专题 2.2 复数的四则运算
知识点 1 复数的加减运算
设 z1 = a＋bi，z2 = c＋di 是任意两个复数
运算 计算公式
加法 z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i
减法 z1 - z2 = (a - c) + (b - d )i
交换律 z1 + z2 = z2 + z1
结合律 (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3)
知识点 2 复数加减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义.
uuuur uuuur
如图,设复数 z1, z2 对应的向量分别为OZ1,OZ2 ,四边形OZ1ZZ2 为平行四边形,则与 z1 + z2 对应的向量是
uuur
OZ .
（2）向量减法的几何意义
uuuur uuuur uuur uuur
如图所示,设 OZ1,OZ2 分别与复数 z1 = a + bi, z2 = c + di 对应,且 OZ1, ZZ 2 不共线,则这两个复数的差
uuuur uuuur uuuur
z1 - z2 与向量OZ1 - OZ2 （即Z2Z1 对应.
重难点 1 复数的加减法运算
1．已知 z1 = 2 + i, z2 =1- 2i ，则复数 z = z2 - z1对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
先根据复数的减法运算求出复数 z ，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.
【详解】
因为 z1 = 2 + i, z2 =1- 2i ，
所以 z = z2 - z1 = (1- 2i) - (2 + i) = -1- 3i ，
所以复数 z 在复平面对应的点为 (-1, -3)，位于第三象限．
故选：C
2．复数 z1 = a + 4i, z2 = -3+ bi ，其中 a,b为实数，若 z1 + z2 为实数， z1 - z2为纯虚数，则 a + b =（ ）
A．6 B．-6 C． -7 D．7
【答案】C
【分析】
利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.
【详解】复数 z1 = a + 4i, z2 = -3+ bi ， a,b为实数，则 z1 + z2 = (a - 3) + (b + 4)i ，
由 z1 + z2 为实数，得b + 4 = 0，解得b = -4，又 z1 - z2 = (a + 3) + (4 - b)i ，
显然 4 - b 0，由 z1 - z2为纯虚数，得a +3= 0，解得 a = -3，
所以 a + b = -7 .
故选：C
3．在复平面内，复数 z 对应的点Z 的坐标为 -2sin120° , -2cos120° ，则 z + 2 3 =（ ）
A．2 B． 2 3 C．3 3 D．1+ 3
【答案】A
【分析】
利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.
【详解】
因为 -2sin120° , -2cos120° 可化为 (- 3,1)，
所以点Z 的坐标为 (- 3,1)，则 z = - 3 + i ，
所以 z + 2 3 = - 3 + i + 2 3 = 3 + i，
所以 z + 2 3 = ( 3)2 +12 = 2．
故选：A．
4．（多选）已知复平面内的四个点 A，B，C，D 构成平行四边形，顶点 A，B，C 对应复数
-5 - 2i, -4 + 5i, 2 ，则点 D 对应的复数可以是（ ）
A．1- 7i B．3+ 7i
C．-7 - 3i D．-11+ 3i
【答案】ABD
【分析】
由复数的几何意义分类讨论即可求解.
【详解】分三种情况：
uuur uuur
①当BA = CD时， zA - zB = zD - zC ，
所以 zD = zA - zB + zC = -5 - 2i - -4 + 5i + 2 =1- 7i；
uuur uuur
②当BA = DC 时， zA - zB = zC - zD ，
所以 zD = zC - zA + zB = 2 - -5 - 2i + -4 + 5i = 3+ 7i ；
uuur uuur
③当 AC = DB时， zC - zA = zB - zD ，
所以 zD = zB - zC + zA = -4 + 5i - 2 + -5 - 2i = -11+ 3i，
所以点 D 对应的复数为1- 7i或3+ 7i或-11+ 3i .
故选：ABD.
5．设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z + 2i = 3 - 4i ，则 z = ．
【答案】 39
【分析】根据题意可得 z = 3 - 6i ，进而结合模长公式运算求解.
【详解】因为 z + 2i = 3 - 4i ，则 z = 3 - 4i - 2i = 3 - 6i ，
2
所以 z = 3 + -6 2 = 39 .
故答案为： 39 .
6．（1）计算： (5 - 6i) + (-2 - i) - (3+ 4i)；
（2）设 z1 = x + 2i， z2 = 3- yi （ x ， y R ），且 z1 + z2 = 5 - 6i ，求 z1 - z2 .
