专题 1.2 向量的加减、数乘运算
知识点 1 向量的加法
r r uuur r uuur r uuur
三角形法则：已知非零向量 a,b ,在平面内任取一点 A ,作 AB = a, BC = b ,再作向量 AC ,则向量
uuur r r r r uuur uuur uuur
AC 叫做 a 与b 的和,记作 a + b = AB + BC = AC
r r
平行四边形法则：已知不共线的两个向量 a,b ,在平面内任取一点O ,以同一点O为起点的两个已知
uuur r uuur r uuur r r
向量OA = a,OB = b ,以OA,OB为邻边作YOACB ,则OC 就是 a 与b 的和
,
r r r r r r
规定：零向量与任意向量 a 的和,都有 a + 0 = 0 + a = a
r r r r r r r r r r
运算律：①交换律： a + b = b + a；②结合律： a + b + c = a + b + c
知识点 2 相反向量
r r r r r
1.定义:与向量 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作-a , a 与-a 互为相反向量,
r- -a r= a
r r r r r r r r r r r
3.性质：① a + -a = 0；②若 a,b互为相反向量,则 a = -b,b = -a,a + b = 0；
r r
③0 的相反向量是0
知识点 3 向量的减法
r r r r r r r r
1.向量的减法的定义:向量 a 加上b 的相反向量,叫做 a 与b 的差,即 a - b = a + -b ,求两个向量差
的运算叫做向量的减法.
uuur r uuur r uuur r r
2.运算法则:在平面内取一点 O,作OA = a,OB = b ,则 BA = a - b .
r r r r
3.几何意义 a - b表示从向量b 的终点指向 a 的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为
终点的向量；
uuur uuur
②一个向量 BA 等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量
uuur
OB，或简记“终点向量减去始点向量”.
重难点 1 向量的加法、减法法则
uuur uuur
1．如图，在平行四边形 ABCD中， AB + AD =（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．BC B． AC C． AB D．DC
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解.
uuur uuur uuur
【详解】因为 ABCD为平行四边形，所以 AB + AD = AC .
故选：B.
uuur uuur r uuur
2．如图，在平行四边形 ABCD中， AB r= a ， AD = b ，则 AC 可以表示为（ ）
r r r r 2 ar r 1 r rA． a - b B． a + b C． + b D． a - b2
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则判断即可.
uuur uuur uuur r
【详解】在平行四边形 ABCD中 AC = AB + AD = ar + b .
故选：B
uuur r uuur r uuur
3．如图，在平行四边形 ABCD中， AB=a ， AD = b ，则BD可以表示为（ ）
r r r r 1 r r 1 r r
A． a + b B．b - a C． a + b D． b - a2 2
【答案】B
【分析】根据向量减法运算法则直接计算.
uuur uuur uuur
【详解】由题意得，BD = AD - AB，
uuur r uuur r
因为 AB=a ， AD = b ，
uuur uuur uuur r r
所以BD = AD - AB = b - a .
故选：B
uuur r uuur r r r uuur uuur
4．如图，在YABCD中，设对角线 AC = a，BD = b，试用 a、b 表示 AB 、BC ．
uuur r r uuur r
AB 1 a 1 b BC 1 a 1
r
【答案】 = - ， = + b
2 2 2 2
uuur uuur
【分析】利用平面向量的加法与减法法则可得出关于 AB 、 AD 的等式组，解出这两个向量，再结合
相等向量的定义可得结果.
uuur r uuur r
【详解】解：在YABCD中， AC = a，BD = b，
uuur uuur uuur
ìAB AD AC a
r
+ = =
由向量加法与减法法则可得 íuuur uuur uuur r ，
AD - AB = BD = b
uuur 1 r 1 r uuurAB a b AD 1
r 1 r
解得 = - ， = a + b ，
2 2 2 2
uuur r
AB 1 a 1
r uuur 1 r r
故 = - b，BC = a
1
+ b .
2 2 2 2
r r r r r r
5．如图，已知向量 a，b ， c不共线，求作向量 a + b + c ．
【答案】详见解析
r r r r r r
【分析】向量 a，b ， c不共线中隐含着向量 a，b ， c均为非零向量，因为零向量与任何一个向量
都是共线的，利用三角形法则或平行四边形法则作图.
uuur r uuur r
【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作 AB=a ， BC=b，
uuur r r uuur r uuur uuur uuur r r r uuur r r r
则 A C = a + b ，再作CD = c ，则 AD = AC + CD=(a + b) + c ，即 AD = a + b + c .
r r r
解法二：（平行四边形法则）因为向量 a，b ， c不共线，
uuur r uuur r
如下图所示，在平面内任取一点 O，作OA = a，OB = b，
uuur uuur uuur r r
以OA，OB 为邻边作平行四边形OADB ，则对角线OD = a + b ，
uuur r uuur uuur uuur r r r
再作OC = c，以OC ，OD 为邻边作平行四边形OCED，则OE = a + b + c .
ur uur r ur uur r ur uur r r
6．如图，已知向量 e1 ， e2 ， a = e1 + 2e2 ，b = 2e1 + e2 ，作出向量b - a .
【答案】作图见解析
【分析】根据向量的加减法法则即可作图.
uuur ur uuur ur uuur uur uuur uur
【详解】如图，任取一点O，作OA = e1 ，OB = 2e1 ，OD = e2 ，OC = 2e2 .
作平行四边形 OAEC 和平行四边形 OBFD，连接 OE，OF，
uuur r uuur r
则OE = a，OF = b .
uuur r r
连接 EF，则EF 就是所求的向量b - a .
重难点 2 向量的加法运算
uuur uuur uuur
7．化简 AB + BC + CD = （ ）
uuur uuur uuur uuur
A．BD B． AD C． AC D． DA
【答案】B
【分析】根据向量加法运算律即可求解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】 AB + BC + CD = AC + CD = AD .
故选：B.
8．（多选）下列四个等式中，正确的是（ ）
r r r r r r
A． a + b = b + a B．- -a = a
uuur uuur uuur r r rC． AB + BC + CA = 0 D． a + -a = 0
【答案】ABC
【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可.
r r r r r r
【详解】由向量的加法交换律及相反向量知： a + b = b + a、- -a = a ，即 A、B 正确，
uuur uuur uuur uuur uuur r
由 AB + BC + CA = AC + CA = 0，C 正确，
向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D 错误．
故选：ABC
9．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
uuur uuur uuuur uuur uuur
A．MB + BO + OM B． AB + BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C．OB + OC + BO + CO D． AB - AC + BD - CD
【答案】ACD
【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答.
uuur uuur uuuur uuuur uuuur r
【详解】对于 A，MB + BO + OM = MO + OM = 0，A 是；
uuur uuur uuur uuur
对于 B， AB + BC = AC ， AC 不一定是零向量，B 不是；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
对于 C，OB + OC + BO + CO = (OB + BO) + (OC + CO) = 0 + 0 = 0，C 是；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
对于 D， AB - AC + BD - CD = AB + BD - (AC + CD) = AD - AD = 0，D 是.
