、除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．（3分）函数y的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】函数y有意义，则分母必须满足，解得出x的取值范围，在数轴上表示出即可；
【解答】解：∵函数y有意义，
∴分母必须满足，
解得，，
∴x＞1；
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（3分）下列各式一定正确的是（ ）
A．（﹣a）3＝|﹣a3| B．a3＝（﹣a）3 C．（﹣a）2＝|﹣a2| D．﹣a2＝（﹣a）2
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵（﹣a）3＝﹣a3，|﹣a3|＝a3，
∴（﹣a）3≠|﹣a3|，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a）3＝﹣a3，a3≠（﹣a）3，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣a）2＝|﹣a2|＝a2，
∴选项C符合题意；
∵﹣a2≠（﹣a）2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
8．（3分）观察下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④全等三角形的周长相等．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理；余角和补角；全等三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用等边三角形的判定方法、垂直平分线的判定、直角三角形的判定及全等三角形的性质等知识分别判断即可．
【解答】解：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；
②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
③有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；
④全等三角形的周长相等，正确，是真命题，符合题意．
真命题有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
9．（3分）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．75°
【考点】三角形的外角性质；垂线．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】在图中标上∠2，∠3，根据各角的度数，可得知∠2，∠3的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠1的度数．
【解答】解：在图中标上∠2，∠3，如图所示．
∵∠2＝30°，∠3＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及垂线，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
10．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】先求出增根，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，求出m．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
，
1，
2x﹣（x﹣3）＝1﹣m，
x+3＝1﹣m，
把x＝3代入原方程得m＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
11．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】D
【分析】由作图可判断①，由AB＝AD，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，可判断②，证明ED⊥AC，AD＝CD，可判断③，证明∠DBC＝∠C＝30°，可判断④，从而可得答案．
【解答】解：由作图可知AE平分∠BAC，故①正确，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
由作图可得：AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，故②正确，
∵AE平分∠BAC，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
而AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE＝90°，
∴∠C＝∠CAE，
∴EA＝EC，
∴AD＝CD，
∴DE垂直平分线段AC；故③正确，
∵∠ABC＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是作已知角的角平分线，等腰三角形与等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
12．（2分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”列出方程组，此题得解．
【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系．
13．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到5×4AC×4＝8，然后解一次方程即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴5×4AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．（2分）一只蚂蚁从一个长方体纸盒上的A点沿纸盒表面爬行到B点，若纸盒的长、宽、高分别为6cm，3cm，12cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．9cm B．15cm C．18cm D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出AB，再比较即可．
【解答】解：展开后有三种不同的情况如图1、图2、图3，
如图1，AB3（cm）；
如图2，AB3（cm）；
如图3，AB15（cm）；
∵，
∴小蚂蚁爬行最短的路线为15cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，找出所有的情况是解决本题的关键．
15．（2分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B间的距离是（ ）
A．18米 B．20米 C．24米 D．32米
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意，MN是△ABC的中位线，由此即可求解．
【解答】解：根据题意，MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN＝2×16＝32（米），
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1；按这样的规律进行下去，第2018个正方形面积为（ ）
A．5×（）4034 B．5×（）2017
C．5×（）2018 D．5×（）2019
【考点】规律型：图形的变化类；相似三角形的判定与性质．
【专题】规律型；猜想归纳；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先证△ADO∽△A1AB，得出AB＝BC＝2A1B，所以第二个正方形边长为第一个正方形边长的，以此类推，以后每个正方形边长都是前一个正方形边长的，然后可求出第2018个正方形边长与第一个正方形边长的关系，从而求出第2018个正方形面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC．
∴∠ABA1＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，
又∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠BAA1＝∠ADO．
∴△ADO∽△A1AB．
∴2，BC＝2A1B，
∴A1C，
以此类推，A2C1，A3C2A2C1，......，
即最后一个正方形边长是前一个正方形边长的倍，
∴第2018个正方形边长为，
∵OA＝1，OD＝2，
∴BC＝AD，
