重庆市名校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（含解析）

重庆市名校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．( )
A. B. C. D.
2．已知向量，若向量与向量平行，则x的值为( )
A. B.0 C. D.
3．用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为( )
A.36 B. C. D.
4．若，，且，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
5．在中，，，，则( )
A. B. C. D.
6．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，，则正四棱台的体积为( )
A. B. C. D.
7．如图，在中，，，若，则的值为( ).
A. B.3 C.2 D.
8．已知中，，，点D为的中点，点M为边上一动点，则的最小值为( )
A.27 B.0 C. D.
二、多项选择题
9．下列说法不正确的是( )
A.若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点
B.若直线面，则直线l与面内的直线平行或异面
C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
D.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是( )
A.，，，有两解
B.若，则为等腰三角形
C.若为锐角三角形，则
D.若，则为钝角三角形
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有( )
A.若，则M为的重心
B.若M为的内心，则
C.若，，M为的外心，则
D.若M为的垂心，，则
三、填空题
12．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是_____________.
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若，，则的面积为_____________.
14．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为______.
四、解答题
15．如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
16．已知向量，.
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当时，求的取值范围.
17．某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得，.
（1）求的值；
（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？
18．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.
（1）求角A的大小；
（2）分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围.
19．如图，在中，为钝角，，，.过点B作的垂线，交于点D，E为延长线上一点，连接，，若.
（1）求边的长；
（2）证明：；
（3）设，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：.
故选：C.
2．答案：A
解析：向量，，
，又向量与向量平行，
，解得.
故选：A.
3．答案：C
解析：在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为，
所以所求的直观图的面积为.
故选：C.
4．答案：B
解析：根据题意，由于向量，，且，
，，
故，又向量夹角的范围为，
故可知向量，的夹角为.
故选：B.
5．答案：A
解析：在中，，，
根据余弦定理：
可得，即
由
故.
故选：A.
6．答案：B
解析：因为是正四棱台，，，
侧面以及对角面为等腰梯形，故，，
，所以，
所以该四棱台的体积为，
故选：B.
7．答案：B
解析：因为，
所以
，
因为，所以，，
所以，
故选：B.
8．答案：D
解析：以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
由题意可知，，，，
设，其中，则，，
故，
所以当时，有最小值.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对于A：如图，，，a与b可能相交，故A错误；
对于B：直线，所以l与平面没有公共点，所以l与平面内的直线平行或异面，故B正确；
对于C：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，
如图所示，符合题意，但几何体不是棱柱，故C错误；
一个平行于棱锥的底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，
所以棱台各侧棱的延长线交于一点，其余各面都是梯形的几何体侧棱可能不交于一点，故D错误.
故选：ACD.
10．答案：CD
解析：对于A，因为，所以，
又，所以，不满足内角和定理，
所以满足条件的三角形不存在，A错误；
对于B，因，所以，
所以，即，
因为且，所以或，
即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，若为锐角三角形，则，
所以，所以，即，C正确；
对于D，若，则，
设，，，则，
因为，所以，即C为钝角，D正确.
故选：CD.
11．答案：ABD
解析：对A选项，因为，所以，
取的中点D，则，所以，
故A，M，D三点共线，且，
同理，取中点E，中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线，
所以M为的重心，A正确；
对B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为r，
则，，，
所以，
即，B正确；
对C选项，若，，M为的外心，则，
设的外接圆半径为R，故，，
，
故，，，
所以，C错误；
对D选项，若M为的垂心，，
则，
如图，，，，相交于点M，
又，
，即，
，即，
，即，
设，，，则，，，
因为，，，
所以，即，
，则，D正确；
故选：ABD.
12．答案：
解析：复数与分别表示向量与，
，，
又，
向量表示的复数是.
故答案为：.
13．答案：
解析：由正弦定理角化边得，即，
所以，
因为，所以，
因为，，所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：由，，，
中，由余弦定理可得，
所以，则，
在中，由余弦定理可得，
所以，则，
取中点O，则在和中，，则三棱锥外接球的球心为O，其半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为2的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积
.
（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积为，
所以剩余的几何体的体积为.
16．答案：（1），
（2）
解析：（1）因为，，所以，
设与之间的夹角为，
则，
因为，所以与之间的夹角为.
（2），
因为，所以，
故的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）预算资金够用
解析：（1）由，，
得，
则，
在中，由正弦定理得，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去）.
在中，，
所以，
又，
解得.
在中，，
所以.
由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）在锐角中，由，得，
由正弦定理得，，即，
又，
从而，而，则，又，
所以.
（2）如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，
设P，Q分别为、上任意一点，，
，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，
由正弦定理得：，，，
则，
由为锐角三角形，得，即，
则，，于是，
所以平面区域D的“直径”的取值范围是.
19．答案：（1）4
（2）证明见解析
（3）存在，
解析：（1）由题意，为锐角，.
在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由余弦定理可得，
即，
解得或.
因为为钝角，取.即的长为4.
（2）由题意，
根据勾股定理：，
所以，，，
从而.
在和中，
由正弦定理得，
两式相除得，
因为，
所以
又，
所以，即.
（3）在和中，
由正弦定理得，
两式相除得，
由（2）可知，
所以，
若，
则
故存在实数，
使得.