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相似形 相似三角形 综合测试
一、单选题
1．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个梯形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．若，与的面积比为，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
3．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，，；
B．，，，，；
C．，；
D．，
6．如图，在中，点D、E分别在边上，，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 .
8．已知四边形四边形，点A、B、C、D的对应点分别是、、、，，，，则的长为 ．
9．如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）．
10．如图，平行四边形中，点E在上，交于F，若，那么 ．
11．已知在梯形中，，交于，若，则的值为
12．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．
13．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ．
14．如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则 ．
15．如图，在中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．
17．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ．
18．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围为 ．
三、解答题
19．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.
20．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？
21．如图，已知：点、在边上，点边上，且，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的值．
22．如图，D是边上点，已知，，．
(1)求边的长；
(2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数．
23．如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
24．已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．
(1)求点C、D的坐标；
(2)连接，求的面积；
(3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标．
25．（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值；
（3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．
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相似形 相似三角形 综合测试
一、单选题
1．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个梯形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形，根据相似图形的定义逐项判断即可．
【解析】因为两个矩形的对应角相等，对应边不一定成比例，可知两个矩形不一定相似，所以A不符合题意；
因为两个梯形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个梯形不一定相似，所以B不符合题意；
因为两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，可知两个等腰三角形不一定相似，所以C不符合题意；
因为两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，可知两个等边三角形相似，所以D符合题意．
故选：D．
2．若，与的面积比为，则与的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握其性质是解题的关键．
【解析】解：，
，
故选A．
3．已知：，如果与的相似比为2，与相似比为4，那么与的相似比为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出与的比值，也就是两三角形的相似比．
【解析】解：∵，如果与的相似比为2，与相似比为4，
，，
设，则，，
，
∴与的相似比为8．
故选：D．
4．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理和勾股定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否对应成比例即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为，则给出的三角形三边长分别为，，．
A.三角形三边分别是，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边，，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边，，，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
故选D．
5．下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，，；
B．，，，，；
C．，；
D．，
【答案】D
【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案．
【解析】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵，，，，，
∴，
∴，
∴；故B不符合题意；
如图，
∵，，
∴，
∴即，
∴；故C不符合题意；
∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似．
故选D．
6．如图，在中，点D、E分别在边上，，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，则，，，然后利用性质对各选项进行判断作答即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；
故选：B．
二、填空题
7．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 .
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解．
【解析】解：两个相似三角形对应边上的高之比是，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的周长之比等于．
故答案为：．
8．已知四边形四边形，点A、B、C、D的对应点分别是、、、，，，，则的长为 ．
【答案】1.6
【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．
【解析】解：四边形四边形，
，
，，，
，
故答案为：1.6．
【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．
9．如图，，是边上的两个点，要使，添加一个条件是 （只写一个）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，已知，根据相似三角形的判定定理即可求得答案．
【解析】∵，，
∴，
故添加条件即可求得．
同理可得：或可以得出．
故答案为： 或或．
10．如图，平行四边形中，点E在上，交于F，若，那么 ．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定可证，从而可得，再由，，可得，从而可得，即可求解．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∥，，
∥，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．已知在梯形中，，交于，若，则的值为
【答案】
【分析】本题考查相似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积比为相似比的平方是解题的关键，根据题意作图，已知，可以得到，再根据相似三角形面积比为相似比的平方，即可得到．
【解析】解：根据题意作图可得：
，
，，
，
，
，
故答案为：．
12．如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是 ．
【答案】/
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值．
【解析】解∶∵，，
∴，
∴，
∵的长是，
∴，
∵零件的外径为，
∴零件的厚度为∶，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
13．如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系．
由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解．
【解析】解：∵点G是重心，
∴是的边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴故答案为：．
14．如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．作，证明，推出，由，利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【解析】解：作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15．如图，在中，边，高，四边形是内接矩形，交于，设，则矩形的面积与的函数关系式 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，通过证明，得出，掌握相似三角形高的比等于相似比，以及矩形对边平行且相等，是解题的关键．
【解析】解：∵四边形是内接矩形，，
∴，四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
即．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ．
【答案】、、
【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形．
【解析】解：以为共同的斜边时，，得坐标为，
过点作的垂线，当时，，得，
过点作的垂线，当时，，得．
故答案为：、、
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论．
17．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，设正方形的边长为x，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：．
18．如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设，则，当与重合时，证得即，进而利用勾股定理得，当与重合时，，即可得解．
【解析】解：设，则，
当与重合时，如下图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠的性质可得，，
，
∴，
∴，
∴，
∴即，
解得，
∵，
∴即，
解得或（舍去），
当与重合时，如下图，
此时，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题
19．如图，在中，，，点D，E分别是，上的点，且，求证：.
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，结合外角定理可得，即可证明；
【解析】证明：∵，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴
20．清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？
【答案】8里
【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD=x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴，
∴
∴x=8，
答：这座方城每面城墙的长为8里．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
21．如图，已知：点、在边上，点边上，且，．
(1)求证：；
(2)如果，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，
（1）根据平行线分线段成比例得到，然后结合即可得到，进而求解即可；
（2）首先证明，然后结合得到，求出，作，垂足为点，然后得到，然后利用平行线分线段成比例得到，进而求解即可．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵//，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
作，垂足为点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．如图，D是边上点，已知，，．
(1)求边的长；
(2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点．
（1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可．
（2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，即
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
23．如图，已知在中，点E、F在边上．
(1)如果是等边三角形，且，求证：；
(2)如果，，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是：
（1）先根据等边三角形的性质得，进而可得出，根据，得，再根据三角形的外角定理可得，由此得，据此可得出结论；
（2）过点A作于H，先由得，进而可判定，从而，进而得，再证，由此可判定相似，从而得，然后根据三角形的面积公式得，，则，据此可得出结论．
【解析】（1）解：证明：是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）过点A作于H，如图2所示：
∵，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
24．已知在平面直角坐标系中，线段与x轴交于点C，经过点B的直线与x轴交于点D．
(1)求点C、D的坐标；
(2)连接，求的面积；
(3)点P在x轴上且在点D的右侧，如果，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)3
(3)
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）证明为直角三角形，即可求解；
（3）证明，得到，即可求解．
【解析】（1）解：将点B的坐标代入得：，则，
则直线的表达式为：，则点；
设直线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，
则，
则直线解析式：，
令，则，
故点；
（2）由点A、B、D的坐标得：，
，
则，则为直角三角形，
则的面积；
（3）由点B、D的坐标知，
，
，
，
，
，
，
∴，
，
则，
则，
，
点P在轴上且在点D的右侧，
则点P的坐标为：．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题，三角形相似、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性强，难度适中．
25．（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值；
（3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可；
（2）利用条件证明，，由（1）知，，设则由得，，（负值舍去），；
（3）利用相似转化线段之间的关系，设根据，得，，由，得到，，最后代入．
【解析】解：（1），
，
，
同理，
，
；
（2）解：∵恰好将三等分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，，
设则
由得，，
∴（负值舍去），
∴；
（3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
由（1）中结论知，，
设，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