故选：ACD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
10． AB + BC + CA= ， AB + BC + CA = ．
r
【答案】 0 0
uuur uuur uuur
【分析】利用向量加法法则化简 AB + BC + CA，即可求模长.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
【详解】由 AB + BC + CA = AC + CA = 0，所以 AB + BC + CA = 0 .
r
故答案为：0 ，0
11．化简下列各式:
uuur uuur uuur
(1)CD + BC + AB
uuur uuur uuur uuur uuur
(2) AB + DF + CD + BC + FA
uuur
【答案】(1) AD
r
(2) 0
【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】（1）原式= AB + BC + CD = AC + CD = AD .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
（2）原式= AB + BC + CD + DF + FA = AC + CD + DA = AD + DA = 0
重难点 3 向量的减法运算
uuur uur uuur uuur
12． OM - BA + BO + MB = （ ）
uuur uuur uuur uuuur
A．MB B．BA C． AB D．BM
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算化简，求解即可．
uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur【详解】由题意可得：OM - BA + BO + MB = BO - BA + OM + MB = AO + OB = AB .
故选：C．
uuur
13．下列各式中不能化简为 AD 的是（ ）
A．- uuur uuuur uuur uuuurCB + MC - DA BM uuuur uuur uuur+ B．-BM - DA + MB
uuur uuur uuur uuur uuur uuurC． AB - DC - CB D． AD - CD + DC
【答案】B
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur【详解】对于 A：- CB + MC - DA + BM = - CB + MC + DA + BM
uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur= - CB + BM + MC + DA = -DA = AD ，故 A 正确；
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B：-BM - DA + MB = MB - DA + MB = -DA + 2MB，故 B 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 C： AB - DC - CB = AB - DC - CB = AB + CD + BC = AD ，故 C 正确；
uuur uuur uuur uuur r uuur
对于 D： AD - CD + DC = AD - 0 = AD ，故 D 正确；
故选：B
uuur r r uuur r r uuur
14．若 AB = 3a - 4b， AC = 5a + 3b ，则BC = .
r
2a r【答案】 + 7b / 7b + 2a
uuur uuur uuur
【分析】根据BC = AC - AB 计算得到答案.
uuur uuur uuur r r r r r r
【详解】BC = AC - AB = 5a + 3b - 3a - 4b = 2a + 7b
r r
故答案为： 2a + 7b
15．化简： AB- AD- DC = ； (AB- CD) - (AC- BD) = ；
AB- CB- AC+ DC = .
【答案】 CB
0 DC
【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可得到答案.
【详解】 AB- AD- DC = DB- DC = CB ，
(AB- CD) - (AC- BD) = AB- AC+ BD- CD = CB+ BD+ DC = CB+ BC = 0 ，
AB- CB- AC+ DC = AB- AC+ DC- CB = CB+ DC- CB = DC .
故答案为：CB; 0;DC .
16．化简下列各向量的表达式：
uuur uuur uuur
(1) AB + BC - AD ；
uuur uuur uuur uuur
(2) (AB - CD) - (AC - BD)；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(3) (AC + BO + OA) - (DC - DO - OB)；
uuur
【答案】(1) DC .
r
(2) 0 .
r
(3) 0
【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】（1） AB + BC - AD = AC - AD = DC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（2） (AB - CD) - (AC - BD) = AB - AC + BD - CD = CB + BD + DC
uuur uuur uuur uuur r
= CB + BC = CB - CB = 0 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（3） (AC + BO + OA) - (DC - DO - OB) = AC + BA - OC - OB
uuur uuur r
= BC - BC = 0 .
重难点 4 向量加减法运算的应用
r r r r r r r r r
17．已知向量 a,b满足 a = b = a - b ，则 a与 a + b 的夹角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
r r r r π r r r
【分析】向量 a,b为邻边的平行四边形是菱形， a,b夹角为 ，可求 a与 的夹角.3 a + b
uuur r uuur r
【详解】设OA = a，OB = b，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，
uuur r r uuur r r
则有BA = a - b ，OC = a + b ，
r r r r
由 a = b = a - b
π
，则四边形OACB为菱形， BOA = ，
3
r r r π
则有 a与 a + b 的夹角为 COA = .6
故选：A．
r r r r
18 ar．已知向量 ,b 满足 | ar |= 3,| b |= 5，则 a + b 的取值范围是（ ）
A． 2,3 B． 2,8 C． 3,5 D． 2,5
【答案】B
【分析】利用向量的加法的几何意义求解即得.
r r r r r r r r
【详解】向量 a,b r r满足 | a |= 3,| b |= 5，则 a + b | a | + | b |= 8，当且仅当 a,b 同向时取等号；
ar
r r r r
+ b || b | - | a ||= 2 r，当且仅当 a,b 反向时取等号，
r r
所以 a + b 的取值范围是 2,8 .
故选：B
uuur uuur uuur
19．在矩形 ABCD中， AB = 2， BC =1，则 AB + AD + AC 等于（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．3 D．4
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
【详解】根据向量的加法运算法化简 AB + AD + AC = 2AC ，根据矩形的特征可求对角线 AC 的长度，
进而可求模长．
【分析】在矩形 ABCD中，由 AB = 2， BC =1可得 AC = 5 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因为 AB + AD = AC ，故 AB + AD + AC = 2AC ，故 AB + AD + AC = 2 5 ．
故选：A.
uuur uuur uuur uuur
20．已知O是四边形 ABCD所在平面上任一点 AB//CD ，且 OA - OB = OC - OD ．则四边形 ABCD
一定为（ ）
A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
【答案】C
uuur uuur
【分析】分析可得 BA = DC ，结合平行四边形的定义可得出结论.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 OA - OB = OC - OD ，即 BA = DC ，
又因为 AB//CD ，故四边形 ABCD一定为平行四边形.
故选：C.
uuur r uuur r uuur uuur r r
21．已知OA = a，OB = b， OA = 5， OB =12， AOB = 90°，则 a - b = .
【答案】13
【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算．
r r uuur
【详解】由题意VAOB是直角三角形， a - b = BA = 52 +122 =13，
故答案为：13.
22．如图，无弹性的细绳 OA，OB 的一端分别固定在 A，B 处，同样的细绳 OC 下端系着一个称盘，
且使得OB ^ OC ，试分析 OA，OB，OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.
【答案】分析答案见解析，OA 受力最大
【分析】根据题意利用向量加法的平行四边形法则，画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关
系得出拉力最大的是 OA．
r r r r r r r
【详解】设 OA，OB，OC 三根绳子所受的力分别为 a，b ， c，则 a + b + c = 0 .
r r ur r r r ur
因为 a，b 的合力为 c = a + b ，所以 c = c .
如图在平行四边形OB C A 中，
uuur uuuur uuuur uuur
因为OB ^ OC ，B C = OA ，
uuur uuur uuur uuuur r r r r
所以 OA > OB ， OA > OC ，即 a > b ， a > c .
故细绳 OA 受力最大.
