2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程：（1）3x2+7＝0；（2）（x﹣2）（x+3）＝x2﹣1；（3）ax2+bx+c＝0；（4）x23；（5）x2+54＝0；（6）2x2x＝0．其中一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）方程x（x﹣5）＝0的根是（　　）
A．5 B．﹣5，5 C．0，﹣5 D．0，5
3．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+a＝0的根，则a＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
4．（3分）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
5．（3分）顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
6．（3分）点（3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
7．（3分）已知a，b是方程x2﹣6x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1
C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
9．（3分）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（　　）
A．（40+2x）（26+x）＝40×26
B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26
D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为直线x＝m，则它与直线y＝m的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或1
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在二次函数y＝x2+2x﹣3中，当﹣3＜x＜3时y的取值范围为 　 　．
12．（3分）若方程m2x|m|+1﹣3x＝9（x2﹣3）+24是关于x的一元二次方程，那么m的值为 　 　．
13．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）下列表格是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：则二次函数y＝ax2+bx+c中当x＝2时，y＝　 　
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y＝ax2+bx+c … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
15．（3分）当﹣2≤x≤2，则函数y＝x2﹣2x，最大值 　 　，最小值 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（16分）解方程：
（1）x2﹣6x＝﹣5；
（2）2x2﹣5x+1＝0；
（3）x2+4x＝5（x+4）．
17．（6分）已知，关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若a，b是此方程的两个根，且满足（a2﹣2a+2）（2b2﹣4b﹣1）＝3，求m的值．
18．（7分）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）．
综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5．
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．
19．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）和点B（3，0）且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式．
（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在x轴上，并写出平移后的解析式．
20．（9分）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，经发现，一条生产线最大的产能是1500万个/天，若增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能的同时又要节省投入的条件下，应该增加几条生产线？
21．（9分）在端午节前夕，两位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华提出的问题．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a向下翻折在平面上，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，结合图象，分别求出图形M与线段AB恰好①没有公共点；②有两个公共点；③有三个公共点时，a的取值范围．
23．（11分）如图，直线l：yx+1与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值．
2024—2025学年上学期河南初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列方程：（1）3x2+7＝0；（2）（x﹣2）（x+3）＝x2﹣1；（3）ax2+bx+c＝0；（4）x23；（5）x2+54＝0；（6）2x2x＝0．其中一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：（1）3x2+7＝0是一元二次方程；
（2）（x﹣2）（x+3）＝x2﹣1，方程整理，得x﹣5＝0，是一元一次方程；
（3）ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程；
（4）x23是分式方程；
（5）x2+54＝0不是一元二次方程；
（6）2x2x＝0是一元二次方程．
所以其中一元二次方程的个数是2个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
2．（3分）方程x（x﹣5）＝0的根是（　　）
A．5 B．﹣5，5 C．0，﹣5 D．0，5
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
3．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+2x+a＝0的根，则a＝（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根，
∴12+2+a＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（3分）利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　）
A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7，
∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，
∴（x﹣3）2＝2，
∴m＝3，n＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键．
5．（3分）顶点为（﹣2，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣2x2的图象相同的抛物线是（　　）
A．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 B．y＝2（x+2）2+1
C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：根据题意得y＝﹣2（x+2）2+1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的知识解答．
6．（3分）点（3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵点（3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＜0）上，
∴点（3，y1）关于对称轴x＝2的对称点是（1，y1），
∵﹣2＜0＜1＜2，
∴y2＜y3＜y1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出抛物线的对称轴是解题的关键．
7．（3分）已知a，b是方程x2﹣6x﹣5＝0的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据根与系数的关系得到a+b＝6，再利用通分和约分得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣6x﹣5＝0的两个实数根，
∴a+b＝6，
∴
．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．
