5.1.1 任意角 课件(共18张PPT)）高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共18张PPT)
人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数
5 . 1 . 1任意角
思考1:下面时间是该校准的 你能表示分针所 转过的角吗
(1)老师的钟慢了5分钟，想将它校准，
(2)老师的钟又快了1.25小时，想将它校
准，分针又应该旋转多少度
一、情境引入
分针应该旋转多少度
跳水运动员转 体三周半，那 么转了几度
体操运动员 腾空转体一 周半，转了 几度
双人跳的跳水 运动员各自转 体三周半，那 么她们各自转 了几度 角度 一样吗
思 考 2 :前面这些角，我们虽知道是怎么来的，但却
不能用初中所学的角来表示，这是为什么呢
二 、合作探究
先让我们来回顾一下初中学过的角的定义：
初中(定义)
角———从一点出发的两条射线所围成的图形。
(静止地) (角的范围是：0°~360°)
而我们前面碰到问题是转动的，正是这个转动，不
但使其范围超出了0°~360° ,而且其转动的方向有顺 时针与逆时针之分，因此，要准确地描述这些现象，不 仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即 必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向。
从上面分析，使我们既看到了原来角的定义的局 限性(静止的、在0°~360°的),由此，也找到 了旋转量与旋转方向是研究其运动规律的突破口。
因此，我们有必要将角的概念进行推广，并从旋 转量与旋转方向这个突破口出发，去把角推广到任意
角，这就是我们本节要研究的课题。
定义：
(高中定义)
角———_一条射线绕一个端点从一个位置
旋转到另一个位置所形成的图形。
(运动地)
(任意角)
我们规定：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角： 一条射线没有作任何旋转形成的角
终边
α=210° γ=0° A
β=-150°
这样我们就把角的概念推广到了任意角。
B
边
B
1.终边与始边重合的角是零角吗
2.零角的终边与始边重合吗
3.相等的角，终边一定相同，那么,终边相同的
角一定相等吗
不一定
重合
思考3
不一定
思考1
现在我们就可来解决前面提出的角度如何表示了
(1)你的手表慢了5分钟，想将它校 准，分针应该旋转多少度 -30°
(2)假如你的手表快了1.25小时，想将它 校准，分针应该旋转多少度
450° (逆时针)或 - 3870 °(顺 时 针 )
再思考：如何来简化角的研究
——将角放在直角坐标系中!
那么,角如何放
1)角的顶点与坐标原点重合，
2)角的始边与X轴的非负半轴重合。
终边落在第几象限就称角是
第几象限角--- 常称 为象限角，
终边落在坐标轴上就是非象限角。
即对于直角坐标系内任意一条射线OB, 以
它为终边的角唯一吗 如果不唯一，那么终边相
同的角又有什么关系
为研究这个问题，先一起来看下面图中在直角坐 标轴系内的角-32°,328°,-392°,能否发现这些角有什么 特点 它们之间有何联系 由此，去研究其规律.
将角按照上述方法 放在直角坐标系中后，
给定一个角，就有唯 一的一条终边与之对
应。反之成立吗
-32 +2x3600,-320—2x3600
-320+3x3600,-320—3x3600
(它们共同的特点是与-320角终边相同)
(而与-320角终边相同的角的规律是：)
与-320终边相同的角的一般形式为-320+ KX3600,K∈Z
与α终边相同的角的 一 般形式为α+Kx360°,K∈Z
思考6:终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数 倍.
S={β|β=α+kx3600,K∈Z}
-320 =-320+0x3600
3280=-32 +360 =-320+1x3600
-3920=-320—360°=-320—1x3600
人
-3920
3280
0 -320%
成果-----与角α终边相同的角的集合形式为：
三、应用举例
例 1 在0°~360°范围内，找出与-950°12'角终
边相同的角并判定它是第几象限角：
解：∵-950°12'=129048'-3×3600,
∴在0°~360° 范围内，与-950°12'角终 边相同的角是129°48',它是第二象限角.
方法指津：
在0°~360° 内找出与已知角终边相同的角α, 其方法是，用所给的角除以3600,所得的商为k, 余 数为α(为正数)即为所求的角。
与 9 0 角终边相同的角构成的集合
S ={βl β=90 +K·3600,K∈Z}
∴与270 角终边相同的角构成的集合
S ={β|β=270 +K·360°,K∈Z}
={β|β=90 +180 +2K·180°,K∈Z}
所以终边落在y 轴上的角的集合为
S=S US ={β|β=90 +2K·1800 K∈Z}
例2写出终边落在Y轴上的角的集合。
· 解 ：在0°~360°范围内，在终边在y 轴上的角有两个，90°,270°
U{β|β=90 +(2K+1)1800,K∈Z}
={β|β=90 +K·1800,K∈Z}
{偶数}U{ 奇数}
={整数}
90 +k·3600
270 +k·3600
例3写出终边在直线y=x 上的角的集合s,
并把s中适合不等式-360°≤β<720°的元 素β写出来.
解：如图，在直角坐标中画出直线y=x, 可以发现它与
x轴的夹角是45°,在0°~360°范围内，终边在直线y=x 的角有两个 ：45°, 225°。 因 此，终边在直线y=x上的角
的集合为：S={βIβ=45 +k●360°,k∈Z}U
{βIβ=225°+k●360°,k∈Z}
={βlβ=45°+k●180°,k∈Z}
方法指津：
要表示终边在某一位置的角，可以先表示出终边 在该位置的0°~360°间的一个角，然后再加上k·360°。
四 、课堂小结：
1.利用运动的观点(角的旋转)去推广了角，
用数形结合(直角坐标系)去简化了角的研究，
用特殊到一般的思想找到了终边相同的角的表示方法。
2.正确理解正角、负角、零角的关键是抓住终边旋转的方向和
旋转的量。
3 .所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合
S={ββ= α+kx3600,K∈Z}
4.在直角坐标系内研究角的好处在：既使角的研究简化，又
看到了终边”周而复始“的现象。但其前提是角的顶点与坐标 原点重合，角始边与X 轴的非负半轴重合。
五 、课后作业
P6练习 3、4、5
P10习题1.1 1 、2 、3