2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．有一个角是90°的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
2．（3分）若m是关于x的方程x2﹣2023x﹣1＝0的根，则（m2﹣2023m+3） （m2﹣2023m+4）的值为（　　）
A．16 B．12 C．20 D．30
3．（3分）“读万卷书，行万里路“我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字，设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．50（1+x）2＝80
B．50（1+x%）2＝80
C．50（1+2x）2＝80
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝80
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
5．（3分）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG长为（　　）
A． B．2 C． D．1
6．（3分）某种物品经过两次降价，其价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分数为（　　）
A．10% B．20% C．9% D．9.5%
7．（3分）关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1（a、m、b、c均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）＝c的根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝2，x2＝1 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
8．（3分）如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，BE＝DF，连接AE，AF，EF，G为EF中点，连接AG，DG．若∠BAE＝α，则∠DGF＝（　　）
A． B．30°﹣α C．45°﹣α D．α
9．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+1）2＝9 B．（x﹣1）2＝8 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9
10．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（1）（1）＝（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1
11．（3分）如图，在直角三角形ABC中，两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接顶点B与斜边中点D的线段长为（　　）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
12．（3分）如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　 　元时，商场每天盈利达1500元．
14．（3分）已知某一元二次方程的一个根是﹣2，则此方程可以是 　 　．（填一个即可）
15．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝5和BD＝8，那么菱形ABCD的面积为 　 　．
16．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的形状是 　 　．
17．（3分）请写出一个满足以下两个条件的一元二次方程：
①两根均为整数；②两根异号．
这个方程可以是 　 　．
18．（3分）如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1+∠2+∠3＝　 　°．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）2（x﹣1）2＝3x﹣3．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1＝2x2，求k的值．
21．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝3，现将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在对点C'处，BC'交AD于点E．
（1）试说明DE＝BE；
（2）求AE的长．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F是边BC，CD上的点，且BE＝CF．那么，线段AE与BF的夹角有多大？为什么？
23．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，点F在AD
延长线上，且BE∥CF．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）请在△ABC中添加一个条件 　 　，使四边形BECF是菱形，并说明理由．
24．（8分）水果店购进一种优质水果，进价为10元/kg，售价不低于10元/kg，且不超过16元/kg，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（kg）与该天的售价x（元/kg）满足一次函数关系：y＝﹣2x+50．如果某天销售这种水果获利100元，那么该天水果的售价为多少元/kg？
2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列命题中，正确的是（　　）
A．有一个角是90°的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．两组邻角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【考点】命题与定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；应用意识．
【答案】D
【分析】根据菱形，平行四边形的判定及矩形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、有一个角是90°的平行四边形是矩形，错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意；
C、两组邻角互补的四边形是平行四边形，错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据菱形，平行四边形的判定及矩形的判定等知识解答，难度不大．
2．（3分）若m是关于x的方程x2﹣2023x﹣1＝0的根，则（m2﹣2023m+3） （m2﹣2023m+4）的值为（　　）
A．16 B．12 C．20 D．30
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2023m﹣1＝0，变形得m2﹣2023m＝1，然后整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得m2﹣2023m﹣1＝0，
所以m2﹣2023m＝1，
所以（m2﹣2023m+3） （m2﹣2023m+4）＝（1+3） （1+4）＝20．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解以及整体代入思想，掌握整体代入思想是解题的关键．
3．（3分）“读万卷书，行万里路“我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字，设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．50（1+x）2＝80
B．50（1+x%）2＝80
C．50（1+2x）2＝80
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝80
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用九年级学生人均课外阅读量＝七年级学生人均课外阅读量×（1+该校七至九年级人均阅读量年均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：50（1+x）2＝80．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4m≥0，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG长为（　　）
A． B．2 C． D．1
【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，
∴AB＝2DE＝2，
∵F、G分别为AC、BC的中点，
∴FG是△ACB的中位线，
∴FGAB＝1，
故选：D．
【点评】此题考查三角形中位线定理，关键是根据直角三角形的性质得出AB的长解答．
6．（3分）某种物品经过两次降价，其价格为降价前的81%，则平均每次降价的百分数为（　　）
A．10% B．20% C．9% D．9.5%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】设平均每次降价的百分数为x，原价是1，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分数为x，
由题意得：（1﹣x）2＝81%，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
∴平均每次降价的百分数为10%，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（3分）关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1（a、m、b、c均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）＝c的根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝2，x2＝1 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】A
