2023-2024学年山西省百校联考高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年山西省百校联考高二下学期7月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
4.若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知实数，满足，则下列数中不可能是的值的是
A. B. C. D.
6.已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.棱长均为的正三棱柱的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若函数的所有零点依次记为，，，，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.样本数据、、、、、的( )
A. 极差为 B. 平均数为 C. 上四分位数为 D. 方差为
10.已知两点，，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直线”，下列直线中，是“点定差直线”的有( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长均为的平行六面体中，平面，，，分别是线段和线段上的动点，且满足，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 当时，直线与直线所成角的大小为
D. 当时，三棱锥的体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在的展开式中，项的系数为 ．
14.过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则斜率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的边长分别为，，，边长为的边上的中线长为．
求的最大内角的正弦值
求．
16.本小题分
夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为．
若该同学投篮次，求恰好投中次的概率
若该同学在每一节比赛中连续投中次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数的概率分布列及数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，是的中点．
求证：平面平面
若，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知抛物线，，为上的两个动点，直线的斜率为，线段的中点为．
证明：
已知点，求面积的最大值．
19.本小题分
对于定义域为的函数，若，使得，其中，则称为“可移相反数函数”，是函数的“可移相反数点”已知，．
若是函数的“可移相反数点”，求
若，且是函数的“可移相反数点”，求函数的单调区间
设若函数在上恰有个“可移相反数点”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：不妨设，，，则是最大内角．
由余弦定理可得，
则．
．
16.解：令投中次的概率为，
则．
的可能取值为，，，
，
，
，
故的概率分布列为：
数学期望．
17.解：在四棱锥中，由，是的中点，得，
而，，，平面，则平面，
又平面，所以平面平面．
在直角梯形中，，，
又，，，平面，则平面，
又平面，于是，
由，得，则，即，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，则，
，
设是平面的法向量，
则，
令，得．
由知平面，即平面的一个法向量为，
因此，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.证明：设，，所以所以，
又，，所以．
解：设直线的方程为，即，
联立整理得，
所以，解得，
，，则．
又点到直线的距离为，
所以，
记，因为，所以，所以，．
令，，则，令，可得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即．
19.解：因为是函数的“可移相反数点”，所以，
于是，并且，所以．
因为是函数的“可移相反数点”，所以，即，所以，，
于是，定义域为，并且，
令，因为，当时，，递增，当时，，递减，所以，
所以当，恒成立，
故的单调递减区间为和，无递增区间．
因为函数在上恰有个“可移相反数点”，
所以方程在上恰有个实根，
当时，由，得：，即，解得，不合条件，舍去；
当即时，由，得：，解得：，
这时由，得：；
当且即时，由，得：
即，
令，因为当，，
所以在内单调递增，并且
所以当时，方程有一个根．
综上所述，当时，函数在上恰有个“可移相反数点”，，，
当时，函数在上恰有个“可移相反数点”，，
因此，实数的取值范围是．
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