【答案】（1）-11i ；（2）-1+10i .
【分析】
（1）（2）运用复数加减运算及复数相等求解即可.
【详解】（1）原式＝ (5 - 2 - 3) + (-6 -1- 4)i = -11i .
（2）因为 z1 = x + 2i， z2 = 3- yi ， z1 + z2 = 5 - 6i ，
所以 (x + 3) + (2 - y)i = 5 - 6i，
ì x + 3 = 5 ìx = 2
所以 í2 y 6，解得 ， - = -
í
y = 8
所以 z1 - z2 = (2 + 2i) - (3-8i) = (2 - 3) + [2 - (-8)]i= -1+10i .
重难点 2 复数加减运算的几何意义
uuur uuur uuur
7．若向量 AB, AC 分别表示复数z1 = 2 - i , z2 = 3 + i ，则 BC =（ ）
A．5 B． 5 C． 2 5 D． 2 2
【答案】B
uuur
【分析】根据复数减法的几何意义求得 BC ，再根据模长公式即可求解.
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为BC = AC - AB ，又向量 AB, AC 分别表示复数z1 = 2 - i , z2 = 3 + i ，
uuur
所以 BC 表示复数 z2 - z1 =1+ 2i，
uuur
所以 BC = 1+ 2i = 5 .
故选：B
8．在复平面内，O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，且 A，B，C 三点对应的复数分别为
z1，z2，z3，若 z1 =1, z3 = -2 + i ，则 z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
【答案】C
【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.
【详解】因为 O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，
又因为 z1 =1, z3 = -2 + i ，
所以由复数加法的几何意义可得，
z2 = z1 + z3 =1- 2 + i = -1+ i .
故选：C.
uuur uuur
9．复平面上有 A、B、C 三点，点A 对应的复数为 2 + i ，BA对应的复数为1+ 2i ， BC 对应的复数为3- i ，
则点C 的坐标为 ．
【答案】 4, -2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】根据 AC = BC - BA即OC = OA + AC ，求得点C 对应的复数，进而即得.
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为BA对应的复数是1+ 2i ， BC 对应的复数为3- i ，又 AC = BC - BA，
uuur
所以 AC 对应的复数为 3- i -
uuur uuur uuur
1+ 2i = 2 - 3i，又OC = OA + AC ，
所以点C 对应的复数为 2 + i + 2 - 3i = 4 - 2i ，
所以点C 的坐标为 4, -2 ．
故答案为： 4, -2 ．
10．在复平面内，已知复数 z1, z2 满足 z1 = z2 = 3，且 z1 - z2 = 3 2 ，求 z1 + z2 .
【答案】3 2
【分析】
uuur uuur
设OA对应的复数为 z1 ，OB 对应的复数为 z2 ，利用向量运算和复数的向量表示可解.
uuur uuur
【详解】设OA对应的复数为 z1 ，OB 对应的复数为 z2 ，
uuur uuur uuur uuur
则OA + OB 对应的复数为 z1 + z2 ，OA - OB 对应的复数为 z1 - z2，
因为 z1 = z2 = 3，且 z1 - z2 = 3 2 ，
uuur
所以VAOB为等腰直角三角形，且 BA = 3 2 .
作正方形 AOBC，如图所示，
uuur uuur uuur uuur uuur
则OA + OB = OC 对应的复数为 z1 + z2 ，故 z1 + z2 = OC = BA = 3 2 .
重难点 3 复数模的最值问题
11．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足1 z 3，则复数 z 对应的复平面上的点 Z 的集合所表示的图形是
（ ）
A．正方形面 B．一条直线 C．圆面 D．圆环面
【答案】D
【分析】设 z = a + bi,(a,b R)，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.
【详解】设 z = a + bi,(a,b R)，
则由1 z 3可得1 a2 + b2 3，即1 a2 + b2 9，
所以复数 z 对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.
故选：D.
12．已知复数 z 满足 z =1，则 z + 3- 4i （ i 为虚数单位）的最大值为 ．
【答案】6
【分析】
由复数的几何意义求解即可.
