2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 511.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-09 20:14:57 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）用数学的眼光观察下面的网络图案，其中可以抽象成中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a﹣b＜0 C．ab D．﹣4a＜﹣4b
3．（4分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
C．x2﹣2x＝x（x） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
5．（4分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
6．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0 B．
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．x2﹣x﹣m＝0
7．（4分）已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
8．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468
B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468
D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
9．（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
10．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则以k、b为坐标的点（k，b）在第（ ）象限内．
A．一 B．二 C．三 D．四
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3ab+6ab2﹣9a2b＝ ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P'的坐标为 ．
13．（4分）某多边形内角和是外角和的2倍，则该多边形的边数 ．
14．（4分）已知α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则α2+β+2019＝ ．
15．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴交于点A（1，0），那么关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF交DC于点G，连接DF，则的值为 ．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（8分）（1）分解因式：a2（m+n）﹣16（m+n）；
（2）解方程：3．
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AE＝CE时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于∠B的2倍的所有角．
20．（6分）先化简：，当y＝﹣1时，请你为x任选一个适当的整数代入求值．
21．（8分）等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的根，求这个等腰三角形的周长．
22．（8分）如图，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（2，0），先将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，再向上平移2个单位得到△A'B'C'．
（1）请在给定的坐标系中画出△A'B'C'；
（2）△A'B'C'可以看作是由△ABC顺时针旋转一次而来，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
23．（10分）《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．
（1）第一批头盔进货单价多少元？
（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
24．（10分）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”．如图1，△A2B2C2就是由△ABC沿直线l翻移后得到的，（先翻折，然后再平移）．
（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2）如图2，在长方形ABCD中，BC＝8，点E，F分别是边BC，AD中点，点G在边CD延长线上，联结AE，FG，如果△GDF是△ABE经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a：联结AG，线段AG和直线a交于点O，若△OGF的面积为3，求此长方形的边长AB的长．
（3）如图3，M是（2）中的长方形边BC上一点，如果BM＝1，△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再平移2个单位，得到△A1B1M1，联结线段AA1、MM1，分别和“翻移线”a交于点K和点H，求四边形AKHM的面积．
25．（12分）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．
26．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m＝ ，n＝ ；
（2）若y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
（3）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）用数学的眼光观察下面的网络图案，其中可以抽象成中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a﹣b＜0 C．ab D．﹣4a＜﹣4b
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，
故此选项不合题意；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
故此选项符合题意；
C、∵a＜b，
∴，
故此选项不合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣4a＞﹣4b，
故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
3．（4分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3x﹣9＝0且x﹣2≠0，
解得：x＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
C．x2﹣2x＝x（x） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A．x（a﹣b）＝ax﹣bx，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．x2﹣2x＝x（x﹣2），因式分解错误，故本选项不符合题意；
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．（4分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质求出∠CC1A和∠AC1B1的度数即可解决问题．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠CAC1＝106°，AC＝AC1，∠ACB＝∠AC1B1．
∵点C1在线段CB的延长线上，
∴∠CC1A＝∠ACB＝37°．
∴∠AC1B1＝37°．
∴∠CC1B1＝∠CC1A+∠AC1B1＝37°+37°＝74°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质由旋转的性质求出∠AC1B1的度数是解题的关键．
6．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0 B．
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．x2﹣x﹣m＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别计算四个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断即可．
【解答】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣41＝4﹣40，方程没有实数根，所以B选项不符合题意；
