专题 2.1 复数的概念
知识点 1 数系的扩充及复数的有关概念
1.复数的有关概念
（1）复数的定义:形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,且 .
（2）复数集:全体复数构成的集合 叫做复数集.
（3）复数的表示: ,其中 叫做复数 的实部, 叫做复数 的虚部.
2.数系的扩充
3.复数相等
若 ,则复数 与 相等的充要条件是 且 .
4.复数的分类
（1）对于复数 ,当且仅当 时,它是实数;当且仅当 时,它是实数 0;当 时,它叫
做虚数;当 且 时,它叫做纯虚数.
这样,复数 可以分类如下:
重难点 1 复数的概念
1．下列命题正确的个数是（ ）
①1+ i2 = 0；②若 a,b R，且 a > b，则 a + i > b + i ；③若 x2 + y2 = 0 ，则 x = y = 0 ；④两个虚数不
能比较大小.
A．1 B．2
C．0 D．3
【答案】B
【分析】
根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③.
【详解】
对于①，因为 i2 = -1，所以1+ i2 = 0，故①正确；
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；
对于③，当 x =1， y = i 时， x2 + y2 = 0 成立，故③错误；④正确.
故选：B
2．给出下列命题：
①若 a R，则 (a +1)i是纯虚数；
②若 a,b R 且 a > b，则 a + i > b + i ；
③若 a,b C，则复数 a + bi的实部为 a，虚部为 b；
④i 的平方等于 -1 .
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】D
【分析】
利用复数的概念逐一判断各个命题即得.
【详解】
对于复数 a + bi（ a,b R），当 a = 0且b 0 时为纯虚数，
在①中，若 a = -1，则 (a +1)i不是纯虚数，①错误；
在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；
在③中，只有当 a,b R 时，复数 a + bi的实部才为 a，虚部为 b，③错误；
在④中，i 的平方等于 -1，④正确.
故选：D
3 2．已知复数 z = a + 2a + 3 i（ a R ）的实部大于虚部，则实数 a的取值范围是（ ）
A． -1,3 B． - , -1 3,+
C． -3,1 D． - , -3 1,+
【答案】B
【分析】
利用复数的定义及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
由已知可得 a2 > 2a + 3，即 a2 - 2a - 3 > 0，解得 a < -1或a > 3，
因此，实数 a 的取值范围是 - , -1 3,+ ．
故选：B.
4．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若 x 是实数，则 x 是复数
B．若 z 是虚数，则 z 不是实数
C．复数 a + i与b + 3i （ a,b R）不可能相等
D． -1没有平方根
【答案】ABC
【分析】
利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得.
【详解】
对于 A，实数集是复数集的真子集，A 正确；
对于 B，若 z 是虚数，则 z 一定不是实数，B 正确；
对于 C，由 a，b 均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C 正确；
对于 D，因为 -1的平方根为±i，D 错误．
故选：ABC
5．给出下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
④以 2 为实部的复数有无数个．
其中真命题是 .（填写序号）
【答案】④
【分析】
根据复数的概念一一分析即可.
【详解】
①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小，故①为假命题；
②若 a = 0，则 ai 不是纯虚数，故②为假命题；
③纯虚数集相对复数集的补集不是虚数集，因为复数中还包含实数，则③为假命题；
④对于复数 2 + ai(a R)，a 有无数个取值，故④为真命题．
故答案为：④.
6．以 2 + i 的实部为虚部， 2i +1的虚部为实部的复数为 ．
【答案】 2 + 2i / 2i + 2
【分析】
依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】
因为 2 + i 的实部为 2， 2i +1的虚部为 2，故所求复数为 2 + 2i．
故答案为： 2 + 2i
重难点 2 复数的分类
7 2．已知复数 z = a + 5a + 6 + a + 2 i（其中 i 为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数 z 的一个正确
结论： .
【答案】 z = -i
【分析】
根据复数的分类即可求解.
ìa2 + 5a + 6 = 0
【详解】由 í ，解得 a = -3，故 z = -i .
a + 2 0
故答案为： z = -i
8．已知 x 是实数，则“复数 x x -1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“ ”.
【答案】 x = 0（或 x =1）
【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.
【详解】由于复数 x x -1 + i是纯虚数，所以 x x -1 = 0，即 x = 0或 x =1，所以“复数 x x -1 + i是
纯虚数”的充分不必要条件是“ x = 0 ”（或“ x =1”）.
故答案为： x = 0（或 x =1）.
9．已知 z 2 21 = -4a +1+ 2a + 3a i, z2 = 2a + a + a i，其中 a R ， z1 > z2 ，则 a的值为 .
【答案】0
【分析】
根据题意知复数为实数，建立关系求解即可.