【详解】设 z = a + bi ( a,b为实数)，
则复数 z 满足 z =1的几何意义是以原点为圆心，以 1 为半径的圆上的点，
则 z + 3- 4i = a + 3 2 + b - 4 2 表示的几何意义是圆上的点到 -3,4 的距离，
2 2
根据圆的性质可知，所求最大值为 0 + 3 + 0 - 4 +1 = 5 +1 = 6 .
故答案为：6.
13．若复数 z 满足 z
2
+ R ，则 z + i （ i 为虚数单位）的最小值为（ ）
z
A． 2 +1 B． 2 -1 C． 3 +1 D． 3 -1
【答案】B
【分析】
首先设复数 z = a + bi ，( a,b R且不同时为 0)，根据条件化简求得 a,b的关系式，再根据复数模的几何意
义求最值.
【详解】设 z = a + bi ，( a,b R且不同时为 0)，
z 2 a bi 2 2(a - bi) 2a 2b+ = + + = a + bi + = a + + b - i
z a + bi a2 + b2 a2 + b2 ÷ è è a2 + b2 ÷
b 2b由题意可知 - 2 2 = 0，得b = 0或 a2 + b2a b = 2
，
+
当b = 0时， z 的轨迹是 x 轴（除原点外），
此时 z + i 的几何意义表示复数对应的点和 (0, -1) 的距离，此时 | z + i |> 1，
当 a2 + b2 = 2时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心， 2 为半径的圆，
如图，根据复数模的几何意义可知， z + i 的几何意义是圆上的点到 (0, -1) 的距离，
如图可知， z + i 的最小值是点A 与 (0, -1) 的距离 2 -1 .
故选：B
14．已知复数 z 满足 z + 3i = z - i ，则 z + 1 + 2i 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 5
【答案】A
【分析】
设复数 z 在复平面内对应的点为Z ，由复数的几何意义可知点 Z 的轨迹为 y = -1，则问题转化为 y = -1上
的动点Z 到定点 -1, -2 距离的最小值，从而即可求解．
【详解】
设复数 z 在复平面内对应的点为Z ，
因为复数 z 满足 z + 3i = z - i ，
所以由复数的几何意义可知，点Z 到点 0, -3 和 0,1 的距离相等，
所以在复平面内点Z 的轨迹为 y = -1，
又 z + 1 + 2i 表示点Z 到点 -1, -2 的距离，
所以问题转化为 y = -1上的动点Z 到定点 -1, -2 距离的最小值，
当Z 为 -1, -1 时，到定点 -1, -2 的距离最小，最小值为 1，
所以 z + 1 + 2i 的最小值为 1，
故选：A．
15．设 z 是复数且 z -1+ 2i =1，则 z 的最小值为 .
【答案】 5 -1 / -1+ 5
【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.
【详解】根据复数模的几何意义可知， z -1+ 2i =1表示复平面内以 1, -2 为圆心，1 为半径的圆，而 z 表
示复数 z 到原点的距离，
由图可知， z = 12 + -2 2 -1 = 5 -1 .min
故答案为： 5 -1.
知识点 3 复数的乘除运算
设 z1 = a＋bi，z2 = c＋di 是任意两个复数
运算 计算公式
z × z 2乘法 1 2 = (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi = (ac - bd ) + (ad + bc)i
z1 a + bi (a + bi)(c - di) (ac + bd ) + (bc - ad )i
除法 = = =
z2 c + di (c + di)(c - di) c
2 + d 2
交换律 z1z2 =z2z1
结合律 z1z2 z3 = z1 z2z3
乘法对加法的分配
z1(z2＋z3) = z1z2＋z1z3
律
重难点 4 复数的乘除运算
16．已知复数 z 的共轭复数是 z ，若 z × i =1- i，则 z = （ ）
A．-1+ i B．-1- i C．1- i D．1+ i
【答案】A
【分析】
z 1- i先由 z × i =1- i，得到 = ，利用复数的除法运算法则求出 z ，进而求出复数 z 即可.i
1- i (1- i) × ( - i)
【详解】由于 z × i =1- i，得 z = = = -1- ii i ( i) ，× -
则 z = -1+ i，
故选：A.
17．若复数 z满足 z 1+ i = 1+ 3i ，则 z = （ ）
A．1- i B．1+ i C． 2 - 2i D． 2 + 2i
【答案】B
【分析】
利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.
