3.3 函数的应用（一） 课件（共29张PPT) 高中数学人教B版（2019）必修第一册

(共29张PPT)
最可怕的事是同一起跑线上比你牛的人比你还努力
☆ ☆
第三章 函数
3.3函数的应用(一)
第一课时
教学目标：
能够对简单的实际问题，选择适当的 函数构建数学模型，并应用模型解决 问题。
在我们的现实生活中经常会碰到一些这样的问题：
(1)国家为了鼓励节约用水，节约用电，会实行阶梯水价，阶梯电价
,那么如何根据用水量求出需要交纳的水费呢
(2)酒店为了获取最大利润应该如何制定房间的价格
(3)在材料一定的前提下如何使围出的矩形场地面积最大
还有经济学中的问题，如何求最大利润或者最小成本等等问题。诸如此
类的问题我们经常碰到，那么如何解决呢
请同学们思考并回答一下下面两个问题：
(1)阶梯电价、阶梯水价问题中水费与用水量是什么函数关系呢
(2)在材料一定的前提下围出的矩形场地面积如何表示 如何求出面
积的最大值
记户年用水量为 x m 时应缴纳的水费为 f(x) 元 。
(1)写出 f(x) 的解析式；
(2)假设居住在上海的张明一家2015年共用水260m , 则张明一家2015年应缴纳水费 多少元
分析问题，明确思路，解决问题，提升数学运算素养
(一)分段函数模型
例1:为鼓励大家节约用水，自2013年以后，上海市实行了阶梯水价制度，其中每
户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示。
分档 户年用水量/m
综合用水单价/(元/m )
第一阶梯 0 - 220(含)
3.45
第二阶梯 220- 300(含)
4.83
第三阶梯 300以上
5.83
分析：本题是一个阶梯水价问题，很明显是分段函数，根据表格自变量
范围一目了然。而且每一段都是一次函数，写出每一段的解析式，最后
写出分段函数形式即可。
在我们实际生活中，很多类似的例子，像阶梯电价、出租车计费，个人
所得税等等。
解：(1)不难看出，f(x) 是一个分段函数，而且：
当 0当220当x>300 时，有f(x)=220×3.45+(300-220)×4.83+(x-300)×5.83
=5.83x-603.6。
因此
(2)因为220因此张明一家2015年应缴纳水费952.2元。
总结：
1.分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
2 .分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.
分段函数是刻画现实问题的重要模型，分段函数主要是每一段自变量变化所 遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来 ,再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
(二)一次函数模型思考问题，分析问题，建立模型
例2:城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978—2013
年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。假设每年城镇常住人口增
加量相等，记1978年后第t( 限 定 t<40 )年的城镇常住人口为f(t)
亿。写出的 f(t) 解析式，并由此估算出我国2017年城镇常住人口
数。 问题：(1)一次函数的平均变化率是什么
(2)这个题目是根据什么信息得出f (t)的函数类型的
(3)根据题目中“记1978年后第t (限定t<40) 年的城镇常住人口为f(t)亿”这句话的理解，可以得
出1978年跟2013年对应的t 是多少
解：因为每一年城镇常驻人口的增加量相等，所以f(t) 是一次函数
设f(t)=kt+b. 其中k.b是常数。
注意到2013年是1978年后的第2013-1978=35年，因此
即 ,解得k=0.16.b=1.7。
因此f(t)=0.16t+1.7,t∈N 日t<40
又因为2017年是1978年后的第2017-1978-39年，而且f(39)=0.16×39+1.7=7.94,
所以由此可估算出我国2017年的城镇常住人口为7.94亿。
总结：
(1)一次函数模型图像的变化特点是直线上升或下降，函数值的单位
增加量或单位减少量相同。
(2)在解答实际问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围。
(三)二次函数模型
例3:某农家旅游公司有客房160间，每间客房单价为200元时，每天
都客满。已知每间客房每提高20元，则客房出租数就会减少10间。若 不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金
提价/元 每间房单价/元 客房出租数
租金总收入/元
0 200 160
32000
20 220 150
33000
40 240 140
33600
60 260 130
33800
80 280 120
33600
总收入最高
分析
解：设每间房单价提高x 个20元时，每天客房的租金总收入为y 元 。
因为此时每间房单价为200+20x 元，而客房出租数将减少10x间，即为160-10x 间 ，
因此y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x)
=200(-x +6x+160)=200-(x-3) +169]
=-200(x-3) +33800。
从而可知，当x=3 时 ，y 的最大值为33800。
因此每间房单价提到200+20×3=260元时，每天客房的租金总收入最高。
小结：
二次函数模型的解析式为 f(x)=ax +bx+c(a≠0) .在函数建模中
,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方
法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解 决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图像来
解答.
