4.3 对数 课件(共32张PPT) -高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共32张PPT)
第四章 指数函数与对数函数
4 . 3 对 数
4.3.1 对数的概念
4.3.2 对数的运算
0)).通过指数幂运算，我们能从y =1.11×中求出x 年后B地景区
的游客人次约为2001年的倍数y.反之，如果要求经过多少年游 客人次是2001年的2倍，3倍，4倍， ...,那么该如何解决呢
问题1:根据y=1.11×(x∈(0,+0)), 分析需要经过多少年游客人次是2001年的
2倍呢 3倍，4倍， ...n倍
在4.2.1的问题1中，我们假设经过x年后的游客人次为
2001年的y倍，那么得到两者的关系为：y=1.11×(x∈[0,+
复习引入
700
500
300
20012003200520072009201120132015时间库
人次万次 1300
1100
900
上述问题实际上就是从2=1.11×,3=1.11×,4=1.11×,... n=1.11×中分
别求出x, 即已知底数和幂的值，求指数.这就是本节要学习的对数.
2=1.11
已知
幂值
问题1:根据y=1.11×(x∈[0,+0)],
2倍呢 3倍，4倍， ...n倍
分析需要经过多少年游客人次是2001年的
新知探索
已知 底数
求指数
一般地，如果a×=N (a>0 且a≠1), 那么数x叫做以a 为底N的对数，记作：
x=logaN, 其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.
注：真数N>0.
例如，由于4=1.11×, 所以x就是以1.11为底
4的对数，记作x=log .14; 再如，由于3 =9,
所以以3为底9的对数是2, 记 作log 9=2 .
新知探索
根据对数的定义，我们可以得到指对互换的关系：
a×=N (a>0,a≠1) x=logaN (N>0) .
由指数与对数互换的关系式，我们可以得到关于对数的如下结论：
① 负数和0没有对数；
②loga1=0 , logaa=1 .
新知探索
请你利用对数与指数间的关系证明这两个重要结论.
其实对数最初是为了解决生活中遇到的问题而出现并发展的，因此在科技、
经济以及社会生活中经常使用以无理数e =2.71820..(e 为无限不循环小数，即 无理数)为底数的对数，以 e 为底的对数称为自然对数，并把logeN 为底记为InN. 另外，我 们 将以10为底的对数叫做常用对数，并把log 0N 为底记为lgN .
同学们可以通过查询互联网， 进一步了解无理数、常用对数 和自然对数.
新知探索
解：(1)log 625=4;
(5)10- =0.01; (6)e .303=10.
(1)5 =625;
(5)lg0.01=-2; (6)ln10=2.303.
例1.把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式：
例析
ax=N x=logaN
解：(1)∵ :
(2)∵logx8=6,∴
(3)∵lg100=x,∴10×=100=10 ,x=2.
(4)∵-Ine =x,∴e =e-x,∴x=-2.
(2)logx8=6;
(3)lg100=x; (4)-lne =x.
例析
ax=N x=logaN
例2.求下列各式中x的值：
并用对数形式表示出m 和n.
∵aman=am+n,∴MN=am+n
根据对数与指数间的关系可得：
logaM=m,logaN=n,
∴loga(MN)=logaam+n=m+n=logaM+logaN.
在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究
问题2:我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对
新知探索
loga(MN)=logaM+logaN
数运算性质呢 设M=am,N=a n,请同学们根据指数幂运算性质探究MN 的值，
问题3:同样地，同学们可以仿照上述过程，由am÷an=am-n,
的其他性质.
新知探索
根据对数与指数间的关系可得：
logaM=m,logaN=n,
loga(MN)=logaM+logaN
设M=am,N=an,
∵am÷an=am-n, ∴
自己推出对数运算
。
设M=am,N=an,
∵(am)n=amn,∴Mn=amn.
根据对数与指数间的关系可得：
logaMn=logaamn=mn=nlogaM.
活动4:同样地，同学们可以仿照上述过程，由(am)n=amn, 你还能推出对数运
算的其他性质吗
logaMn=nlogaM
新知探索
如果a>0, 且a≠1,M>0,N>0, 那么
① loga(MN)=logaM+logaN;
③ logaMn=nlogaM(n∈R).
通过刚刚的推理计算，我们得到了如下重要的对数运算性质：
新知探索
(2)log (4 ×25)=log 4 +log 2
=7log 4+5log 2
=7×2+5×1
=19.
①loga(MN)=logaM+logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
例3.求下列各式的值：
(1)lg√ 100; (2)log (4 ×25).
