2024年北师大八年级数学（上）1.2一定是直角三角形吗题型分类训练（无答案）

1.2一定是直角三角形吗题型分类训练
题型一 利用三边关系判定直角三角形
1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
2．在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．n2﹣1，2n，n2+1（n＞1） B．∠B﹣∠C＝∠A C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．B：BC：AC＝5：12：13
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，DA＝24，且∠B＝90°，下列结论中：①∠D＝90°；②∠A+∠C＝180°；③∠C＝120°；④S四边形ABCD＝204．其中正确的结论是（ ）
A．② B．①② C．①④ D．①③④
题型二 根据三边满足的关系式判断三角形的形状
4．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则（ ）
A．边a的对角是直角 B．边b的对角是直角 C．边c的对角是直角 D．是等腰三角形
5．若三角形的三边满足|c2﹣a2﹣b2|+（a﹣b）2＝0，则此三角形的形状是 ．
6．已知a，b，c满足|a|（c）2＝0．
（1）求a，b，c的值；（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．
7．已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
小明的解题过程如下：
因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2），②所以c2＝a2+b2，③
所以△ABC是直角三角形．④请根据上述解题过程回答下列问题：
（1）小明的解题过程中，从第 （填序号）步开始出现错误；（2）请你将正确的解答过程写下来．
题型三 勾股定理及其逆定理解决面积问题
8．在△ABC中，三边长分别为3，4，5，那么△ABC的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
9．一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是 ．
10．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9m，BC＝12m，CD＝8m，AD＝17m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是（ ）
A．48m2 B．114m2 C．122m2 D．158m2
11．如图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）求四边形花圃ABCD的面积；（2）求C到AD的距离．
题型四 巧添辅助线构造直角三角形
12．如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝ ．
13．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
14．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，则△ABC的面积为 ．
15．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．
（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长．
16．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AB上一点，F是AC上一点．若∠EDF＝90°，且BE2+FC2＝EF2，求证：∠BAC＝90°．
题型五 勾股定理的逆定理的实际应用
17．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东60°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．北偏西60° B．南偏西60° C．南偏西30° D．南偏东30°
18．如图所示，三个村庄A，B，C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价260万元/km，修这条公路的最低造价是多少？
19．为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得∠B＝90°，AB＝4m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m，如果种植草皮费用是200元/m2，那么共需投入多少钱？
20．某社区开辟了一块四边形空地打造绿化带（阴影部分）．如图，现测得AB＝AD＝13m，BC＝8m，CD＝6m，且BD＝10m．（1）试说明∠BCD＝90°；（2）求绿化带的面积．
21．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域．我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，12分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行60海里，乙巡逻艇每小时航行25海里，乙巡逻艇的航向为南偏西40°．
（1）求甲巡逻艇的航行方向；
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，6分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？
题型六 用勾股定理的逆定理进行证明
22．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．（1）证明：AP＝CQ；（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连接PQ，证明：△PQC是直角三角形．
23．（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．小强在解决此题时，是将△APC绕C旋转到△CBE的位置（即过C作CE⊥CP，且使CE＝CP，连接EP、EB）．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
24．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，
使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
题型七 勾股数的辨别
25．下列各组数据中，为勾股数的是（ ）
A．，1，2 B．14，48，50 C．，， D．2，3，6
26．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．7，24，25
27．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．32，42，52 B．3，4，7 C．0.5，1.2，1.4 D．9，12，15
题型八 勾股数的规律猜想题
28．观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律，写出第8组勾股数： ．
29．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝ ．（提示：5，13，…）
题型九 勾股定理及逆定理的综合应用
30．如图，已知正方形的边长为4，为中点，为上的一点，且，求证：．
31．如图，在△ACD中，点B在边CD上，连接AB，已知AB＝10，AC＝8，BC＝6，AD+BD＝26．
（1）求证：∠C＝90°；（2）求AD和BD的长．
32．如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．
（1）求证：∠C＝90°；（2）若AC＝15，BC＝9，求CE的长．
33．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC边延长线上的一点，且BC：CD＝2：3，AD＝10．
（1）分别求BC和CD的长．（2）求证：△ABD是直角三角形．
34．为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点是边上的一点，过点作垂直于的小路，点在边上．经测量，米，米，米，比长12米．
(1)求的面积；(2)求小路的长．