C、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项符合题意；
D、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m），当1+4m＜0，即m时，方程没有实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
7．（4分）已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
∴OA＝OCAC＝3，
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD，
∴CE+DE＝AD，
∵AE+DE＝AD，
∴AE＝CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE＝EC＝4，OA＝3，
∴EO．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
8．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468
B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468
D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB＝90°，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则以k、b为坐标的点（k，b）在第（ ）象限内．
A．一 B．二 C．三 D．四
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断．
【解答】解：根据数轴上直线的位置得：k＜0，b＜0，
则以k、b为坐标的点（k，b）在第三象限内．
故选：C．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与系数的关系，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3ab+6ab2﹣9a2b＝ 3ab（1+2b﹣3a） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3ab（1+2b﹣3a）．
【分析】提取公因式即可．
【解答】解：原式＝3ab（1+2b﹣3a）．
故答案为：3ab（1+2b﹣3a）．
【点评】本题考查了提取公因式法，找准公因式是解此题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P'的坐标为 （3，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（3，﹣1）．
【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．
【解答】解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
13．（4分）某多边形内角和是外角和的2倍，则该多边形的边数 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
14．（4分）已知α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则α2+β+2019＝ 2021 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】2021．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2﹣α＝1，α+β＝1，将其代入α2+β+2019＝（α2﹣α）+（α+β）+2019中，即可求出结论．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴α2﹣α＝1，α+β＝1，
∴α2+β+2019＝（α2﹣α）+（α+β）+2019＝1+1+2019＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
15．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴交于点A（1，0），那么关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是 x＞1或x＜0 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】x＞1或x＜0．
【分析】由题意不等式x（kx+b）＞0，则或，根据函数的图象与x轴的交点为（1，0）进行解答即可．
【解答】解：∵不等式x（kx+b）＞0，
∴或，
∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），
由图象可知，当x＞1时，y＞0；当x＜1时，y＜0，
∴关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是x＞1或x＜0．
故答案为：x＞1或x＜0．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF交DC于点G，连接DF，则的值为 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】延长BG与AD的延长线交于点H，证△ABE和△BCG全等得BE＝CG，再根据点E是边BC的中点得CG＝DG，由此可证△BCG和△HDG全等，则BC＝DH＝AD，进而得DF＝AD＝DH，设BF＝a，再证△ABE和△AFB相似得AB：AF＝BE：BF，据此得AF＝2a，在Rt△ABF中由勾股定理得AB＝√5a，则DF＝AD＝√5a，由此可得值．
【解答】解：延长BG与AD的延长线交于点H，如下图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠C＝∠CDA＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴BE＝CG，
∵E是边BC的中点，
∴BEBCCD，AB＝2BE，
∴CGCD，
∴CG＝DG，
在△BCG和△HDG中，
，
∵△BCG≌△HDG（ASA），
∴BC＝DH＝AD，
即点D为AH的中点，
∵BF⊥AE，
∴DF＝AD＝DH，
设BF＝a，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠1＝∠1，
∴△ABE∽△AFB，
∴AB：AF＝BE：BF，
∴2BE：AF＝BE：a，
∴AF＝2a，
在Rt△ABF中，AF＝2a，BF＝a，
由勾股定理得：AB，
∴DF＝AD，
∴．
故答案为：..
【点评】此题主要考查了正方形得到性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形得到性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（8分）（1）分解因式：a2（m+n）﹣16（m+n）；
（2）解方程：3．
【考点】解分式方程；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）（m+n）（a+4）（a﹣4）；
（2）x＝5．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可．
【解答】解：（1）a2（m+n）﹣16（m+n）
＝（m+n）（a2﹣16）
＝（m+n）（a+4）（a﹣4）；
（2）3
4＝3（x﹣2）﹣x
4＝3x﹣6﹣x
2x＝10
x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣2≠0，
∴x＝5是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意解分式方程要检验．
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1、0、1、2、3．
【分析】先解不等式组，再找出整数解．
【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣2，
解第二个不等式得：x，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x，
所以x的整数解为：﹣1、0、1、2、3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AE＝CE时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于∠B的2倍的所有角．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）∠BAD，∠BCD，∠AEC，∠AFC．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，求出BE＝DF，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出△ABE是等边三角形，求出∠B＝60°，由平行四边形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BEBC，DFAD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BC＝2AB，E为BC中点，
