2023-2024学年山西省临汾市部分校高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年山西省临汾市部分校高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列图中，相关性系数最大的是( )
A. B.
C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知一个直角三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，，则是直角三角形
C. 若，则是直角三角形
D. “”是“是等边三角形”的充分不必要条件
8.如图所示，曲线是由半椭圆，半圆和半圆组成，过的左焦点作直线与曲线仅交于，两点，过的右焦点作直线与曲线仅交于，两点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列命题正确的是( )
A. 奇数项的二项式系数之和为 B. 第项的二项式系数最大
C. 常数项为 D. 有理项的个数为
10.下列说法正确的是( )
A. 已知是奇函数，则有
B. 函数的单调减区间是
C. 定义在上的函数，若，则不是偶函数
D. 已知在上是增函数，若，则有
11.已知，是正实数，且，则下列说法正确的是( )
A. 的最大值 B. 的最小值为
C. 的最小值 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，若，则的取值范围为 ．
14.有个相同的球，分别标有数字、、、、，从中不放回地随机抽取次，每次取个球记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与差的绝对值不超过的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等差数列的前项和为，，其中，，成等比数列，且数列为非常数数列．
求数列通项
设，的前项和记为，求证：．
16.本小题分
我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．
求函数的对称轴
类比上述推广结论，写出“函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”的推广结论当对称中心为时．
17.本小题分
已知四棱锥，，，，是上一点，，．
若是中点，证明：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数且的图象经过定点，函数且的图象也经过点．
求函数的定义域与值域
若函数在上有两个零点，求的取值范围．
19.本小题分
“博弈”原指下棋，出自我国论语阳货篇，现在多指一种决策行为，即一些个人、团队或组织，在一定规则约束下，同时或先后，一次或多次，在各自允许选择的策略下进行选择和实施，并从中各自取得相应结果或收益的过程生活中有很多游戏都蕴含着博弈，比如现在有两个人玩“翻手背”的游戏，甲、乙约定若同时手心向上，则甲付给乙元，若同时手背向上，则甲付给乙元，若结果是一个手心一个手背，则乙付给甲元．
若两人各自随机翻出手心或手背，求乙收益的期望．
因为各自翻出手心或手背，所以可以控制翻出手心或手背的频率假设进行多次游戏，频率可以代替概率，因此双方就面临竞争策略的博弈甲、乙可以根据对手翻出手心或手背的概率调整自己翻出手心或手背的概率，进而增加自己赢得收益的期望．
假设甲以的概率翻出手心，乙以的概率翻出手心甲收益的随机变量为，乙收益的随机变量为分别求甲、乙收益的期望．
根据甲的收益期望，乙应该如何选择翻出手心的概率，才能使结果对自己最有利同理，根据乙的收益期望，甲应该如何选择翻出手心的概率，才能使结果对自己最有利并由此分析游戏规则是否公平．
参考答案
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15.解：由等比中项公式，
，得或舍去，
．
证明：，


16.解：设对称轴为，则为偶函数，
对恒成立，
，
，解得，
所以对称轴为；
函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
17.解：取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为

18.解：易得，代入中，得，
从而，
令，得，故函数的定义域为．
，是增函数，
的值域为．
由可知，．
设，则，
令，
因为为关于的单调递增函数，所以在上有两个零点，
等价于函数在上有两个零点，
当时，由，得，有一个零点，则不合题意．
当时，解得
当时，不等式组无解．
综上所述，的取值范围是
19.解：因为两人各自随机翻出手心或手背，
所以甲、乙翻出手心的概率均可认为是，
设乙的收益为随机变量，则的可能取值有：，，，
所以可得乙的收益的分布列为：
故乙收益的期望为．
甲收益的分布列为：
所以甲收益期望为：
，
同理可得乙收益的分布列为：
所以乙收益期望为：
；
根据甲的收益期望，乙的最优策略是翻出手心的概率为，
此时甲收益．
否则，若，甲可以选择翻出手心的概率，
此时
若，甲可以选择翻出手心的概率，此时．
同理，可知甲的最优策略也是翻出手心的概率，
此时乙收益．
否则否则若，乙可以选择翻出手心的概率，此时
若，乙可以选择翻出手心的概率，此时，
当时，甲的收益期望，
乙的收益期望．
所以此时游戏结果对两人都是最有利，但是规则不公平．
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