8．（3分）将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　）
A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1
C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式，ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）判断即可．
【解答】解：将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次项、一次项系数和常数项分别为：2x2，3，﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
9．（3分）如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（　　）
A．（40+2x）（26+x）＝40×26
B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26
D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题；应用意识．
【答案】D
【分析】设道路的宽为x m，将6块草地平移为一个长方形，长为（40﹣2x）m，宽为（26﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
【解答】解：设道路的宽为x m，由题意得：
（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3图象的对称轴为直线x＝m，则它与直线y＝m的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由抛物线对称轴方程得到b＝2m．则y＝﹣x2+2mx+3，然后求m＝﹣x2+2mx+3的根的判别式符号即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝m，
∴m．
∴b＝2m．
由y＝﹣x2+bx+3知：y＝﹣x2+2mx+3．
当y＝m时，m＝﹣x2+2mx+3，即x2﹣2mx﹣3+m＝0．
此时，Δ＝4m2﹣4（﹣3+m）
＝4（m）2+11．
∵4（m）2≥0，
∴4（m）2+11＞0，
∴Δ＝4m2﹣4（﹣3+m）＞0．
∴m＝﹣x2+2mx+3有两个不相等的实数根，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+3与直线y＝m的交点个数为2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，根据题意得到b与m的数量关系是解题的突破口．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在二次函数y＝x2+2x﹣3中，当﹣3＜x＜3时y的取值范围为 　﹣4≤y＜12　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】﹣4≤y＜12．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当﹣3＜x＜3时y的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，当x＝1有最小值﹣4，
∴当x＝﹣3时，y＝12，当x＝3时，y＝0，
∵﹣3＜x＜3，
∴y的取值范围为﹣4≤y＜12，
故答案为：﹣4≤y＜12
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（3分）若方程m2x|m|+1﹣3x＝9（x2﹣3）+24是关于x的一元二次方程，那么m的值为 　±1或0　．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】±1或0．
【分析】根据一元二次方程的定义得到m2＝0或|m|+1＝1或|m|+1＝0，由此求得m的取值范围．
【解答】解：∵方程m2x|m|+1﹣3x＝9（x2﹣3）+24是关于x的一元二次方程，
∴m2＝0或|m|+1＝1或|m|+1＝0，
解得m＝0或m＝±1．
故答案为：±1或0．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c都是常数，且a≠0）．
13．（3分）关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是　m且m≠﹣1　．
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】m且m≠﹣1．
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣4x+3＝0有实数根，
∴，
解得：m且m≠﹣1．
故答案为：m且m≠﹣1．
【点评】本题考查了一次二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
14．（3分）下列表格是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值：则二次函数y＝ax2+bx+c中当x＝2时，y＝　﹣8　
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y＝ax2+bx+c … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
【考点】二次函数的图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】由表格可知，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，可求对称轴x＝1，再利用对称性求出横坐标为2的对称点（0，﹣8）即可．
【解答】解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，
根据二次函数图象的对称性，
（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，
对称轴为x1，顶点（1，﹣9），
根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，即y＝﹣8．
【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，l利用二次函数的对称性解答．
15．（3分）当﹣2≤x≤2，则函数y＝x2﹣2x，最大值 　8　，最小值 　﹣1　．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】8，﹣1．
【分析】先判断函数y＝x2﹣2x的开口方向和对称轴，再判断其增减性及最值，即可解答问题；
【解答】解：函数y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣1），
∴当x＝1时，函数有最小值﹣1，
∵x＝﹣2时，y＝x2﹣2x＝4+4＝8，
∴当﹣2≤x≤2，则函数y＝x2﹣2x，最大值8，最小值﹣1．
故答案为：8，﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的最值，需牢记二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等知识．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（16分）解方程：
（1）x2﹣6x＝﹣5；
（2）2x2﹣5x+1＝0；
（3）x2+4x＝5（x+4）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝1．
（2）x1，x2．
（3）x1＝﹣4，x2＝5．
【分析】（1）先移项，然后分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
（2）利用公式法求解即可；
（2）先移项，然后提公因式分解因式，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝5，x2＝1．
（2）2x2﹣5x+1＝0，
这里a＝2，b＝﹣5，c＝1，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，
∴x，
∴x1，x2．
（3）x2+4x＝5（x+4），
x（x+4）﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
17．（6分）已知，关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若a，b是此方程的两个根，且满足（a2﹣2a+2）（2b2﹣4b﹣1）＝3，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣m）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据方程解的定义得到a2﹣2a﹣m＝0，b2﹣2b﹣m＝0，则a2﹣2a＝m，b2﹣2b＝m，所以（m+2）（2m﹣1）＝3，再解关于m的一元二次方程，然后利用（1）中的条件确定m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣m）≥0，
