吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷（含解析）

吉林省梅河口市第五中学2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知i为虚数单位，且，则( )
A.3 B. C.5 D.
2．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是( )
A.11 B.13 C.16 D.17
3．如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4．2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是( )
A.成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30
B.成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人
C.高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多
D.成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多
5．如图，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆的直径，点M，C为底面圆周上的点，并将弧AB三等分，过AC作平面，使，设与SM交于点N，则的值为( )
A. B. C. D.
6．已知向量,，若向量在向量上的投影向量，则( )
A. B. C.3 D.7
7．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
8．已知非零平面向量，的夹角为，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知一组不全相等的样本数据，，，，由生成一组新的样本数据，，，，则新数据与原数据中可能相等的量有( )
A.极差 B.平均数 C.中位数 D.标准差
10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是( )
A.若，则为等腰三角形
B.在锐角中，不等式恒成立
C.若，，且有唯一解，则或
D.若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.
11．如图所示，在直三棱柱中，若，，则下列说法中正确的有( )
A.三棱锥表面积为
B.点N在线段上运动，则的最小值为
C.G、H分别为、的中点，过点B,G,H的平面截三棱柱，则该截面周长为
D.点P在侧面及其边界上运动，点M在棱上运动，若直线，是共面直线，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．已知复数，，若（为z的共轭复数），则实数m的取值范围为________.
13．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的体积为________.
14．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心.已知，则当角C取到最大值时的面积为________.
四、解答题
15．已知一个平面内的三个向量，，，其中
(1)若向量为单位向量，且与共线，求向量的坐标；
(2)若，且与垂直，求向量与的夹角的余弦值.
16．如图，四棱锥中，底面为菱形，的中点为M，的中点为O，且平面.
(1)证明：平面；
(2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
17．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.
（注：若总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总样本的平均数为，样本方差为.则样本方差）
18．如下图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面.
(1)证明：；
(2)若M，N分别为，的中点，求二面角的余弦值.
19．在锐角中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知，.
(1)求角B；
(2)若M是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若D是中上的一点，且满足，求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意得：，则，
.
故选：C.
2．答案：D
解析：将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
因为，所以这组数据的上四分位数为.
故选：D
3．答案：B
解析：连接，取的中点O，连接,，
由题意知，，则异面直线与所成角为（或其补角），
在中，，，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
4．答案：D
解析：由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确；
成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确；
由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为，
而高三的学生成绩在第名的人数最多为人，
故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确；
成绩在第名的学生中，高一人数为，
高二成绩在第名的人数最多为，
即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，D错误.
故选：D.
5．答案：B
解析：连接交于点D，连接，，，则平面即为平面，
因为，平面，平面，所以，
因为AB为底面圆的直径，点M，C将弧AB三等分，
所以，，
所以且，所以，
又，所以，所以.
故选：B.
6．答案：A
解析：由题意可知，
所以，则.
故选：A
7．答案：D
解析：如图，A是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，O是圆球的圆心，B是圆柱上底面和圆球的交点，，
设圆锥和圆柱的高为，则，，
因为，所以，
所以，所以球的半径为，
所以球的体积为.
故选：D.
8．答案：B
解析：由向量，的夹角为及，得，即，
则，令，
于是
，当且仅当，即时取等号，
由，解得,，
所以当,且时，取得最大值.
故选：B
9．答案：BC
解析：A：不妨设，则，，，的极差为，，，，的极差为，
因为，，，不全相等，所以，，故A错误；
B|、C：设，，，的平均数为，则，，，的平均数为，
当时，，故B正确；
时，取，，，为-2,-2,0,，，，为-3,-1,1，他们的中位数相等，故C正确；
D：设，，，的标准差为s，则，，，的标准差为，
因为，，，不全相等，所以,，故D错误.
故选：BC.
10．答案：BC
解析：对于A，因为，由余弦定理可得：，
所以有，整理可得，
所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，所以，故，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确.
对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确.
选项D，的平分线交于点D，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D错误.
故选：BC.
11．答案：ABC
解析：对于A：在直三棱柱中，
平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可证，
又，所以，，
所以，
所以三棱锥表面积，故A正确；
对于B：将沿旋转与共面且位于的异侧，
如图所示，
，
即点N在线段上运动，则的最小值为，故B正确，
对于C：延长、，设，连接交于点S，连接，则过B，G，H的截面为如图所示四边形，
因为，H是的中点，故是的中点，
又G为的中点，所以S为的重心，
，，，，
所以截面周长为，故C正确，
对于D：平面，，共面，所以平面，
又点P在侧面及其边界上运动，平面平面，
所以点P的轨迹为线段，且，故点P的轨迹长度为，故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：,,
,,都是实数，且,
,解得,
即实数m的取值范围为
故答案为：
13．答案：
解析：如图，O是扇环的圆心，
长为，长为，
由已知，所以,，从而，即为圆台母线长，所以圆台的高为，
体积为
故答案为：.
14．答案：
解析：设中点为D，则
，，即，
由知角C为锐角，故，
当且仅当，即时最小，又在递减，故C最大.此时，
恰有，即为直角三角形，.
故答案为：.
15．答案：(1)或;
(2)
解析：（1）设，因为，且向量为单位向量，且与共线，
所以，解得或，
所以向量的坐标为或；
（2）设向量与的夹角为，
因为与垂直，所以，
即，
因为，，所以，
所以，解得，
所以，
所以向量与的夹角的余弦值为
16．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）连接，则O为与的交点，连接，
底面为菱形，所以O为的中点，又的中点为M，
可得，
平面，平面，
平面；
（2）作，垂足为E，连接，
作，垂足为H，
平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，
又，，平面，平面，
，四边形为菱形，为等边三角形，
又，，，，
，，
在中，，
由，得，点O到平面的距离为，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：(1)；63；
(2)
解析：（1）由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为：，，，，，
所以平均数为，
因为，
设第25百分位数为x，则，则，
解得，故第25百分位数为63.
（2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，，，，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
.
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）连接，
∵平面平面，，平面平面，平面，
平面，
因为平面，所以，
由题意可知，等腰梯形的高为1，
故等腰梯形的面积为：，
，
，
在中，，.
，即，
O为的三等分点，
.
又，面，面，
平面，
平面，.
（2）取中点E，连接，则四边形为平行四边形，
.
M，N分别为，的中点，
，
，
M,N,B,E四点共面.
连接交于F，连接，则二面角即二面角.
平面，平面，
，
易知四边形为正方形，则，
，，
又，平面，平面，
平面.
，平面，
平面，平面，
，.
是二面角的平面角，
在中，，，
，，
二面角的余弦值为.
19．答案：(1)；
(2)存在，当且仅当时等号成立，；
(3).
解析：（1），，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，，则，
，又，，
（2）点M是内一动点，，
，，
，
由余弦定理，可得，
即，所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，；
（3），，
，即平分，
，
所以，
又，，
所以，解得，，
则，则，即，
即.