3.3 幂函数 课件(共26张PPT)-高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共26张PPT)
第三章 函数的概念与性质 3.3幂函数
前面我们学习了函数的概念，并利用函数概念和对函数图象的观察，研究了函
数的单调性、最值和奇偶性.从这些性质出发，我们可以来研究更多新的函数类型。
复习导入
活动1:请同学们根据下列情境，写出相应的式子，并分析是否满足函数关系。
(1)如果张红以1元/kg 的价格购买了某种蔬菜wkg, 那么她需要支付的金额p表示为
(2)如果正方形的边长为a, 那么正方形的面积S表式为
(3)如果立方体的棱长为b, 那么立方体的体积V表式为
(4)如果一个正方形场地的面积为S, 那么这个正方形场地的边长a 表示为
(5)如果某人t s内骑车行进了1km, 那么他骑车的平均速度v表示为
(1)p=w;(2)S=a ;(3)V=b ;(4) ;(5)
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活动2:观察5个情境中的函数解析式，它们有什么共同特征
(1)p=w;(2)S=a ;(3)V=b ;(4) ●
通过观察，我们可以发现这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的
底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3, ,- 1;它们都是形如 y=xα 的函数.
幂的指数除了可以取整数之外，
还可以取其他实数，当它们取其他
实数时幂也具有各自的含义，这些 会在后面学习.
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注：幂函数的表达式y=xα 中 ，x 的系数必须为“1 ”.
思考1:对于幂函数，我们只研究α=1,2,3, ,-1时的图象与性质.结合 以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数
通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用
图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.
一般地，函数y=xα 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.
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h(x) x |
g(x)=x
f取)=×
p(x)=xi
q(x)=x-
活动3:尝试在同一坐标系中画出函数y=x,y=x ,y=x ,
y=x-1 图象.(取点要具有代表性)
探索新知
“ggb”作图.
和
)
活动4:观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.
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y=x y=x y=x y=x2
y=x-1
定义域 R R R [0,+0]
(-o0,0)U(0,+0)
值域 R (0,+0) R [0,+0]
(-o,0)U(0,+0)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数
奇函数
单调性 在R上单 调递增 在(-o0,0)上单 调递减，在 (0,+0) 上单调递增 在R上单 调递增 在[0,+0] 上单调递 增
在(-o,0)上单调
递减，在(0,+0)
上单调递减
定点 (1,1)
活动4:观察函数图象并结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内.
探索新知
(3)幂函数在(0,+0)上都有定义；
(4)当α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0), 且 在(0,+00)上单调递增；
(5)当α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1),且 在(0,+00)上单调递减；
(6)在(1,+0) 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(即“指大图高”) .
(1)函数y=x,y=x ,y=x ,
, 和y=x-1 的图象都通过点(1,1);
(2)函数y=x,y=x ,y=x-1
是奇函数，函数y=x , 是偶函数；
探索新知
通过观察函数图象和表格，我们得到：
例.证明幂函数f(x)= √x是增函数.
证明：函数的定义域是(0,+00).
Vx ,x ∈(0,+0), 且 1∵x 一x <0,√x +√x >0,
∴f(x )练习
题型一：幂函数的概念
例1.已知f(x)=(a +2a-8)xa 是幂函数，则a=
解：∵f(x)=(a +2a-8)xa 是幂函数
∴a +2a-8=1=(a+4)(a-2),
得 ：a=-4 或a=2.
练习
方法技巧：
幂函数的注意事项
(1)幂函数的表达式y =xα中 ，x 的系数必须为“1”.
(2)当α>0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0), 且在(0,+00)上单
调递增；
(3)当α<0 时，幂函数的图象都过点(1,1),且 在(0,+00)上单调递减.
变1.已知幂函数f(x)=(a -3)xa 在(0,+0)上单调递增，则f(2)等于( ).
B.4 C. D.3
解：∵f(x)=(a -3)xa 为幂函数
∴a -3=1,a=±2.