【详解】
2 2因为 1+ 3i = 1 + 3 = 2，
2 2 1+ i
所以由 z(1- i) = 1+ 3i ，得 z = = =1+ i1 .- i 1- i 1+ i
故选：B.
z -1
18．若复数 z 满足 1+ i z = 5i - z，则 =（
z ）- i
A．3 B．2 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】
先求出复数 z 的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解.
【详解】由 1+ i z = 5i - z，得 2 +i z = 5i，
5i 5i 2 -i
所以 z = = =1+ 2i2 ，+i 2 +i 2 -i
z -1 2i 2i 1- i
所以 = = =1+ iz - i 1+ i 1+ i 1 ，- i
z -1
所以 = 1+1 = 2 .
z - i
故选：C.
19．设 a R ，若复数 a - 2i 2 + i 在复平面内对应的点位于虚轴上，则a = .
【答案】 -1
【分析】
由复数的乘法运算结合复数的几何意义求解即可.
【详解】 a - 2i 2 + i = 2a + ai - 4i + 2 = 2a + 2 + a - 4 i ，
复数 a - 2i 2 + i 在复平面内对应的点为 2a + 2,a - 4 ，
所以 2a + 2 = 0，解得： a = -1 .
故答案为： -1 .
z 10 - 5i20．若复数 = + 3 - 4i ，则 z = ．
2 + i
【答案】 4 5
【分析】
根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.
z 10 - 5i
5 2 - i 2 - i 5 3- 4i
【详解】 = + 3 - 4i = + 5
= + 5 = 8 - 4i
2 + i 2 + i 2 ,- i 5
z = 82 + -4 2 = 4 5 ,
故答案为： 4 5
21．计算：
3+ 2i 3- 2i
(1) + ；
2 - 3i 2 + 3i
i - 2 i -1
(2) 1+ i i 1 .- + i
【答案】(1)0
(2) -1+ i
【分析】
利用复数代数形式的四则运算化简求值.
【详解】（1）
3+ 2i 3- 2i i 2 - 3i i(2 + 3i)
+ = - = i - i = 0 .
2 - 3i 2 + 3i 2 - 3i 2 + 3i
（2）
i - 2 i -1 i2 - i - 2i + 2 1- 3i -2 - i + 6i + 3i -5 + 5i
= = = = = -1+ i
1+ i i -1 + i i -1+ i2 - i + i i - 2 5 5 .
重难点 5 复数的乘方运算
22 1 3．若复数 z = - + i，则 z5 + z4 + z3 = （ ）
2 2
A 1 3 i B 1 3．- - ． - i C． -1 D．0
2 2 2 2
【答案】D
【分析】
根据题意结合复数的乘法运算求解.
2
2 1 3 z i 1 3 i 3 1 3【详解】由题意可得： = - + ÷÷ = - - = - - i，
è 2 2 4 2 4 2 2
3 1 3 z i 1 3
i 1 3= - + ÷÷ - - ÷÷ = + =1，
è 2 2 è 2 2 4 4
所以 z5 + z4 + z3 = z2 + z 1 3 1 3+1 = - - i - + i +1 = 0 .
2 2 2 2
故选：D.
3
23 1 3．计算 - i ÷÷ （i 为虚数单位）的值为 .
è 2 2
【答案】 -1
【分析】
利用复数的四则运算法则求解即可.
2
1 3 i 1 3【详解】由于 - ÷÷ = - i
3 1 3
- = - - i，则
è 2 2 4 2 4 2 2
3
1 3 1 3 1 3 1 3
- i2 2 ÷÷
= - + i ÷÷ - i ÷÷ = - + ÷ = -1 .
è è 2 2 è 2 2 è 4 4
故答案为： -1
24．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1- i)2 = 2 ，则 z2024 =（ ）
A． -1 B．1 C．- i D． i
【答案】B
【分析】
根据复数的运算性质即可求解.
【详解】由题意， z(1- i)2 = 2 ，
z 2 2 2 1可得 = = = = - = i(1- i)2 (1- i)2 1- 2i + i2 i ，
则 z2024 = i2024 = i4 =1 .
故选：B
z z 1+ i25 = z2023 + z2024．已知复数 满足 ，则 =（ ）
1- i
A．0 B．1 C． 2 D．2
【答案】C
【分析】
由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.
