河南省名校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷（含解析）

河南省名校2023-2024学年高二下学期5月联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知函数在处的导数为3，则( )
A.3 B. C.6 D.
2．记等差数列的前n项和为，已知，，则公差( )
A.-1 B. C. D.2
3．函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
4．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则( )
色差x 21 23 25 27
色度y 15 18 19 20
A.23.4 B.23.6 C.23.8 D.24.0
5．在等比数列中，，，成等差数列，则( )
A. B. C.2 D.4
6．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．已知正项数列的前n项和为，满足，则( )
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
8．已知，设函数，若存在，使得，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．对于经验回归方程，以下判断正确的是( )
A.变量x与变量y正相关
B.该方程一定过点
C.根据经验回归方程可以预测，当时，变量
D.当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位
10．设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的为( )
A.若，则为等差数列
B.若，则
C.若，则是公差为的等差数列
D.若，则的最大值为1
11．已知定义在R上的可导函数满足，，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．为了比较E、F、G、H四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了E、F、G、H四组数据的线性相关系数，求得数值依次为，，，，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据.
13．已知函数，，则的最小值为______.
14．已知数列满足，，数列的前n项和为，则的整数部分是___________.
四、解答题
15．人们曾经相信，艺术家将是最后被AⅠ所取代的职业，但技术的进步已经将这一信念敲出了裂痕，这可能是AⅠ第一次引起人类的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等软件创作出来的给画作品风格各异，乍看之下，已与人类绘画作品无异，AⅠ会取代人类画师吗？某机构随机对60人进行了一次调查，统计发现认为会取代的有42人，30岁以下认为不会取代的有12人，占30岁以下调查人数的.
（1）根据以上数据完成如下2×2列联表：
年龄 理解情况 总计
会取代 不会取代
30岁以下 12
30岁及以上
总计 42 60
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄与理解情况有关？并说明原因.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中.
16．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在与之间插入k个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求k.
17．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求a的取值范围.
18．已知正项等比数列的前n项和为，且满足，，数列满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）已知有两个极值点.
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为函数在处的导数为3，
所以，
所以.
故选：B.
2．答案：A
解析：由等差数列求和公式得，
解得.
故选：A.
3．答案：B
解析：由题意可知：的定义域为，且，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.
故选：B.
4．答案：A
解析：由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
则.
故选：A.
5．答案：C
解析：设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，
所以，
所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：，
点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，
.
，
.
故选：C.
7．答案：B
解析：由题意，，，
两式相减，得，
.
，.
当时，，，
是首项为1，公差为1的等差数列.
.
故选：B.
8．答案：D
解析：当时，易知的最小值为，
当时，，令，解得，
若，则在上单调递增，且时，，
所以只需，解得或，
又，所以，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
成立，所以符合题意，
综上，a的取值范围是.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对于A选项，由，故变量x与变量y负相关，所以A项错误；
对于B选项，经验回归方程必过点，所以B项正确；
对于C选项，根据经验回归方程，可预测变量时，变量，所以C项正确；
对于D选项，在回归方程中，当变量x减少一个单位时，
y平均增加2个单位，所以D项正确.
故选：BCD.
10．答案：ABD
解析：当时，，所以为等差数列，A选项正确；
，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误；
当时，，所以，B选项正确；
由可知，，所以，D选项正确.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：因为，所以.
故构造函数，.则，
所以在R上单调递增.由，得，
由的单调性可得当时，.当时，.
A选项：，解得，A错误；
B选项：，解得，B正确；
C选项：，解得，C正确；
D选项：，解得，D正确.
故选：BCD.
12．答案：H
解析：因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，
且，
所以H组数据的线性相关性最强.
故答案为：H.
13．答案：
解析：因为，则，，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故答案为：.
14．答案：1
解析：，，
又，，，数列为递增数列；
，，
则；
，
；
，，，
，，，
则的整数部分为1.
故答案为：1.
15．答案：（1）列联表见解析
（2）年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010；理由见解析
解析：（1）完成2×2列联表如下：
年龄 理解情况 总计
会取代 不会取代
30岁以下 18 12 30
30岁及以上 24 16 30
总计 42 18 60
（2）设为：年龄与理解情况相互独立，即年龄与理解情况无关，
由题意，，
所以根据小概率的独立性检验，我们推断成立.
即认为年龄与理解情况无关，此推断犯错误的概率不大于0.010.
16．答案：（1）证明见解析
（2）39
解析：（1）因为，则，
且，可得，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得：，则，
由题意可得：，，
即，解得，所以k的值为39.
17．答案：（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为和
（2）
解析：（1），
，解得，则，
，
令，解得或，令，解得，
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为和.
（2），
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，
因为恒大于0，所以在区间上恒成立，
设，
当时，得在区间上不恒成立，所以不满足题意，
当时，由于函数的对称轴，所以要在区间上恒成立，
只需不等式组无解，
或解得，
当时，函数的对称轴，
要在区间上恒成立，
则只需，无解，
综上，实数a的求值范围是.
18．答案：（1），
（2）
解析：（1）设数列的公比为q，由已知得，
因为，所以，得，
又.所以，
所以，
对于数列，因为①，
当时，，则，
当时，②，
由①②得，即，
又，也适合上式，故，
当时，又，
所以.
（2）由（1）可得：，，
则，
则数列的前项和为：
，
所以：
.
19．答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以a的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，，
可得，
设，，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.