解得m≥﹣1；
（2）∵a，b是此方程的两个根，
∴a2﹣2a﹣m＝0，b2﹣2b﹣m＝0，
∴a2﹣2a＝m，b2﹣2b＝m，
∴（m+2）（2m﹣1）＝3，
整理得2m2+3m﹣5＝0，解得m1，m2＝1，
∵m≥﹣1，
∴m的值为1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．
18．（7分）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）．
综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5．
请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；绝对值；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝2，x2＝﹣1．
【分析】分两种情况：①当x+1≥0时，即x≥﹣1时，②当x+1＜0时，即x＜﹣1时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣|x+1|﹣1＝0，
分两种情况：
①当x+1≥0时，即x≥﹣1时，
原方程可化为：x2﹣（x+1）﹣1＝0，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1；
②当x+1＜0时，即x＜﹣1时，
原方程可化为：x2+（x+1）﹣1＝0，
整理得：x2+x＝0，
解得x3＝﹣1（舍去），x4＝0（舍去），
综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，绝对值，一元二次方程的解，分两种情况进行计算是解题的关键．
19．（7分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）和点B（3，0）且过点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线解析式．
（2）请写出一种平移的方法，使这条抛物线平移后的顶点落在x轴上，并写出平移后的解析式．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3．
（2）将抛物线向上平移1个单位，y＝（x﹣2）2．
【分析】（1）由抛物线经过（1，0），（3，0）可得抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），将（0，﹣3）代入解析式求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0），
∴抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）（x﹣3）得﹣3＝3a，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），
∴将抛物线向上平移1个单位后抛物线顶点落在x轴上，
此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的交点式与顶点式，掌握二次函数图象平移的规律．
20．（9分）随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，经发现，一条生产线最大的产能是1500万个/天，若增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能的同时又要节省投入的条件下，应该增加几条生产线？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】4．
【分析】设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50x）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设应该增加x条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50x）万件/天，
依题意，得：（1+x）（1500﹣50x）＝6500，
解得：x1＝4，x2＝25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴x＝4．
答：应该增加4条生产线．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（9分）在端午节前夕，两位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华提出的问题．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】方程思想；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设粽子的定价为x元/个，则每天可销售（50010）个，根据每日的利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，再由物价局规定，售价不能超过进价的240%，即可确定x的值，此题得解．
【解答】解：设粽子的定价为x元/个，则每天可销售（50010）个．
根据题意得：（x﹣2）（50010）＝800，
解得：x1＝4，x2＝6．
∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%＝4.8（元），
∴x2＝6不符合题意，舍去．
答：应定价4元/个．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a向下翻折在平面上，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，结合图象，分别求出图形M与线段AB恰好①没有公共点；②有两个公共点；③有三个公共点时，a的取值范围．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；
（2）①图形M与线段AB没有公共点，y＝a要在AB线段的下方，则a＜﹣3；②图形M与线段AB恰有两个公共点y＝a要在y＝1的上方，则a＞1且a＝﹣3；③图形M与线段AB恰有三个公共点y＝a＝1，当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3沿着y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有三个公共点．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴A（0，﹣3），
∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
∴B（4，﹣3）；
（2）∵A（0，﹣3），
∴当a＜﹣3时，图形M与线段AB恰好没有公共点；
当a＝1时，y＝x2﹣2x﹣3沿着y＝1翻折，此时，图形M与线段AB恰有三个公共点．
∴﹣3＜a≤1，有三个交点．
∵图形M与线段AB恰有两个公共点，
∴a＝﹣3或a＞1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．
23．（11分）如图，直线l：yx+1与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝x2x+1．
（2）3．
【分析】（1）由yx+1可得点B，C坐标，再通过待定系数法求解．
（2）设P（m，m2m+1），分别用含m代数式表示点E，D的坐标，从而可得PD+PE与m的关系，进而求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入yx+1得y＝1，
将y＝0代入yx+1得0x+1，
解得x＝2，
∴B（2，0）、C（0，1）．
∵B、C在抛物线解y＝x2+bx+c上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2x+1．
（2）设P（m，m2m+1），
∵PD∥m轴，PE∥m轴，点D，E都在直线yx+1上，
∴E（m，m+1），D（﹣2m2+5m，m2m+1），
∴PD+PE＝﹣2m2+5m﹣m+[（m+1）﹣（m2m+1）]
＝﹣3m2+6m
＝﹣3（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，PD+PE的最大值是3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握求二次函数最值的方法．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
13．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
14．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
17．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
19．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．