2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≠0 D．x＞﹣1且x≠0
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　）
A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6）
C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）
3．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2
C．k＞﹣2 且k≠﹣1 D．k＜﹣1
4．（3分）下列各组数据中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，3 B．4，6，8 C．5，12，13 D．1，1，
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
6．（3分）如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c．则△GFC的面积是（　　）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于直线x＝1对称
B．函数的最小值是﹣4
C．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0的两个根
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC＝30°，点P是线段AB上任意一点，若AB＝4，则CP的长不可能为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
9．（3分）如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AB⊥CD B．∠AOB＝4∠ACD
C． D．PO＝PD
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：（）﹣1﹣|1|＝　 　．
12．（3分）写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式 　 　．
13．（3分）函数y＝（x﹣5）2的图象是由函数y＝x2的图象向　 　平移　 　个单位长度得到的；抛物线y（x+3）2可以通过抛物线　 　向　 　平移　 　个单位长度得到．
14．（3分）已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的边长为　 　．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b上有一点P（﹣1，3），回答下列问题：
（1）关于x的方程kx+b＝3的解是　 　；
（2）关于x的不等式kx+b＞3的解是　 　；
（3）关于x的不等式kx+b﹣3＜0的解是　 　．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6．点D在AB边上（不包括端点），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF．那么线段EF的最小值是 　 　．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（5分）（1）；
（2）（32）（32）；
（3）；
（4）（46）÷2．
18．（20分）解方程：
（1）x2﹣（k+3）x+2k+2＝0（因式分解法）；
（2）2y2+8y﹣1＝0（配方法）．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围；
（3）当时，求y得取值范围．
21．（11分）中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国．某茶店用8000元购进A种茶叶若干盒，用7800元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，已知B种茶叶的每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.3倍．
（1）A，B两种茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种茶叶共150盒，且A种茶叶的数量不少于B种茶叶的2倍．若A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价为每盒400元，则A，B两种茶叶分别购进多少盒时可使获得的利润最大？最大利润是多少？
2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≠0 D．x＞﹣1且x≠0
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】A
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【解答】解：由题意得：x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式、分式有意义的条件及函数，掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　）
A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6）
C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】根据题意可知x2+mx+n可分解为（x﹣5）（x+6）从而可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，
∴x2+mx+n＝（x﹣5）（x+6）
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是正确理解题意进行因式分解，本题属于基础题型．
3．（3分）已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2
C．k＞﹣2 且k≠﹣1 D．k＜﹣1
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝22﹣4（k+1） （﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k+1≠0且Δ＝22﹣4（k+1） （﹣1）＞0，
解得k＞﹣2且k≠﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（3分）下列各组数据中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，3 B．4，6，8 C．5，12，13 D．1，1，
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、42+32＝52，故是直角三角形，故错误；
B、42+62≠82，故不是直角三角形，故正确；
C、52+122＝132，故是直角三角形，故错误；
D、12+12＝（）2，故是直角三角形，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
6．（3分）如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c．则△GFC的面积是（　　）
A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】由翻折变换可知，AB＝BF，又知∠BAF＝∠AFC，在Rt△FCG中，解得CG，求出△GFC的面积．
【解答】解：由题意可知，
AB＝BF，∠BAF＝∠AFC＝45°，
又知AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm，
故FC＝2，
在Rt△FCG中，
CG＝FC＝2，
故△GFC的面积CG×FC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．图象关于直线x＝1对称
B．函数的最小值是﹣4
C．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0的两个根