知识点 4 向量的数乘运算
r r
1.定义:规定实数l 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作la ,它的长度和方向规
定如下:
r r
① la = l a ;
r r r r
②当l > 0 时，la 的方向与 a 的方向相同；当l < 0 时，la 的方向与 a 的方向相反；当l＝0时，
r r
la = 0
r r r r r
2.运算律:设l，m 为任意实数,则有①l ma ＝lma；② l＋m a = la + ma ；
r r r r③l a + b = la + lb
r r r r r r r
特别地,有 (-l)a = -(la) = l -a ;l a - b = la - lb .
r r
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a,b以及任意实
r r r r
数l, m1, m2 , 恒有l(m1a ± m2b) = lm1a ± lm2b .
知识点 5 共线向量定理
r r r r r
1.共线向量定理的内容：向量 a(a 0) 与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数l ,使b = la .
2.三点共线向量表示的两个结论 uuur uuur
结论 1：如图 1，点 A, B,C 共线的充要条件是存在唯一实数 t ，使得 AC = t AB .
结论 2：设O是平面内的任意一点，点 A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数l
uuur uuur uuur
使得OC = lOA + (1- l)OB .
重难点 5 向量的数乘运算
r r r r r r
23．已知平面内的两个非零向量 a，b 满足 a = -3b，则 a与b （ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
【答案】D
【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可.
r r r r
【详解】因为两个非零向量 a，b 满足 a = -3b，
r r
所以 a,b为共线反向向量，且模不相等，
所以 ABC 错误，D 正确.
故选：D
r r ur r r r r r r r r r r
24．设 i, j, k 是两两不共线的向量，且向量 a = -i + 2 j + 4k ，b = 3i - 2 j - k ，则 2a - 3b =（ ）
r r r r r r r r r r r r
A．11i - 2 j + 5k B．-11i - 2 j + 5k C．-11i +10 j +11k D．11i -10 j -11k
【答案】C
【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.
r r r r r r r r
【详解】因为 a = -i + 2 j + 4k ，b = 3i - 2 j - k ，
r r r r r r r r r r r所以 2a - 3b = 2 -i + 2 j + 4k - 3 3i - 2 j - k = -11i +10 j +11k .
故选：C
r r r25．化简6 a - b cr 4 ar r r r+ - - 2b + c - 2 -2a + c 为（ ）
r
A 6ar 2b 8cr B 6ar
r
． + + ． -14b
C 2ar
r r
．- -14b D 6ar． + 2b
【答案】D
【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.
【详解】根据向量的四则运算可知，
r r6 a b cr 4 r ra 2b cr r r2 2ar cr 6ar 6b 6cr 4ar 8b 4cr 4ar 2cr 6ar r- + - - + - - + = - + - + - + - = + 2b .
故选：D
r r r r26．若3 x + a + 2 x - 2a r r r r r- 4 x - a + b = 0，则 x = ．
r r
【答案】-3a + 4b
【分析】根据向量的线性运算求得结果.
r r r r r r r r【详解】因为3 x + a + 2 x - 2a - 4 x - a + b = 0，
r r r r r r r r
所以3x + 3a + 2x - 4a - 4x + 4a - 4b = 0，
r r r r r r r
所以 x + 3a - 4b = 0，所以 x = -3a + 4b，
r r
故答案为：-3a + 4b .
uuur uuur uuur
27．在VABC 中，点D为边BC 的中点，若 AB + AC = l AD ，则实数l 的值为 .
【答案】2
【分析】利用向量的加减运算化简即可求解.
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AD = AB + BD = AB + BC ，
2 BC = AC - AB
，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AD = AB
1
+ AC - AB2
1
=
2 AB + AC ，所以 AB + AC = 2AD ，即l = 2 .
故答案为：2
r
28．求下列未知向 x .
1 r r r r r(1)3 x - 2a
÷ + 2b + x = 0；
è 3
1
(2)
2
r r r ra - 2x = 3 x - a ；
r 1 r r r r r r
(3) 2 x - a ÷ + c + b - 3x2 + b = 0 .è
r r r
【答案】(1) x = 3a - b
r
x 7
r
(2) = a
8
r r r r
(3) x = -a + 2b + c
【分析】根据向量数乘运算求解.
1 r r r r r r r r r r
【详解】（1）由3 x - 2a
+ 2b + x = 0得 ，
è 3 ÷
x - 6a + 2b + x = 0
r r r
所以 x = 3a - b .
1 r r r r r r r r（2）由 a - 2x = 3 x - a 得2 a - 2x = 6x - 6a ，
r
x 7
r
所以 = a .
8
r 1 r r r r r r r r r r r r r（3）由 2 x - a ÷ + c + b - 3x + b = 0 得2 2x - a + c + b - 3x + b = 0，è
r r r r
所以 x = -a + 2b + c .
重难点 6 共线向量定理的应用
r r r r r r r r r r r r
29．已知向量 a，b ， c中任意两个都不共线，并且 a + b 与 c共线，b + c 与 a共线，那么 a + b + c 等
于（ ）
r r
A． a B．b
r r
C． c D．0
【答案】D
【分析】根据向量共线定理即可得到相关方程组，解出即可.
r r r r r r
【详解】∵ a + b 与 c共线，∴存在实数l1，使得 a + b = l1c .①
r r r
又∵b + c 与 a共线，
r r r
∴存在实数l2 ，使得b + c = l2 a .②
r r r
由①得，b = l1c - a .
r r r r r r r r
∴b + c = l1c - a + c = l1 +1 c - a = l2 a ，
ìl1 +1 = 0 ìl1 = -1
∴ í .
l
即 í
2 = -1 l2 = -1
r r r r r r
∴ a + b + c = -c + c = 0
故选：D.
r r uuur r r uuur r r uuur r r
30．已知向量 a,b不共线， AB = a + 3b，BC = 5a + 3b，CD = -3a + 3b，则（ ）
A．A，B，C 三点共线 B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
【答案】C
【分析】根据向量共线定理进行判断即可.
r r uuur r r uuur r r uuur r r
【详解】因为 a,b不共线， AB = a + 3b，BC = 5a + 3b，CD = -3a + 3b，
uuur uuur uuur
易得 AB, BC,CD互不共线，所以 A，B，C 三点不共线，B，C，D 三点不共线，故 AD 错误；
uuur uuur uuur r r uuur uuur
又 AC = AB + BC = 6a + 6b ，易得 AC,CD 不共线，则 A，C，D 三点不共线，故 B 错误；
uuur uuur uuur r r r r uuur而BD = BC + CD = 2a + 6b = 2 a + 3b = 2AB，所以 A，B，D 三点共线，故 C 正确.
