2023-2024学年云南省文山市高二年级下学期期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年云南省文山市高二年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才中国航空学会、云南省科学技术协会、云南警官学院于年月中旬在红河州弥勒市共同举办第届全国青少年无人机大赛云南省赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，名学生成绩依次为：，，，，，，，，则这组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数对任意的都有成立，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.若函数，则函数的单调递增区间为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.东平房塔下图建于辽代，塔平面呈正六边形，是辽西古塔中仅有的两座辽代六边形古塔之一请根据塔平面抽象出正六边形，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡最后将两次称得的黄金交给顾客你认为顾客购得的黄金是( )
A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 大于或等于
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 若X~B(n,),D(3X+1)=18,则n=6
B. 随机变量,,若=5+3,则E()=5E()+3
C. 若AB,P(A)=0.2,P(B)=0.8,则P(A|B)=
D. ~N(2,),且P(<6)=0.732,则P(2<<6)=0.232
10.记正项数列的前项和为，已知，则( )
A. B.
C. D. 数列的前项和小于
11.如图，在菱形中，，沿对角线将其翻折，如图则( )
A. 在折叠过程中直线与所成角不变
B. 当点在平面的投影为的重心时，
C. 三棱锥的表面积最大值为
D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为虚数，，则可以为 写出满足条件的一个解即可
13.已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 ．
14.已知直线与抛物线交于，两点，如图，点为抛物线上的动点，且位于直线的下方，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知B.
求
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱台中，底面是边长为的正方形，平面，，，为的中点，
求证：平面
求平面与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知函数，
当时，求出方程解的个数
讨论函数的单调性．
18.本小题分
为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐每人每次只能选择其中一种，经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复记某同学第天选择水果的概率为．
记某班的名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为，求的分布列和期望
证明数列是等比数列，并求数列的通项公式
为了培养学生的服务意识，天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数．
19.本小题分
已知点，在双曲线上，直线．
求双曲线的标准方程
当且时，直线与双曲线分别交于，两点，关于轴的对称点为证明：直线过定点．
当时，直线与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于，两点当点运动时，求点的轨迹方程．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
因为，的面积为，
所以，
解得，
由余弦定理，
得，
所以，所以，
所以的周长为．

16.解：
如图，连接，
，，，，
， ，
又为的中点，
， ，四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面
如图，因为平面，底面是正方形，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，， ， ，
设平面的法向量为，
，解得，
，，，
设平面的法向量为，
，解得，
，，
所以平面与平面所成的角为．
17.解：当时，，
所以方程为，即．
令，定义域为，，
令，则，令，则．
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，
所以方程解的个数为．
的定义域为，
，
令，解得或．
当时，，所以在单调递增
当时，时，，在单调递减，时，，在单调递增．
综上所述：当时，在单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增．
18.解：由已知，某同学第二天选择水果的概率，
所以，
，
，
，
的分布列为：
．
由已知，，
因为，又，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由，得，
数列的通项公式为：．
由知，某同学天后选择水果的概率，
所以位学生中安排分发水果的人数约为，分发牛奶的人数约为．
19.解：将点，代入双曲线，
得，解得：，，所以双曲线的标准方程为．
设，，依题意得点，
当时，直线，
联立， 得，
所以，
解得：且，，．
直线方程，
令得：，
，
所以直线恒过定点．
联立方程，可得，
因为，即，且直线与双曲线有唯一的公共点，
所以，整理得，
可解得点坐标为，即，其中，
于是，过点且与垂直的直线为，
可得，，则，即，，
则，，
消去得：，即．
点的轨迹方程为．
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