2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
2．（3分）若a与是同类二次根式，则a可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，13
4．（3分）在下列命题中，正确的是（　　）
A．在同圆中，大弧对大弦
B．在同圆中，大弦对大弧
C．在同圆中，等弧对等弦
D．在同圆中，等弦对等弧
5．（3分）下列命题中正确的是（　　）
A．有两条边分别相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．有两条边分别相等的两个直角三角形全等
D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
6．（3分）如图，在 ABCD中，下列结论错误的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
7．（3分）下列解析式中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝±（x＞0） D．y
8．（3分）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜﹣2
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）某校规定期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩．该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的学期数学总成绩为 　 　分．
10．（3分）从小到大排列的一组数据：﹣2，0，4，4，x，6，6，9的中位数是5，那么这组数据的众数是　 　．
11．（3分）要使有意义，则x的取值范围　 　．
12．（3分）平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，添加一个条件，使ABCD为菱形，你添加的条件可以是　 　．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、AD的中点，EF＝3，则AB的长度为　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　 　°．
15．（3分）如图，将直角三角形ABO，∠ABO＝90°，放入平面直角坐标系中，使OB边落在x轴上，将纸中AOB沿线段OA的垂直平分线MN对折，使O点落在点A的位置，B点落在B′的位置，若OB＝1，∠BAO＝30°，则点B′的坐标为　 　．
16．（3分）将1，，，按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是　 　．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（10分）计算：
（1）44；
（2）．
18．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD，CD．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
19．（10分）已知：平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF．
20．（10分）已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点（2，﹣1）．求平移后直线的解析式．
21．（12分）从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12．
（1）根据调查结果，三个厂家在广告中都称自己产品的使用寿命是8年，请分析他们各自的理由；
（2）你认为哪个厂家的产品使用寿命更长一些？说说你的理由．
2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠2 B．a＞2 C．a≥2 D．a≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义，则被开方数是非负数，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：a﹣2≥0，
解得：a≥2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2．（3分）若a与是同类二次根式，则a可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】先将各选项逐一进行化简成二次根式，再辨别、求解．
【解答】解：∵﹣3＜0，
∴不是二次根式，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵3，
∴选项C不符合题意；
∵2，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了最简二次根式的化简、辨别能力，关键是能准确运用二次根式的化简方法进行正确地化简、辨别．
3．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1，2 C．6，8，11 D．5，12，13
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵42+52＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵1+1＝2，
∴不能构成三角形，
故B不符合题意；
C、∵82+62＝100，112＝121，
∴82+62≠112，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵52+122＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（3分）在下列命题中，正确的是（　　）
A．在同圆中，大弧对大弦
B．在同圆中，大弦对大弧
C．在同圆中，等弧对等弦
D．在同圆中，等弦对等弧
【考点】命题与定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据弦和弧的关系判断即可．
【解答】解：A、在同圆中，大弧对大弦，说法错误，不符合题意；
B、在同圆中，大弦对大弧，说法错误，不符合题意；
C、在同圆中，等弧对等弦，说法正确，符合题意；
D、在同圆中，等弦对等弧，说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．（3分）下列命题中正确的是（　　）
A．有两条边分别相等的两个等腰三角形全等
B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．有两条边分别相等的两个直角三角形全等
D．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
【考点】命题与定理．
【答案】D
【分析】利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、有两条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等，故错误；
B、两腰对应相等且顶角相等的两个等腰三角形全等，故错误；
C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故错误；
D、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故正确，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解等腰三角形、直角三角形的性质及全等三角形的判定方法，难度不大．
6．（3分）如图，在 ABCD中，下列结论错误的是（　　）
A．∠ABD＝∠BDC B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AC⊥BD
【考点】平行四边形的性质．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的对边平行和平行线的性质可对A进行判断；根据平行四边形的对角相等可对B进行判断；根据平行四边形的对边相等可对A进行判断；根据平行四边形的对角线互相平分可对D进行判断．