1+ i 2
z 1+ i = = = i z2023【详解】由题意 ，所以 + z2024 = i +1 = 1+1 = 2 .
1- i 1- i 1+ i
故选：C.
1+ 2i
26．复数 z =
i2024
的虚部为（ ）
A． 2i B．2 C． i D．1
【答案】B
【分析】根据复数的乘方和除法运算即可.
z 1+ 2i 1+ 2i 1+ 2i【详解】由 = 2024 = 4 506 = =1+ 2i ，所以虚部为 2. i i 1
故选：B.
27 n
1 *
．已知集合 A = {z | z = i + n , n N }，则A 的元素个数为（ ）i
A．1 B． 2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据复数的四则运算求出复数 z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.
1 1
【详解】当 n = 1时， z = i + = i - i = 0 2，当 n = 2时， z = i + 2 = -1-1 = -2，i i
当n = 3时， z = i3
1 1 1
+ 3 = -i - = 0，当 n = 4
4
时， z = i + 4 =1+1 = 2，i i i
n = 5 z = i5
1 1
当 时， + 5 = i + = i - i = 0 ，当 n 6 z i
6 1 i2 1= 时， = + 6 = + 2 = -1-1 = -2，i i i i
n 7 z i7 1 i3 1 i 1 1 1当 = 时， = + 7 = + 3 = - - = 0，当 n = 8时， z = i
8 + 8 = i
4 + 4 =1+1 = 2，i i i i i
L，可知以上四种情况循环，故集合 A = {0,-2,2}，A 的元素个数为 3.
故选：C
重难点 6 共轭复数的应用
28．若复数 z 满足 1+ i z = 1+ i ，则 z 的虚部为 （ ）
A B 2 C 2．- 2i ．- ． i D
2
．
2 2 2
【答案】D
【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数 z ，进而得到 z ，从而求解.
【详解】由 1+ i z = 1+ i = 2 ，
z 2
2 1- i 2 2
得 = = = - i，
1+ i 1+ i 1- i 2 2
z 2 2所以 = + i 2，即 z 的虚部为 .
2 2 2
故选：D．
29．复数 z 满足 2z + 3z = 5 - 2i，则 z = （ ）
A． 3 B．2 C． 5 D． 6
【答案】C
【分析】
首先待定结合复数相等求得 x, y，结合模长公式即可求解.
【详解】由题意不妨设 z = x + yi,x, y R ，所以 2z + 3z = 2 x + yi + 3 x - yi = 5x - yi = 5 - 2i，
所以5x = 5, -y = -2，解得 x =1, y = 2，所以 z = 12 + 22 = 5 .
故选：C.
30．若复数 z 满足 z = i × z，则 z 可以为（ ）
A．1- i B．1+ i C．1+ 2i D．1- 2i
【答案】A
【分析】
借助复数的性质设 z = a + bi ，结合题意计算即可得.
【详解】设 z = a + bi ，则 z = a - bi ，故有 a - bi = i a + bi = -b + ai ，
即有 a = -b ，选项中只有 A 选项符合要求，故 A 正确，
B、C、D 选项不符合要求，故 B、C、D 错误.
故选：A.
31．已知 z + z i = z -1，则 z = （ ）
A． 2 + i B． 2 - i C．1- 2i D．-1- 2i
【答案】C
【分析】
根据复数的概念及运算法则即可求解.
【详解】
设 z = a + bi a,b R ，则 z = a - bi ，
因为 (z + z )i = z -1，所以 2ai = a -1- bi ，
ìa -1 = 0 ìa =1,
所以 í z = 1- 2i
2a = -b
，解得 í .
b = -2,
所以
故选：C.
32．（多选）已知 z1, z2 为复数，下列结论正确的有（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2
B． z1 × z2 = z1 × z2
C．若 z1 × z2 R，则 z1 = z2
D．若 z1 × z2 = 0 ，则 z1 = 0 或 z2 = 0
【答案】ABD
【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断 ABD；举例说明判断 C.
