江西省宜春市第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

江西省宜春三中2023-2024年第二学期期末考试
高一年级数学试卷
考试范围：必修第二册；考试时间：120分钟
一、单项选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．已知向量，，（分别为正交单位向量），则（ ）
A． B．1 C．6 D．
3．某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
4．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．已知中，角的对边分别是，若，则是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
6．如图，在平行四边形中，，点E满足，则（ ）．
A． B．
C． D．
7．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．在中,内角所对边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
10．已知向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．设函数，则的最大值为2
C．的最大值为
D．若，且在上的投影向量为，则与的夹角为
11．在长方体中，，点P为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．直线与是异面直线
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知角的终边与单位圆交于点，则 ．
13． 侧面积为的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为
14．设向量满足，与的夹角为，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（13分）
已知角，且.
(1)求sin()的值;
(2)求的值.
（15分）
已知向量，，向量满足，且.
(1)求的坐标；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
（15分）
的内角的对边分别为，满足.
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
（17分）
已知四边形为直角梯形，，，为等腰直角三角形，
平面平面，E为的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
(3)求异面直线与所成角的余弦值；
（17分）
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．
试求解下列问题，
(1)已知向量满足，求的值；
(2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值；
(3)已知向量，求的最小值.
高一年级数学试卷参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B A C D A B C CD ABD ACD
12． 13. 1 14. 4
15．【详解】（1）由题意知，，................................. ......................3分
所以； ................................... .....................6分
（2）由（1）知，，所以......13分
16．【详解】（1）设，则， ..............2分
又，且，所以，.................................. ......................4分
解得，所以 .............................................................................7分
因为， ..................................................................8分
因为与的夹角为钝角，所以
则， ..........................................................................11分
解得且， ...........................................................................14分
所以实数的取值范围为.......................................................................15分
17.【详解】（1）由得，. ...........................2分
由正弦定理得，即，....................4分
由，所以，化简得， ........................6分
所以，所以 ...................................................................7分
（2）由， 得，.................10分
即，得， ......................................................................11分
所以， ................................13分
当且仅当，即时等号成立 .................................14分
所以的最小值为．. . ...........................................................15分
【详解】（1）设是的中点，连接，由于是的中点，
所以是三角形的中位线，所以， ...........2分
而，所以，.................................3分
所以四边形是平行四边形，所以，................................4分
由于平面，平面，
所以平面 .................5分
（2）由于，所以， ...............................7分
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，. ...............................................................................8分
由于平面，所以................................9分
由于平面，所以平面，.....................10分
由于平面，所以平面平面． ..............................11分
（3）由于，所以是异面直线与所成角（或其补角），.................12分
，，，， ...............................................................................................15分
所以，所以. ....................................................17分
19．【详解】（1）由已知，得， .. ...............................1分
所以，即 .................................2分
又，所以， .................................3分
所以 .................................4分；
（2）设，则，..............................5分
所以，.................................6分
，..........8分
所以， .................................9分
又，所以； ...............................10分
（3）由（2）得， .................................11分
故， ...............................12分
， ...............................15分
当且仅当，即时等号成立 ..................................16分
所以的最小值是9．.. ....................................................................17分