2023-2024学年湖南省长沙市浏阳高二下学期期末质量监测数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省浏阳市高二下学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象若，则( )
A. B. C. D.
5.第届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近个月销量，如下表所示：
时间
销售量万只
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是( )
A. 由题中数据可知，变量与负相关
B. 当时，残差为
C. 可以预测当时销量约为万只
D. 线性回归方程中
6.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量单位：克服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检个，则被抽检的篮球的质量不小于克的个数约为( )
A. B. C. D.
7.若，且能被整除，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.现有名男生和名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住人，且男女不能混住．则不同的安排方法有种
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 已知，是关于的方程的一个根，则
D. 若复数满足，则的最大值为
10.下列说法中，正确的是( )
A. 数据的第百分位数为
B. 已知随机变量服从正态分布，；则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为；若，，，则
D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为
11.对于任意的，表示不超过的最大整数十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”下列说法正确的是( )
A. 函数，的图象关于原点对称
B. 函数，的值域为
C. 对于任意的，，不等式恒成立
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且的图象恒过定点_______．
13.已知，则 ．
14.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知
Ⅰ若展开式的第项和第项的二项式系数相等，求的值，并求常数项
Ⅱ若展开式中所有项的系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，的面积为
．
求；
若，且的周长为，设为边中点，求．
17.本小题分
有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，．
任取一个零件，计算它是次品的概率；
如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率．
18.本小题分
刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为如图，在直三棱柱中，点的曲率为，，分别为，的中点，且．
证明：平面．
证明：平面平面．
若，求二面角的正切值．
19.本小题分
数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列
已知数列满足，．
(ⅰ)求，，；
(ⅱ)证明：是一阶等比数列；
已知数列为二阶等比数列，其前项分别为，，，，，求及满足为整数的所有值．
答案解析
1.
【解析】解：，，
．
故选：．
2.
【解析】解：因为，所以，
所以．
3.
【解析】解：因为函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以函数为奇函数，排除选项；
因为，故排除；
当时，，则，且，
所以，排除．
故选D
4.
【解析】解：由得，
因为函数在内恰有两个对称中心，所以，解得，
又，所以，即，所以，
将函数的图象向右平移个单位得到函数，
即，
因为
，
所以．
故选C．
5.
【解析】
解：对于选项A，从数据看 随 的增大而减小，所以变量 与 负相关，故A正确；
对于选项B，由表中数据知 ， ，
所以样本中心点为 ，将样本中心点 代入 中得 ，
所以线性回归方程为 ，所以 ， ，故B错误；
对于选项C，当 时销量约为 万只，故C正确；
对于选项D，由上 ，故D正确．
6.
【解析】解：由题意得，，
，
，
所以被抽检的篮球的质量不小于克的个数约为．
故选D．
7.
【解析】解：
，
因为能被整除，
所以若能被整除，则能被整除，则的最小值为．
故选D．
8.
【解析】解：名女生需要住个房间或个房间．
若名女生住个房间，则不同的方法种数为 ，
若名女生住个房间，则不同的方法种数为 ，
则不同的安排方法有 种．
故选： ．
9.
【解析】解：对于，由，则，A正确；
对于，，则，B错误；
对于，由是关于的方程的一个根，则，
所以，解得，所以，C正确；
对于，设，则，，
由可得，，故在复平面内所对应的点为以为圆心，半径为的圆，
，
表示圆上的点到点的距离，故的最大值为，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：对数据排列：，因为第百分位数为中位数，所以百分位数为，故 A错误；
因为随机变量服从正态分布，，所以，
所以，所以，所以，故 B正确；
因为，，，则，故 C正确；
因为样本数据的方差为，所以数据的方差为，故 D错误．
故选BC．
11.
【解析】解：对选项，当时，，
当时，，，
所以，不是奇函数，不关于原点对称，故错误；
对选项，因为，所以，
所以的值域为故正确．
对选项，，，，所以，
则，故正确．
对选项，不等式即，所以，
所以，即不等式的解集为，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：由对数的性质可知：，得，
当时，，
函数且的图象恒过点，
故答案为．
13.