【详解】设复数 z1 = a + bi, z2 = c + di, (a,b,c,d R)，
对于 A， z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i = (a + c) - (b + d )i = (a - bi) + (c - di) = z1 + z2 ，A 正确；
对于 B， z1z2 = (ac - bd ) + (ad + bc)i， z1z2 = (ac - bd ) - (ad + bc)i ，
z1 × z2 = (a - bi)(c - di) = (ac - bd ) - (ad + bc)i ， z1 × z2 = z1 × z2 ，B 正确；
对于 C，取 z1 = i, z2 = 2i，满足 z1z2 = -2 R ，而 z1 z2 ，C 错误；
ac - bd = 0
对于 D，由 z1z2 = 0
ì
，得 (ac - bd ) + (ad + bc)i=0，即 íad bc=0 ， +
则 a2c2 + b2d 2 + a2d 2 + b2c2 =0，即 (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) = 0，
因此 a = b = 0或 c = d = 0，即 z1 = 0 或 z2 = 0，D 正确.
故选：ABD
33．已知 z C， z 为 z 的共轭复数，若 z × z - 3iz =1+ 3i，求 z .
【答案】 z = -1或 z = -1+ 3i
【分析】
设 z = a + bi （ a，b R ），代入方程，结合复数相等求解即可.
【详解】设 z = a + bi （ a，b R ），则 z = a - bi （ a，b R ），
由题意得 (a + bi)(a - bi) - 3i(a - bi)=1+3i ，
即 a2 + b2 - 3b - 3ai =1+ 3i，
ìa2 + b2 - 3b =1 ìa = -1 ìa = -1
则 í ，解得3a 3 í
或 í ，
- = b = 0 b = 3
所以 z = -1或 z = -1+ 3i .
重难点 7 复数范围内方程的解
34 2．设复数1+ i是关于 x 的方程 ax - 2ax + b = 0 a,b R 的一个根，则（ ）
A． a + 2b = 0 B．a - 2b = 0 C． 2a + b = 0 D． 2a - b = 0
【答案】D
【分析】
将1+ i代入方程结合复数的乘法运算即可得解.
【详解】
将1+ i 2代入方程得：a(1+ i) - 2a 1+ i + b = 0，得-2a + b = 0，即 2a - b = 0 .
故选：D.
35．已知复数 z1 ， z2 是方程 x2 - 2x + 2 = 0的两个虚数根，则 z1 - z2 = （ ）
A．0 B． 2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解.
【详解】∵复数 z1 ， z2 是方程 x2 - 2x + 2 = 0的两个虚数根，∴ z1 ， z2 为1± i，∴ z1 - z2 = 2i = 2 ．
故选：C.
36．已知复数 z =1- i（ i 是虚数单位）是关于 x 的实系数方程 x2 + px + q = 0在复数范围内的一个根，则
p + q = .
【答案】0
【分析】根据在复数范围内，实系数方程 x2 + px + q = 0的两个根是互为共轭复数的，结合韦达定理得可
得答案.
【详解】因为在复数范围内，实系数方程 x2 + px + q = 0的两个根是互为共轭复数的，
所以实系数方程 x2 + px + q = 0在复数范围内的另一个根是1+ i，
ì1- i +1+ i = - p
结合韦达定理得 í 1- i 1+ i = q，
ì p = -2
解得 í ，所以 p + q = 0 .
q = 2
故答案为：0.
37．方程 x2 + 3 = 0在复数范围内的解为 x = .
【答案】± 3i
【分析】
根据虚数单位的性质，结合在复数范围内解方程，即得答案.
【详解】由 x2 + 3 = 0可得 x2 = -3 = (± 3i)2，
故 x = ± 3i ，
故答案为：± 3i
38．已知关于 x 的方程 x2 + 2x + 3 = 0 2 2的两个复数根记为 z1, z2 ，则 z1 + z2 = .
【答案】-2
【分析】
根据韦达定理求解即可.
【详解】由韦达定理可得 z1 + z2 = -2， z1z = 3，故 z2 + z2
2
2 1 2 = z1 + z2 - 2z1z2 = 4 - 6 = -2 .
故答案为：-2
39．在复数范围内解下列方程
(1) 9x2 +16 = 0
(2) x2 + x +1 = 0
4
【答案】(1) x = ± i
3
(2) x 1 3= - ± i
2 2
【分析】
根据题意，由一元二次方程的解法结合复数的运算，即可得到结果.
【详解】（1）
将方程9x2 +16 = 0的二次项系数化为 1，
x2 16得 + = 0.