故选：C.
r r r
31．已知向量 ar,b r r r r不共线，m = a - 3b nr， = 2ar + xb ，m∥n，则实数 x = ．
【答案】-6
【分析】根据平面向量共线向量定理，得出m
r lnr= ，再由对应向量系数相等，即可求出.
r r r r ì1 = 2l
【详解】因为m∥n，所以$l R，m = ln ，则 í x = -6
-3 x
，解得 ．
= l
故答案为：-6
r r r r
32．已知平面向量 a，b ，则“ ar / /b ”是“存在l R r，使得 a = lb ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量共线的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.
r r r r r r r r
【详解】当 a 0，b = 0时，满足 a / /b ，但不存在l ，使得 a = lb ；
r r r r
当 a = lb 时，可得 a / /b ；
“ ar
r r
所以 / /b ” r是“存在l R ，使得 a = lb ”的必要不充分条件.
故选：A
r r uuur r r uuur r r uuur r r
33．已知不共线的向量 a,b，且 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b，则一定共线的三点是
（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
uuur uuur uuur uuur r r
【详解】对 A， AD = AB + BC + CD = 3a + 6b ,
uuur uuur
所以 AD = 3AB，则 A, B, D 三点共线，A 正确；
uuur uuur uuur r r
对 B， AC = AB + BC = -4a + 8b ,
uuur uuur
则不存在任何l R ，使得 AC = l AB，所以 A, B,C 不共线,B 错误；
uuur uuur uuur r r
对 C，BD = BC + CD = 2a + 4b ,
uuur uuur
则不存在任何m R ，使得BD = m BC ，所以B,C, D不共线，C 错误；
uuur uuur uuur r r
对 D， AC = AB + BC = -4a + 8b ,
uuur uuur
则不存在任何 t R ，使得CD = t AC ，所以 A,C, D不共线，D 错误；
故选:A.
r r
34．判断下列各小题中的向量 a，b 是否共线：
r r r r
(1) a = 3e ，b
3
= - e ；
2
r ur uur r ur uur ur uur
(2) a = -2e1 - 2e2 ，b = e1 + e2 （其中两个非零向量 e1 和 e2 不共线）；
r 2 r r r 5 r
(3) a = e ，b = 3a - e .
3 2
【答案】(1)共线；
(2)共线；
(3)共线.
【分析】用向量共线定理判断.
r r r 3 r r r
【详解】（1） a = 3e ，b = - e ，所以 a = -2b ，2
r r
所以 a，b 共线.
r ur uur r ur uur
（2） a = -2e1 - 2e2 ，b = e1 + e2 ,
r r r r
所以b = - 2 a ，所以 a，b 共线.
r r r r r
（3）因为 a
2
= e ，b = 3a
5
- e ，
3 2
r r 5 r 1 r
所以b = 2e - e = - e，
2 2
r r
所以 a
4
= - b .
3
r r
所以 a，b 共线.
重难点 7 向量的线性运算
uuur uuur r uuur uuur uuur
35．在VABC r 1中， AB = c, AC = b ，若点D满足BD = DC ，则 （2 AD = ）
r
A 1 1 r
2 r 1 r
． b + c2 2 B． b + c3 3
4 r 1 r 1 r 2 rC． b - c3 3 D． b + c3 3
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】已知 AD = AB + BD, BD
1 DC 1= = BC, BC = AC - AB，
2 3
uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur rAD AB AC AB AB AC 1 b 2 r则 = + - = + = + c .3 3 3 3 3
故选：D.
uuur
36．如图所示的VABC 中，点D是线段BC 上靠近 B 的三等分点，点E是线段 AB 的中点，则DE =
（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
A．- AB - AC B．- AB - AC
3 6 6 3
5 uuur 1 uuur 5 uuur 1 uuur
C．- AB - AC D．- AB + AC
6 3 6 3
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】DE = DB + BE
1
= CB 1- AB
3 2
1 uuur uuurAB AC 1
uuur 1 uuur 1 uuur
= - - AB = - AB - AC .
3 2 6 3
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r uuur37．在VABC 中， AC = 2DC,CB = 2BE,CA = a,CB = b ，则DE =（ ）
1 ar 3
r
b 1 ar 3
r
b 1 r 3
r 1 r 3 r
A．- + B． + C．- a - b D． a - b
2 2 2 2 2 2 2 2
【答案】A
uuur 3 uuur uuur 1 uuur
【分析】先结合图形表示出CE = CB，CD = CA；再根据向量的减法运算即可解答.
2 2
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
因为 AC = 2DC,CB = 2BE,CA = a,CB = b ，
uuur 3 uuur uuur uuur
所以CE = CB
1
，CD = CA .
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur r r
所以DE = CE CD
3
- = CB 1- CA 3 1= b - a .
2 2 2 2
故选：A
uuur r uuur r uuur38．在VABC 中，已知 AB = a, AC = b, M 为 AB 的中点， N 为CM 的中点，则BN 为（ ）
1 r 3 r r r
A． a - b
1
B． b
3
- a
2 4 2 4
3 r 1 r 3 r 1 rC． a - b2 2 D． b - a2 2
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.
uuur 1 uuuur uuurBN BM 1 uuuur 1 uuur【详解】 = + BC = BM + BC2 2 2
1 1 uuur 1= - AB +
2 2 ÷ 2
uuur uuur
AC - AB 1 uuur 3 uuur r= AC - AB 1 b 3 r= - a .
è 2 4 2 4
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur
39 r．如图，在四边形 ABCD 中，DC = 2AB, BE = 2EC ，设DC = a ，DA = b ，则DE 等于（ ）
5 r 1 r r
A． a + b
2
B． a
r 1
+ b
6 2 3 2
5 r 1 r r
C． a
2
+ b D． a
r 1
+ b
6 3 3 3
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得.
uuur uuur uuur uuur
【详解】因为DC = 2AB, BE = 2EC ，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur所以DE = DC + CE = DC + CB = DC + DB - DC = DC + DA + AB - DC3 3 3
2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
= DC 1 1+ DA + AB 2 DC 1 DA 1 DC 5 r 1= + + = a + b .
3 3 3 3 3 6 6 3
故选：C
40．（多选）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底
层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图
所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）
uuur 2 3 uuur uuur uuur uuur
A．GH = +1÷÷ BD B．3 BE BD
3
= + CF
è 2
uuur 3 uuur 1 uuur uur 3+ 3 uuurC GB 3 -1
uuur
． = BD - CF D． IC = BD + CF
3 2 6 4
【答案】ACD
【分析】由图可得各向量关系与其模长间等量关系，即可得答案.
BC 1
【详解】A 选项，由题知 = ，故GH = GA + AE + EH = 2BC + BD
2 3
= +1÷÷ BDBD ，而3 è 3
GH ∥BD，故 A 正确；
uuur uuur uuur uuur 1 uuur
B 选项，由题知CF = 2DE ，BE = BD + DE = BD + CF ，故 B 错误；
2
uuur uuur uuur 3 uuur 1 uuurC 选项，GB = GA + AB = BD - CF ，故 C 正确；
3 2
uur uur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uur 3 uuur 3 uuur uuurD 选项，因为 IC = IB + BC ，BC = BD - CF ，2 4 IB = BF = BC + CF3 3
3 1 uuur uuurBD 3 CF 3
uuur
BD 3
uuur
= + ÷ = + CF ，3 è 2 4 6 4
uur 3+ 3 uuurIC BD 3 -1
uuur
故 = + CF ，故 D 正确.