∴AB＝BE＝CE，
∵AE＝EC，
∴AE＝AB＝BE＝CE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠AEB＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝∠AEC＝120°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴图中等于∠B的2倍的所有角为：∠BAD，∠BCD，∠AEC，∠AFC．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20．（6分）先化简：，当y＝﹣1时，请你为x任选一个适当的整数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式 ，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的根，求这个等腰三角形的周长．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝2，x2＝5，
因为2+2＝4＜5，
所以等腰三角形的腰为5，底边为2，
所以该等腰三角形的周长为5+5+2＝12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
22．（8分）如图，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（2，0），先将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，再向上平移2个单位得到△A'B'C'．
（1）请在给定的坐标系中画出△A'B'C'；
（2）△A'B'C'可以看作是由△ABC顺时针旋转一次而来，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）旋转中心P（3，1），旋转角为90°．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′．
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）旋转中心P（3，1），旋转角为90°．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（10分）《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．
（1）第一批头盔进货单价多少元？
（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）第一批头盔进货单价为80元；
（2）销售单价至少为100元．
【分析】（1）设第一批头盔进货单价为x元，由题意列出方程，即可求解；
（2）设销售单价为y元，由“获利不少于1000元”列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，
根据题意，得，
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：第一批头盔进货单价为80元；
（2）第一批头盔进货数量为1600÷80＝20（个），第二批头盔进货数量为60个．
设销售单价为y元，
根据题意，得（20+60）y﹣（1600+5400）≥1000，
∴y≥100．
答：销售单价至少为100元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的等量关系或不等关系是解题的关键．
24．（10分）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”．如图1，△A2B2C2就是由△ABC沿直线l翻移后得到的，（先翻折，然后再平移）．
（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2）如图2，在长方形ABCD中，BC＝8，点E，F分别是边BC，AD中点，点G在边CD延长线上，联结AE，FG，如果△GDF是△ABE经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a：联结AG，线段AG和直线a交于点O，若△OGF的面积为3，求此长方形的边长AB的长．
（3）如图3，M是（2）中的长方形边BC上一点，如果BM＝1，△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再平移2个单位，得到△A1B1M1，联结线段AA1、MM1，分别和“翻移线”a交于点K和点H，求四边形AKHM的面积．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；矩形 菱形 正方形；梯形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线被翻移线平分；
（2）3；
（3）11或10．
【分析】（1）画出图形，即可得出结论；
（2）作直线EF，即为“翻移线”直线a，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；
（3）分两种情况：①△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向上平移2个单位，②△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接AA2，BB2…，
则“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线被翻移线平分；
（2）作直线EF，即为“翻移线”直线a，如图2所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝8，
由“翻移运动”的性质得：AB＝DC＝GD，AF＝DFAD＝4，O是AC的中点，
∴S△AOF＝S△OGF＝3，
∴S△AFC＝2S△OGF＝6，
∵AF＝DF，
∴S△CDF＝S△AFC＝6，
∴S△CDFDG×DFDG×4＝6，
∴DG＝3，
∴AB＝3；
（3）分两种情况：
①△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：
设△ABE翻折后的三角形为△DCP，连接PM1，
则A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KFA1D＝1，HEM1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，
∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形AKHM的面积＝梯形ABEK的面积﹣△ABM的面积﹣△HME的面积（3+3+1）×43×13×1＝11；
②△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：
设△ABE翻折后的三角形为△DCP，连接PM1，
则A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KFA1D＝1，HEM1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，
∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形AKHM的面积＝梯形AFEM的面积﹣△AFK的面积+△HME的面积（3+4）×34×13×1＝10；
综上所述，四边形AKHM的面积为11或10．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质是解题的关键．
25．（12分）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）DF，理由详见解答；
（3）．
【分析】（1）作EF⊥AC于F，先推出∠ADB＝90°，进而求出AD＝AE＝1，解Rt△AEF，再解Rt△CEF，从而求得CE
（2）连接AF并延长至G，使FG＝AF，先证得△EFG≌△CFA，进而证得△DEG≌△DBA，进一步得∠DAG＝30°，∠ADF＝90°，从而得出DF；
（3）连接DG，作DH⊥AB于H，先证得点A、B、D、G共圆，从而得出∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，∠FDG＝∠ABD＝45°，设AH＝x，解斜三角形ABD和△BDE，进一步额求得结果．
【解答】解：（1）如图1，
作EF⊥AC于F，
∴∠AFE＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠DBE30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD，