∴第2018个正方形面积为5×（）4034，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推算出第2018个正方形边长与第一个正方形边长的关系是解题关键．也是难点所在，本题有一定综合性．
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（3分）分解因式：ab2﹣a2b+ab＝ ab（b﹣a+1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】ab（b﹣a+1）．
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【解答】解：ab2﹣a2b+ab＝ab（b﹣a+1）．
故答案为：ab（b﹣a+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
18．（3分）二元一次方程组的解是 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②得：y＝2，
则方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（4分）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为a、b，若ab＝9，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是 ．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】直角三角形的两直角边分别为a、b，令a＞b，设斜边是c，由小正方形的面积是1，得到（a﹣b）2＝1，推出a2+b2＝13，由勾股定理求出c＝．因此大正方形的边长．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，令a＞b，设斜边是c，
∵小正方形的面积是2，
∴（a﹣b）2＝2，
∴a2+b2﹣2ab＝2，
∵ab＝9，
∴a2+b2＝20，
∴c2．
∴大正方形的边长是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，关键是由完全平方公式得到a2+b2＝13，由勾股定理即可得到答案．
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．（8分）计算：（1）．
（2）．
（3）先化简：再求值．其中实数a在数轴上的位置如图所示．
【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算；实数与数轴．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）；
（3）；．
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质、绝对值的意义计算，然后合并即可；
（3）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，接着利用数轴表示数的方法得到a1，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式2
＝32
＝3；
（2）原式＝3﹣221﹣4
；
（3）原式
，
∵A点表示的数为1，
即a1，
∴原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了二次根式的混合运算和数轴．
21．（8分）某教育局为了解八年级学生一个学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中的a＝ 25% ，该校八年级共有 200 名学生；
（2）求调查中一学期参加综合实践活动天数的平均数，众数和中位数分别是多少？
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；扇形统计图．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）25%，200；
（2）4.35，4，4．
【分析】（1）扇形统计图中，根据单位1减去其他的百分比即可求出a的值；由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数；
（2）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝1﹣（5%+10%+15%+15%+30%）＝25%，
八年级学生总数为：20÷10%＝200（人），
故答案为：25%，200；
（2）活动时间为5天的人数为200×25%＝50（人），
活动时间为7天的人数为200×5%＝10（人），
则综合实践活动天数的平均数是：4.35（天），
∵4出现的次数最多，出现了60次，
∴众数为4天；
把这些数从小到大排列，中位数是第100、101个数的平均数，
则中位数为4（天）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．请判断四边形ABCD的形状，并证明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】四边形ABCD是平行四边形；理由见解答过程．
【分析】由“AAS”可证△ADF≌△ECF，得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）已知点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，写出顶点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）动点P在y轴上，画出B1P+B2P为最小值时点P的位置，并求出B1P+B2P的最小值．
【考点】作图﹣平移变换；坐标与图形变化﹣旋转；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；A1（2，2），B1（3，﹣2）；
（2）作图见解析部分，A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）；
（3）作图见解析部分，4．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）作点B1关于y轴的对称点B′，连接B′B2交轴于点P，连接PB1，此时PB1+PB2的值最小，最小值为线段B2B′的长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（2，2），B1（3，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）；
（3）如图，点P即为所求，B1P+B2P的最小值＝B2B′4．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数综合题；分类讨论；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝2x+4；（2）2≤n≤3.5；（3）a＝6或2．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，进而求解；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x，x＝a﹣4，则|a﹣4|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵C为AO中点，则点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4，
解得：m＝2，
即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4；
（2）延长NM分别交两条直线于点G、H，
当y＝3时，则y＝2x+4＝3，则x，即点H（，3），
当y＝3时，则y＝x+4＝3，则x＝﹣1，即点G（﹣1，3）；
当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，
当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，
即2≤n≤3.5；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，
则x，x＝a﹣4，
则|a﹣4|＝1，
则a＝6或2．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的运用、图形的平移等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（12分）夏季来临，某批发商决定购进一批防晒产品来销售，批发商分别用2000元购进了遮阳帽，用3000元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，其中太阳伞的单价比遮阳帽贵5元．
（1）遮阳帽的单价为多少元；