【分析】把方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）﹣c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，再利用关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1得到x﹣1＝﹣2或x﹣1＝1，然后解一次方程即可．
【解答】解：方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）＝c变形为方程a（x﹣1+m）2+b（x﹣1）﹣c＝0，
把方程a（x+m﹣1）2+b（x﹣1）﹣c＝0看作关于（x﹣1）的一元二次方程，
∵关于x的方程a（x+m）2+bx﹣c＝0的根是x1＝﹣2，x2＝1，
∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝1，
解得x1＝﹣1，x2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：利用换元的方法是解决问题的关键．也考查了一元二次方程的解．
8．（3分）如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线上一点，BE＝DF，连接AE，AF，EF，G为EF中点，连接AG，DG．若∠BAE＝α，则∠DGF＝（　　）
A． B．30°﹣α C．45°﹣α D．α
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接CG，易证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，∠BEA＝∠DAF，进而可知△EAF为等腰直角三角形，则∠AFE＝45°，又由直角三角形斜边上的中线性质得AG＝EG＝FG＝CG，于是可证△ADG≌△CDG，进而∠ADG＝∠CDG＝45°，由∠BAE＝α，可得∠DAF＝α，∠AFD＝90°﹣α，∠DFG＝45°﹣α，最后利用三角形外角性质即可求解．
【解答】解：如图，连接CG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABE＝∠ADC＝90°＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BEA＝∠DAF，
∵∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠DAF+∠DAE＝90°，即∠EAF＝90°，
∴△EAF为等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
又∵G为EF的中点，
∴AG＝EG＝FG＝CG，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SSS），
∴∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵∠BAE＝α，
∴∠DAF＝α，∠AFD＝90°﹣α，∠DFG＝∠AFD﹣∠AFE＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α，
又∵∠CDG＝∠DFG+∠DGF，
∴∠DGF＝45°﹣（45°﹣α）＝α．
故选：D．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形外角性质，正确作出辅助线，利用全等三角形和直角三角形的性质解决问题是解题关键．
9．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+1）2＝9 B．（x﹣1）2＝8 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝9，
（x﹣1）2＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
10．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（1）（1）＝（　　）
A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把（1）（1）变形为（）+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，
∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，
∴（1）（1）（）+1
＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1
＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1
＝a2﹣a2﹣2a+1
＝﹣2a+1．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
11．（3分）如图，在直角三角形ABC中，两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接顶点B与斜边中点D的线段长为（　　）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出斜边AC，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出即可．
【解答】解：由勾股定理得：AC10（cm），
∵BD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴BDAC＝5cm，
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的应用，能得出BDAC是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．（3分）如图，点F是矩形ABCD边CD上一点，将矩形沿AF折叠，点D正好落在BC边上的点E处，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】计算题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由折叠的性质得出AE＝AD＝10，EF＝DF，根据勾股定理求出BE＝8，设EF＝x，则CF＝6﹣x，得出x2＝22+（6﹣x）2，解方程即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠B＝∠C＝90°；
由翻折变换的性质得：
AE＝AD＝10，EF＝DF，
∵BE2＝AE2﹣AB2，
∴BE8，
∴CE＝2，
设EF＝x，则CF＝6﹣x；
在Rt△EFC中，∵EF2＝CE2+CF2
∴x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x，
即EF．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质及勾股定理．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此，若销售单价为　150或170　元时，商场每天盈利达1500元．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】150或170．
【分析】设销售单价为x元，则每天可销售（200﹣x）件，根据商场每天销售该种商品的盈利＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设销售单价为x元，则每天可销售70﹣（x﹣130）＝（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x）＝1500，
整理得：x2﹣320x+25500＝0，
解得：x1＝150，x2＝170．
故答案为：150或170．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（3分）已知某一元二次方程的一个根是﹣2，则此方程可以是 　x2＝4（答案不唯一）　．（填一个即可）
【考点】一元二次方程的解．
【专题】开放型；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2＝4（答案不唯一）．
【分析】设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），把x＝﹣2代入可得a、b、c之间的数量关系，只要满足该数量关系的方程即为所求．所以答案不唯一．
【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），把x＝﹣2代入可得，4a﹣2b+c＝0
所以只要a（a≠0），b、c的值满足4a﹣2b+c＝0即可．
如x2＝4等，答案不唯一．
故答案为：x2＝4（答案不唯一）．
【点评】此题是开放性题目，主要考查了元二次方程的根，即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为ax2+bx+c＝0（a≠0），把这一根代入方程得出a、b、c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的a、b、c的值就可得出一元二次方程．
15．（3分）已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝5和BD＝8，那么菱形ABCD的面积为 　20　．
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】20．
【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积公式是解题的关键．
16．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，，则△ABC的形状是 　等腰直角三角形　．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】等腰直角三角形．
【分析】根据勾股定理的逆定理，得出三角形是直角三角形．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为：，，，且，
∴△ABC是直角三角形，
∵，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，是解题的关键．
17．（3分）请写出一个满足以下两个条件的一元二次方程：