∵∠BAC＝∠AED+∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAC﹣∠AED＝60°﹣30°＝30°，
∴AE＝AD＝1，
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝∠BAC＝60°，
∴AF＝AE cos60°，EF＝AE sin60°，
在Rt△CEF中，CF＝AC+AF＝2，EF，
∴CE；
（2）如图2，
DF，理由如下：
连接AF并延长至G，使FG＝AF，
∵F是CE的中点，
∴EF＝CF，
∵∠EFG＝∠CFA，
∴△EFG≌△CFA（SAS），
∴EG＝AC，∠CAF＝∠EGF，
∴AC∥EG，
∴∠DEG＝∠ADE，
∵∠BDE＝120°，
∴∠ADE+∠ADB＝120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠ABD+∠ADB＝120°，EG＝AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DEG，
∵DE＝BD，
∴△DEG≌△DBA（SAS），
∴AD＝DG，∠EDG＝∠ADB，
∴∠DAG＝∠AGD，∠EDG+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE，
∴∠ADG＝120°，
∴∠DAG＝30°，
∵AD＝DG，AF＝FG，
∴DF⊥AG，
∴∠AFD＝90°，
∴DF；
（3）如图3，
连接DG，作DH⊥AB于H，
由（2）知：∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，∠DEB＝30°，
∴∠FAD＝∠DEB，∠BAF＝∠BAC+∠DAF＝90°，
∴点A、B、D、G共圆，
∴∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，
∵GF＝DF，
∴∠FGD＝∠GDF＝45°，
∴∠ABD＝∠FGD＝45°，
∴∠FDG＝∠ABD＝45°，
∴BH＝DH，
在Rt△ADH中，∠BAC＝60°，
设AH＝x，则BH＝DH＝AH tan60°x，AD＝2x，
∴AC＝AB＝AH+BH＝（1）x，BDx，
∵BE＝2 （BD sin60°）＝2x3x，
∴CD＝AC﹣AD＝（1）x﹣2x＝（）x，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是“倍长中线”及“四点共圆”等模型方法．
26．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m＝ 1 ，n＝ 2 ；
（2）若y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
（3）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】新定义；分类讨论；待定系数法；函数及其图象；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1；2；（2）k的值为6或；（3）n的取值范围为n＞2．
【分析】（1）利用待定系数法和“n阶和点”的都有即点即看；
（2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的点，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1．
∵点（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“2阶和点”，
∴n＝2．
故答案为：1；2；
（2）设一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（a，b），则|a|+|b|＝5，b＝a+3，
一次函数y＝x+3图象经过第一、二、三象限，
当（a，b）在第一象限时，a+b＝5，
∴a＝1，b＝4，
∴一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（1，4），
∴k﹣2＝4，
∴k＝6；
当（a，b）在第二象限时，﹣a+b＝5，由于b＝a+3，此种情形不存在；
当（a，b）在第三象限时，﹣a﹣b＝5，
∴a＝﹣4，b＝﹣1．
∴一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（﹣4，﹣1），
∴﹣4k﹣2＝﹣1，
∴k．
综上，y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，k的值为6或；
（3）∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴一次函数y＝nx﹣4的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为n的正方形有两个交点．
由题意得：n＞0，
∵﹣4＜0，
∴y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当0＜n≤4时，
一次函数y＝nx﹣4的图象经过（n，0），则n2﹣4＝0，
∴n＝±2．
∵n＞0，
∴n＝2．
∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴2＜n≤4．
②如图，当n＞4时，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴综上，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，n的取值范围为n＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
考点卡片
1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
2．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
4．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
13．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
14．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
18．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
19．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
20．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
21．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
24．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
25．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
26．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
27．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
34．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）用数学的眼光观察下面的网络图案，其中可以抽象成中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a﹣b＜0 C．ab D．﹣4a＜﹣4b
3．（4分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
C．x2﹣2x＝x（x） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
5．（4分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
6．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0 B．
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．x2﹣x﹣m＝0
7．（4分）已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
8．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468
B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468
D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
9．（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
