2023-2024学年广东省佛山市高二下学期期末教学质量检测数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省佛山市高二下学期期末教学质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
2.甲、乙两校各有名教师报名支教，现从这名教师中随机派名教师，则被派出的名教师来自同一所学校的概率为( )
A. B. C. D.
3.函数，的最小值为( )
A. B. C. D.
4.若将文盲定义为，半文盲定义为，小学定义为，初中定义为，职中定义为，高中定义为，大专定义为，大学本科定义为，硕士及以上学历定义为，根据调查，某发达地区教育级别与月均纯收入单位：万元的关系如下表：
学历 初中 职中 高中 大专 本科
教育级别
月均纯收入
由回归分析，回归直线方程的斜率，可预测该地区具有硕士及以上学历的月平均纯收入为( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
5.某小组人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.给定两个随机事件，，且，，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
7.若，则( )
A. B.
C. D.
8.佛山第一峰位于高明区皂幕山，其海拔最高达到米要登上皂幕山的最高峰，一共需要走级阶梯小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前分钟中，每分钟走级阶梯，由于体力有限，小明每隔分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔分钟，其速度降低，直到登上最高峰，则( ) 参考数据：，，，
A. 小明到达最高峰的时间比小吉早超过分钟
B. 小吉到达最高峰的时间比小明早超过分钟
C. 小明到达最高峰的时间比小吉早，但差距不超过分钟
D. 小吉到达最高峰的时间比小明早，但差距不超过分钟
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，过点有且只有一条直线与曲线相切，则点的坐标可以是( )
A. B. C. D.
10.已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有( )
A.
B.
C. 对，，有
D. ，
11.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人下列说法正确的是( )
A. 已知第次传球后球在甲手中，则球是由乙传给甲的概率为
B. 已知第次传球后球在丙手中，则球是由丁传给丙的概率为
C. 第次传球后球回到甲手中的不同传球方式共有种
D. 第次传球后球在乙手中的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某厂家生产的产品的质量指标服从正态分布N(171,).质量指标介于162至180之间的产品为良品,为使这种产品的良品率达到99.73%,则需调整生产工艺,使得至多为 . (若X~N(,),则P(|X-|<3)=0.9973)
13.数列满足，且，则数列的前项和为 ．
14.已知是定义域为的偶函数，当时，有，且，则 不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率
若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列与数学期望．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，，且当时，．
证明：是等比数列，并求出的通项公式
设，数列的前项和为，求．
17.本小题分
高考招生制度改革后，我省实行“”模式，“”为语文、数学、外语门统一科目，“”为考生在物理、历史两门科目中选择门作为首选科目，“”为考生在思想政治、地理、化学、生物学门科目中选择门作为再选科目有人认为高考选考科目的确定与性别有关，为此，某教育机构随机调查了一所学校的名学生，其中男生占调查人数的，已知男生有的人选了物理，而女生有的人选物理．
完成下列列联表：
物理 历史 总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过的前提下，可认为“性别与选科有关”，那么本次被调查的人数至少有多少
从物理类考生和历史类考生中各抽取人，若抽取的人性别恰好相同，求这人是女生的概率．
附：
18.本小题分
已知函数，
求曲线在点处的切线方程
证明：函数在区间内有且只有一个极值点
证明：．
19.本小题分
已知函数，证明：
在上单调递减，在上单调递增
若的两个零点为，，则
．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.
14.
15.解：分别记甲、乙、丙经第一道工序后合格为事件，，，
设表示第一道工序后至少有一件合格，
则
．
即第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率为；
因为每件产品经过两道工序后合格的概率均为，
所以∽，
所以，，，，，
即，
，
，
．
所以的分布列是
故随机变量的期望．
16.解：当时，，
故，又因为，解得，
故，故对于均成立，
故是以为首项，为公比的等比数列，
且的通项公式为．
，，
，
，
两式相减，
．
故数列的前项和．
17.解：依题意得，被调查的男生人数为，其中有的男生选物理
被调查的女生人数为，其中有的女生选物理
则列联表如下：
物理 历史 总计
男生
女生
总计
由列联表数据，得．
要使在犯错误的概率不超过的前提下，
可认为“性别与选科有关”，
则，解得，
又且，所以，即本次被调查的人数至少是．
设事件表示“人性别恰好相同”，事件表示“人性别相同且是女生”．
事件包含的基本事件数为，
事件含的基本事件数为，
所求的条件概率为．
18.解：的定义域为，且．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
当时，因为和都是增函数，
所以是增函数．
又因为，，
所以，使得．
当时，当时，．
于是，在上单调递减，在上单调递增．
因此，在区间内有且只有一个极小值点，无极大值点．
令，则
当时，当时，．
于是，在上单调递减，在上单调递增．
因此，．
令，
则，当且仅当时取等号．
于是，是增函数．
因此，当时，．
综上，，即．
19.解：，
令，则，
当时，；当，，
所以在上递减，在上递增．
当时，当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．
，当时，，
故在内没有零点．
当，当时，，
根据函数零点存在定理，在区间和内各有一个零点．
因此，．
令，
则．
令，则，
，，
故G在上递减，在上递增，
故G．
因此，当时，，，
即在上单调递增．
于是，，即
又因为在上单调递增，
故，即．
令，则．
当时，，故在上单调递减，
，即．
因此，，即．
当时，，
故，即．
根据不等式的同向可加性，得．
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