①两根均为整数；②两根异号．
这个方程可以是 　x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）　．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）．
【分析】只要两根之积小于0且两根的和为整数即可．
【解答】解：满足条件的一元二次方程不唯一，
例如x2+2x﹣3＝0（答案不唯一），
故答案为：x2+2x﹣3＝0（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
18．（3分）如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角三角形，则∠1+∠2+∠3＝　165　°．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】165．
【分析】首先根据正方形，等边三角形，等腰直角三角形的性质得∠ABC＝90°，∠EGF＝60°，∠PHK＝45°，进而得∠EBC＝∠1+90°，∠EGP＝∠2+60°，∠CHP＝∠3+45°，然后再根据三角形的外角和定理得∠EBC+∠EGP+∠CHP＝360°，据此可求出∠1+∠2+∠3的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵△EFG为等边三角形，
∴∠EGF＝60°，
∵△PHK为等腰直角三角形，
∴∠PHK＝45°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝∠1+90°，∠EGP＝∠EGF+∠2＝∠2+60°，∠CHP＝∠3+∠PHK＝∠3+45°，
∵∠EBC，∠EGP，∠CHP为△BGH的三个外角，
∴∠EBC+∠EGP+∠CHP＝360°，
∴∠1+90°+∠2+60°+∠3+45°＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝165°．
故答案为：165．
【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形、等腰直角三角形的性质，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，找准三角形的外角，理解三角形的外角和等于360°．
三．解答题（共6小题，满分46分）
19．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣16＝0；
（2）2（x﹣1）2＝3x﹣3．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣4；
（2）x1＝1，x2．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4，
∴x1＝4，x2＝﹣4；
（2）方程整理得：2（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
分解因式得：（x﹣1）[2（x﹣1）﹣3]＝0，
所以，x﹣1＝0或2（x﹣1）﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1＝2x2，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k；
（2）k＝18．
【分析】（1）根据题意可得Δ≥0，从而可以求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系和x1＝2x2，可以求得k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4k≥0，
解得k，
即k的取值范围是k；
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣9x+k＝0有两个实数根x1，x2．
∴x1+x2＝9，x1x2＝k，
∵x1＝2x2，
∴3x2＝9，
∴x2＝3，
∴x1＝6，
∴k＝18．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．
21．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝3，现将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在对点C'处，BC'交AD于点E．
（1）试说明DE＝BE；
（2）求AE的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）利用等角对等边解决问题即可；
（2）设BE＝DE＝x，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程求解，再根据AE＝AD﹣DE即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
由翻折的性质可知∠DBE＝∠DBC，
∴∠DBE＝∠ADB，
∴DE＝BE．
（2）设BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，
∵∠A＝90°，
∴BE2＝AB2+AE2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得，
∴，
∴．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
22．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F是边BC，CD上的点，且BE＝CF．那么，线段AE与BF的夹角有多大？为什么？
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先判断AE与BF的夹角的度数，然后根据正方形的性质可以得到△BAE和△CBF全等的条件，然后即可得到△BAE和△CBF全等，从而可以得到∠BAE＝∠CBF，然后即可得到∠BGE的度数，从而可以得到AE与BF的夹角的度数．
【解答】解：AE与BF的夹角是90°，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠BAE+∠GEB＝90°，
∴∠CBF+∠GEB＝90°，
即∠EBG+∠GEB＝90°，
∴∠BGE＝90°，
即AE和BF的夹角是90°．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AD上，点F在AD
延长线上，且BE∥CF．
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）请在△ABC中添加一个条件 　AB＝AC　，使四边形BECF是菱形，并说明理由．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）AB＝AC，理由见解析．
【分析】（1）证△BDE≌△CDF（ASA），得DE＝DF，再由BD＝CD，即可得出结论；
（2）由（1）得四边形BECF是平行四边形，再由等腰三角形的性质得EF⊥BC，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
又∵BD＝CD，
∴四边形BECF是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形BECF是平行四边形，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴平行四边形BECF是菱形，
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明△BDE≌△CDF是解题的关键．
24．（8分）水果店购进一种优质水果，进价为10元/kg，售价不低于10元/kg，且不超过16元/kg，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（kg）与该天的售价x（元/kg）满足一次函数关系：y＝﹣2x+50．如果某天销售这种水果获利100元，那么该天水果的售价为多少元/kg？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】该天水果的售价为15元/kg．
【分析】由题意：某天销售这种水果获利100元，即可列出关于x的列出一元二次方程，解方程取满足条件的x的值即可．
【解答】解：由题意可得：（x﹣10）（﹣2x+50）＝100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20，
∵售价不低于10元/kg，且不超过16元/kg，
∴10≤x≤16，
∴x＝15，
答：该天水果的售价为15元/kg．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
考点卡片
1．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
2．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
3．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
4．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
5．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
8．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
10．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
16．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
17．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
18．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
19．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
24．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
25．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．