2023-2024学年江西省萍乡市萍乡中学高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省萍乡市萍乡中学高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
3.在数列中，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，( )
A. B. C. D.
5.“”是“对任意，恒成立”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，且函数的定义域为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.九章算术是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿斗粟羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，那么称为“旋转函数”下列四个函数中“旋转函数”的个数为( )
．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义在上的函数满足，且，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 可能在上单调递增
10.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 有最小值但没有最大值
B. 对于任意的，恒有
C. 仅有一个零点
D. 有两个极值点
11.已知数列满足，且，，则下列说法正确的是( )
A. 数列可能为常数列
B. 数列可能为等比数列
C. 若，则
D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等比数列中，，则 ．
13.已知和分别是函数的极大值点和极小值点若，则的取值范围是 ．
14.已知函数恰有一个零点，则 ，不等式的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和是，且．
证明：是等比数列．
求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数，，．
求的定义域
判断的奇偶性，并说明理由
求的值域．
17.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求的取值范围
若且经过点只可作的两条切线，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，，．
判断，，的关系并证明
证明：是等差数列．
19.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求，的值
证明：．
参考答案
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15.证明：当时，，得，
当时，，得，
所以是首项为，公比为的等比数列；
解：由题意得，
则，
，
，得
，
所以或．
16.解：，
由得，
所以的定义域为．
为偶函数，
理由如下
因为，且关于原点对称，
所以为偶函数．
由题意得．
因为，所以，
即的值域为
17.解：由题可知在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，即，
所以的取值范围为
设切点为，，
所以切线斜率，
即关于的方程有两个不相等的实数根．
设，令，解得．
当时，，则在上单调递减
当时，，则在上单调递增．
所以在处取得最小值，即，
且当时，，当时，．
若满足方程有两个不相等的实数根，则，
解得，
故的取值范围为．
18.证明：由题可知，，
所以，化简可得，
同理，，
所以，化简可得，
所以．
由可知，，
所以当时，，
当时，．
综上，，，所以，
故是等差数列．
19.解：由题意得，
由切线的斜率为，得，
则切线方程为，当时，，所以，得．
证明：由可知，，要证，即证．
设，则
令，，易得是减函数．
因为，，所以存在唯一，使得，即．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以．
设，则
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
因为，两个不等式中的等号不能同时成立，所以，
即．
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