2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x20
C．1+（x﹣1）（x+1）＝0 D．x （1﹣2x2）＝5x2
2．（3分）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
3．（3分）用配方法解方程x2﹣1＝6x，配方后的方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝9 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝10 D．（x+3）2＝9
4．（3分）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
5．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x的根的情况为（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
6．（3分）已知菱形ABCD的边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
7．（3分）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C． D．且
8．（3分）如图所示，昆明某小区规划在一个长20m，宽9m的矩形花园ABCD上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．如果使花园种植部分总面积为112m2，设小路宽为x m，那么x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）（9﹣2x）＝112 B．（20﹣2x）（9﹣2x）＝112
C．（20﹣2x）（9﹣x）＝112 D．（20﹣x）（9﹣x）＝112
9．（3分）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生（　　）名．
A．39 B．40 C．41 D．42
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值是（　　）
A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）方程2（x+2）＝x（x+2）的解为　 　．
12．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，那么x1+x2+x1x2＝　 　．
13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
14．（3分）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝　 　．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝mx﹣2恰好把矩形ABCO的面积分成相等的两部分，则m的值为　 　
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）解方程：
（1）36x2﹣12x+1＝0；
（2）；
（3）（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
17．（8分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
18．（9分）已知方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值．
（1）xx；
（2）；
（3）（x1+1）（x2+1）；
（4）；
（5）（x1﹣x2）2．
19．（9分）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，若按照这样的绿化速度，问：该市2023年底绿化面积能达到多少公顷？
20．（9分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+45＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
【续解】
21．（10分）小米又称粟米，古称粟，是中国古代的“五谷”之一，“人说山西好风光，地肥水美五谷香”、我省晋中、晋东南、阳泉盛产小米、某超市计划用12元/kg的价格购进一批优质小米，根据销售经验，当该小米的售价为14元/kg时，月销售量为980kg，每千克小米售价每增长1元，月销售量就相应减少30kg．
（1）若使这种小米的月销售量不低于800kg，每千克小米售价应不高于多少元？
（2）在实际销售过程中，每千克小米的进价为15元，而每千克小米的售价比（1）中最高售价减少了a%，月销售量比（1）中最低月销售量800kg增加了5a%，结果该店销售该小米的利润达到了4000元，求在实际销售过程中每千克小米的价格．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
23．（11分）[感知]如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF；（不要求证明）
[拓展]如图②，点B、C在∠MAN的边上AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
[应用]如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2 BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，则△ABE与△CDF的面积之和为 　 　．（需写出解答过程）
2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x20
C．1+（x﹣1）（x+1）＝0 D．x （1﹣2x2）＝5x2
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可．
【解答】解：A．当a＝0，b≠0时，方程ax2+bx+c＝0是一元一次方程，不符合题意；
B．方程x20是分式方程，不符合题意；
C．方程1+（x﹣1）（x+1）＝0是一元二次方程，符合题意；
D．方程x （1﹣2x2）＝5x2是一元三次方程，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2．（3分）将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2 B．4x，﹣2 C．﹣4x，2 D．3x2，2
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】C
【分析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
【解答】解：∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
3．（3分）用配方法解方程x2﹣1＝6x，配方后的方程是（　　）
A．（x﹣3）2＝9 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝10 D．（x+3）2＝9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】先把方程变形为x2﹣6x＝1，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝1，
x2﹣6x+9＝10，
（x﹣3）2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键．
4．（3分）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，则2t2﹣2022t值为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣6 D．﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出t2﹣1011t＝﹣3，再将其代入2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）中，即可求出结论．
【解答】解：∵t为一元二次方程x2﹣1011x+3＝0的一个解，
∴t2﹣1011t+3＝0，
∴t2﹣1011t＝﹣3，
∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键．
5．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程2☆x的根的情况为（　　）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意所给的运算得出一元二次方程，然后根据根的判别式进行解答即可．
【解答】解：根据题2☆x的即2x2﹣2x，
整理得4x2﹣4x+1＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
6．（3分）已知菱形ABCD的边长为方程x2﹣7x+10＝0的一个根，有一条对角线为5，则这个菱形的周长为（　　）
A．8 B．20 C．8或20 D．10
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】解方程得出x＝2或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝2时，2+2＝4，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞2，即可得出菱形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣7x+10＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣5）＝0，
解得：x＝2或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝2时，2+2＝4，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞2，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．