D．当x＜1时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可．
【解答】解：图象关于直线x＝1对称，A说法正确，
故不符合题意；
函数的最小值是﹣4，B说法正确，
故不符合题意；
﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，C说法正确，
故不符合题意；
当x＜1时，y随x的增大而减小，D说法错误，
故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键．
8．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC＝30°，点P是线段AB上任意一点，若AB＝4，则CP的长不可能为（　　）
A．3 B．2 C． D．1
【考点】圆周角定理．
【答案】D
【分析】连接BC，由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由∠BAC＝30°得出BCAB＝2，求出ACBC＝2，当CP⊥AB时，CP最小，当P与A重合时，CP最大，求出CP的取值范围即可．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴BCAB＝2，
∴ACBC＝2，
当CP⊥AB时，CP最小AC；
当P与A重合时，CP最大＝AC＝2；
∴CP≤2，
∴CP的长不可能为1；
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，求出CP的取值范围是解决问题的关键．
9．（3分）如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AB⊥CD B．∠AOB＝4∠ACD
C． D．PO＝PD
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【答案】D
【分析】根据垂径定理及圆周角定理可直接解答．
【解答】解：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，
∴AB⊥CD，，△AOB是等腰三角形，
∴∠AOB＝2∠AOP，
∵∠AOP＝2∠ACD，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2×2∠ACD＝4∠ACD．
故选：D．
【点评】本题主要利用平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧的性质选择．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；函数思想．
【答案】C
【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．
【解答】解：设正方形的边长为a，
当P在AB边上运动时，yax；
当P在BC边上运动时，ya（2a﹣x）ax+a2；
当P在CD边上运动时，ya（x﹣2a）ax﹣a2；
当P在AD边上运动时，ya（4a﹣x）ax+2a2，
大致图象为：
故选：C．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算：（）﹣1﹣|1|＝　4　．
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣（1）
＝31
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了实数的运算，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3分）写出一个图象开口向上，顶点在x轴上的二次函数的解析式 　y＝（x﹣1）2　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由顶点式y＝a（x﹣h）2+k，可知要使顶点在x轴上，即当k＝0，a≠0时，即满足题意．
【解答】解：抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k
∵由开口向上，
∴a＞0．
∵顶点在x轴上．
∴k＝0．
满足这两个条件即可．
答案不唯一，如：y＝（x﹣1）2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．
13．（3分）函数y＝（x﹣5）2的图象是由函数y＝x2的图象向　右　平移　5　个单位长度得到的；抛物线y（x+3）2可以通过抛物线　yx2　向　左　平移　3　个单位长度得到．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别确定出两个函数的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加解答；
确定出抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减解答．
【解答】解：∵y＝（x﹣5）2的顶点坐标为（5，0），y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴函数y＝（x﹣5）2的图象是由函数y＝x2的图象向右平移5个单位长度得到；
∵抛物线y（x+3）2的顶点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线y（x+3）2可以通过抛物线yx2向左平移3个单位长度得到．
故答案为：右，5；yx2，左，3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
14．（3分）已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的边长为　5cm　．
【考点】菱形的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的另一条对角线的长，然后根据菱形的两条对角线互相垂直平分和勾股定理计算菱形的边长．
【解答】解：菱形的另一条对角线的长8，
所以菱形的边长5（cm）．
故答案为5cm．
【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
15．（3分）如图，直线y＝kx+b上有一点P（﹣1，3），回答下列问题：
（1）关于x的方程kx+b＝3的解是　x＝﹣1　；
（2）关于x的不等式kx+b＞3的解是　x＞﹣1　；
（3）关于x的不等式kx+b﹣3＜0的解是　x＜﹣1　．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣1；（2）x＞﹣1；（3）x＜﹣1．
【分析】直接根据函数图象进行解答即可．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，3）直线y＝kx+b的图象上一点，
∴当x＝﹣1时，y＝kx+b＝3，
∴关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1；
（2）由函数图象可知，当x＞﹣1时函数图象在3的上方，
∴不等式kx+b＞3的解集是x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1；
（3）由函数图象可知，当x＜﹣1时函数图象在3的下方，
∴不等式kx+b＜的解集是x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6．点D在AB边上（不包括端点），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连接EF．那么线段EF的最小值是 　　．
【考点】勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】如图，过点C作CM⊥AB于点M．根据勾股定理的逆定理，得∠ACB＝90°．由DE⊥AC，DF⊥BC，得平行四边形ECFD是矩形．根据矩形的性质，得EF＝CD．根据垂线段最短，当EF＝CM时，EF最短，进而解决此题．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB于点M．
∵AB＝10，BC＝8，AC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2．