10．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则以k、b为坐标的点（k，b）在第（ ）象限内．
A．一 B．二 C．三 D．四
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3ab+6ab2﹣9a2b＝ ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P'的坐标为 ．
13．（4分）某多边形内角和是外角和的2倍，则该多边形的边数 ．
14．（4分）已知α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则α2+β+2019＝ ．
15．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴交于点A（1，0），那么关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF交DC于点G，连接DF，则的值为 ．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（8分）（1）分解因式：a2（m+n）﹣16（m+n）；
（2）解方程：3．
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AE＝CE时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于∠B的2倍的所有角．
20．（6分）先化简：，当y＝﹣1时，请你为x任选一个适当的整数代入求值．
21．（8分）等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的根，求这个等腰三角形的周长．
22．（8分）如图，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（2，0），先将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，再向上平移2个单位得到△A'B'C'．
（1）请在给定的坐标系中画出△A'B'C'；
（2）△A'B'C'可以看作是由△ABC顺时针旋转一次而来，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
23．（10分）《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．
（1）第一批头盔进货单价多少元？
（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
24．（10分）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”．如图1，△A2B2C2就是由△ABC沿直线l翻移后得到的，（先翻折，然后再平移）．
（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2）如图2，在长方形ABCD中，BC＝8，点E，F分别是边BC，AD中点，点G在边CD延长线上，联结AE，FG，如果△GDF是△ABE经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a：联结AG，线段AG和直线a交于点O，若△OGF的面积为3，求此长方形的边长AB的长．
（3）如图3，M是（2）中的长方形边BC上一点，如果BM＝1，△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再平移2个单位，得到△A1B1M1，联结线段AA1、MM1，分别和“翻移线”a交于点K和点H，求四边形AKHM的面积．
25．（12分）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．
26．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m＝ ，n＝ ；
（2）若y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
（3）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
2024—2025学年上学期山东初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）用数学的眼光观察下面的网络图案，其中可以抽象成中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）若a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3 B．a﹣b＜0 C．ab D．﹣4a＜﹣4b
【考点】不等式的性质．
【专题】整式；应用意识．
【答案】B
【分析】直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，
故此选项不合题意；
B、∵a＜b，
∴a﹣b＜0，
故此选项符合题意；
C、∵a＜b，
∴，
故此选项不合题意；
D、∵a＜b，
∴﹣4a＞﹣4b，
故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是掌握不等式的性质．
3．（4分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3x﹣9＝0且x﹣2≠0，
解得：x＝3，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx B．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
C．x2﹣2x＝x（x） D．ax+bx+c＝x（a+b）+c
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A．x（a﹣b）＝ax﹣bx，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1），从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．x2﹣2x＝x（x﹣2），因式分解错误，故本选项不符合题意；
D．ax+bx+c＝x（a+b）+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．（4分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转106°，得到△AB1C1，若点C1在线段CB的延长线上，则∠CC1B1的大小为（ ）
A．37° B．69° C．74° D．76°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质求出∠CC1A和∠AC1B1的度数即可解决问题．
【解答】解：根据旋转的性质可知∠CAC1＝106°，AC＝AC1，∠ACB＝∠AC1B1．
∵点C1在线段CB的延长线上，
∴∠CC1A＝∠ACB＝37°．
∴∠AC1B1＝37°．
∴∠CC1B1＝∠CC1A+∠AC1B1＝37°+37°＝74°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质由旋转的性质求出∠AC1B1的度数是解题的关键．
6．（4分）下列关于x的方程一定有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+2＝0 B．
C．x2﹣mx﹣1＝0 D．x2﹣x﹣m＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分别计算四个方程的判别式Δ＝b2﹣4ac，然后根据△的意义进行判断即可．
【解答】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣41＝4﹣40，方程没有实数根，所以B选项不符合题意；
C、Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项符合题意；
D、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣m），当1+4m＜0，即m时，方程没有实数根，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
7．（4分）已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质和△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，可证明OE是线段AC的中垂线，根据勾股定理即可求出EO的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是AC的中点．
∴OA＝OCAC＝3，
∵△DCE的周长是平行四边形ABCD周长的一半，
∴△DCE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD，
∴CE+DE＝AD，
∵AE+DE＝AD，
∴AE＝CE，
∴OE是线段AC的中垂线，