6 4
故选：ACD．
1 1 uuur
41．在平行四边形 ABCD 中， AE = AB ，CF = CD，G 为 EF 的中点，则
3 3 DG =
（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
A． AD - AB B． AB - AD C． AD - AB
1 1
D． AB - AD
2 2 4 2 4 2 2 2
【答案】D
uuur uuur uuur
【分析】利用向量的加减法的几何意义将DG转化为 AB 、 AD 即可.
uuur 1 uuurDG DE 1
uuur
【详解】 = + DF
2 2
1
= uuur uuur uuurDA + AE 1 2+ × DC2 2 3
1 uuur 1 uuur uuur= -AD + AB
1
÷ + AB2 è 3 3
1 uuurAB 1
uuur
= - AD .
2 2
故选：D.
重难点 8 利用向量的线性运算求参数
uuur uuur uuur
42．在梯形 ABCD中，E是CD中点，BC = 2AD ，设BE = lBA + m BC ，则l + m = （ ）
5 5 5
A． B． C． 2 D．
3 2 4
【答案】D
【分析】根据图形进行向量的线性运算即可.
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】BE = (BD + BC)
1
= (BA + AD + BC) 1 BA 1 1 3= + BC + BC
÷ = BA + BC ，2 2 2 è 2 2 4
l 1 3 5\ + m = + = ，
2 4 4
故选：D.
43．已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB, AC 两边交于M , N 两点（点M , N 与点B,C
uuur uuuur uuur uuur 1 1
不重合），设 AB = xAM ， AC = y AN ，则 +2x -1 2y 1的最小值为（ ）-
A．1 B 1+ 2． C．2 D．1+ 2 2
2
【答案】A
uuur 1 uuur uuuur
【分析】令D是BC 的中点，连接 AD ，易得 AG = (y AN + xAM )，根据三点共线的推论有
3
x + y = 3，应用基本不等式求目标式最小值，注意取值条件.
【详解】若D是BC 的中点，连接 AD ，点 G 是VABC
2
的重心，则 AD 必过G ，且 AG = AD ，
3
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuuur
由题设 AG = AD = (AC + AB) = (y AN + xAM )，又M ,G, N 共线，
3 3 3
所以 x + y = 3，即 2x -1+ 2y -1 = 4，注意 x, y (1,+ )，
1 1 1 1 1
由 + = ( + )(2x -1+ 2y -1)
1 (2 2y -1 2x -1= + + )
2x -1 2y -1 4 2x -1 2y -1 4 2x -1 2y -1
1 2y -1 2x -1 2y -1 2x -1
(2 3+ 2 × ) =1，当且仅当 = x = y =
4 2x -1 2y -1 2x -1 2y 1
，即 时等号成立，
- 2
故目标式最小值为 1.
故选：A
uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
44．已知O是VABC 所在平面内一点，若OA + OB + OC = 0, AM = xAB, AN = y AC, MO = lON , x, y 均
为正数，则 xy的最小值为（ ）
A 1
4 4
． 2 B． C．1 D．9 3
【答案】B
uuur 1 uuuur 1 uuur
【分析】由题设O是VABC 的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得 AO = AM + AN3x 3y ，根
uuuur uuur 1 1
据MO = lON 得 + =13x 3y ，最后应用基本不等式求
xy最小值，注意等号成立条件.
uuur uuur uuur r
【详解】因为OA + OB + OC = 0，所以点O是VABC 的重心，
uuur 2 1 uuur uuur uuur uuur所以 AO = AB + AC 1= AB + AC .3 2 3
uuuur uuur uuur uuur uuur 1 uuuur uuur 1 uuur
因为 AM = xAB, AN = y AC ，所以 AB = AM , AC = ANx y ，
uuur 1 uuuur 1 uuur
综上， AO = AM + AN3x 3y .
uuuur uuur 1 1 1 1
因为MO = lON ，所以M ,O, N 三点共线，则 + =13x 3y ，即
+ = 3
x y .
1 1 1 1 3
因为 x, y 均为正数，所以 + 2 ，则 ，
x y xy xy 2
1 1 3
所以 xy
4 2
（当且仅当 = =x y 2 ，即
x = y = 时取等号），
9 3
所以 xy
4
的最小值为 .
9
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur 2 6
45．如图，在VABC
2
中，BD = BC ，E 为线段 AD 上的动点，且CE = xCA + yCB ，则 +x y 的最小3
值为（ ）
A．8 B．12 C．32 D．16
【答案】C
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得 x + 3 y = 1 ， x > 0, y > 0，然后利用基本不等式中的
常数代换技巧求解即可.
uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为BD = BC ，所以CD = CB，因为CE = xCA + yCB ，所以CE = xCA + 3yCD ，
3 3
因为 A, D, E 三点共线，所以 x + 3 y = 1 ， x > 0, y > 0，
2 6 2 6 x 3y 20 6y 6x 20 2 6y 6x所以 + = + ÷ × + = + + + = 20 +12 = 32，x y è x y x y x y
6y 6x
= x y 1
2 6
当且仅当 ，即 = =x y 时取等号，所以
+
x y 的最小值是 32.4
故选：C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
46．在梯形 ABCD中， AB = 4DC, AC + AB = x AD + yCD ，则 x - y = ．
【答案】6
【分析】根据条件，利用向量的线性运算，即可求出 x =1, y = -5，从而得到结果.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AC + AB = AD + DC + 4DC = AD - 5CD ，
uuur uuur uuur uuur
又 AC + AB = xAD + yCD ，得到 x =1, y = -5，所以 x - y =1- -5 = 6，
故答案为：6.
uuur uuur uuur
47．在VABC 中，D 为 CB 上一点，E 为 AD 的中点，若 AE 2= AB + mAC ，则m = ．
5
1
【答案】 /0.1
10
【分析】由平面向量的线性运算和三点共线的充分必要条件得出结果.
uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 E 为 AD 的中点，所以 AD = 2AE
4
= AB + 2mAC ，
5
uuur uuur uuur
因为 B，D，C 三点共线，所以 AD = l AB + 1- l AC ，
4
所以 + 2m =1
1
，解得m = ．
5 10
1
故答案为：
10
48．在平面四边形 ABCD中，已知VABC 的面积是VACD的面积的 3 倍.若存在正实数 x, y 使得
uuur uuur uuur 3 1
AC 1= - 3 ÷ AB
+ 1
1
- ÷ AD成立，则 + 的值为
è x è y x y
【答案】10
【分析】利用三角形面积比可得3DF = BE ，再利用 A,O,C 三点共线可得出 x, y 的关系，从而得
解．
【详解】如图，连接BD，设 AC 与BD交于点O，过点 B 作BE ^ AC于点E，过点D作DF ^ AC
与点F .