跟踪练习：
某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l,
如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少
分析：设一个未知量，另一个量利用总长度就可以表示出来，根据面积
公式列出式子。特别注意自变量的取值范围。
又因为
所以当 时 ，S 的最大值为 。此时矩形宽为
即矩形是长、宽都是 的正方形时，场地面积最大。
解：设矩形的长为x 时，场地的面积为S 。
因为矩形的周长为1 ,所以矩形的宽为
想一想：本题还可以用什么 方法求面积的最值
得 0
由
0
方法(二):均值不等式
设矩形的长为x, 宽 为y, 则
当且仅当 时 ，S 取得最大值为 0
故有
函数模型
例5:已知某产品的总成本C 与年产量Q 之间的关系为 C=aQ +3000
,且当年产量是100时，总成本6000.设该产品年产量为Q 时平均成本为f(Q)
( 1 ) 求 f(Q)的解析式；
(2)求年产量为多少时，平均成本最少，并求最小值。
分析：对于 这种模型，首先考虑能否用
均值不等式求最值，特别注意等号能不能取到，如果等号取不到就不能 用均值不等式，改为根据函数单调性求最值。本题可以选择均值不等式
注意检验均值不等式是否能取到等号。
解 ：( 1 ) 将Q=100,C=6000 代入C=aQ +3000,
可得100 a+3000=6000 ,从而 ,于是
因此
(2) 因为
Q=100时，等号成立。
当且仅当 , 即
因此，当年产量为100时，平均成本最小，且最小值为60.
(五)【巩固练习，学以致用】
1、 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需
要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500 件，当出售的这种产
品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表
示为年产量x 的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大
课堂小结 总结升华
1、解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后
建立其解析式.求解析式时， 一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的 隐含条件，充分利用函数图形的直观性.
2、数学建模的过程图示如下：
实际问题 数学对象 数学模型
推理或
演算
评价
实际问题的解 解 释 数学模型的解
1.某商场将彩电的售价先按进价提高40%,然后按“八折优惠”
卖出，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是( )
A.2000 元 B.2500 元
C.3000 元 D.3500 元
C [设彩电的进价为x 元，得1.4x×0.8—x=360,解得x=3000,
故选C.]
点此进入
解析答案
2345
1
2 . 向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深h
的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
A B C D
点此进入
1 2 3 45 解析答案
B [题图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，
这反映水瓶中水上升的液面越来越小.故选B.]
1 2 345
3.有一批材料可以建成360 m 长的围墙，如果用此材料在一边
靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的
小矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为_ m (围墙厚度
不计) .
点此进入
解析答案
3 4 5
12
8100 [设每个小矩形与墙垂直的一边长为a m,则与它相邻的
另一边长为 ,记围成场地的面积为Sm ,
则 S=3ab=a.(360—4a)=—4a +360a(O∴当a=45 时 ，Smax=8100(m ),
∴所围矩形面积的最大值为8100 m .]
123 45
4 . 某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到
达B 地，在B 地停留2小时，则汽车离开A 地的距离y(单位：千米)
是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是 .
[答案]
123 4 5
5.某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元
时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将
会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆
每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租
金应该定为 元 .
点此进入
12345 解析答案
050,所以当x=4050 时 ，y 最大，最大值为ymax=307050, 即当每辆车
的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050 元 . ]
4050 [设每辆车的月租金定为x 元，租赁公司的月收益为y 元，则：
1234
5