∴OE⊥BD，
∵AE＝EC＝4，OA＝3，
∴EO．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
8．（4分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468
B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468
D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9．（4分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长即可得到答案．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴，D是AB的中点，
∵∠AFB＝90°，
∴，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
10．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则以k、b为坐标的点（k，b）在第（ ）象限内．
A．一 B．二 C．三 D．四
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的位置确定出k与b的正负，即可作出判断．
【解答】解：根据数轴上直线的位置得：k＜0，b＜0，
则以k、b为坐标的点（k，b）在第三象限内．
故选：C．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与系数的关系，弄清一次函数图象与系数的关系是解本题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）因式分解：3ab+6ab2﹣9a2b＝ 3ab（1+2b﹣3a） ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3ab（1+2b﹣3a）．
【分析】提取公因式即可．
【解答】解：原式＝3ab（1+2b﹣3a）．
故答案为：3ab（1+2b﹣3a）．
【点评】本题考查了提取公因式法，找准公因式是解此题的关键．
12．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P'的坐标为 （3，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（3，﹣1）．
【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解．
【解答】解：将点P（3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
13．（4分）某多边形内角和是外角和的2倍，则该多边形的边数 6 ．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2＝6，
∴这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
14．（4分）已知α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则α2+β+2019＝ 2021 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】2021．
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出α2﹣α＝1，α+β＝1，将其代入α2+β+2019＝（α2﹣α）+（α+β）+2019中，即可求出结论．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，
∴α2﹣α＝1，α+β＝1，
∴α2+β+2019＝（α2﹣α）+（α+β）+2019＝1+1+2019＝2021．
故答案为：2021．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
15．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴交于点A（1，0），那么关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是 x＞1或x＜0 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】x＞1或x＜0．
【分析】由题意不等式x（kx+b）＞0，则或，根据函数的图象与x轴的交点为（1，0）进行解答即可．
【解答】解：∵不等式x（kx+b）＞0，
∴或，
∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），
由图象可知，当x＞1时，y＞0；当x＜1时，y＜0，
∴关于x的不等式x（kx+b）＞0的解集是x＞1或x＜0．
故答案为：x＞1或x＜0．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，延长BF交DC于点G，连接DF，则的值为 ．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】延长BG与AD的延长线交于点H，证△ABE和△BCG全等得BE＝CG，再根据点E是边BC的中点得CG＝DG，由此可证△BCG和△HDG全等，则BC＝DH＝AD，进而得DF＝AD＝DH，设BF＝a，再证△ABE和△AFB相似得AB：AF＝BE：BF，据此得AF＝2a，在Rt△ABF中由勾股定理得AB＝√5a，则DF＝AD＝√5a，由此可得值．
【解答】解：延长BG与AD的延长线交于点H，如下图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠C＝∠CDA＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA），
∴BE＝CG，
∵E是边BC的中点，
∴BEBCCD，AB＝2BE，
∴CGCD，
∴CG＝DG，
在△BCG和△HDG中，
，
∵△BCG≌△HDG（ASA），
∴BC＝DH＝AD，
即点D为AH的中点，
∵BF⊥AE，
∴DF＝AD＝DH，
设BF＝a，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠1＝∠1，
∴△ABE∽△AFB，
∴AB：AF＝BE：BF，
∴2BE：AF＝BE：a，
∴AF＝2a，
在Rt△ABF中，AF＝2a，BF＝a，
由勾股定理得：AB，
∴DF＝AD，
∴．
故答案为：..
【点评】此题主要考查了正方形得到性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形得到性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
三．解答题（共10小题，满分86分）
17．（8分）（1）分解因式：a2（m+n）﹣16（m+n）；
（2）解方程：3．
【考点】解分式方程；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）（m+n）（a+4）（a﹣4）；
（2）x＝5．
【分析】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可．
【解答】解：（1）a2（m+n）﹣16（m+n）
＝（m+n）（a2﹣16）
＝（m+n）（a+4）（a﹣4）；
（2）3
4＝3（x﹣2）﹣x
4＝3x﹣6﹣x
2x＝10
x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣2≠0，
∴x＝5是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意解分式方程要检验．
18．（6分）解不等式组，并写出它的整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1、0、1、2、3．
【分析】先解不等式组，再找出整数解．
【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣2，
解第二个不等式得：x，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x，
所以x的整数解为：﹣1、0、1、2、3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AE＝CE时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于∠B的2倍的所有角．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）∠BAD，∠BCD，∠AEC，∠AFC．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，求出BE＝DF，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出△ABE是等边三角形，求出∠B＝60°，由平行四边形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BEBC，DFAD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BC＝2AB，E为BC中点，