【解答】解：A、在 ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC，所以A选项的结论正确；
B、在 ABCD中，∠BAD＝∠BCD，所以B选项的结论正确；
C、在 ABCD中，AB＝CD，所以C选项的结论正确；
D、在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，所以D选项的结论错误．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．
7．（3分）下列解析式中，y不是x的函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝±（x＞0） D．y
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；符号意识．
【答案】C
【分析】根据函数的定义可逐项判断求解．
【解答】解：A选项符合函数的定义，不符合题意，故错误；
B选项符合函数的定义，不符合题意，故错误；
C选项不符合函数的定义，符合题意，故正确；
D选项符合函数的定义，不符合题意，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的定义，一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们称y是x的函数，掌握函数的定义是解题的关键．
8．（3分）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x＞﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜﹣2
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据分式有意义分母不为0直接求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要考了函数自变量的取值范围，涉及分式时要使分式有意义，保证分母不为0．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）某校规定期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩．该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的学期数学总成绩为 　86　分．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】86．
【分析】设小红的学期数学总成绩为x分，根据期中考试成绩的40%与期末考试成绩的60%的和作为学生总成绩，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设小红的学期数学总成绩为x分，
由题意得：x＝80×40%+90×60%，
解得：x＝86，
即小红的学期数学总成绩为86分，
故答案为：86．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）从小到大排列的一组数据：﹣2，0，4，4，x，6，6，9的中位数是5，那么这组数据的众数是　6　．
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中位数的定义先求出x的值，再根据众数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵从小到大排列的一组数据：﹣2，0，4，4，x，6，6，9的中位数是5，
∴5，
解得：x＝6，
∵6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6；
故答案为：6．
【点评】此题考查了中位数和众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
11．（3分）要使有意义，则x的取值范围　x≥3　．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥3．
【分析】根据二次根式有意义，分式有意义的条件计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
∴x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义，分式有意义的条件，注意x≠﹣4不在x≥3的范围内．
12．（3分）平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，添加一个条件，使ABCD为菱形，你添加的条件可以是　AB＝AD　．
【考点】菱形的判定．
【专题】证明题；开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】添加的条件是AD＝AB，根据菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可推出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AD＝AB．
【点评】本题主要考查对菱形的判定的理解和掌握，能灵活运用菱形的判定进行推理是解此题的关键．此题是一个开放性题目，题型较好．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、AD的中点，EF＝3，则AB的长度为　12　．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】利用三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵E、F分别是AC、AD的中点，
∴AE＝EC，AF＝DF，
∴EF∥CD，CD＝2EF，
∵EF＝3，
∴CD＝6，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝12，
故答案为12．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2．则∠ACB＝　90　°．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】90．
【分析】由题意知AD＝AC＝3，求出AB的长，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°．
【解答】解：∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
∵BC＝4，
∴AC2+BC2＝32+42＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
故答案为90．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
15．（3分）如图，将直角三角形ABO，∠ABO＝90°，放入平面直角坐标系中，使OB边落在x轴上，将纸中AOB沿线段OA的垂直平分线MN对折，使O点落在点A的位置，B点落在B′的位置，若OB＝1，∠BAO＝30°，则点B′的坐标为　（1.5，0.5）　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】过B′点作B′C⊥AB于C．由折叠的性质可知，AB′＝OB＝1，∠B′AC＝30°，在Rt△ABO中，根据三角函数可求AB，在Rt△AB′C中，根据三角函数可求CB′，AC，进一步得到点B′的坐标．
【解答】解：过B′点作B′C⊥AB于C．
∵∠BAO＝30°，
∴∠AOB＝60°，
由折叠的性质可知，∠OAB＝60°，AB′＝OB＝1，
∴∠B′AC＝30°，
在Rt△ABO中，AB＝OB tan60°，
在Rt△AB′C中，CB′＝AB′ sin30°＝0.5，
AC＝AB′ cos30°＝0.5，
∵1+0.5＝1.5，
0.50.5，
∴点B′的坐标为（1.5，0.5）．
故答案为：（1.5，0.5）．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识点有：折叠的性质，三角函数，以及坐标与图形性质，综合性较强．