【详解】
ì2a2 + 3a = 0
由 z1>z a
2
2，得 í + a = 0 ，
-4a +1 > 2a
ìa 0 a 3 = 或 = -
2
即 ía = 0或a = -1 ，解得 a = 0 .
a 1<
6
故答案为：0
10．实数 m 取什么值时，复数 z = m m -1 + m -1 i 是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
【答案】(1) m =1
(2) m 1
(3) m = 0
【分析】
（1）根据复数 a + bi是实数，则b = 0求解；
（2）根据复数 a + bi是虚数，则b 0 求解；
（3）根据复数 a + bi是纯虚数，则 a = 0,b 0求解；
【详解】（1）
当m -1= 0，即m =1时，复数 z 是实数．
（2）
当m -1 0，即m 1时，复数 z 是虚数．
（3）
当m m -1 = 0且m -1 0，即m = 0时，复数 z 是纯虚数．
11 1．在复数1- 2i， 2 + 3 ， i2 ，-5 + 2i，0，
7 + 5 - 2 i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是
纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
【答案】答案见详解
【分析】根据复数的分类，以及实部、虚部的定义即得解
【详解】由复数的分类，对于复数 z = a + bi
当b = 0时， z 为实数；
当b 0 时， z 为虚数；当 a = 0,b 0时， z 为纯虚数.
1 1
故在上述复数中，0， 2 + 3 为实数；1- 2i， i2 ，-5 + 2i，
7 + 5 - 2 i为虚数； i2 为纯虚数
对于1- 2i，实部为 1，虚部为-2；
1
对于 i2 ，实部为 0
1
，虚部为 2 ；
对于-5 + 2i，实部为-5，虚部为 2 ；
对于7 + 5 - 2 i，实部为 7，虚部为 5 - 2
12．已知 z = sin A + k sin A + cos A -1 i，A 为VABC 的一个内角．若不论A 为何值，总存在 k使得 z
是实数，求实数 k的取值范围．
【答案】 0, + .
【分析】
z k 1- cos A根据 为实数，求得 = 恒成立，再借助半角公式，以及正切型函数的值域，即可求得参数
sin A
k的范围.
【详解】∵ z 是实数， A 0, π sin A 0 k 1- cos A， ，∴ k sin A + cos A -1 = 0 ，即 = 恒成立．
sin A
1- cos A 2sin
2 A
又 = 2
A
A A = tan ， A 0, π
A
， 0,
π
，
sin A ÷2sin cos 2 2 è 2
2 2
A
∴ tan 0, 1- cos A+ ，∴ 0, + ，
2 sin A
∴当 k > 0时，不论A 为何值，总存在 k使得 z 是实数，
故 k的范围为 0, + .
重难点 3 复数相等的充要条件
13．已知 i 为虚数单位， x, y为实数，若 x + yi + 2 = 3- 4i + 2yi，则 x + y =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
由复数相等可列出方程组求解.
【详解】由题意 x + yi + 2 = x + 2 + yi = 3 - 4i + 2yi=3 + 2y - 4 i ，
ìx + 2 = 3
所以 í ，解得 x =1, y = 4，所以 x + y = 5
y = 2y
.
- 4
故选：D.
14．已知 1+ i b = a i -1 + 2i，其中 a,b R，i 为虚数单位，则以 a,b为根的一个一元二次方程是
（ ）
A． x2 -1= 0 B． x2 + x = 2 C． x2 - x = 0 D． x2 + x = 0
【答案】A
【分析】
先根据复数相等求解出 a,b，然后再判断出能满足条件的方程即可.
【详解】因为 1+ i b = a i -1 + 2i，所以b + bi = -a + a + 2 i，
ìb = -a ìa = -1
所以 íb a ，所以 = + 2
í
b 1
，
=
因此所选方程的两根为 ±1，仅有 x2 -1= 0符合要求，
故选：A.
15．定义：复数 b + ai是 z = a + bi ( a,b R )的转置复数，已知 a,b R， i 是虚数单位，若
a + 2i =1- bi ，则复数 z = a + bi 的转置复数是 .
【答案】-2 + i /i-2
【分析】
先根据复数相等得到 a,b，求出 z 和转置复数.
【详解】
由 a + 2i =1- bi ，得 a =1,b = -2 ，所以复数 z = a + bi =1- 2i，
故复数 z = 1- 2i的转置复数是-2+ i .
故答案为：-2+ i
16 2．已知复数 z1 = m + 4 - m i, z2 = 2cosq + l + 3sinq i, m,l,q R ，且z1 = z2，则l 的取值范围
是（ ）
é 9 9
A． ê- ,1
ù é ù
ú B． - ,7 16 ê 16 ú
é 9
C． ê- , + ÷ D． 1,7 16
【答案】B
【分析】
2
3 9
利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得l = 4 sinq - ÷ - ，再根据正弦函数的取值范围与
è 8 16
二次函数的性质可得l 的取值范围.