∴AB＝BE＝CE，
∵AE＝EC，
∴AE＝AB＝BE＝CE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠AEB＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝∠AEC＝120°，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠CFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴图中等于∠B的2倍的所有角为：∠BAD，∠BCD，∠AEC，∠AFC．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20．（6分）先化简：，当y＝﹣1时，请你为x任选一个适当的整数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式 ，
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（8分）等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的根，求这个等腰三角形的周长．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝5，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为5，底边为2，然后计算该等腰三角形的周长．
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝2，x2＝5，
因为2+2＝4＜5，
所以等腰三角形的腰为5，底边为2，
所以该等腰三角形的周长为5+5+2＝12．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．
22．（8分）如图，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（2，0），先将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，再向上平移2个单位得到△A'B'C'．
（1）请在给定的坐标系中画出△A'B'C'；
（2）△A'B'C'可以看作是由△ABC顺时针旋转一次而来，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）旋转中心P（3，1），旋转角为90°．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′．
（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）旋转中心P（3，1），旋转角为90°．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（10分）《郑州市非机动车管理办法》2021年5月1日起正式实施，其中规定：电动自行车驾驶人和乘坐人员应该戴安全头盔．某商店用1600元购进一批电动车头盔，销售发现供不应求，于是，又用5400元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵10元．
（1）第一批头盔进货单价多少元？
（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）第一批头盔进货单价为80元；
（2）销售单价至少为100元．
【分析】（1）设第一批头盔进货单价为x元，由题意列出方程，即可求解；
（2）设销售单价为y元，由“获利不少于1000元”列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+10）元，
根据题意，得，
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：第一批头盔进货单价为80元；
（2）第一批头盔进货数量为1600÷80＝20（个），第二批头盔进货数量为60个．
设销售单价为y元，
根据题意，得（20+60）y﹣（1600+5400）≥1000，
∴y≥100．
答：销售单价至少为100元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的等量关系或不等关系是解题的关键．
24．（10分）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”．如图1，△A2B2C2就是由△ABC沿直线l翻移后得到的，（先翻折，然后再平移）．
（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）
（2）如图2，在长方形ABCD中，BC＝8，点E，F分别是边BC，AD中点，点G在边CD延长线上，联结AE，FG，如果△GDF是△ABE经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a：联结AG，线段AG和直线a交于点O，若△OGF的面积为3，求此长方形的边长AB的长．
（3）如图3，M是（2）中的长方形边BC上一点，如果BM＝1，△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再平移2个单位，得到△A1B1M1，联结线段AA1、MM1，分别和“翻移线”a交于点K和点H，求四边形AKHM的面积．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；三角形；矩形 菱形 正方形；梯形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线被翻移线平分；
（2）3；
（3）11或10．
【分析】（1）画出图形，即可得出结论；
（2）作直线EF，即为“翻移线”直线a，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；
（3）分两种情况：①△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向上平移2个单位，②△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接AA2，BB2…，
则“翻移运动”对应点（指图1中的A与A2，B与B2…）连线被翻移线平分；
（2）作直线EF，即为“翻移线”直线a，如图2所示：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝8，
由“翻移运动”的性质得：AB＝DC＝GD，AF＝DFAD＝4，O是AC的中点，
∴S△AOF＝S△OGF＝3，
∴S△AFC＝2S△OGF＝6，
∵AF＝DF，
∴S△CDF＝S△AFC＝6，
∴S△CDFDG×DFDG×4＝6，
∴DG＝3，
∴AB＝3；
（3）分两种情况：
①△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：
设△ABE翻折后的三角形为△DCP，连接PM1，
则A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KFA1D＝1，HEM1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，
∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形AKHM的面积＝梯形ABEK的面积﹣△ABM的面积﹣△HME的面积（3+3+1）×43×13×1＝11；
②△ABM先按（2）的“翻移线”直线a翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：
设△ABE翻折后的三角形为△DCP，连接PM1，
则A1D＝B1C＝M1P＝2，
同（2）得：KFA1D＝1，HEM1P＝1，
∵BE＝4，BM＝1，
∴ME＝BE﹣BM＝3，
∴四边形AKHM的面积＝梯形AFEM的面积﹣△AFK的面积+△HME的面积（3+4）×34×13×1＝10；
综上所述，四边形AKHM的面积为11或10．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质是解题的关键．
25．（12分）在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，当B、A、E三点共线时，连接AE，若AB＝2，求CE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AP交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）DF，理由详见解答；
（3）．
【分析】（1）作EF⊥AC于F，先推出∠ADB＝90°，进而求出AD＝AE＝1，解Rt△AEF，再解Rt△CEF，从而求得CE