（2）由于畅销，该批发商决定再购进这两款产品共750件，其中购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的2倍，销售时，售价均定为20元每件，那么该批发商需购进这两数产品各多少件才能使利润最大，最大利润为多少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）遮阳帽的单价为10元；
（2）该批发商需购进遮阳帽250件，太阳伞500件时，利润最大，最大利润为5000元．
【分析】（1）设遮阳帽的单价为x元，则太阳伞的单价为 （x+5）元，根据批发商分别用2000元购进了遮阳帽，用3000元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，列出分式方程，解方程即可；
（2）这购进遮阳帽a件，则购进太阳伞（750﹣a）件，根据购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的2倍，列出一元一次不等式，解得a≤250，再设利润为W元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设遮阳帽的单价为x元，则太阳伞的单价为 （x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
答：遮阳帽的单价为10元；
（2）这购进遮阳帽a件，则购进太阳伞（750﹣a）件，
由题意得：750﹣a≥2a，
解得：a≤250，
设利润为W元，
由题意得：W＝（20﹣10）a+（20﹣15）（750﹣a）＝5a+3750，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
当a＝250，w有最大值＝5×250+3750＝5000，
此时，750﹣a＝750﹣250＝500，
答：该批发商需购进遮阳帽250件，太阳伞500件时，利润最大，最大利润为5000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
26．（12分）自主探究：
在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG，连接DG交AE于点H，在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD＝HG，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明HD＝HG，已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；
勤奋组：要想证明HD＝HG，可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；
操作思考：
（1）请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．
奋进组： 过点D作DM⊥AE于点M ．
勤奋组： 过点D作DN∥AH交GA延长线于点N ．
（2）请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择 C ．
A．“奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确
B．“勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确
D．“奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
变式证明：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．
拓展延伸：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG，连接DG交FA的延长线于点H，且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出的值；如果不相等，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】操作思考：（1）过点D作DM⊥AE于点M，过点D作DN∥AH交GA延长线于点N；
（2）C；
变式证明：HD＝HG，理由见解析；
拓展延伸：HD＝HG，．
【分析】操作思考：（1）由矩形得AD∥BC，得到∠AGB＝∠DAM，由AAS证明△ABG≌△DMA即可；
（2）结合两个小组的思路，都能证明HD＝HE，即可得到答案；
变式证明：过D作DK⊥GH交GH延长线于K，证明△ADK≌△EBA（AAS），可得DK＝AB，则DK＝AE，再证△DKH≌△GAH（AAS），得HD＝HG；
拓展延伸：连接BD交AC于P，由旋转的性质可知AC＝AF，BC＝GF，再证BC＝BF，则BC＝BF＝GF，GFCF，得∠GCF＝30°，得，然后证AH是△PDG的中位线，即可得出结论．
【解答】解：操作思考：
（1）符合“奋进组”思路需要的辅助线是：过点D作DM⊥AE于点M，如图1，
符合“勤奋组”思路需要的辅助线是：过点D作DN∥AH交GA延长线于点N，如图1﹣1，
故答案为：过点D作DM⊥AE于点M，过点D作DN∥AH交GA延长线于点N；
（2）“奋进组”中，∵DM⊥AE，
∴∠DMA＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，
∴∠B＝∠EAG＝90°，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AEB，
由旋转的性质得：AD＝AE，AB＝AG，
∴△ADM≌△EAB（AAS），
∴DM＝AB，
∴DM＝AG，
∵∠DHM＝∠GHA，∠DMH＝∠GAH＝90°，
∴△DMH≌△GAH（AAS），
∴HD＝HG；
“勤奋组”中，∵DN∥AH，
∴∠N＝∠EAG＝90°，
∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠EAN＝90°＝∠DAB，
∴∠DAN＝∠EAB，
∵∠N＝∠ABE＝90°，AD＝AE，
∴△ADN≌△AEB（AAS），
∴AN＝AB，
∴AN＝AG，
∵DN∥AH，
∴AH是△DNG的中位线，
∴HD＝HG；
综上所述，“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线都能证明结论，
∴“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确，
故答案为：C；
变式证明：HD＝HG，理由如下：
过D作DK⊥GH交GH延长线于K，如图2，
则∠K＝90°，
∴∠ADK＝90°﹣∠DAK，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠EAG＝90°，
∴∠ABE＝∠GAH＝90°，∠EAB+∠DAK＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣∠DAK，
∴∠EAB＝∠ADK，
∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转得到，
∴AD＝GF＝AE，AB＝AG，
在△ADK和△EAB中，
，
∴△ADK≌△EAB（AAS），
∴DK＝AB，
∴DK＝AE，
∵∠K＝∠GAH＝90°，∠DHK＝∠GHA，
∴△DKH≌△GAH（AAS），
∴HD＝HG；
拓展延伸：HD＝HG，，理由如下：
如图3，连接BD交AC于P，
∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转得到，
∴AC＝AF，BC＝GF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴BC＝BF，
∴BC＝BF＝GF，
∴GFCF，
在Rt△EFC中，∠AGF＝90°，
∴∠GCF＝30°，
即∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴tan∠BACtan60°，
∴，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PC＝PB＝PA，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∠ABP＝60°，
∴∠PBC＝∠AFC＝30°，△ABP是等边三角形，
∴PB∥AF，AB＝PA，
∵AB＝AG，
∴PA＝AG，
∴AH是△PDG的中位线，
∴HD＝HG．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和旋转变换的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
6．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