例析
例4.用Inx,lny,Inz表
解：
=Inx +In√y-In √z
①loga(MN)=logaM+logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R).
例析
新知探索
数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过
查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以 直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为 以10或e 为底的对数，就能方便地求出这些对数.
活动1:
(1)利用计算工具求ln2,ln3 的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用ln2,ln3的值求log 3的值吗
(3)根据对数的定义，你能用logca,logcb表示logab(a>0, 且a≠1;b>0;
c>0, 且c≠1) 吗
对数换底公式：
(a>0, 且a≠1;b>0;c>0,
且c≠1).
接下来，我们来探索对数运算更多的性质.
设logab=x, 则a×=b, 于是logcax=logcb.
根据性质③logaMn=nlogaM,
我们有： logca×=xlogca=logcb,
新知探索
活动2:通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论.
(1) ;(2) ;(3)logab·logbc=logaC.
新知探索
。
证明(2):
,∴
在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是
计算x=log1.112 的值.由换底公式，可得 .利用计算工具，可得，
由此可得，大约经过7年，B 地景区的游客人次就达到了2001年的2倍.类似地，
可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍， ...所需要的年数.
新知探索
例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为
lgE=4.8+1.5M.2011 年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放
出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的
约32倍.
例析
例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为
lgE=4.8+1.5M.2011 年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放
出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)
解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为E 和E . 由lgE=4.8+1.5M, 可得
lgE =4.8+1.5×9.0,lgE =4.8+1.5×8.0.
于是，
利用计算工具可得，
虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者
的约32倍.
例析
题型二：对数运算性质的应用
例1.(1)若lg2=m,lg3=n, 则 等 于 ( ) .
D.
解：
故选A.
解：①原式=(lg5) +(2-lg2)lg2=(lg5) +(1+lg5)lg2
=(lg5) +lg2·lg5+lg2=(lg5+lg2)lg5+lg2
=lg5+lg2=1.
②
=log 5+log 7-2log 7+2log 3+log 7-2log 3+log 5
=2 log 5=2.
例1.(2)①(lg5) +2lg2-(lg2) ;
;
对数式化简与求值的基本原则和方法：
基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理， 一般本着便于真数化简的原则
进行.
常用方法：
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
① loga(MN)=logaM+logaN;
2
乙
③ logaMn=nlogaM(n∈R).
练习
变1.(1)(全国卷改编)设alog 5=2, 则4-a=().
A B C D
解：因为alog 5=4, 所以log 5a=4, 则 有 5a=81. 所以 .故选B.
变1.(2)计算下列各式：
①log √625;②log (32×4 ).
解：①原
②原式=log 32+log 4 =5+4=9.
练习
题型三：_换底公式_
例2.(1)计算(log 125+log 25+log 5)(log 2+log 54+log 258)
练习
的值.
例2.(2)已知log 89=a,18b=5,
解：(2)∵log 89=a,18b=5
∴log 85=b.
用a,b 表示log 645的值.
利用换底公式进行化简的原则和技巧：
原则：化异底为同底
技巧：
(1)先进行部分运算，最后再换成同底；
(2)借助换底公式一次性统一换为常用对数(自然对数),再化简、通分、求值；
(3)利用对数恒等式或常用结论，有时可熟记一些常用结论.
对数换底公式：
(a>0, 且a≠1;b>0;c>0, 且c≠1).
练习
变式2.(1)若log,b·loghc·log.3=2, 则a 的值为
解：(1)由已知可 ,即
∴lg3=2lga, 即a =3,a=√3.
变式2.(2)计算(log 3+logg3)(log 2+log 2).
题型三：对数运算的综合应用
例3.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位： m/s) 和燃料的质量M
(单位：kg), 火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg) 满 (e为 自然对数的底数).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最
大速度(单位： m/s).(In3≈1.099)
∴v=2000ln3≈2000×1.099=2198(m/s).
故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.
变式3.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规
定：100ml血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到
20~79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝 了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/ml. 如果在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶 汽车 【参考数据： lg0.2≈-0.7,lg0.3≈-0.5,lg0.7≈-0.15,lg0.8≈-0.1】
解：设他至少经过x个小时后才能驾驶汽车，则100(1-30%)x<20,
练习
∴他至少经过5个小时才能驾驶汽车.
小结：
(1)对数的运算性质；
(2)换底公式及其推论.
作业：
(1)整理并复习课件题型；
(2)课本P126-127习题4.31—7题做作业本.
课堂小结&作业
谢谢学习
Thank you for learning