∴∠ACB＝90°．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠AED＝90°，∠DFB＝90°．
∴DE∥CF，CE∥DF．
∴四边形ECFD是平行四边形．
∵∠C＝90°，
∴平行四边形ECFD是矩形．
∴EF＝CD．
∵C到AB的垂线段最短，
∴当EF＝CM时，EF最短．
∵，
∴CM．
∴线段EF的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短，熟练掌握平行线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短是解决本题的关键．
三．解答题（共5小题，满分52分）
17．（5分）（1）；
（2）（32）（32）；
（3）；
（4）（46）÷2．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）22；
（2）6；
（3）2；
（4）23．
【分析】（1）先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可；
（2）用平方差公式计算即可；
（3）化为最简二次根式，去括号，再合并同类二次根式；
（4）先算除法，再化为最简二次根式即可．
【解答】解：（1）原式＝2
＝22；
（2）原式＝18﹣12
＝6；
（3）原式＝235
2；
（4）原式＝4262
＝23．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18．（20分）解方程：
（1）x2﹣（k+3）x+2k+2＝0（因式分解法）；
（2）2y2+8y﹣1＝0（配方法）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝k+1，x2＝2；
（2）y1＝2，y2＝2．
【分析】（1）利用因式分解法把原方程转化为x﹣（k+1）＝0或x﹣2＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用配方法得到（y+2）2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）[x﹣（k+1）]（x﹣2）＝0，
x﹣（k+1）＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝k+1，x2＝2；
（2）y2+4y，
y2+4y+44，
（y+2）2，
y+2＝±，
所以y1＝2，y2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得∠DOC＝90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键
20．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围；
（3）当时，求y得取值范围．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由于已知抛物线与x轴的两交点坐标，则可设交点式y＝ax（x﹣2），然后把（1，﹣1）代入求出a即可；
（2）根据图象，找出抛物线在x轴上所对应的自变量的范围即可；
（3）观察函数图象即可得到﹣1≤y≤0．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣2），
把（1，﹣1）代入得a 1 （1﹣2）＝﹣1，解得a＝1，
所以二次函数解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x；
（2）当x＜0或x＞2时，y＞0；
（3）y＝（x﹣1）2﹣1，
当x＝1时时，y有最小值﹣1；
当x＝0，y＝2；
当时，y得取值范围为﹣1≤y≤0．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（11分）中国是最早发现和利用茶树的国家，被称为茶的祖国．某茶店用8000元购进A种茶叶若干盒，用7800元购进B种茶叶若干盒，所购A种茶叶比B种茶叶多10盒，已知B种茶叶的每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.3倍．
（1）A，B两种茶叶的每盒进价分别为多少元？
（2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶店以相同的进价再次购进A，B两种茶叶共150盒，且A种茶叶的数量不少于B种茶叶的2倍．若A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价为每盒400元，则A，B两种茶叶分别购进多少盒时可使获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】方程思想；分式方程及应用；应用意识．
【答案】（1）A种茶叶的每盒进价为200元/盒，则B种茶叶的每盒进价为260元/盒．
（2）当购进A种茶叶100盒，B种茶叶50盒时，获得最大利润，最大利润为17000元．
【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种叶每盒进价为1.3x元，根据“所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设第二次购进A种茶叶y盒，B种茶叶（150﹣y）盒，所获利润为w元，根据销售利润＝每盒的利润×销售数量，即可得出w关于y的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A种茶叶的每盒进价为x元/盒，则B种茶叶的每盒进价为1.3x元/盒，根据题意，得，
10，
解这个方程，得，
x＝200．
经检验，x＝200是所列方程的根．
1.3×200＝260（元）．
答：A种茶叶的每盒进价为200元/盒，则B种茶叶的每盒进价为260元/盒．
（2）设购进A种茶叶y盒，购进B种茶叶（150﹣y）盒，获得的利润为W元，根据题意，得，
w＝（300﹣200）y+（400﹣260）（150﹣y）＝﹣40y+21000，
∵y≥2（150﹣y），
∴y≥100，
∵k＝﹣40＜0，
∴W随y的增大而减小，
当y＝100时，W最大值＝﹣40×100+21000＝17000（元），
150﹣100＝50（盒）．
答：当购进A种茶叶100盒，B种茶叶50盒时，获得最大利润，最大利润为17000元．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数关系式．
考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
10．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
11．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
12．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
18．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
20．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
21．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
22．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
23．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
24．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
25．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
26．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
27．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
28．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．