10．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
12．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
13．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
14．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
15．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
16．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
20．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
21．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
22．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
26．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
27．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
28．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
29．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
30．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
31．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
32．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
33．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
34．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
35．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
36．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
37．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
38．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
39．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
40．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
41．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
42．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
43．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
44．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
45．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
46．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．π B．2.3 C．﹣1 D．3.14
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣4，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B．3x＞3y C．﹣5x＞﹣5y D．﹣x+4＜﹣y+4
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）函数y的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）下列各式一定正确的是（ ）
A．（﹣a）3＝|﹣a3| B．a3＝（﹣a）3 C．（﹣a）2＝|﹣a2| D．﹣a2＝（﹣a）2
8．（3分）观察下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④全等三角形的周长相等．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．75°
10．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
11．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
14．（2分）一只蚂蚁从一个长方体纸盒上的A点沿纸盒表面爬行到B点，若纸盒的长、宽、高分别为6cm，3cm，12cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．9cm B．15cm C．18cm D．
15．（2分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B间的距离是（ ）
A．18米 B．20米 C．24米 D．32米
16．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1；按这样的规律进行下去，第2018个正方形面积为（ ）
A．5×（）4034 B．5×（）2017
C．5×（）2018 D．5×（）2019
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（3分）分解因式：ab2﹣a2b+ab＝ ．
18．（3分）二元一次方程组的解是 ．
19．（4分）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为a、b，若ab＝9，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是 ．
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．（8分）计算：（1）．
（2）．
（3）先化简：再求值．其中实数a在数轴上的位置如图所示．
21．（8分）某教育局为了解八年级学生一个学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中的a＝ ，该校八年级共有 名学生；
（2）求调查中一学期参加综合实践活动天数的平均数，众数和中位数分别是多少？
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．请判断四边形ABCD的形状，并证明理由．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）已知点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，写出顶点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）动点P在y轴上，画出B1P+B2P为最小值时点P的位置，并求出B1P+B2P的最小值．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
25．（12分）夏季来临，某批发商决定购进一批防晒产品来销售，批发商分别用2000元购进了遮阳帽，用3000元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，其中太阳伞的单价比遮阳帽贵5元．
（1）遮阳帽的单价为多少元；
（2）由于畅销，该批发商决定再购进这两款产品共750件，其中购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的2倍，销售时，售价均定为20元每件，那么该批发商需购进这两数产品各多少件才能使利润最大，最大利润为多少？
26．（12分）自主探究：
在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG，连接DG交AE于点H，在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD＝HG，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明HD＝HG，已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；