若VABC 的面积是VACD的面积的 3 倍，则3DF = BE ，
DO DF 1 uuur uuur
易知BE / / DF ，所以 = = ，则 ，
BO BE 3 3DO = OB
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur所以3 DA + AO = OA + AB ，所以 AO = AB + AD ，4 4
uuur uuur uuur uuur uuur
设 AC = l AO 0 l 1 AC l AB 3l< < ，则 = + AD ，
4 4
uuur uuur
AC 1 3 AB 1
uuur 1 3l
因为 = - ÷ +
1
1- ÷ AD，则 - 3
l
= 且1- =
è x è y x 4 y 4
，
3 1
所以 1
1 3 1- = - 3 ，所以 + =10 .
è y
÷
è x
÷
x y
故答案为：10.
重难点 9 向量共线定理的推论
uuur uuur uuur uuur uuur
49．VABC
3
中，D为 AC 上一点且满足CD = CA，若 P 为BD上一点，且满足 AP = l AB + m AC ，
4
l, m 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
1
A． l m 的最小值为 B． l m 的最大值为 1
16
1 1 1 1
C． +l 4m 的最大值为 16 D．
+
l 4m 的最小值为 4
【答案】D
【分析】AB 选项，根据向量基本定理和共线定理得到l + 4m =1，从而利用基本不等式求出 l m 的
1
最大值为 ；CD 选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.
16
uuur 3 uuur uuur uuur
【详解】AB 选项，因为CD = CA，所以
4 AC = 4AD
，
uuur uuur uuur uuur uuur
故 AP = l AB + m AC = l AB + 4m AD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为B, P, D 三点共线，设PB = mBD ，即 AB - AP = mAD - mAB ，
uuur uuur uuur
故 AP = 1+ m AB - mAD，
令l =1+ m, 4m = -m ，故l + 4m =1，
l, m 1为正实数，由基本不等式得l + 4m =1 2 4lm = 4 lm ，解得lm ，
16
l 1 , m 1 1当且仅当 = = 时，等号成立，所以 l m 的最大值为 ，AB 错误；
2 8 16
1 1 1 1 4m l 4m l
CD 选项， + = + ÷ × l + 4m =1+1+ + 2 + 2 × = 4，l 4m è l 4m l 4m l 4m
4m l 1 1
当且仅当 = ，即l = , m =l 4m 时，等号成立，C 错误，D 正确.2 8
故选：D
uuur uuur uuur 1 2
50．已知VABC ，点D在线段BC 上（不包括端点），向量 AD = xAB + y AC ， +x y 的最小值为
（ ）
A． 2 2 B． 2 2 + 2
C． 2 2 + 3 D． 2 3 + 2
【答案】C
【分析】由平面向量共线定理的推论得到 x + y = 1，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】VABC ，点D在线段BC 上（不包括端点），
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故存在l ，使得BD = lBC ，即 AD - AB = l AC - l AB ，即 AD = l AC + 1- l AB，
uuur uuur uuur
因为向量 AD = xAB + y AC ，所以 y = l, x =1- l ，
可得 x + y = 1，
x > 0， y > 0，由基本不等式得
1 2 1 2 y 2x y 2x
+ = + ÷ x + y =1+ 2 + + 3+ 2 × = 2 2 + 3，x y è x y x y x y
当且仅当 y = 2x ，即 y = 2 - 2, x = 2 -1时等号成立.
故选：C．
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur
51．如图，在VABC 中， AD = DC ，P 是线段 BD 上一点，若 AP = mAB + AC ，则实数 m 的值
3 6
为（ ）
1 5
A． B
2
． C D 1． ．
3 3 6 2
【答案】A
uuur uuur 2 uuur
【分析】根据向量线性运算得 AP = mAB + AD，再利用三点共线的结论即可得到m 值.
3
uuur uuur uuur uuur
【详解】∵ AD
1
= DC ，∴ AC = 4AD，3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AP = mAB
1
+ AC ，∴ AP = mAB
2
+ AD，
6 3
2 1
∵B，P，D 三点共线，∴m + =1，∴m = .
3 3
故选：A.
52．如图所示，在VABC 中，点O是BC 的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点
uuur uuuur uuur uuur
M、N ，若 AB = mAM , AC = n AN (m,n > 0)，则m + n的值为（ ）
A．2 B．3 C
9
． D．5
2
【答案】A
uuur 1 uuur uuur m uuuur n uuur【分析】根据 AO = AB + AC = AM + AN 及O, M , N 三点共线结论求得m + n的值.2 2 2
【详解】因为点O是BC 的中点，
uuur 1 uuur uuur所以 AO = AB + AC2 ，
uuur uuuur uuur uuur
又因为 AB = mAM , AC = n AN (m,n > 0)
uuur m uuuur n uuur
所以 AO = AM + AN ，
2 2
因为O, M , N 三点共线，
m n
所以 + =1，
2 2
所以m + n = 2 .
故选：A
uuuur 2 uuur uuuur 1 uuur uuur
53．在VABC中，点M 为BC 上的点，且BM = BC ，若 AM = AB + m AC ，则m 是 （ ）
3 3
1 5
A B C 1 D 2． ． ． ．
3 3 3
【答案】D
【分析】根据向量三点共线定理求解即可；
【详解】
uuuur 2 uuur
因为BM = BC ，所以M , B,C
1 2
三点共线，所以 + m =1, m = ,
3 3 3
故选：D.
uuur uuur uuur uuur uuur
54．在VABC 中，BD 1= BC ，E 是线段 AD 上的动点，设CE = xCA + yCB x，y R ，则
3
2x + 3y = ．
【答案】2
【分析】根据平面向量定理的推论得出结果．
uuur uuur uuur
【详解】如图所示，由题意知CE = xCA
3
+ yCD ，
2
3
因为 A，E，D 三点共线，所以 x + y =1，
2
所以 2x + 3y = 2．
故答案为：2.专题 1.2 向量的加减、数乘运算
知识点 1 向量的加法
r r uuur r uuur r uuur
三角形法则：已知非零向量 a,b ,在平面内任取一点 A ,作 AB = a, BC = b ,再作向量 AC ,则向量
uuur r r r r uuur uuur uuur
AC 叫做 a 与b 的和,记作 a + b = AB + BC = AC
r r
平行四边形法则：已知不共线的两个向量 a,b ,在平面内任取一点O ,以同一点O为起点的两个已知
uuur r uuur r uuur r r
向量OA = a,OB = b ,以OA,OB为邻边作YOACB ,则OC 就是 a 与b 的和
,
r r r r r r
规定：零向量与任意向量 a 的和,都有 a + 0 = 0 + a = a
r r r r r r r r r r
运算律：①交换律： a + b = b + a；②结合律： a + b + c = a + b + c
知识点 2 相反向量
r r r r r
1.定义:与向量 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作-a , a 与-a 互为相反向量,
r- -a r= a
r r r r r r r r r r r
3.性质：① a + -a = 0；②若 a,b互为相反向量,则 a = -b,b = -a,a + b = 0；
r r
③0 的相反向量是0
知识点 3 向量的减法
r r r r r r r r
1.向量的减法的定义:向量 a 加上b 的相反向量,叫做 a 与b 的差,即 a - b = a + -b ,求两个向量差
的运算叫做向量的减法.
uuur r uuur r uuur r r
2.运算法则:在平面内取一点 O,作OA = a,OB = b ,则 BA = a - b .
r r r r
3.几何意义 a - b表示从向量b 的终点指向 a 的终点的向量.