又∵幂函数在(0,+0)上单调递增
∴a=2. 即f(x)=x .
∴f(2)=2 =4.
例析
A
练习
题型二：幂函数的图象及应用
例2.若点( √2,2)在幂函数f(x)的图象上，点 在幂函数g(x)的图象上，问
当x为何值时，(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)解：∵设f(x)=xα,则2= √2“
∴α=2.即f(x)=x .
同理可得，g(x)=x-2.
画出f(x)=x 和g(x)=x- 的函数图象，
则由图象可知：当x<-1 或x>1 时 ，f(x)>g(x);
当x=±1 时 ，f(x)=g(x);
当 - 1练习
方法技巧：
解决幂函数图象问题的原则：
(1)根据图象的高低判断幂指数的大小：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠
近x轴(“指大图低”);在(1,+0) 上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(即“指
大图高”).
(2)当α>0时，幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点.
> C
y=xb
y=xC
y=xd
变2:若四个幂函数图象y=xa,y= xb,y=xC,y=xd 在同一坐标系中的图象
如图所示，则a,b,c,d的大小关系是() .
A.d>C>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d
答案：B. 在 ( 1 , +oo) 上，指大图高.
练习
y=xa
题型三：利用幂函数的单调性比较大小
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
解：(1)∵幂函数y =x .1在(0,+0)上是单调递增的，
,∴
(2)∵幂函数 在(-o,0) 上是单调递减的，
又-1>-2,∴(-1)- <(-2)-1.
(2)(-1)-3与 ;
例3.比较下列各组数中两个数的大小.
(3) 与
解：(3)∵幂函数 (0,+0)上是单调递增的，
,∴
又∵ (0,+00)上是单调递增的，
,∴
■
。
直接法
当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较
转化法
当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用 单调性来比较大小
中间量法
当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大 小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的
练习
方法技巧：
比较幂的大小的3种基本方法：
变3.比较下列各题中两个幂的值的大小.
(1)1.5-与1.4-; ② 与 ■
解：(1)∵幂函数 在(0,+00)上是单调递减的，
又1 . 5>1 . 4,∴
幂函数 (0,+0)上是单调递增的，
,∴ ,即 重
题型四：幂函数性质的综合应用
例4.已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在定义域上的单调性；
解：(1)∵2b=1,∴
,a∈N*,∴2a +b 不为偶数且为正数.
∴该函数的定义域为R,
由幂函数的性质知，该函数在定义域上单调递增.
·
·
重
例4.已知幂函数
(2)若该函数图象经过点(2, √2),试确定a 的值，并求满足条件f(2-m)>
解：(2)由(1)得：
∵该函数图象经过点(2, √2),∴ ,
即 ,∴ , 即
由f(2-m)>f(m-1), 得 2 -m>m-1, 解之
故a的值为 满足条件的实数m 的取值范围为
f(m-1) 的实数a的
■
练习
方法技巧：
解决幂函数的综合问题，要注意以下几点：
(1)充分利用幂函数的图象、性质解题，如图象过定点、单调
性、奇偶性等；
(2)注意运用常见的思想方法解题，如分类讨论、数形结合等.
变4.已知幂函数f(x)=(m -5m+7)x-m-1(m∈R)
(1) 的值；
(2)若f(2a+1)=f(a), 求实数a的值.
解：(1)∵幂函数f(x)=(m -5m+7)x-m-1(m∈R) 为偶函数，
∴m -5m+7=1, 解得m=2 (舍去)或m=3.
∴f(x)=x-4,∴
(2)由f(2a+1)=f(a),
即
解之得a=-1 或
练习
可得(2a+1)- =a-4
为偶函数.
重
课堂小结&作业
小结：
(1)幂函数的概念；
(2)5个常见幂函数的图象及其性质；
(3)幂函数的性质；
(4)幂函数比较大小的方法.
作业：
(1)整理课件题型；
(2)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题.
谢谢学习
Thankyou for learning