勤奋组：要想证明HD＝HG，可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；
操作思考：
（1）请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．
奋进组： ．
勤奋组： ．
（2）请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择 ．
A．“奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确
B．“勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确
D．“奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
变式证明：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．
拓展延伸：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG，连接DG交FA的延长线于点H，且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出的值；如果不相等，请说明理由．
2024—2025学年上学期河北初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）下列各数中，无理数是（ ）
A．π B．2.3 C．﹣1 D．3.14
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、π是无理数，故此选项符合题意；
B、2.3是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、﹣1是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣4，1）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据点的坐标特征：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）求解即可．
【解答】解：点（﹣4，1）在平面直角坐标系中所在的象限是第二象限，
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
3．（3分）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2 B．3x＞3y C．﹣5x＞﹣5y D．﹣x+4＜﹣y+4
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
故A不符合题意；
∵x＞y，
∴3x＞3y，
故B不符合题意；
∵x＞y，
∴﹣5x＜﹣5y，
故C符合题意；
∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴﹣x+4＜﹣y+4，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，正确理解中心对称图形的定义是解题的关键．
5．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减、乘法、除法进行计算即可求解．
【解答】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项不正确，不符合题意；
C． ，故该选项正确，符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减、乘法、除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6．（3分）函数y的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】函数y有意义，则分母必须满足，解得出x的取值范围，在数轴上表示出即可；
【解答】解：∵函数y有意义，
∴分母必须满足，
解得，，
∴x＞1；
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（3分）下列各式一定正确的是（ ）
A．（﹣a）3＝|﹣a3| B．a3＝（﹣a）3 C．（﹣a）2＝|﹣a2| D．﹣a2＝（﹣a）2
【考点】有理数的乘方．
【专题】实数；推理能力．
【答案】C
【分析】根据有理数的乘方的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵（﹣a）3＝﹣a3，|﹣a3|＝a3，
∴（﹣a）3≠|﹣a3|，
∴选项A不符合题意；
∵（﹣a）3＝﹣a3，a3≠（﹣a）3，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣a）2＝|﹣a2|＝a2，
∴选项C符合题意；
∵﹣a2≠（﹣a）2，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
8．（3分）观察下列命题：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③有两个角互余的三角形是直角三角形；④全等三角形的周长相等．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理；余角和补角；全等三角形的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用等边三角形的判定方法、垂直平分线的判定、直角三角形的判定及全等三角形的性质等知识分别判断即可．
【解答】解：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；
②到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
③有两个角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，符合题意；
④全等三角形的周长相等，正确，是真命题，符合题意．
真命题有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及性质，难度不大．
9．（3分）在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．75°
【考点】三角形的外角性质；垂线．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】在图中标上∠2，∠3，根据各角的度数，可得知∠2，∠3的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出∠1的度数．
【解答】解：在图中标上∠2，∠3，如图所示．
∵∠2＝30°，∠3＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及垂线，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
10．（3分）若关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．﹣5 B．7 C．5 D．﹣3
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】先求出增根，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，求出m．
【解答】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
，
1，
2x﹣（x﹣3）＝1﹣m，
x+3＝1﹣m，
把x＝3代入原方程得m＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的产生的原因，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键．
11．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论：①AE平分∠BAC；②△ABD是等边三角形；③DE垂直平分线段AC；④△BCD是等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】D
【分析】由作图可判断①，由AB＝AD，∠BAC＝90°﹣30°＝60°，可判断②，证明ED⊥AC，AD＝CD，可判断③，证明∠DBC＝∠C＝30°，可判断④，从而可得答案．
【解答】解：由作图可知AE平分∠BAC，故①正确，
∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
由作图可得：AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，故②正确，
