2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
2.数字串，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则( )
A. B. C. D.
3.设，已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程( )
A. 只有纯虚数根 B. 只有实数根
C. 有两个实数根，两个纯虚数根 D. 既没有实数根，也没有纯虚数根
4.对于集合中的任意两个元素，，若实数同时满足以下三个条件：
“”的充要条件为“”
对任意，都有
则称为集合上的距离，记为对于命题、命题，下列说法正确的是( )
命题：为
命题：为
A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题和命题都是真命题 D. 命题和命题都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的定义域为______．
6.已知复数，则 ______．
7.在的展开式中，常数项为______用数字作答
8.已知平面直角坐标系中，，，则三角形面积为______．
9.已知随机变量服从二项分布，若，，则 ．
10.已知向量，且，则 ______．
11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中、若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则 ______．
12.已知，为锐角，，则 ______．
13.已知，，，那么 ______．
14.设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，那么与所成角的取值范围为______．
15.已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．
16.在数列中，若存在两个连续的三项，，与，，相同，则称是“阶可重复数列”已知给定项数为的数列，其中，，，一定是“阶可重复数列”，则的最小值是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调递增区间；
Ⅱ若在区间上的最大值为，求的最小值．
18.本小题分
年月日，北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．
从顾客中随机抽取人，记这人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
从顾客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求．
19.本小题分
如图所示，在底半径为、高为为定值，且的圆锥内部内接一个底半径为、高为的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式图甲，乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式图乙．
设、分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径为自变量分别表示、；
试分别求、的最大值、，并比较、的大小．
20.本小题分
满足一定条件的全体直线组成集合，集合的包络曲线定义为：集合中的每一条直线都是曲线上某点处的切线，且曲线上的每一点处的切线都是集合中的某条直线．
若圆：是集合：，，的包络曲线，求，满足的关系式；
求证：集合：，的包络曲线为：；
在的条件下，过曲线上，两点作曲线的切线，，，在直线上若，求点的坐标．
21.本小题分
函数的定义域为，如果存在，使得，称为的一个不动点函数为自然对数的底数，定义在上的函数满足，且当时，．
求证：为奇函数；
当变化时，求函数不动点个数；
若存在，，且为函数的一个不动点，求的取值范围．
参考答案
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17.解：Ⅰ函数
，
函数的单调递增区间满足：
，，
解得，，
函数的单调递增区间为．
Ⅱ在区间上的最大值为，
所以，即，
的最小值为．
18.解：由题意可得，的所有可能取值为，，，，
，，，．
的分布列为：
；
这人的合计得分恰为分，则其中有且只有人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，
，
设，
，
得，
．
19.解：如图，设，，，，
根据三角形相似得，，
则，
若圆柱“竖放”，则，，
所以，
故；
若圆柱“横放”，则，
所以，
故；
因为，
则 ，
令，解得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以；
因为，
则，
令，解得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
所以．
因为，
又，
所以，
故．
20.解：由定义可知，与相切，
则圆的圆心到直线的距离等于，
即，
化简得：；
证明：在上任取一点，则，
所以在该点处的切线斜率为，
则在点处的切线方程为：，
即，
令直线族：中的，
则直线为，
所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，
而对任意：都是抛物线在点处的切线，
所以集合：，的包络曲线为：；
设，，，
则抛物线在点处的切线方程为：
，
即，又，
故，即，
同理，抛物线在点处的切线方程为，
又两切线的交点为，
所以，所以直线的方程为，
联立，消去得，
则，，
因为，
所以，
即，
即，
由于，所以，
又因为，所以，
所以，即，
又点在直线上，所以，
解得：，
故点．
21.解：，
故，
其中，
则，其中定义域为，
故为奇函数．
由得，令，
则，令，
解得，令，解得，
所以在单调递减，在上单调递增，
其中，
故当时，无解，
当时，有个解，
时，有个解；
综上，当时，函数没有不动点；当时，函数有个不动点；当时，函数有个不动点．
当时，，故，
所以在上单调递减，
根据奇函数的对称性，可得在上单调递减，
因为存在，
即，
则，
故，则，即，因为为函数一个不动点，所以在时有解，
令．
因为当时，，
所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于；
所以只需，即，解得，故的取值范围是．
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