6.2.2 导数与函数的极值、最值 课件（共20张PPT）-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

(共20张PPT)
6.2.2 导数与函数的极值、最值（1）
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
一、知识回顾:
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数函数.
2.求函数单调区间的一般步骤
①求函数的定义域;
②求函数的导数 f ′(x) ;
③解不等式 f ′(x) >0 得f(x)的
单调递增区间;
解不等式 f ′(x) <0 得f(x)的
单调递减区间.
关注用导数本质及其几何意义解决问题
3.思考： 观察下图，当t=t0时距地面的高度最大,那么函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出什么？
函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。
x
2
y
0
已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点
(1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x)2.函数极值的定义
(2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.记作:y极小=f(x0)
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
f
注: 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.
极大值：
f(d)
f(f)
极大值点：d , f , h
f(h)
f(c)
f(e)
极小值：
f(g)
极小值点：c , e , g
3.探索思考
(1)极值是一个局部概念
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值不是唯一的.
(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小;
(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
思考：极值与最值的区别
4.极值的几点说明
(6)当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.
o
a
X00
b
x
y
o
a
X0
b
x
y
5.函数的极值与导数的关系
(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值（左正右负）
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值（左负右正）
四.探索思考:
导数值为0的点一定是函数的极值点吗
可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的
极值点.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要
条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
思考：y=x3在x=0处的导数？
三、例题选讲:
例1.
解:
令 ,解得x1=-2,x2=2.
当x变化时, ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
y’ + 0 - 0 +
y ↗ 极大值28/3 ↘ 极小值-4/3 ↗
因此,当x=-2时有极大值,并且y极大值=28/3;
而当x=2时有极小值,并且y极小值=- 4/3.
（1） 求导数f/(x)；
（2） 解方程 f/(x)=0
（3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.
小结：求函数极值的步骤
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) + 0 - - 0 +
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.
例2:求函数 的极值.
解:函数的定义域为
令 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:
练习1:求函数 的极值.
解:
令 =0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, ,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (2,+∞)
y’ - 0 + 0 -
y ↘ 极小值-3 ↗ 极大值3 ↘
因此,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3;
而,当x=1时有极大值,并且,y极大值= 3.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,
求a、b的值.
(2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜
率为k, 若k≥-1恒成立，试求a的取值范围 .
解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, 当x>0时, 故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.
(2)等价于当 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=
3x2-2ax-1≤0对一切 恒成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
解:
由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:
(1)设a>0,列表如下:
x -1 (-1,1) 1
+ 0 — 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可得 ,即 .
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.
(2)设a<0,列表如下:
x -1 (-1,1) 1
- 0 ≥0 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可得 ,即 .
又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
（1） 求导数f/(x)；
（2） 解方程 f/(x)=0
（3） 通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.
1.求函数极值的步骤
课堂总结
2.若函数f(x)可导,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:
(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布]
86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯]
88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森]
90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯]
92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯]
93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金]
95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班]
96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。
爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格]
98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根]
99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特]
100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹]
101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰]
102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华]
103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗]
104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭]
105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基]
106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克]
107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼]
108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿]
109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基]
110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆]
111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯]
112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯]
113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯]
114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。
――[阿萨·赫尔帕斯爵士]
115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂]
117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯]
118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默]
119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀]
120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯]
121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯]
122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑]
123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔]
124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多]
125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼]
127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温]
129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]