∵AE平分∠BAC，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
而AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE＝90°，
∴∠C＝∠CAE，
∴EA＝EC，
∴AD＝CD，
∴DE垂直平分线段AC；故③正确，
∵∠ABC＝90°，∠ABD＝60°，
∴∠DBC＝30°＝∠C，
∴△BCD是等腰三角形，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是作已知角的角平分线，等腰三角形与等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
12．（2分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”列出方程组，此题得解．
【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系．
13．（2分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到5×4AC×4＝8，然后解一次方程即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴5×4AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14．（2分）一只蚂蚁从一个长方体纸盒上的A点沿纸盒表面爬行到B点，若纸盒的长、宽、高分别为6cm，3cm，12cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．9cm B．15cm C．18cm D．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出AB，再比较即可．
【解答】解：展开后有三种不同的情况如图1、图2、图3，
如图1，AB3（cm）；
如图2，AB3（cm）；
如图3，AB15（cm）；
∵，
∴小蚂蚁爬行最短的路线为15cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，找出所有的情况是解决本题的关键．
15．（2分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，若MN的长为16米，则A，B间的距离是（ ）
A．18米 B．20米 C．24米 D．32米
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意，MN是△ABC的中位线，由此即可求解．
【解答】解：根据题意，MN是△ABC的中位线，
∴AB＝2MN＝2×16＝32（米），
故选：D．
【点评】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作第二个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第三个正方形A2B2C2C1；按这样的规律进行下去，第2018个正方形面积为（ ）
A．5×（）4034 B．5×（）2017
C．5×（）2018 D．5×（）2019
【考点】规律型：图形的变化类；相似三角形的判定与性质．
【专题】规律型；猜想归纳；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先证△ADO∽△A1AB，得出AB＝BC＝2A1B，所以第二个正方形边长为第一个正方形边长的，以此类推，以后每个正方形边长都是前一个正方形边长的，然后可求出第2018个正方形边长与第一个正方形边长的关系，从而求出第2018个正方形面积．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC．
∴∠ABA1＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，
又∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠BAA1＝∠ADO．
∴△ADO∽△A1AB．
∴2，BC＝2A1B，
∴A1C，
以此类推，A2C1，A3C2A2C1，......，
即最后一个正方形边长是前一个正方形边长的倍，
∴第2018个正方形边长为，
∵OA＝1，OD＝2，
∴BC＝AD，
∴第2018个正方形面积为5×（）4034，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推算出第2018个正方形边长与第一个正方形边长的关系是解题关键．也是难点所在，本题有一定综合性．
二．填空题（共3小题，满分10分）
17．（3分）分解因式：ab2﹣a2b+ab＝ ab（b﹣a+1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】ab（b﹣a+1）．
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【解答】解：ab2﹣a2b+ab＝ab（b﹣a+1）．
故答案为：ab（b﹣a+1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
18．（3分）二元一次方程组的解是 ．
【考点】解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1代入②得：y＝2，
则方程组的解为．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（4分）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形的两直角边分别为a、b，若ab＝9，小正方形的面积是2，则大正方形的边长是 ．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】直角三角形的两直角边分别为a、b，令a＞b，设斜边是c，由小正方形的面积是1，得到（a﹣b）2＝1，推出a2+b2＝13，由勾股定理求出c＝．因此大正方形的边长．
【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，令a＞b，设斜边是c，
∵小正方形的面积是2，
∴（a﹣b）2＝2，
∴a2+b2﹣2ab＝2，
∵ab＝9，
∴a2+b2＝20，
∴c2．
∴大正方形的边长是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式，关键是由完全平方公式得到a2+b2＝13，由勾股定理即可得到答案．
三．解答题（共7小题，满分68分）
20．（8分）计算：（1）．
（2）．
（3）先化简：再求值．其中实数a在数轴上的位置如图所示．
【考点】分式的化简求值；二次根式的混合运算；实数与数轴．
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）；
（3）；．
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）先利用完全平方公式和二次根式的性质、绝对值的意义计算，然后合并即可；
（3）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，接着利用数轴表示数的方法得到a1，然后把a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式2
＝32
＝3；
（2）原式＝3﹣221﹣4
；
（3）原式
，
∵A点表示的数为1，
即a1，
∴原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．也考查了二次根式的混合运算和数轴．
21．（8分）某教育局为了解八年级学生一个学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图（如图），请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中的a＝ 25% ，该校八年级共有 200 名学生；
（2）求调查中一学期参加综合实践活动天数的平均数，众数和中位数分别是多少？
【考点】条形统计图；加权平均数；中位数；众数；扇形统计图．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）25%，200；
（2）4.35，4，4．
【分析】（1）扇形统计图中，根据单位1减去其他的百分比即可求出a的值；由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数；
（2）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义分别进行解答，即可得出答案．
【解答】解：（1）a＝1﹣（5%+10%+15%+15%+30%）＝25%，
八年级学生总数为：20÷10%＝200（人），
