湖北省孝感市孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（含解析）

孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若，则正整数x的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.2或3
2．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
3．函数的单调递减区间为，则( )
A. B.1 C.e D.
4．函数在区间上的最小值为( )
A. B.0 C. D.
5．由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是( )
A.480 B.560 C.750 D.630
6．已知函数，若在处取得极小值，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．不等式对于任意的，恒成立，则a的最大值为( )
A. B.1 C.e D.
二、多项选择题
8．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A.如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
9．已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是( )
A.a的取值范围是 B.
C.的取值范围是 D.的取值范围是
三、填空题
10．完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有______种不同的方法.
11．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有______种不同的方法.
四、双空题
12．已知，且，则排列数公式为______，组合数公式为______.
13．（1）______；（2）______；（3）______；
（4）______；（5）______；（6）______.
五、解答题
14．已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
15．（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
16．已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）讨论的单调性.
17．已知函数.
（1）若在上恒成立，求a的取值范围；
（2）证明：当时，.
参考答案
1．答案：D
解析：由或，可得或3.
2．答案：B
解析：将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法，故选B.
3．答案：B
解析：由题意知，所以，解得.故选B.
4．答案：A
解析：由题意知，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以.故选A.
5．答案：C
解析：最后一位数是0，偶数的个数是；最后一位不是0，偶数的个数是，所以一共有种.故选C.
6．答案：A
解析：由题意知，又在处取得极小值，所以，解得，a的取值范围是.故选A.
7．答案：B
解析：对于任意的，恒成立，即，令，，，所以，又，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即a的最大值为1，故选B.
8．答案：BD
解析：安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区B必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断错误；
选项B：如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误；
选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确.故选BD.
9．答案：BCD
解析：由题意知，若，当时，至多一个零点，不符合题意；若，则，解得，即a的取值范围是为，故A错误；
因为，是的两个不同的根，所以，，故B，C正确；，故D正确.故选BCD.
10．答案：
解析：根据分类加法计数原理可得
11．答案：
解析：
12．答案：；或.
解析：
13．答案：（1）15；（2）36；（3）20；（4）132；（5）0；（6）6
14．答案：（1）280；
（2）1260
解析：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为..
15．答案：（1）720；
（2）288；
（3）80
解析：（1）将甲、乙、丙三人看成一个人，排法有（种）；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法为（种）；
（3）问题可以分成两类：
第一类2名男生和2名女生参加，有种选法，
第二类3名男生和1名女生参加，有种选法，
依据分类计数原理，共有80种选法.
16．答案：（1）的极小值为0，无极大值；
（2）单调性见解析
解析：（1）若，则，
所以，
令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的极小值为0，无极大值；
（2）由题意知，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当，即时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
17．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1），即.
令，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，即a的取值范围为；
（2）证明：由（1）可知当时，，即，所以，所以要证，只需证.
令，，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以当时，.