2023-2024学年陕西省西安交大附中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省西安交大附中高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图，是水平放置的的直观图，但部分图象被墨汁覆盖，已知为坐标原点，顶点、均在坐标轴上，且的面积为，则的长度为( )
A. B. C. D.
3.有下列命题：
有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．
其中正确的命题的个数为( )
A. B. C. D.
4.平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.将正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成角为( )
A. B. C. D.
6.已知四面体中，，，，平面，则四面体的外接球半径为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，满足，，，，，则的最大值等于( )
A. B. C. D.
8.现有个直径为的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 三个平面最多可以把空间分成部分
B. 若直线平面，直线平面，则“与相交”的充要条件是“与相交”
C. 若，直线平面，直线平面，且，则
D. 若条直线中任意两条共面，则它们共面
10.点是所在平面内的一点，下列说法正确的有( )
A. 若则为的重心
B. 若，则点为的垂心
C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形
D. 若，，分别表示，的面积，则：：
11.在中，角，，的对边分别为，，，则( )
A. 若，，，则恰有解
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则
12.如图，棱长为的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则( )
A. 直线，为异面直线
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 过点，，的平面截正方体的截面面积为
D. 三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.设向量，，若，则 ______．
14.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，且侧棱底面，底面边长与侧棱长都等于，，分别为，的中点，则平面与平面之间的距离为______．
15.如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．
16.我国魏晋时期的数学家刘徽图创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形，在正方体内作两个互相垂直的内切圆柱图，其相交的部外就是牟合方盖图我国南北朝时期数学家祖暅基于“势幂既同则积不容异”这一观点和对牟合方盖性质的研究，推导出了球体体积公式已知在一个棱长为的正方体内有一个牟合方盖图，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，则平面截牟合方盖所得截面的形状为______填“正方形”或“圆形”，设这个牟合方盖的体积为图，并设半径为的球的体积为，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆台的上、下底面半径分别是和，高是求：
圆台的表面积；
圆台的体积．
18.本小题分
已知复数，，其中，．
若是纯虚数，求的值．
、能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
19.本小题分
在平行四边形中，，，，是线段的中点，，．
若，与交于点，，求的值；
求的最小值．
20.本小题分
在中，，，分别为内角，，的对边，．
求角的大小；
若是锐角三角形，，求面积的取值范围．
21.本小题分
如图，在圆锥中，边长为的正内接于圆，为圆的直径，为线段的中点．
求证：直线平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
求证：平面；
求侧面与底面所成二面角的余弦值；
在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
参考答案
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16.正方形
17.解：如图，圆台是大圆锥上面截掉小圆锥得到的几何体，
则，分别为圆台上、下底面的圆心，连接，则，，．
易得∽，则，得，
即，，，则．
圆台的表面积
圆台的体积．
18.解：复数，，其中，，
，
是纯虚数，
，解得．
、不能为某实系数一元二次方程的两个虚根．
理由如下：
假设、是某实系数一元二次方程的两个虚根，
则，
根据求根公式得，，
，互为共轭复数，
，无实数解，
、不能为某实系数一元二次方程的两个虚根．
19.解：当时，为的中点，可得，
若，则，
因为是的中点，所以，结合，得，
由，得，将组成方程组，解得，，所以；
根据题意，可得，
由，得，可得，
由，得，
所以
，
根据二次函数的性质，当时，的最小值为．
20.解：因为，
由正弦定理得：，
所以，
因为，
所以，
即，
即，整理得，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
因为，
所以，可得；
因为，，
所以的面积，
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，
故，，
因为，
所以，可得，
可得，
从而．
因此，面积的取值范围是
21.证明：设交于点，
为外心，
．
又，为中点．
中，分别为，中点，
，
，平面，
直线平面．
解：，为中点，又，为等边三角形．
过作且平面，位于线段上，
以为空间坐标原点，，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系．
则：，，，
，，
，
设平面的法向量为，
，，
取，则，．
则，
设直线与平面所成角的正弦值为，
，
直线与平面所成角正弦值为．
22.证明：在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，
所以平面；
解：取，的中点分别为，，连接，，，
则，，所以，
在正中，，
因为，，平面，
则平面，
在正方形中，，
故BC平面，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
由平面，，
则平面，又平面，
所以，
设正方形的边长，则，，
所以，
则，
故侧面与底面所成二面角的余弦值为．
解：当时，平面平面．
由正方形可得．
又，平面平面，可得平面，
即有，
所以
连接，在中，，
则，
由，可得，
又，所以平面，而平面，
所以平面平面．
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