2023-2024学年安徽省阜阳市高二年级下学期教学质量统测数学试题（含答案）

2023-2024学年安徽省阜阳市高二年级下学期教学质量统测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则为( )
A. B. C. D.
3.年月日，多人参赛的阜阳马拉松在市规划展示馆旁鸣枪起跑经过激烈角逐，前八名的成绩单位：小时分别为，，，，，，，，则这组数据的分位数是( )
A. B. C. D.
4.若角满足，则( )
A. B. C. D.
5.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点已知一束平行反身于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.图是底面边长为的正四棱柱，直线经过其上、下底面中心将其上底面绕直线顺时针旋转，得图，若为正三角形，则图所示几何体外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若是的一个极大值点，且，则的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列对性质描述正确有( )
A.
B. 图象的对称轴方程为
C.
D. 的单调递增区间为
10.已知奇函数和它的导函数的定义域均为，且，则下列结论正确的有( )
A. B. 为偶函数 C. D.
11.在直四棱柱中，底面是菱形，，，为的中点，点满足，，下列结论正确的是( )
A. 若，则四面体的体积是定值
B. 若的外心为，则为定值
C. 若，则点的轨迹长为
D. 若，，则存在点，使得的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，均为单位向量，且，则 ．
13.已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
14.在中，角，，的对边分别为，，，且，则 ，当时，面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且．
证明：数列是等比数列．
求满足的最大整数．
16.本小题分
已知椭圆的短轴长为，上顶点为，为坐标原点，，为椭圆上不同的两点，且当，，三点共线时，直线，的斜率之积为．
求椭圆的方程
若的面积为，求的值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，底面，，点到平面的距离为．
证明：C.
若直线与之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，坐标原点处有一个质点，每次向右或者向上移动一个单位，向上移动的概率为，向右移动的概率为，次移动后质点的坐标为．
求质点移动到点处的概率
次移动后质点的横坐标为，求的期望
求质点在经过次移动以后，最有可能的位置坐标．
19.本小题分
罗尔中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理罗尔中值定理的描述如下：如果函数满足三个条件在闭区间上的图象是连续不断的，在开区间内是可导函数，，那么在内至少存在一点，使得等式成立．
设方程有一个正根，
证明：方程必有一个小于的正根．
设函数是定义在上的连续且可导函数，且．
证明：对于，方程在内至少有两个不同的解．
设函数．
证明：函数在区间内至少存在一个零点．
参考答案
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14.任意正实数
15.解：证明：因为，
所以两边取倒数 ，，即
，则，
所以数列是首项为，公比为等比数列；
由可得，则，
所以
，
令，则函数在上单调递增，
而，，
所以满足条件的最大整数的值为．
16.解：由题意知椭圆的短轴长为，即，为椭圆的上顶点，所以当，，三点共线时，
设，则，，所以，则．
故椭圆的方程为．
设过，两点的直线为，，，
当直线的斜率不存在时，，两点关于轴对称，所以，．
因为在椭圆上，所以，
又，所以，即，结合可得，，此时，，
所以
当直线的斜率存在时，设其方程为，，
联立直线与椭圆方程消去得，其中，
所以，，
所以．
因为点到直线的距离，
所以，所以，整理得，符合式，此时，
所以，所以的值为．
17.解： 底面，平面，
，
，即，且，平面，，
平面
平面
平面平面，
过作，交于，
且平面平面，平面，
平面，
到平面距离为，
，
在中，，
设，则，
，，均为直角三角形，
且，，，，
，解得，
，
；
，，，
，
，
过作交于，
则为的中点，
由直线与之间的距离为，得，
，，
，
在中，，
以为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
显然为平面的一个法向量，
由，
则直线与平面所成角的正弦值为．

18.解:(1)P(X=1,Y=4)==.
(2)显然X服从二项分布X~B(5,),E(X)=5×=.
(3)设质点在经过20次移动以后,最有可能的位置坐标为(m,20-m),
则
即,解得13m14,
故所求位置坐标为(13,7)或(14,6).
19.证明：令函数
显然在上连续，在内可导，由条件知，
由罗尔中值定理知，至少存在点，使得，
即方程必有一个小于的正根．
令，则由，得，所以．
因为，所以，
由罗尔中值定理知，至少存在个，使得，即，
同理，因为，，
由罗尔中值定理知，至少存在个，使得．
所以故方程在内至少存在两个不同的解．
证明：令，则，
由，得，则，
又因为是连续且可导函数，由罗尔中值定理知，存在，使得
则，所以故函数 在区间内至少存在一个零点．
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