7．（3分）关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．且 B．且
C． D．且
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的二次项系数不为零，Δ＝b2﹣4ac≥0进行求解即可得到答案
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（2m﹣1）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴2m﹣1≠0，Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴2m﹣1≠0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×（2m﹣1）×1≥0，
∴且，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数不等于零以及根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
8．（3分）如图所示，昆明某小区规划在一个长20m，宽9m的矩形花园ABCD上修建3条同样宽的景观小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．如果使花园种植部分总面积为112m2，设小路宽为x m，那么x满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）（9﹣2x）＝112 B．（20﹣2x）（9﹣2x）＝112
C．（20﹣2x）（9﹣x）＝112 D．（20﹣x）（9﹣x）＝112
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题目中的数据和图形，可以列出相应的方程．
【解答】解：由图可得，
（20﹣2x）（9﹣x）＝112，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
9．（3分）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生（　　）名．
A．39 B．40 C．41 D．42
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设全班共有学生x名，则每名学生需写（x﹣1）份毕业留言，根据全班共写了纪念留言1640份，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设全班共有学生x名，则每名学生需写（x﹣1）份毕业留言，
依题意得：x（x﹣1）＝1640，
解得：x1＝41，x2＝﹣40（不合题意，舍去）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，则a的值是（　　）
A．4 B．2或﹣2 C．4或﹣4 D．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】将方程的根代入求解即可得到答案；
【解答】解：∵x2+x+a2﹣18＝0的一个根是1，
∴12+1+a2﹣18＝0，
解得：a＝±4，
故选：C．
【点评】本题考查根据一元二次方程的根求参数，解题的关键是将根代入列式求解．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）方程2（x+2）＝x（x+2）的解为　x1＝2，x2＝﹣2　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】因式分解；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先移项，将一元二次方程整理为一般式，然后再用提取公因式法进行求解．
【解答】解：原方程可化为：x（x+2）﹣2（x+2）＝0；
（x+2）（x﹣2）＝0；
x+2＝0或x﹣2＝0；
解得：x1＝2，x2＝﹣2．
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．（3分）若x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，那么x1+x2+x1x2＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】由于x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，所以直接利用根与系数的关系即可得到两根之和与两根之积，然后代入计算就可以求出x1+x2+x1x2的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x﹣7＝0的两根，
∴x1+x2＝5，x1 x2＝﹣7，
x1+x2+x1x2＝5+（﹣7）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根x1，x2与系数的关系，x1+x2，x1 x2．
13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3＝0是一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义可得，进而得出m的值．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3＝0是一元二次方程，
∴，
∴，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
14．（3分）如图，已知A，B，C是数轴上异于原点O的三个点，且点O为AB的中点，点B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，则x＝　6　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；数轴．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可以知道O是原点，且O是AB的中点，就有A、B表示的数互为相反数，就可以表示出A点的数，再根据数轴两点间的距离列出方程求出其值即可．
【解答】解：∵O是原点，且是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵B点表示的数是x，
∴A点表示的数是﹣x．
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC，
∴（x2﹣3x）﹣x＝x﹣（﹣x），
解得：x1＝0，x2＝6．
∵B异于原点，
∴x≠0，
∴x＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了数轴与一元二次方程运用及一元二次方程的解法的运用，解答时用代数式表示出各个点表示的数是关键．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝mx﹣2恰好把矩形ABCO的面积分成相等的两部分，则m的值为　　
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与x轴及AB的交点横坐标，结合直线y＝mx﹣2恰好把矩形ABCO的面积分成相等的两部分，可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：当y＝0时，mx﹣2＝0，
解得：x；
当y＝4时，mx﹣2＝4，
解得：x．
∵直线y＝mx﹣2恰好把矩形ABCO的面积分成相等的两部分，
∴6，
解得：m，
经检验，m是原方程的解，且符合题意．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解分式方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及直线恰好把矩形的面积分成相等的两部分，找出关于m的分式方程是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（9分）解方程：
（1）36x2﹣12x+1＝0；
（2）；
（3）（x﹣5）2＝2（5﹣x）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2），；
（3）x1＝5，x2＝3．
【分析】（1）方程可变为（6x）2﹣12x+1＝0，用因式分解法即可求解；
（2）将方程去分母整理得x2+6x﹣12＝0，利用公式法即可求解；
（3）先移项，用因式分解法求解即可；
【解答】解：（1）方程可变为：
（6x）2﹣12x+1＝0，
∴（6x﹣1）2＝0，
∴6x﹣1＝0，
解得；
（2）去分母整理得，x2+6x﹣12＝0，
a＝1，b＝6，c＝﹣12，
∴Δ＝62﹣4×1×（﹣12）＝84＞0，
∴，
∴，；
（3）方程移项得，（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
因式分解得，（x﹣5）（x﹣3）＝0，
解得x1＝5，x2＝3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
17．（8分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】数字问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的表示方法求得两位数即可．
【解答】解：设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2﹣9）．
∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，
解得x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）．
∴x2﹣9＝7，
∴10（x2﹣9）+x＝74．
答：原两位数为74．
【点评】考查一元二次方程的应用；得到两个两位数之间的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
18．（9分）已知方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值．
（1）xx；
（2）；
（3）（x1+1）（x2+1）；
（4）；