故答案为：25%，200；
（2）活动时间为5天的人数为200×25%＝50（人），
活动时间为7天的人数为200×5%＝10（人），
则综合实践活动天数的平均数是：4.35（天），
∵4出现的次数最多，出现了60次，
∴众数为4天；
把这些数从小到大排列，中位数是第100、101个数的平均数，
则中位数为4（天）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．请判断四边形ABCD的形状，并证明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】四边形ABCD是平行四边形；理由见解答过程．
【分析】由“AAS”可证△ADF≌△ECF，得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，
∵点F是CD的中点，
∴DF＝CF，
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AD＝EC，
∵CE＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）已知点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1，写出顶点A1，B1的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）动点P在y轴上，画出B1P+B2P为最小值时点P的位置，并求出B1P+B2P的最小值．
【考点】作图﹣平移变换；坐标与图形变化﹣旋转；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分；A1（2，2），B1（3，﹣2）；
（2）作图见解析部分，A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）；
（3）作图见解析部分，4．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）作点B1关于y轴的对称点B′，连接B′B2交轴于点P，连接PB1，此时PB1+PB2的值最小，最小值为线段B2B′的长．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（2，2），B1（3，﹣2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）；
（3）如图，点P即为所求，B1P+B2P的最小值＝B2B′4．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数综合题；分类讨论；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝2x+4；（2）2≤n≤3.5；（3）a＝6或2．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，进而求解；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x，x＝a﹣4，则|a﹣4|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵C为AO中点，则点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4，
解得：m＝2，
即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4；
（2）延长NM分别交两条直线于点G、H，
当y＝3时，则y＝2x+4＝3，则x，即点H（，3），
当y＝3时，则y＝x+4＝3，则x＝﹣1，即点G（﹣1，3）；
当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，
当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，
即2≤n≤3.5；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，
则x，x＝a﹣4，
则|a﹣4|＝1，
则a＝6或2．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的运用、图形的平移等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（12分）夏季来临，某批发商决定购进一批防晒产品来销售，批发商分别用2000元购进了遮阳帽，用3000元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，其中太阳伞的单价比遮阳帽贵5元．
（1）遮阳帽的单价为多少元；
（2）由于畅销，该批发商决定再购进这两款产品共750件，其中购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的2倍，销售时，售价均定为20元每件，那么该批发商需购进这两数产品各多少件才能使利润最大，最大利润为多少？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）遮阳帽的单价为10元；
（2）该批发商需购进遮阳帽250件，太阳伞500件时，利润最大，最大利润为5000元．
【分析】（1）设遮阳帽的单价为x元，则太阳伞的单价为 （x+5）元，根据批发商分别用2000元购进了遮阳帽，用3000元购进了太阳伞，两款产品的数量一样，列出分式方程，解方程即可；
（2）这购进遮阳帽a件，则购进太阳伞（750﹣a）件，根据购进太阳伞的数量不少于遮阳帽的2倍，列出一元一次不等式，解得a≤250，再设利润为W元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设遮阳帽的单价为x元，则太阳伞的单价为 （x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
答：遮阳帽的单价为10元；
（2）这购进遮阳帽a件，则购进太阳伞（750﹣a）件，
由题意得：750﹣a≥2a，
解得：a≤250，
设利润为W元，
由题意得：W＝（20﹣10）a+（20﹣15）（750﹣a）＝5a+3750，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
当a＝250，w有最大值＝5×250+3750＝5000，
此时，750﹣a＝750﹣250＝500，
答：该批发商需购进遮阳帽250件，太阳伞500件时，利润最大，最大利润为5000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
26．（12分）自主探究：
在课堂上，老师指导大家做以下活动：如图1，将已知矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段BC上，得到矩形AEFG，连接DG交AE于点H，在猜想线段HD与HG的关系时，大家一致认为HD＝HG，并且有两个小组给出如下的证明思路：
奋进组：要想证明HD＝HG，已经知道线段HG是直角三角形GAH的斜边，所以可以构造一个以HD为斜边的直角三角形，然后证明这两个三角形全等；
勤奋组：要想证明HD＝HG，可构造一个三角形，使得H、A分别在此三角形的两条边上，再证明HA是这个三角形的中位线；
操作思考：
（1）请你在图1中分别作出符合“奋进组”和“勤奋组”思路需要的辅助线，并将辅助线的做法写在下面的横线上．
奋进组： 过点D作DM⊥AE于点M ．
勤奋组： 过点D作DN∥AH交GA延长线于点N ．
（2）请你根据“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线对下面问题做出选择 C ．
A．“奋进组”的思路正确，“勤奋组”的思路不正确
B．“勤奋组”的思路正确，“奋进组”的思路不正确
C．“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确
D．“奋进组”和“勤奋组”的思路都不正确
变式证明：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点D落在线段CB的延长线上点E处，得到矩形AEFG，连接DG交EA的延长线于点H，如图2，那么线段HD与HG还相等吗？说明理由．
拓展延伸：
将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转使得点C落在线段CB的延长线上点F处，得到矩形AEFG，连接DG交FA的延长线于点H，且点C、A、G在同一直线上．如图3．问：线段HD与HG还相等吗？如果相等请直接写出的值；如果不相等，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】操作思考：（1）过点D作DM⊥AE于点M，过点D作DN∥AH交GA延长线于点N；
（2）C；
变式证明：HD＝HG，理由见解析；