（2）连接AF并延长至G，使FG＝AF，先证得△EFG≌△CFA，进而证得△DEG≌△DBA，进一步得∠DAG＝30°，∠ADF＝90°，从而得出DF；
（3）连接DG，作DH⊥AB于H，先证得点A、B、D、G共圆，从而得出∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，∠FDG＝∠ABD＝45°，设AH＝x，解斜三角形ABD和△BDE，进一步额求得结果．
【解答】解：（1）如图1，
作EF⊥AC于F，
∴∠AFE＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠DBE30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD，
∵∠BAC＝∠AED+∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAC﹣∠AED＝60°﹣30°＝30°，
∴AE＝AD＝1，
∵∠AFE＝90°，∠EAF＝∠BAC＝60°，
∴AF＝AE cos60°，EF＝AE sin60°，
在Rt△CEF中，CF＝AC+AF＝2，EF，
∴CE；
（2）如图2，
DF，理由如下：
连接AF并延长至G，使FG＝AF，
∵F是CE的中点，
∴EF＝CF，
∵∠EFG＝∠CFA，
∴△EFG≌△CFA（SAS），
∴EG＝AC，∠CAF＝∠EGF，
∴AC∥EG，
∴∠DEG＝∠ADE，
∵∠BDE＝120°，
∴∠ADE+∠ADB＝120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠ABD+∠ADB＝120°，EG＝AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DEG，
∵DE＝BD，
∴△DEG≌△DBA（SAS），
∴AD＝DG，∠EDG＝∠ADB，
∴∠DAG＝∠AGD，∠EDG+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE，
∴∠ADG＝120°，
∴∠DAG＝30°，
∵AD＝DG，AF＝FG，
∴DF⊥AG，
∴∠AFD＝90°，
∴DF；
（3）如图3，
连接DG，作DH⊥AB于H，
由（2）知：∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，∠DEB＝30°，
∴∠FAD＝∠DEB，∠BAF＝∠BAC+∠DAF＝90°，
∴点A、B、D、G共圆，
∴∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，
∵GF＝DF，
∴∠FGD＝∠GDF＝45°，
∴∠ABD＝∠FGD＝45°，
∴∠FDG＝∠ABD＝45°，
∴BH＝DH，
在Rt△ADH中，∠BAC＝60°，
设AH＝x，则BH＝DH＝AH tan60°x，AD＝2x，
∴AC＝AB＝AH+BH＝（1）x，BDx，
∵BE＝2 （BD sin60°）＝2x3x，
∴CD＝AC﹣AD＝（1）x﹣2x＝（）x，
∴．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是“倍长中线”及“四点共圆”等模型方法．
26．（12分）定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”．
（1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m＝ 1 ，n＝ 2 ；
（2）若y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
（3）若y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】新定义；分类讨论；待定系数法；函数及其图象；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1；2；（2）k的值为6或；（3）n的取值范围为n＞2．
【分析】（1）利用待定系数法和“n阶和点”的都有即点即看；
（2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
（3）利用一次函数的性质确定y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“n阶和点”的定义，求得x的值，进而得到关于n的不等式，解不等式求得n的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的点，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1．
∵点（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离之和等于2，
∴点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“2阶和点”，
∴n＝2．
故答案为：1；2；
（2）设一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（a，b），则|a|+|b|＝5，b＝a+3，
一次函数y＝x+3图象经过第一、二、三象限，
当（a，b）在第一象限时，a+b＝5，
∴a＝1，b＝4，
∴一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（1，4），
∴k﹣2＝4，
∴k＝6；
当（a，b）在第二象限时，﹣a+b＝5，由于b＝a+3，此种情形不存在；
当（a，b）在第三象限时，﹣a﹣b＝5，
∴a＝﹣4，b＝﹣1．
∴一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（﹣4，﹣1），
∴﹣4k﹣2＝﹣1，
∴k．
综上，y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，k的值为6或；
（3）∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴一次函数y＝nx﹣4的图象与以原点为中心，两对角线在坐标轴上，边长为n的正方形有两个交点．
由题意得：n＞0，
∵﹣4＜0，
∴y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象经过第一、三、四象限，
①如图，当0＜n≤4时，
一次函数y＝nx﹣4的图象经过（n，0），则n2﹣4＝0，
∴n＝±2．
∵n＞0，
∴n＝2．
∵y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴2＜n≤4．
②如图，当n＞4时，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，
∴综上，y关于x的一次函数y＝nx﹣4的图象有且仅有2个“n阶和点”，n的取值范围为n＞2．
【点评】本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
考点卡片
1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
2．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
4．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
10．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
13．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
14．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
18．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
19．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
20．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
21．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
24．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
25．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
26．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
27．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
30．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
34．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
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