9
x2 16得 = - ，即 x
4
= ± i.
9 3
所以原方程的根为 x
4
= ± i
3
（2）
方程 x2 + x +1 = 0的二次项系数为 1，
2
1 -3
配方，得 x + ÷ = ，由Δ < 0，
è 2 4
- -3
知 > 0. 1 3可得 x + = ± i.
4 2 2
1 3
所以原方程的根为 x = - ± i .
2 2专题 2.2 复数的四则运算
知识点 1 复数的加减运算
设 z1 = a＋bi，z2 = c＋di 是任意两个复数
运算 计算公式
加法 z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i
减法 z1 - z2 = (a - c) + (b - d )i
交换律 z1 + z2 = z2 + z1
结合律 (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3)
知识点 2 复数加减法的几何意义
（1）复数加法的几何意义.
uuuur uuuur
如图,设复数 z1, z2 对应的向量分别为OZ1,OZ2 ,四边形OZ1ZZ2 为平行四边形,则与 z1 + z2 对应的向量是
uuur
OZ .
（2）向量减法的几何意义
uuuur uuuur uuur uuur
如图所示,设 OZ1,OZ2 分别与复数 z1 = a + bi, z2 = c + di 对应,且 OZ1, ZZ 2 不共线,则这两个复数的差
uuuur uuuur uuuur
z1 - z2 与向量OZ1 - OZ2 （即Z2Z1 对应.
重难点 1 复数的加减法运算
1．已知 z1 = 2 + i, z2 =1- 2i ，则复数 z = z2 - z1对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．复数 z1 = a + 4i, z2 = -3+ bi ，其中 a,b为实数，若 z1 + z2 为实数， z1 - z2为纯虚数，则 a + b =（ ）
A．6 B．-6 C． -7 D．7
3．在复平面内，复数 z 对应的点Z 的坐标为 -2sin120° , -2cos120° ，则 z + 2 3 =（ ）
A．2 B． 2 3 C．3 3 D．1+ 3
4．（多选）已知复平面内的四个点 A，B，C，D 构成平行四边形，顶点 A，B，C 对应复数
-5 - 2i, -4 + 5i, 2 ，则点 D 对应的复数可以是（ ）
A．1- 7i B．3+ 7i
C．-7 - 3i D．-11+ 3i
5．设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z + 2i = 3 - 4i ，则 z = ．
6．（1）计算： (5 - 6i) + (-2 - i) - (3+ 4i)；
（2）设 z1 = x + 2i， z2 = 3- yi （ x ， y R ），且 z1 + z2 = 5 - 6i ，求 z1 - z2 .
重难点 2 复数加减运算的几何意义
uuur uuur uuur
7．若向量 AB, AC 分别表示复数z1 = 2 - i , z2 = 3 + i ，则 BC =（ ）
A．5 B． 5 C． 2 5 D． 2 2
8．在复平面内，O 为原点，四边形 OABC 是复平面内的平行四边形，且 A，B，C 三点对应的复数分别为
z1，z2，z3，若 z1 =1, z3 = -2 + i ，则 z2=（ ）
A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i
uuur uuur
9．复平面上有 A、B、C 三点，点A 对应的复数为 2 + i ，BA对应的复数为1+ 2i ， BC 对应的复数为3- i ，
则点C 的坐标为 ．
10．在复平面内，已知复数 z1, z2 满足 z1 = z2 = 3，且 z1 - z2 = 3 2 ，求 z1 + z2 .
重难点 3 复数模的最值问题
11．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足1 z 3，则复数 z 对应的复平面上的点 Z 的集合所表示的图形是
（ ）
A．正方形面 B．一条直线 C．圆面 D．圆环面
12．已知复数 z 满足 z =1，则 z + 3- 4i （ i 为虚数单位）的最大值为 ．
13．若复数 z 满足 z
2
+ R ，则 z + i （ i 为虚数单位）的最小值为（ ）
z
A． 2 +1 B． 2 -1 C． 3 +1 D． 3 -1
14．已知复数 z 满足 z + 3i = z - i ，则 z + 1 + 2i 的最小值为（ ）
A．1 B．3 C． 3 D． 5
15．设 z 是复数且 z -1+ 2i =1，则 z 的最小值为 .
