1.4 充要条件(共19张PPT) 高中数学人教A版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
教学目标
理解充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要条件的意义 ( 重点)
会判断一些两命题的关系(重点、难点)
充要条件
学科素养
通过实例明确充分条件和必要条件的概念
充分条件和必要条件的判定方法
用集合间的关系判定充分条件和必要条件的方法
充要条件
数学抽象
逻辑推理 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析
一般地，“若p 则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q.
这时，我们就说，由p 可推出q, 记 作p=q, 并且说p 是q 的充分 条 件 ，q 是p 的必要条件。
记忆方法：箭尾是箭头的充分条件
箭头是箭尾的必要条件
·下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题
·(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
·(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
· (3)若 一 元二次方程 有两个不相等的实数根，则ac<0 ·(4)若AUB 是空集，则 均是空集.
思考
定义
·如果“若p,则q” 和它的逆命题“若q, 则p” 均是真命题，即既有 p→q 又有q→ p, 就记作 p q
· 此 时 ，p 既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件
说明
·显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。 ·概况地说，如果 ,那么p与q互为充要条件
标杆题：充要条件的判断
标杆题下列各题中，p是q的什么条件
( )pp: +C;
( ) )(x ,bq :x=2;
(5)p x -1≤0q: x≤1
反思：
1、判 断p是 q的什么条件的基本步骤、方法是什么 2、常见命题的条件共有哪几种情形
;q:
-3
b
2
:
:
p
p
4
3
a
,q
2
1
① “四边形的两组对角分别相等”
② “四边形的两组对边分别相等”
③“四边形的一组对边平行且相等”
④ “四边形的对角线互相平分”
⑤ “四边形的两组对边分别平行”
以上①②③④⑤是“四边形是
平行四边形”的充分条件，又 是必要条件，所以它们都是
“四边形是平行四边形”的充
要条件.
知识海洋：充要条件不一定是唯一的
你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗
知识海洋：充要条件不一定是唯一的
上面的这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这
个概念，据此我们可以给出平行四边形的其他定义形
式.例如：两组对边分别相等的四边形叫做平行四边形；
对角线互相平分的四边形叫做平行四边形.
由此看出，根据充要条件可以对某些概念从不同角度给
出相互等价的定义，比如“三角形全等”,“三角形相
似”等等.
∴方程ax +bx+c=0, 有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax +bx+c =0有一正根和一负根.
必要性：由于方程ax +bx+c=0, 有一正根和一负根，∴△=b2 -4ac>0,
, ∴ac<0. 综上可知，关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有一正根和一
负根的充要条件是ac<0.
例求证：关于x 的方程ax2+bx+C=0(a≠0) 充要条件是ac<0.
证明：充分性：由ac<0 可得b -4ac>0 及
题型充要条件的证明
有一正根和一负根的
答案
事
根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方 面分别证明.一般地，证明“p 成立的充要条件为q”:
①充分性：把q 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p;
②必要性：把p 当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
方法归纳
充要条件的证明思路
巩固训练求证： 一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象过原点的充要条 件是b=0.
证明：①充分性：如果b=0, 那么y=kx,
x=0 时y=0, 函数图象过原点.
②必要性：因为y=kx+b(k≠0) 的图象过原点，
所以x=0 时y=0, 得 0 =k0+b,b=0.
综上， 一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象过原点的充要条件是b=0.
答案
1 . 点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是( )
A.x<0,y<0 B.x<0,y>0
C.x>0,y>0 D.x>0,y<0
[解析] P(x,y) 在第二象限，等价于x<0,y>0. 选B
2 .设p:x<3,q:-1A. 充分必要条件 B.充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
[解析]因为{x|-1p:x<3
q:-1记忆方法：小能推大，大不能推小
练习
练习
3.(山东菏泽一模，3)“x>0”是“x2020>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当 x>0 时，可以推得x2020>0; 但 当x2020>0 时，
推不出x>0,故“x>0” 是“x2020>0”的充分不必 要条件 .故选A.
练习
4.设A、B为两个互不相同的集合.命题p:x∈(AN B);命
题q:X∈A 或x ∈B. 则p 是q的 条件 . ( )
A. 充分必要 B. 充分不必要
C. 必要不充分 D. 既不充分又不必要
[解析]若命题p:x∈(ANB) 成立，命题q:X∈A 或
X∈B一定成立；若命题q:x∈A 或x ∈B 成立，但是x不
一定是ANB 中的元素，所以p 是q 的充分不必要条件，
选B. p:X∈(ANB)
q:X∈A或x ∈B
应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤：
(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合
间的关系；
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.
是q的充分不必要条件.
是g 的必要不充分条件.
是g的既不充分也不必要条件.
若p →q,q→ p
若 q→p,p →q
若p 书 q,q→p
若 p q ,则 称：p 与q 互为充要条件.
称 ：p
称：p
称：p
,则
,则 ,则
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