5.1弧度制 (共27张PPT) 高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共27张PPT)
第 5 章 三 角 函 数
5.1.2 弧度制
人教A 版2019必修第一册
弧度制与角度制互化
03. 扇形的弧长和面积公式
01. 弧度制角
目录
学习目标
1.理解弧度制的概念。
2.熟练弧度制与角度制的转换。
3.掌握弧度制表示扇形的弧长公式与扇形的面积公式。
Topic.01
01 情景导入
在我们的实际生活中存在很多度量单位，你所知道的度量单位有哪些呢
度量长度可以用米、英尺、码等单位制，
度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.
问题一：在平面几何里，度 量 角的大小用什么单位
角度制的单位有：度、分、秒。
情景导入
问题二：1°的角是如何定义的
规定：1度角等于周 角
这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制。单位为“度”(即 “O”) 不能省略
情景导入
角度制下的弧长公式
如图，射线OA绕着端点O旋转到OB 形成角α.在旋转
过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆 弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°,OP=r,
所学知识可知：
点P形成的圆弧PP 的长为,由初中
情景导入
于
Topic.02
02 弧度制
探究：如图，在射线OA 上任取一点Q(不同于点O),OQ=r .
在旋转过程中，点Q所形成的圆弧QQ 的长为I,I 与r 的比 值是多少 你能得出什么结论
设α=n°, 则
可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关.
当弧长与半径相等时， 是一个定值1,此时圆心角等于 度.
我们把l与r的比值1记为1个单位的角，这样可以用 来度量角的大小.
这就是度量角的另一种单位制——弧度制.
弧度制
我们规定： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 (radian)
的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆，在单位圆O 中，
弧AB的长度等于1, 则∠ AOB就是1弧度的角。
弧长与半径相等
弧度制
弧度
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时
针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于 2π或者小于-2π的角。这样就可以得到弧度数为任意大小的角。
一般地，正角的弧度数是一个正实数，负角的弧度数是一个负实
数，零角的弧度数是0
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为l的的弧所对的圆心角
弧度制
为α rad, 那么有：
探究一：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间有什么区别呢
(1)弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”
(2)弧度制是十进制，角度制是六十进制；
(3)角度制的单位是“。”,不可省略。弧度制的单位是 “rad”, 可以省略。
探究二： 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间如何换算呢
∴α=360° 对应的弧度制
∴β=180°对应的弧度制
弧度制
角度数=弧度数 ×80
弧度数=角度数× 180
弧度制
β=180°对应的弧度制
180°=π rad
两边同除以180
两边同除以π
反 过 来 有
提醒： 度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度.
角度制与弧度制互化
解：因为 2
弧度制
1.把67°30化成弧度；
2.(1)把310°化成弧度，
② 化成角度
注：角度制与弧度制互化时要抓住180°=π rad这个关键。
弧度制
角度制与弧度制互化
注意事项
①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数.
②用弧度制表示角时，“弧度”二字或 “rad ”通常略去不写，只写该角所
对应的弧度数.
③弧度与角度不能混用.即不能出现这样的形式：
弧度制
角度 0° 30° 45° 60° 90°
120°
弧度 0
角度 135° 150° 180° 210° 270°
360°
弧度 π
2π
根据度与弧度的换算关系，填写下表中特殊角的度数或弧度数.
弧度制
一 抓 → [抓住“正对正，负对负，零对0”这个要点
记住常见角对应的弧度数
应 用 1
两个基本关系
提醒： 度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度.
角度制与弧度制换算的要点：
二记
三 应 用
弧度制
3.用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合.(1)终边落在x轴的非
正半轴、非负半轴以及y轴的上的角的集合；
(1)x 轴非正半轴S={β|β=π+2πk,k∈Z}
x轴非负半轴S= {βlβ=2kπ,k∈Z}
角度制与弧度制互化
弧度制
3.用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合.
(2)第一、二、三 、四象限角的弧度表示.
第一象限
第二象限 S=
弧度制
角度制与弧度制互化
第四象限
【解析】
∴与30°终边相同的所有角可表示为
,k∈Z, 故选D.
B.{a|a=2kπ+30°,k∈Z}
C.{a|a=2k·360°+30°,k∈Z}
D.
4.与30°角终边相同的角的集合是(D)
角度制与弧度制互化
弧度制
Topic.03
03 扇形的弧长与面积
弧度制：扇形的弧长、面积公式
l=|a|R
扇形的弧长与面积
角度制：扇形的弧长、面积公式
1.(1)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20cm,求扇形的面积
(2)已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm ,求扇形圆心角的弧度数
(3)已知扇形周长为40cm,当扇形的半径和圆心角为多大时，它有最大
(1) ·20 =80π(cm)
(2)
扇形的弧长与面积
当且仅当ar
此时r=10,α=2
面积，最大面积是多少
(3)2r+aγ=40
=2r=20,
。
2.若扇形的周长是定值C(C>0), 当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大
扇形的弧长与面积
当且仅当ar=2r=C,
此时α=2
时取等号。
2r+aγ=C
Topic.04
04课堂小结
总 结
1.什么叫做“1弧度”角。
2.角度制与弧度制的互化。
3.扇形的弧长和面积公式。
课堂小结