拓展延伸：HD＝HG，．
【分析】操作思考：（1）由矩形得AD∥BC，得到∠AGB＝∠DAM，由AAS证明△ABG≌△DMA即可；
（2）结合两个小组的思路，都能证明HD＝HE，即可得到答案；
变式证明：过D作DK⊥GH交GH延长线于K，证明△ADK≌△EBA（AAS），可得DK＝AB，则DK＝AE，再证△DKH≌△GAH（AAS），得HD＝HG；
拓展延伸：连接BD交AC于P，由旋转的性质可知AC＝AF，BC＝GF，再证BC＝BF，则BC＝BF＝GF，GFCF，得∠GCF＝30°，得，然后证AH是△PDG的中位线，即可得出结论．
【解答】解：操作思考：
（1）符合“奋进组”思路需要的辅助线是：过点D作DM⊥AE于点M，如图1，
符合“勤奋组”思路需要的辅助线是：过点D作DN∥AH交GA延长线于点N，如图1﹣1，
故答案为：过点D作DM⊥AE于点M，过点D作DN∥AH交GA延长线于点N；
（2）“奋进组”中，∵DM⊥AE，
∴∠DMA＝90°，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，
∴∠B＝∠EAG＝90°，AD∥BC，
∴∠DAM＝∠AEB，
由旋转的性质得：AD＝AE，AB＝AG，
∴△ADM≌△EAB（AAS），
∴DM＝AB，
∴DM＝AG，
∵∠DHM＝∠GHA，∠DMH＝∠GAH＝90°，
∴△DMH≌△GAH（AAS），
∴HD＝HG；
“勤奋组”中，∵DN∥AH，
∴∠N＝∠EAG＝90°，
∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠EAN＝90°＝∠DAB，
∴∠DAN＝∠EAB，
∵∠N＝∠ABE＝90°，AD＝AE，
∴△ADN≌△AEB（AAS），
∴AN＝AB，
∴AN＝AG，
∵DN∥AH，
∴AH是△DNG的中位线，
∴HD＝HG；
综上所述，“奋进组”和“勤奋组”提出的思路和作出的辅助线都能证明结论，
∴“奋进组”和“勤奋组”的思路都正确，
故答案为：C；
变式证明：HD＝HG，理由如下：
过D作DK⊥GH交GH延长线于K，如图2，
则∠K＝90°，
∴∠ADK＝90°﹣∠DAK，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠EAG＝90°，
∴∠ABE＝∠GAH＝90°，∠EAB+∠DAK＝90°，
∴∠EAB＝90°﹣∠DAK，
∴∠EAB＝∠ADK，
∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转得到，
∴AD＝GF＝AE，AB＝AG，
在△ADK和△EAB中，
，
∴△ADK≌△EAB（AAS），
∴DK＝AB，
∴DK＝AE，
∵∠K＝∠GAH＝90°，∠DHK＝∠GHA，
∴△DKH≌△GAH（AAS），
∴HD＝HG；
拓展延伸：HD＝HG，，理由如下：
如图3，连接BD交AC于P，
∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转得到，
∴AC＝AF，BC＝GF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴BC＝BF，
∴BC＝BF＝GF，
∴GFCF，
在Rt△EFC中，∠AGF＝90°，
∴∠GCF＝30°，
即∠ACB＝30°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴tan∠BACtan60°，
∴，
∵AC＝AF，
∴∠ACF＝∠AFC＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PC＝PB＝PA，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∠ABP＝60°，
∴∠PBC＝∠AFC＝30°，△ABP是等边三角形，
∴PB∥AF，AB＝PA，
∵AB＝AG，
∴PA＝AG，
∴AH是△PDG的中位线，
∴HD＝HG．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和旋转变换的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
2．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
5．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
6．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
7．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
8．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
9．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
10．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
12．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
13．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
14．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
15．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
16．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
20．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
21．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
22．全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
25．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
26．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
27．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
28．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
29．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
30．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
31．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
32．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
33．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
34．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
35．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
36．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
37．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
38．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
39．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
40．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
41．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
42．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
43．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
44．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
45．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
46．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
同课章节目录