16．（3分）将1，，，按如图方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，3）与（2000，4）表示的两数之积是　2　．
【考点】规律型：数字的变化类；算术平方根．
【专题】猜想归纳；数感；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】首先计算出前5排和前1999排共有多少个数，然后除以4，根据得到的余数确定（6，3）与（2000，4），即可得到结果．
【解答】解：前5排共有1+2+3+4+5＝15个数，15÷4＝3……3，
∴第6排的第1个数为，
∴第6排的第3个数为，
前1999排共有1+2+3+4+……+19991999000，1999000÷4＝499750，
∴第2000排的第1个数为1，
∴第2000排的第4个数为，
∴2．
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根与规律型：数字的变化类，根据规律判断出是第几个数是解本题的关键．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（10分）计算：
（1）44；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4324
＝72；
（2）原式2
＝42
＝4．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD，CD．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】（1）135°；
（2）．
【分析】（1）根据勾股定理，可以求得AC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到△DAC的形状，从而可以求得∠DAB的度数；
（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理即可得到DE和AE的长，再根据勾股定理，即可得到BD的长．
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝2，
∵AD，CD，
∴AD2+AC2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝（）2＝CD2，
∴△DAC是直角三角形，∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°+45°＝135°，
即∠DAB的度数是135°；
（2）作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，
∵∠DAB＝135°，
∴∠DAE＝45°，
∵DE⊥AE，AD，
∴DE＝AE＝1，
∵AB＝2，
∴BE＝3，
∴BD，
即BD的长是．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（10分）已知：平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，BE＝DF，求证：AE∥CF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【答案】见解析．
【分析】先根据平行四边形的性质得出∠ADE＝∠CBF，由SAS定理得出△ADE≌△CBF，故可得出∠AED＝∠CFB，则由平行线的判定证得结论．
【解答】证明：平行四边形ABCD中，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴DE＝BF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的判定以及全等三角形的判定与性质，熟知平行四边形的对边互相平行且相等是解题的关键．
20．（10分）已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当时，求y的值；
（3）将所得函数图象平移，使它过点（2，﹣1）．求平移后直线的解析式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与几何变换．
【专题】待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据y﹣3与x成正比例，图象经过点（2，7），用待定系数法可求出函数关系式；
（2）将正比例函数的图象平移，过点（2，﹣1），同样可用待定系数法求．
【解答】解：（1）∵y﹣3与x成正比例，
∴y﹣3＝kx（k≠0）成正比例，
把x＝2时，y＝7代入，得7﹣3＝2k，k＝2；
∴y与x的函数关系式为：y＝2x+3，
（2）把x代入得：y＝2×（）+3＝2；
（3）设平移后直线的解析式为y＝2x+3+b，
把点（2，﹣1）代入得：﹣1＝2×2+3+b，
解得：b＝﹣8，
故平移后直线的解析式为：y＝2x﹣5．
【点评】本题要注意利用一次函数的性质，列出方程组，求出k值，从而求得其解析式，另外求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
21．（12分）从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12．
（1）根据调查结果，三个厂家在广告中都称自己产品的使用寿命是8年，请分析他们各自的理由；
（2）你认为哪个厂家的产品使用寿命更长一些？说说你的理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．
【专题】计算题；数据的收集与整理；运算能力．
【答案】（1）甲厂数据的众数是8，乙厂数据的平均数是8，丙厂数据的中位数是8，详见解答；
（2）乙．理由详见解答．
【分析】（1）计算出每个厂家的平均数、中位数和众数，然后可得结论；
（2）理由从平均数、众数、中位数的角度去分析，充分合理即可．
【解答】解：（1）甲厂家的平均数为6.5，中位数为7，众数为8；
乙厂家的平均数为8，中位数为7，众数为6；
丙厂家的平均数为7.375，中位数为8，众数为3；
所以三个厂家在广告中称自己的产品的使用寿命是8年，他们的理由分别是：甲厂数据的众数是8，乙厂数据的平均数是8，丙厂数据的中位数是8；
（2）乙，理由：乙厂产品平均使用寿命最高，且其中位数与甲相等与丙接近，故乙厂家的产品使用寿命更长一些．
【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．
考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
3．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．函数的概念
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
10．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
11．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
12．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
17．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
18．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
19．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
20．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
21．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
22．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
23．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
24．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
25．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．