2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知为平面的一个法向量，为一条直线，为直线的方向向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法错误的是( )
A. 若随机变量，则．
B. 若随机变量的方差，则．
C. 若，，，则事件与事件独立．
D. 若随机变量服从正态分布，若，则．
5.展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知正数，满足，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.记表示不超过的最大整数，，如，，已知数列的通项公式为，数列满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于( )
A. B. C. D.
10.下列定义在上的函数中，满足的有( )
A. B. C. D.
11.已知正方体的棱长为，点，分别为棱的中点，点为四边形含边界内一动点，且，则( )
A. 平面
B. 点的轨迹长度为
C. 存在点，使得面
D. 点到平面距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极小值点为 ．
13.已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为_________．
14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有个红球和个白球，乙盒有个红球和个白球先从甲盒中取出个球放入乙盒，再从乙盒中取出个球放入甲盒记事件为“从甲盒中取出个红球”，事件为“乙盒还剩个红球和个白球”，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
16.本小题分
在直四棱柱中，底面为矩形，，，，分别为底面的中心和的中点，连接，，，，C.
求证：平面平面；
若，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若恒成立，求实数的取值集合．
18.本小题分
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次 直播带货评级 合计
优秀 良好
本科及以上
专科及以下
合计
依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出人组成一个小组，从抽取的人中再抽取人参加主播培训，求这人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；
统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这人中任选人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．
附：，

19.本小题分
如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，，当恰好为线段的中点时，．
求抛物线的方程；
求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：因为，
所以当时，，
当时，，
又时符合上式，
所以．
则
．
16.解：证明：由题可得，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
因为，所以不妨取，
由已知得，，，，，，
所以，，
又，，
设平面的法向量为，
所以，即
不妨取，
设平面的法向量为，
所以，即
不妨取，
设平面与平面所成角的大小为，
所以．
所以平面与平面所成角的余弦值为．
17.当 时， ， ，
所以 ， ，即切点坐标为 ，切线的斜率 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
由题意得： 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 单调递减区间为 ，无单调递增区间，
当 时，令 ，解得： ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
综上所述： 时，则 的单调递减区间为 ，无单调递增区间，
时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， ，不合题意，
当 时，由知 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
实数 的取值集合为

18.解：由题意得 ，
由于 ，依据小概率值 的独立性检验，
可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，
随机变量 的可能取值为，，，
， ，
，
所以 的分布列为：
所以数学期望 ；
，
因为 ，所以认为在事件 条件下 发生有优势．

19.解：设直线，，，
联立 ，得 ，
所以，．
又因为是中点，所以，
，
代入化简得，解得．
故抛物线的方程为．

，
因为
，
同理，
所以，
当且仅当时，等号成立，即所求最小值为．
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