2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省日照市校际联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的范围内，与终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.半径为的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为( )
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
4.已知向量和不共线，向量，，，若、、三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量，，若，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
7.的外接圆的圆心为，半径为，，且，则向量在向量方向上的投影的数量为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在，，，，满足，，且，，则满足条件的实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列命题正确的是( )
A. B. 可以作为平面向量的一组基底
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是以为周期的函数
B. 函数存在无穷多个零点
C.
D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若角的终边与单位圆相交于点，则 ______．
13.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则 ______．
14.已知平面向量对任意实数，都有，成立若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
求向量与夹角的正弦值．
16.本小题分
已知向量，，函数．
求函数在区间上的最值；
求函数在区间上的单调递增区间．
17.本小题分
将函数其中的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且为偶函数．
求函数的解析式和对称中心；
若对，，当时，都有成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，已知是的外心，，，，，．
判断的形状，且求时的值；
当时，
求的值用含，，的式子表示；
若，求集合中的最小元素．
19.本小题分
已知函数，其中为常数．
当，时，若，求的值；
设函数在上有两个零点，，
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以，，
若，
则，
解得；
设向量与夹角为，则，
所以，
则．
16.解：由，，得
，
当时，，可得，
所以当时，有最小值，当时，有最大值，
综上所述，的最大值为，最小值为；
由得，
令，解得，
所以在上的增区间为，
与区间求交集，得在区间上的单调递增区间为与．
17.解：将向左平移后得，
是偶函数，
，又，
，即，
由余弦函数的性质可知，的对称中心为，；
由得，
即，
令，
则显然当时，由得是增函数，
，
当时，，
，
则，即．
18.解：，
得，，为等边三角形；
由题意知的中点为，
且，，，
故．
为等边三角形，为外接圆的圆心，
所以，，，，
，，，
，，
又，，，分别为，，的等分点，
．
同理，
．
令，，，，，
可以看为自变量为的一次函数，在时取得最小值，
同理，，在时取得最小值，
，在时取得最小值，
的最小值为集合中最小元素为．
19.解：因为，，
当时，，而，
或舍，，
所以，的取值为．
令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递增，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，
解得，即的取值范围为．
证明：令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
，由得，
，又，，
由于，，
，
又在上单调递增，所以，
即．
第1页，共1页