初中数学人教版八年级上册 13.4课题学习 最短路径问题（无答案）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级上册 13.4课题学习 最短路径问题（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 53.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-08 10:55:17 | ||
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文档简介
最短路径问题
一、复习目标
1.利用对称性转化线段长度
A'P′+BP′=AP′+BP′≥AB
2 . 最短路径问题的题型归纳
(1)求两定点间的最短路径，如本专题例题.
(2)求“一定一动”(又分为动点轨迹是直线和动点轨迹是圆两类)的两点间的最短路径，如本 专题例题的变式1、变式2.
(3)求“两定一动”或“两动一定”的线段和最值，如本专题例题的变式3、变式4.
(4)求带有系数的线段和最值问题(其中动点的轨迹是直线和圆时，系数的转化方式有所区别), 如本专题例题的变式5、变式6.
3 . 核心素养和技能
(1)本专题设计为同一背景下一系列问题间的变式，既让学生认识到该类题型中的本质，又 让学生不断地感受数学化归思想的巧妙之处，提升学生归纳总结的能力.
(2)本专题从简单的两点之间线段最短问题深入到两条线段和的最短问题，进而到带系数的 线段最值问题，将学生的思维推向更深层次，养成有条理的思维品质；由此及彼，以“一题 一课”提升思维灵活度，本专题由动点轨迹是直线到动点轨迹是圆的相互认识，帮助学生重 构知识体系.
二、典例精讲
例题：如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2, BC的三等分点，求点M 到 点N的最短路径长.
变 式 1 在菱形ABCD 中，∠B=60°, AB=2.
若 M 是AD 的中点，N 是靠近B 点的
(1)若M 是AD 的中点， N 是 BC上一动点，求MN 的最小值；
(2)若M 是AD 上一动点，N 是BC上一动点，求 MN 的最小值.
变式2 如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2, 径的圆上一动点，求MN 的最小值.
若 M 是 AD 的 中 点 ，N 是 以BC 为直
变式3 如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2. 为对角线AC 上一动点，试求出MP+NP 的最小值.
变式4 在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2.
若M 是 AD 的 中 点 ，N 是CD 中 点 ，P
(1)若M 是 AD 的中点，N 是 CD 上一动点，P 为对角线AC 上一动点，试求出MP+NP 的最
小值；
(2)若M 是AD 上一动点，N 是CD 上一动点，P 为对角线AC 上一动点，试求出MP+NP 的
最小值 .
变式5 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°,AB=2,P 为对角线BD 上一动点.
(1)试求出的最小值；
(2)一只蚂蚁从点A 到点P 以1个单位每秒的速度运动，从点P到点D 以2个单位每秒的速 度运动，求蚂蚁运动的最少时间.
变式6 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°,AB=2,P 为 以BC 为直径的圆上一动点，N
是CB 延长线上一点，且BN=2.
的最小值为
(2)一只蚂蚁从点D 到点P 以1个单位每秒的速度运动，从点P 到点N 以3个单位每秒的速 度运动，则蚂蚁运动的最少时间为 秒 .
三、真题演练
1 . 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°, 点 D 在 AB 上，若AC=3,BC=4, 则 CD 的最小值
为( )
2.(2021·枣庄)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC,BD 相交于点0 ,AC=6 ,BD=6,
P是 AC 上一动点，E 是 AB 的中点，则PD+PE 的最小值为( )
3.(2021·绥化)如图，已知在Rt△ACB中，∠c=90°,∠ ABC=75°,AB=5,E 为边 上
的动点，F 为边AB 上的动点，则线段FE+EB 的最小值是( )
4.如图，□ABCD中，∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P 的最小值等于( )
为 边CD上的一动点，则PB十 PD
一、复习目标
1.利用对称性转化线段长度
A'P′+BP′=AP′+BP′≥AB
2 . 最短路径问题的题型归纳
(1)求两定点间的最短路径，如本专题例题.
(2)求“一定一动”(又分为动点轨迹是直线和动点轨迹是圆两类)的两点间的最短路径，如本 专题例题的变式1、变式2.
(3)求“两定一动”或“两动一定”的线段和最值，如本专题例题的变式3、变式4.
(4)求带有系数的线段和最值问题(其中动点的轨迹是直线和圆时，系数的转化方式有所区别), 如本专题例题的变式5、变式6.
3 . 核心素养和技能
(1)本专题设计为同一背景下一系列问题间的变式，既让学生认识到该类题型中的本质，又 让学生不断地感受数学化归思想的巧妙之处，提升学生归纳总结的能力.
(2)本专题从简单的两点之间线段最短问题深入到两条线段和的最短问题，进而到带系数的 线段最值问题，将学生的思维推向更深层次，养成有条理的思维品质；由此及彼，以“一题 一课”提升思维灵活度，本专题由动点轨迹是直线到动点轨迹是圆的相互认识，帮助学生重 构知识体系.
二、典例精讲
例题：如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2, BC的三等分点，求点M 到 点N的最短路径长.
变 式 1 在菱形ABCD 中，∠B=60°, AB=2.
若 M 是AD 的中点，N 是靠近B 点的
(1)若M 是AD 的中点， N 是 BC上一动点，求MN 的最小值；
(2)若M 是AD 上一动点，N 是BC上一动点，求 MN 的最小值.
变式2 如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2, 径的圆上一动点，求MN 的最小值.
若 M 是 AD 的 中 点 ，N 是 以BC 为直
变式3 如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2. 为对角线AC 上一动点，试求出MP+NP 的最小值.
变式4 在菱形ABCD 中，∠B=60°,AB=2.
若M 是 AD 的 中 点 ，N 是CD 中 点 ，P
(1)若M 是 AD 的中点，N 是 CD 上一动点，P 为对角线AC 上一动点，试求出MP+NP 的最
小值；
(2)若M 是AD 上一动点，N 是CD 上一动点，P 为对角线AC 上一动点，试求出MP+NP 的
最小值 .
变式5 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°,AB=2,P 为对角线BD 上一动点.
(1)试求出的最小值；
(2)一只蚂蚁从点A 到点P 以1个单位每秒的速度运动，从点P到点D 以2个单位每秒的速 度运动，求蚂蚁运动的最少时间.
变式6 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=60°,AB=2,P 为 以BC 为直径的圆上一动点，N
是CB 延长线上一点，且BN=2.
的最小值为
(2)一只蚂蚁从点D 到点P 以1个单位每秒的速度运动，从点P 到点N 以3个单位每秒的速 度运动，则蚂蚁运动的最少时间为 秒 .
三、真题演练
1 . 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°, 点 D 在 AB 上，若AC=3,BC=4, 则 CD 的最小值
为( )
2.(2021·枣庄)如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC,BD 相交于点0 ,AC=6 ,BD=6,
P是 AC 上一动点，E 是 AB 的中点，则PD+PE 的最小值为( )
3.(2021·绥化)如图，已知在Rt△ACB中，∠c=90°,∠ ABC=75°,AB=5,E 为边 上
的动点，F 为边AB 上的动点，则线段FE+EB 的最小值是( )
4.如图，□ABCD中，∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P 的最小值等于( )
为 边CD上的一动点，则PB十 PD