（5）（x1﹣x2）2．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）5；
（2）﹣4；
（3）；
（4）；
（5）6．
【分析】由方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1 x2，再将算式变形为只含两根之和与两根之积的形式，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1 x2，
（1）（x1+x2）2﹣2x1 x2＝4+1＝5；
（2）
＝﹣4；
（3）（x1+1）（x2+1）
＝x1x2+x1+x2+1
＝21，
；
（4）
；
（5）（x1﹣x2）2
＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了根与系数的关系及完全平方公式，属于基础题，关键是将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
19．（9分）某城市2020年底已有绿化面积500公顷，经过努力，绿化面积以相同的增长率逐年增加，到2022年底增加到605公顷，若按照这样的绿化速度，问：该市2023年底绿化面积能达到多少公顷？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】该市2023年底绿化面积能达到665.5公顷．
【分析】先根据题意列出一元二次方程，求出增长率，再计算223年的产量．
【解答】解：设绿化面积的年平均增长率是x，
由题意得：500（1+x）2＝605，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1 （不合题意，舍去），
所以2023年底绿化面积为：605+605×10%＝665.5（公顷），
答：该市2023年底绿化面积能达到665.5公顷．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出相等关系是解题的关键．
20．（9分）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+45＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2
原方程可化为：t2+4t﹣5＝0
【续解】
【考点】无理方程；解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】换元法；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t﹣5＝0得到t1＝﹣5，t2＝1，再分别解方程5和方程1，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，
t+5＝0或t﹣1＝0，
∴t1＝﹣5，t2＝1，
当t＝﹣5时，5，此方程无解；
当t＝1时，1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣1；
经检验，原方程的解为x1＝﹣1，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
21．（10分）小米又称粟米，古称粟，是中国古代的“五谷”之一，“人说山西好风光，地肥水美五谷香”、我省晋中、晋东南、阳泉盛产小米、某超市计划用12元/kg的价格购进一批优质小米，根据销售经验，当该小米的售价为14元/kg时，月销售量为980kg，每千克小米售价每增长1元，月销售量就相应减少30kg．
（1）若使这种小米的月销售量不低于800kg，每千克小米售价应不高于多少元？
（2）在实际销售过程中，每千克小米的进价为15元，而每千克小米的售价比（1）中最高售价减少了a%，月销售量比（1）中最低月销售量800kg增加了5a%，结果该店销售该小米的利润达到了4000元，求在实际销售过程中每千克小米的价格．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）20元；
（2）19元．
【分析】（1）设小米售价为x元/kg，根据这种小米的月销售量不低于800kg，可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（2）利用该店销售该小米的利润＝每千克的销售利润×月销售量，可得出关于a的一元二次方程，解之可得出a的值，将其符合题意的值代入20（1﹣a%）中，即可求出结论．
【解答】解：（1）设小米售价为x元/kg，
根据题意得：980﹣30（x﹣14）≥800，
解得：x≤20，
∴x的最大值为20．
答：每千克小米售价应不高于20元；
（2）根据题意得：[20（1﹣a%）﹣15]×800（1+5a%）＝4000，
整理得：a2﹣5a＝0，
解得：a1＝5，a2＝0（不符合题意，舍去），
∴20（1﹣a%）＝20×（1﹣5%）＝19．
答：在实际销售过程中每千克小米的价格为19元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
【考点】根的判别式；等边三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝（k﹣3）2≥0可得答案；
（2）利用因式分解法可得（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0，再进一步求解可得；
（3）根据等边三角形的三边相等得出关于k的方程，解之可得．
【解答】解：（1）依题意，得Δ＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2+2k+1﹣8k+8
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）将方程左边因式分解得（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0，
则x﹣2＝0或x﹣（k﹣1）＝0，
解得x1＝2，x2＝k﹣1；
（3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，
∴k﹣1＝2．
∴k＝3．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程与一元二次方程判别式的知识．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的个数与判别式的关系及因式分解法解一元二次方程及等边三角形的性质．
23．（11分）[感知]如图①，点E在正方形ABCD的BC边上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF；（不要求证明）
[拓展]如图②，点B、C在∠MAN的边上AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
[应用]如图③，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝2 BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面积为15，则△ABE与△CDF的面积之和为 　10　．（需写出解答过程）
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】拓展：见解析部分；
应用：10．
【分析】拓展：利用∠1＝∠2＝∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4＝∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF；
应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．
【解答】拓展：证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BEA＝∠AFC，
∵∠1＝∠ABE+∠3，∠3+∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABE+∠3，
∴∠4＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
应用：解：∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD＝2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，
∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，
∵△ABC的面积为15，
∴△ABD与△ADC面积分别为：5，10；
∵∠1＝∠2，
∴∠BEA＝∠AFC，
∵∠1＝∠ABE+∠3，∠3+∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ABE+∠3，
∴∠4＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴△ABE与△CAF面积相等，
∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，
∴△ABE与△CDF的面积之和为10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4＝∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
6．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
7．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
13．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
14．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
15．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
16．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
17．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．