4.向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为
终点的向量；
uuur uuur
②一个向量 BA 等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量
uuur
OB，或简记“终点向量减去始点向量”.
重难点 1 向量的加法、减法法则
uuur uuur
1．如图，在平行四边形 ABCD中， AB + AD =（ ）
uuur uuur uuur uuur
A．BC B． AC C． AB D．DC
uuur r uuur r uuur2．如图，在平行四边形 ABCD中， AB = a ， AD = b ，则 AC 可以表示为（ ）
r r r r r rA． a - b B r． a + b C． 2 a + b 1 arD． - b2
uuur r uuur r uuur
3．如图，在平行四边形 ABCD中， AB=a ， AD = b ，则BD可以表示为（ ）
r r r r 1 r r 1 r r
A． a + b B．b - a C． a + b D． b - a2 2
uuur r uuur r r r uuur
4．如图，在YABCD uuur中，设对角线 AC = a，BD = b，试用 a、b 表示 AB 、BC ．
r r r r r r
5．如图，已知向量 a，b ， c不共线，求作向量 a + b + c ．
ur uur r ur uur r ur uur r r
6．如图，已知向量 e1 ， e2 ， a = e1 + 2e2 ，b = 2e1 + e2 ，作出向量b - a .
重难点 2 向量的加法运算
uuur uuur uuur
7．化简 AB + BC + CD = （ ）
uuur uuur uuur uuur
A．BD B． AD C． AC D． DA
8．（多选）下列四个等式中，正确的是（ ）
r r r r r r
A． a + b = b + a B．- -a = a
uuur uuur uuur r r
C． AB + BC + CA = 0 D． a +
r
-a = 0
9．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（ ）
uuur uuur uuuur uuur uuur
A．MB + BO + OM B． AB + BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C．OB + OC + BO + CO D． AB - AC + BD - CD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
10． AB + BC + CA= ， AB + BC + CA = ．
11．化简下列各式:
uuur uuur uuur
(1)CD + BC + AB
uuur uuur uuur uuur uuur
(2) AB + DF + CD + BC + FA
重难点 3 向量的减法运算
uuur uur uuur uuur
12． OM - BA + BO + MB = （ ）
uuur uuur uuur uuuur
A．MB B．BA C． AB D．BM
uuur
13．下列各式中不能化简为 AD 的是（ ）
uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
A．- CB + MC - DA + BM B．-BM - DA + MB
uuur uuur uuur uuur uuur uuurC． AB - DC - CB D． AD - CD + DC
uuur r r uuur r r uuur
14．若 AB = 3a - 4b， AC = 5a + 3b ，则BC = .
15
．化简： AB- AD- DC = ； (AB- CD) - (AC- BD) = ；
AB- CB- AC+ DC = .
16．化简下列各向量的表达式：
uuur uuur uuur
(1) AB + BC - AD ；
uuur uuur uuur uuur
(2) (AB - CD) - (AC - BD)；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(3) (AC + BO + OA) - (DC - DO - OB)；
重难点 4 向量加减法运算的应用
r r r r r r r r r
17．已知向量 a,b满足 a = b = a - b ，则 a与 a + b 的夹角为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r r
18 r r．已知向量 a,b 满足 | a |= 3,| b |= 5，则 a + b 的取值范围是（ ）
A． 2,3 B． 2,8 C． 3,5 D． 2,5
uuur uuur uuur
19．在矩形 ABCD中， AB = 2， BC =1，则 AB + AD + AC 等于（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．3 D．4
uuur uuur uuur uuur
20．已知O是四边形 ABCD所在平面上任一点 AB//CD ，且 OA - OB = OC - OD ．则四边形 ABCD
一定为（ ）
A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
uuur r uuur r uuur uuur r r
21．已知OA = a，OB = b， OA = 5， OB =12， AOB = 90°，则 a - b = .
22．如图，无弹性的细绳 OA，OB 的一端分别固定在 A，B 处，同样的细绳 OC 下端系着一个称盘，
且使得OB ^ OC ，试分析 OA，OB，OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.
知识点 4 向量的数乘运算
r r
1.定义:规定实数l 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作la ,它的长度和方向规
定如下:
r r
① la = l a ;
r r r r
②当l > 0 时，la 的方向与 a 的方向相同；当l < 0 时，la 的方向与 a 的方向相反；当l＝0时，
r r
la = 0
r r r r r
2.运算律:设l，m 为任意实数,则有①l ma ＝lma；② l＋m a = la + ma ；
r r r r③l a + b = la + lb
r r r r r r r
特别地,有 (-l)a = -(la) = l -a ;l a - b = la - lb .
r r
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a,b以及任意实
r r r r
数l, m1, m2 , 恒有l(m1a ± m2b) = lm1a ± lm2b .
知识点 5 共线向量定理
r r r r r
1.共线向量定理的内容：向量 a(a 0) 与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数l ,使b = la .
2.三点共线向量表示的两个结论 uuur uuur
结论 1：如图 1，点 A, B,C 共线的充要条件是存在唯一实数 t ，使得 AC = t AB .
结论 2：设O是平面内的任意一点，点 A，B，C 共线的充要条件是存在唯一实数l
uuur uuur uuur
使得OC = lOA + (1- l)OB .
重难点 5 向量的数乘运算
r r r r r r
23．已知平面内的两个非零向量 a，b 满足 a = -3b，则 a与b （ ）
A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反
r r ur r r r r r r r r r r
24．设 i, j, k 是两两不共线的向量，且向量 a = -i + 2 j + 4k ，b = 3i - 2 j - k ，则 2a - 3b =（ ）
r r r r r r r r r r r r
A．11i - 2 j + 5k B．-11i - 2 j + 5k C．-11i +10 j +11k D．11i -10 j -11k
r r r r r r r r
25．化简6 a - b + c - 4 a - 2b + c - 2 -2a + c 为（ ）
r r
A．6ar + 2b 8cr+ B．6ar -14b
r r rC．-2a -14b D．6ar + 2b
r r r r r r r r r
26．若3 x + a + 2 x - 2a - 4 x - a + b = 0，则 x = ．
uuur uuur uuur
27．在VABC 中，点D为边BC 的中点，若 AB + AC = l AD ，则实数l 的值为 .
r
28．求下列未知向 x .
r r r r r
(1)3
1 x - 2a ÷ + 2b + x = 0；
è 3
1 r r r r(2) a - 2x2 = 3 x - a ；
r r r r r r r
(3) 2 x
1
- a ÷ + c + b - 3x + b = 0 .