【解析】解：令，即，因此原等式为，项为，
故答案为．
14.
【解析】解：设 ，因为 ，所以 ，
设 的内切圆的半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
因为三棱柱 有内切球，
所以 ，
因为 ， ，
所以直三棱柱 的外接球的直径就是以 为棱的长方体的对角线，
其长为 ，
所以三棱锥 的内切球的表面积为 ，
三棱锥的外接球的表面积为 ，
所以三棱柱 的内切球与外接球的表面积之比为 ．
故答案为： ．
15.解：Ⅰ因为展开式的第项和第项的二项式系数相等，
所以，解得，
展开式的通项为，
令，得，
故常数项为．
Ⅱ令，得所有项的系数之和为，解得．
由于是偶数，所以展开式中共有项，且第项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为．
【解析】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用展开式的通项是关键，属于中档题．
Ⅰ因为展开式的第项和第项的二项式系数相等，求出的值，再得出通项公式，令指数为，得到的值，即可得到常数项；
Ⅱ令，得出的值，由二项式定理的性质可得展开式中二项式系数最大的项．
16.解：依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得 ，
因为，所以 ；
依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．
【解析】本题考查正弦定理及余弦定理，考查利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．
由条件结合正弦定理及余弦定理即可求得，从而可求得；
由条件结合余弦定理及向量的数量积运算即可求得．
17.解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则，，，两两互斥．根据题意得
，，，
，．
由全概率公式，得
．
“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率．
．
类似地，可得
，．
【解析】本题考查条件概率，解题关键是引入字母表示事件，“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，把所求概率事件用，表示后根据条件概率公式计算．
首先用数学语言表示已知条件，设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则，，，两两互斥．，，，，．
由条件概率公式计算；
由条件概率公式计算．
18.解：在直三棱柱 中， 平面， 平面，
则 ， ，所以点的曲率为 ，
所以 因为 ，所以为正三角形．
因为为的中点，所以 ．
又 平面， 平面，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
取 的中点，连接，．
因为为的中点，所以 且 ．
又 且 ，所以 且 ，
所以四边形为平行四边形，则 ．
由知 平面 ，则 平面 ．
又 平面 ，所以平面 平面 ．
取的中点，连接，则 ．
因为 平面， 平面，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ，过作 的垂线，垂足为，连接，
则 ，又 ，、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， ，
所以为二面角 的平面角的补角．
设 ， ，则 ， ， ．
由等面积法可得 ，则 ，
则 ，故二面角 的正切值为 ．
【解析】本题考查了线面垂直的判定、面面垂直的判定和二面角，是中档题．
由题意可得 ，根据线面垂直的性质可得 ，结合线面垂直的判定定理即可证明；
如图，易证 ，由得 平面 ，结合面面垂直的判定定理即可证明；
如图，根据线面垂直的判定定理可得 平面 ，则 ，易证 ，则为二面角 的平面角的补角，结合等面积法求得，即可求解．
19.解：由，，
易求得，，，
由一阶差数列的定义得：
．
因为，所以，
所以当时有，
所以，
变形得，
即，，
又因为，所以，
所以为等比数列，即是一阶等比数列．
由题意知的二阶差数列为等比数列，设公比为，
则，，
所以，
由题意易求得，
所以，
所以，
即．
所以为整数当且仅当为整数，
由已知时符合题意，，，，，时不符合题意，
当时，，
所以原题等价于为整数，
因为，
显然不含质因子，所以必为的倍数，
设，，所以，
将带入式，
当为奇数时，为偶数，式为的倍数
当为偶数时，为奇数，为偶数，式为的倍数，
又因为与互质，所以式为整数．
综上，当，时，为整数．
【解析】由定义直接求值即可；
利用等比数列的定义直接证明；
由题，可知的二阶差数列为等比数列，设公比为，利用等比数列的知识求解即可．
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