2023-2024学年安徽省六安第一中学高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年安徽省六安第一中学高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设函数，则( )
A. B. C. D.
5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有种方案．
A. B. C. D.
6.古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能有一个好天气，天气晴朗．某学习小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下列联表．
有朝霞 无朝霞 合计
当天有雨
当天无雨
合计
参考公式：．
临界值参照表：
则下列说法正确的是( )
A. 如果有朝霞，当天下雨的概率超过
B. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C. 能在犯错概率不超过的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D. 连续三天中必有一天出现朝霞
7.已知函数的定义域为，且，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若成立，则的最小值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，，，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是 D. 的最大值是，
10.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则( )
A. 是奇函数 B.
C. 的图象关于对称 D.
11.在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为若输入四个相同的信号的概率分别为，且记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则( )
A. 若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量满足，若，则 ．
13.已知，，，则的最大值是 ____．
14.一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数在点处的切线平行于轴．
求实数；
求的单调区间和极值．
17.本小题分
已知函数，
若存在，对任意的都成立；求的取值范围；
设，若不等式在上有解，求实数的取值范围．
18.本小题分
区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后的下一代颠覆性的核心技术．区块链作为“信任的机器”，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式．年至年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近年区块链企业总数量相关数据，如表：
年份
编号
企业总数量单位：千个
根据表中数据判断，与其中为自然对数的底数，哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？给出结果即可，不必说明理由
根据的结果，求关于的回归方程．结果精确到小数点后第三位
为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？
附：线性回归方程中，．
参考数据：
19.本小题分
记．
若，求和；
已知定义在上的函数是偶函数，求证：对于任意正实数，均有．
若，求证：对于任意，都有，且存在，使得．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：，或，
若，
则，即，
实数的取值范围是．
若，则，
当时，则，得
当时，
当则 ，得，
综上，的取值范围为．
16.解：由，
可得：，
由题意，，
解得；
由得，，
则，
当时，，
则在上是减函数，
当时，，
则在上是增函数，
故时，函数有极小值为，无极大值，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，函数有极小值为，无极大值．

17. 解：由 ，当 时， ，
又存在 ， 对任意的 都成立，
对任意的 都成立，
即 对任意的 都成立，其中 看作自变量， 看作参数，
即 ，解得： ；
，
，
令 ，则 ，
，因为不等式 在区间 上有解，
，又 ，
而 ， ，
，即实数 的取值范围是 ．

18.解：根据题表中数据可知区块链企业数量增加的速度逐渐变快，
所以回归方程 适宜预测未来几年我国区块链企业总数量．
对 两边取自然对数，得 ，
令 ，得 ，
由于 ， ， ， ，
则 ，
，
关于 的回归直线方程为 ，
则 关于 的回归方程为 ；
对于首场比赛的选择有以下三种情况：：甲与乙先赛；：甲与丙先赛；：丙与乙先赛，
由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙胜丙的概率为 ，
则甲公司获胜的概率分别是 ，
，
，
由于 ，
甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．

19.解：由题意得： ；
；
证明：对于任意正实数 ，任取
则存在实数 满足 使得 ，
因为 是偶函数，所以 ，而 ，
由此可得 ，于是有 ，
同理 ，所以
证明：由题意知 ，
记 ，有 或，
正 负 正
极大值 极小值
现对 分类讨论：
当 ，有 为严格增函数，因为 ，
所以此时 符合条件；
当 时， ， 先减后增，
，因为 取等号 ，
所以 ，
则此时 也符合条件；
当 时， ，在严格单调递增，
在严格单调递减，在 严格单调递增，
，
因为 ，当 时， ，
则 ，则此时 成立；
综上可知，对于任意 ，都有 ，且存在 ，使得

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