è 2
重难点 6 共线向量定理的应用
r r r r r r r r r r r r
29．已知向量 a，b ， c中任意两个都不共线，并且 a + b 与 c共线，b + c 与 a共线，那么 a + b + c 等
于（ ）
r r
A． a B．b
r r
C． c D．0
r r uuur r r uuur r r uuur r r
30．已知向量 a,b不共线， AB = a + 3b，BC = 5a + 3b，CD = -3a + 3b，则（ ）
A．A，B，C 三点共线 B．A，C，D 三点共线
C．A，B，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
r r r
31．已知向量 ar,b r r r r r r不共线，m = a - 3b ， n = 2a + xb ，m∥n，则实数 x = ．
r r
32 r
r r r
．已知平面向量 a，b ，则“ a / /b ”是“存在l R ，使得 a = lb ”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
r r uuur r r uuur r r uuur r r
33．已知不共线的向量 a,b，且 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b，则一定共线的三点是
（ ）
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
r r
34．判断下列各小题中的向量 a，b 是否共线：
r r r 3 r
(1) a = 3e ，b = - e ；2
r ur uur r ur uur ur uur
(2) a = -2e1 - 2e2 ，b = e1 + e2 （其中两个非零向量 e1 和 e2 不共线）；
r 2 r r r 5 r
(3) a = e ，b = 3a - e .
3 2
重难点 7 向量的线性运算
uuur r uuur r uuur 1 uuur uuur35．在VABC 中， AB = c, AC = b ，若点D满足BD = DC ，则2 AD =（ ）
1 r 1 r 2 r 1A． b + c B． b + c
r
2 2 3 3
C 4
r 1 r 1 r 2 r
． b - c b + c3 3 D． 3 3
uuur
36．如图所示的VABC 中，点D是线段BC 上靠近 B 的三等分点，点E是线段 AB 的中点，则DE =
（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
A．- AB - AC B．- AB
1
- AC
3 6 6 3
5 uuur 1 uuur 5 uuurAB AC AB 1
uuur
C．- - D．- + AC
6 3 6 3
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r uuur37．在VABC 中， AC = 2DC,CB = 2BE,CA = a,CB = b ，则DE =（ ）
1 r 3 ra b 1 ar 3
r r r
A．- + B． + b
1
C．- a
r 3 b 1 ar 3- D． - b
2 2 2 2 2 2 2 2
uuur r uuur r uuur38．在VABC 中，已知 AB = a, AC = b, M 为 AB 的中点， N 为CM 的中点，则BN 为（ ）
1 ra 3
r
b 1
r
b 3
r
A． - B． - a
2 4 2 4
3 r 1 r 3 r 1 rC． a - b D． b - a2 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur
39．如图，在四边形 ABCD 中，DC = 2AB, BE = 2EC ，设DC ar= ，DA = b ，则DE 等于（ ）
5 r 1 ra b 2 r 1
r
A． + B． a + b
6 2 3 2
5 r 1 r 2 r 1 r
C． a + b D． a + b
6 3 3 3
40．（多选）数学与生活存在紧密联系，很多生活中的模型多源于数学的灵感．已知某建筑物的底
层玻璃采用正六边形为主体，再以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出六个正方形，如图
所示，则在该图形中，下列说法正确的是（ ）
uuur 2 3 uuur uuur uuur 3 uuurA．GH = +1÷÷ BD B．
è 3
BE = BD + CF
2
uuur
C GB 3
uuur 1 uuur uur uuur uuur
． = BD - CF D IC 3+ 3 3 -1． = BD + CF
3 2 6 4
1 uuur
41．在平行四边形 ABCD 中， AE = AB
1
，CF = CD，G 为 EF 的中点，则 （ ）
3 3 DG =
1 uuur uuurAD 1 AB 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． - B． AB
1 1 1 1 1
- AD C． AD - AB D． AB - AD
2 2 4 2 4 2 2 2
重难点 8 利用向量的线性运算求参数
uuur uuur uuur
42．在梯形 ABCD中，E是CD中点，BC = 2AD ，设BE = lBA + m BC ，则l + m = （ ）
5 5 5
A． B． C． 2 D．
3 2 4
43．已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB, AC 两边交于M , N 两点（点M , N 与点B,C
uuur uuuur uuur uuur 1 1
不重合），设 AB = xAM ， AC = y AN ，则 +2x -1 2y 1的最小值为（ ）-
A 1 B 1+ 2． ． C．2 D．1+ 2 2
2
uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
44．已知O是VABC 所在平面内一点，若OA + OB + OC = 0, AM = xAB, AN = y AC, MO = lON , x, y 均
为正数，则 xy的最小值为（ ）
A 1
4 4
． 2 B． C．1 D．9 3
uuur uuur uuur uuur uuur 2 6
45．如图，在VABC
2
中，BD = BC ，E 为线段 AD 上的动点，且CE = xCA + yCB ，则 +x y 的最小3
值为（ ）
A．8 B．12 C．32 D．16
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
46．在梯形 ABCD中， AB = 4DC, AC + AB = x AD + yCD ，则 x - y = ．
uuur 2 uuur uuur
47．在VABC 中，D 为 CB 上一点，E 为 AD 的中点，若 AE = AB + mAC ，则m = ．
5
48．在平面四边形 ABCD中，已知VABC 的面积是VACD的面积的 3 倍.若存在正实数 x, y 使得
uuur
AC = 1
uuur 1 uuur 3 1
- 3÷ AB + 1- ÷ AD成立，则 +x y 的值为 è x è y
重难点 9 向量共线定理的推论
uuur 3 uuur uuur uuur uuur
49．VABC 中，D为 AC 上一点且满足CD = CA，若 P 为BD上一点，且满足 AP = l AB + m AC ，
4
l, m 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
1
A． l m 的最小值为 B． l m 的最大值为 1
16
1 1 1 1
C． + 的最大值为 16 D． +l 4m l 4m 的最小值为 4
uuur uuur uuur 1 2
50．已知VABC ，点D在线段BC 上（不包括端点），向量 AD = xAB + y AC ， +x y 的最小值为
（ ）
A． 2 2 B． 2 2 + 2
C． 2 2 + 3 D． 2 3 + 2
uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur
51．如图，在VABC 中， AD = DC ，P 是线段 BD 上一点，若 AP = mAB + AC ，则实数 m 的值
3 6
为（ ）
1
A B 2
5 1
． ． 3 C． D．3 6 2
52．如图所示，在VABC 中，点O是BC 的中点，过点O的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点
uuur uuuur uuur uuur
M、N ，若 AB = mAM , AC = n AN (m,n > 0)，则m + n的值为（ ）
A．2 B
9
．3 C． D．5
2
uuuur
VABC BM 2
uuur uuuur 1 uuur uuur
53．在 中，点M 为BC 上的点，且 = BC ，若 AM = AB + m AC ，则m 是 （ ）
3 3
1 5
A． B． C．1 D
2
．
3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
54．在VABC 1中，BD = BC ，E 是线段 AD 上的动点，设CE = xCA + yCB x，y R ，则
3
2x + 3y = ．