知识点 3 复数的乘除运算
设 z1 = a＋bi，z2 = c＋di 是任意两个复数
运算 计算公式
乘法 z1 × z2 = (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi
2 = (ac - bd ) + (ad + bc)i
z1 a + bi (a + bi)(c - di) (ac + bd ) + (bc - ad )i
除法 = = =
z2 c + di (c + di)(c - di) c
2 + d 2
交换律 z1z2 =z2z1
结合律 z1z2 z3 = z1 z2z3
乘法对加法的分配
z1(z2＋z3) = z1z2＋z1z3
律
重难点 4 复数的乘除运算
16．已知复数 z 的共轭复数是 z ，若 z × i =1- i，则 z = （ ）
A．-1+ i B．-1- i C．1- i D．1+ i
17．若复数 z满足 z 1+ i = 1+ 3i ，则 z = （ ）
A．1- i B．1+ i C． 2 - 2i D． 2 + 2i
z -1
18．若复数 z 满足 1+ i z = 5i - z，则 =（
z i ）-
A．3 B．2 C． 2 D．1
19．设 a R ，若复数 a - 2i 2 + i 在复平面内对应的点位于虚轴上，则a = .
10 - 5i
20．若复数 z = + 3 - 4i ，则 z = ．
2 + i
21．计算：
3+ 2i 3- 2i
(1) + ；
2 - 3i 2 + 3i
i - 2 i -1
(2) 1 i i 1 i .+ - +
重难点 5 复数的乘方运算
22．若复数 z 1 3= - + i，则 z5 + z4 + z3 = （ ）
2 2
A 1 3 i B 1 3．- - ． - i C． -1 D．0
2 2 2 2
3
23 1 3
．计算 - i ÷÷ （i 为虚数单位）的值为 .
è 2 2
24．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(1- i)2 = 2 ，则 z2024 =（ ）
A． -1 B．1 C．- i D． i
25 z z
1+ i
= z2023 + z2024．已知复数 满足 ，则 =（ ）
1- i
A．0 B．1 C． 2 D．2
1+ 2i
26．复数 z = 2024 的虚部为（ ）i
A． 2i B．2 C． i D．1
27．已知集合 A = {z | z = in
1
+ n , n N
*}，则A 的元素个数为（ ）
i
A．1 B． 2 C．3 D．4
重难点 6 共轭复数的应用
28．若复数 z 满足 1+ i z = 1+ i ，则 z 的虚部为 （ ）
A 2 2．- 2i B．- C． i D
2
．
2 2 2
29．复数 z 满足 2z + 3z = 5 - 2i，则 z = （ ）
A． 3 B．2 C． 5 D． 6
30．若复数 z 满足 z = i × z，则 z 可以为（ ）
A．1- i B．1+ i C．1+ 2i D．1- 2i
31．已知 z + z i = z -1，则 z = （ ）
A． 2 + i B． 2 - i C．1- 2i D．-1- 2i
32．（多选）已知 z1, z2 为复数，下列结论正确的有（ ）
A． z1 + z2 = z1 + z2
B． z1 × z2 = z1 × z2
C．若 z1 × z2 R，则 z1 = z2
D．若 z1 × z2 = 0 ，则 z1 = 0 或 z2 = 0
33．已知 z C， z 为 z 的共轭复数，若 z × z - 3iz =1+ 3i，求 z .
重难点 7 复数范围内方程的解
34．设复数1+ i 2是关于 x 的方程 ax - 2ax + b = 0 a,b R 的一个根，则（ ）
A． a + 2b = 0 B．a - 2b = 0 C． 2a + b = 0 D． 2a - b = 0
35．已知复数 z1 ， z2 是方程 x2 - 2x + 2 = 0的两个虚数根，则 z1 - z2 = （ ）
A．0 B． 2 C．2 D．4
36．已知复数 z =1- i（ i 是虚数单位）是关于 x 的实系数方程 x2 + px + q = 0在复数范围内的一个根，则
p + q = .
37．方程 x2 + 3 = 0在复数范围内的解为 x = .
38．已知关于 x 的方程 x2 + 2x + 3 = 0的两个复数根记为 z1, z2 ，则 z21 + z
2
2 = .
39．在复数范围内解下列方程
(1) 9x2 +16 = 0
(2) x2 + x +1 = 0
