1.4 充要条件(共20张PPT)高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共20张PPT)
充要条件
1. 结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.
3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
学习目标
一般地，“若p则q” 为真命题，是指由p通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p可推出q, 记 作p→q, 并且说p是q的充分条件， q是p的必要条件。
记忆方法：箭尾是箭头的充分条件
箭头是箭尾的必要条件
复习导入
新知学习
充要条件的概念
p→q 9→P
P q
p是q的 ①充分必要条件，简称②充要条件
思考1:若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法正确
吗
提示 正确.若p是q的充要条件，则p q, 即p等价于q.
思考2:记集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若p是q的充分不必要条件，则集合A,B的
关系是什么 若p是q的必要不充分条件呢
提示 若p是q的充分不必要条件，则A手B,若p是q的必要不充分条件，则B 手A.
特别提醒
(1)若p→q,则称p与q互为充要条件.
(2)若p→q,但q→p,则称p是q的充分不必要条件.
(3)若q→p,但p→q,则称p是q的必要不充分条件.
(4)若p→q,且q→p,则称p是q的既不充分又不必要条件.
充要条件的判断
例下列各组命题中，哪些p 是q 的充要条件
(1)p: 四边形是正方形，q: 四边形的对角线互相垂直且平分；
(2)p: 两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;
(4)p:a +b =0,q:a=b=0.
充要条件的判断
(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以q≠p, 所以 p不是
q的充要条件。
(2)因为“若p, 则 q” 是三角形的性质定理，“若q, 则p” 是相似三角形的判定定理，
它们均为真命题，既p→q, 所 以p是q 的充要条件。
(3)因为当xy>0 时 ，x>0,y>0 不一定成立，所以p≠q, 所以p 不是q 的充要条件。
(4)若a +b =0, 则a=b=0, 即P=9; 若a=b=0, 则a +b =0, 即 9 =P, 故P 9,
所以p 是q 的充要条件.
判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
1.定义法：直接判断“若p, 则q”以及“若 q, 则p”的真假.
2.集合法：情形如下：记命题p: 集 合A, 命 题q: 集 合B.
①若ASB, 则p 是q 的充分条件，若A年B, 则p 是q 的充分不必要条件.
②若BSA, 则p 是q 的必要条件，若B 年A, 则p 是q 的必要不充分条件. ③若A=B, 则p,q 互为充要条件.
3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由pi→p2→ ..→pn,可得pi→pn;
充要条件也有传递性.
充要条件的判断
总结
跟踪训练
已知p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件，也是s 的充分条件，r 是s 的
必要条件，问：
(1)p是 r的什么条件
(2)s是q 的什么条件
(3)p,q,r,s 中哪几对互为充要条件
充要条件的判断
解：作出“→”图，如右图所示，
可知：p=q,r=q,q≥S,s=r.
(1)p=q→s=r,且 r=q,q 能否推出p 未知，
∴p是r 的充分条件.
(2)∵s→r→q,q→s,
∴s 是q 的充要条件.
(3)共有三对充要条件，q s;s r;r→q.
充要条件的判断
先证充分性：设原方程有两根x ,x ,x <0再证必要性：由ac<0知 ,又由韦达定理知 7
所以x x <0,即x 、x 一正一负.
求证： 一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)有一正根和一
负根的充要条件是ac<0 .
充要条件的证明
充要条件证明方式一：(1)先证充分性；(2)再证必要性.
提示：
无论证充分性还是必要性，都要针对a,b的正负情况进行
分类证明.
若a,b∈R, 求证：“a|a|>b|b|” 是“a>b”的充要条件.
对应练习：
每一步的变形都必需是等价的!
一表示“等价于”,即充要的意思
充要条件的证明
充要条件证明方式二：对条件进行等价变形.
若a,b,x,y∈R, 求证： 的充要条件是
)一 )一
对应练习：
已知ab≠0,求证：a+b=1 的充要条件是a +b +ab-a -b =0
(预备知识：a +b =(a+b)(a -ab+b ))
充分、必要、充要条件的探求
(1)不等式 成立的充分不必要条件是 (A)
A.x>1 B.x>—1
C.x<—1 或 00
(2)1<2x+2<8 的一个必要不充分条件是 (B)
B.—1【解析】 (1)由 可 解 得x>1 或 x<0,
结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x>1.
(2)求解不等式1<2x+2<8 可 得
结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是一1课堂小结
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、集合法、传递法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两
种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p→q证的是充分性，由q→p证的是必要性；
②p的充要条件是q, 则由p→q证的是必要性，由q→p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步
的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
对应课后练习
课后作业
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