【详解】复数 z1 = m + 4 - m2 i, z2 = 2cosq + l + 3sinq i, m,l,q R ，且z1 = z2，
ìm = 2cosq 2
所以 í4 m2 3sin ，则l = 4 - 4cos
2 q - 3sinq = 4sin2 q - 3sinq = 4 sinq
3
-
9
-
- = l + q è 8 ÷ 16
因为q R ，所以 sinq -1,1 ，当 sinq 3 l 9= 时， min = - ，当l = -1时，l = 78 16 max
é 9
所以l 的取值范围是 ê- ,7
ù
.
16 ú
故选：B.
17 2．已知M = 2, m - 2m + m2 + m - 2 i ， N = -1,2,4i ，若M N = N ，求实数m 的值．
【答案】1 或 2．
2 2 2 2
【分析】由题可得m - 2m + m + m - 2 i = -1或m - 2m + m + m - 2i = 4i ．然后根据复数相等的
条件即得.
【详解】因为M N = N ，
所以M N ，
所以m2 - 2m + m2 + m - 2 i = -1或m2 - 2m + m2 + m - 2i = 4i ，
由复数相等的充要条件得
ì m2 - 2m = -1 ì m2 - 2m = 0
í 2 或 ，
m + m
í
- 2 = 0 2 m + m - 2 = 4
解得m =1或m = 2 ，
所以实数m 的值是 1 或 2．
18．分别求满足下列条件的实数 x，y 的值．
(1) 2x -1+ (y +1)i = x - y + (-x - y)i ；
x2(2) - x - 6 + (x2 - 2x - 3)i = 0 .
x +1
ìx = 3
【答案】(1) í ；
y = -2
(2)x＝3.
【分析】（1）（2）利用复数相等或复数等于 0 直接列式计算作答.
2x -1 = x - y x = 3
【详解】（1）因 x，y∈R， 2x -1+ (y +1)i = x - y + (-x - y)i
ì ì
，则有 í
y 1 x y
，解得
+ = - - íy 2， = -
ìx = 3
所以 í .
y = -2
2 ì x
2 - x - 6
x - x - 6 2 = 0（2）因 x∈R， + (x - 2x - 3)i = 0，于是得 í x +1 ，解得 x = 3，
x +1 x2 - 2x - 3 = 0
所以 x = 3 .
知识点 2 复数的几何意义
1.复平面
实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数a + bi a,b R 都与平面直角坐标系上的
点 a,b 一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横
轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
2.复数的几何意义
（1）复数 一一对应复平面内的点 .
（2）复数 一一对应平面向量 .
实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数a + bi a,b R 都与平面直角坐标系上的
点 a,b 一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横
轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
①复数的几何意义：
uuur
②复数的模：向量 OZ 的模叫做复数 z = a + bi(a,b R)的模，记作 | a＋bi |或 | z |，即
| z |= a2 + b2
共轭复数
（1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不
等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
（2）表示:复数 z 的共轭复数表示为 z ,即若 z = a + bi(a,b R) ,则 z = a - bi .
（3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即 z = z z R .
重难点 4 复数与复数坐标
19．已知 i 是虚数单位，在复平面内，复数-1+ i和1- i对应的点间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D． 2 2
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义，分别得到两复数对应点的坐标，再由两点间距离公式，即可得出结
果.
【详解】由于复数-1+ i和1- i对应的点分别为 -1,1 ， 1,-1 ，
因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为 (-1-1)2 + (1+1)2 = 2 2 .
故选：D.
uuur uuur uuur
20．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为5 + 3i，OB 与OA关于 y 轴对称，则点 B 对应的
复数是 ．
【答案】-5 + 3i
【分析】
由对称性结合复数的几何意义得出点 B 对应的复数．
【详解】
uuur
设向量OB 对应的复数为 a + bi, a,b R ，对应复平面的坐标为 a,b ，
uuur uuur
因为向量OA对应的复数为5 + 3i，所以OA对应复平面的坐标为 5,3 ，
uuur uuur
因为OB 与OA关于 y 轴对称，所以a = -5,b = 3．
uuur
即向量OB 对应的复数为-5 + 3i，因为点O为坐标原点，所以点 B 对应的复数是-5 + 3i．
故答案为：-5 + 3i .
21．复数 z = 2sinq + i cosq q R 对应的点在第四象限，则角q 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【分析】
ìsinq > 0
利用复数的几何意义可得出 ícos 0，利用象限角与三角函数值符号的基本关系判断可得出结论
.
q <
ìsinq > 0
【详解】因为复数 z = 2sinq + i cosq q R 对应的点在第四象限，则 í
cos
，
q < 0
因此，角q 是第二象限角.
故选：B.
22 2．求实数 m 的值或取值范围，使得复数 z = m + m - 2 + m2 -1 i分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
【答案】(1) ±1
(2) -2
(3) -1 < m < 1
【分析】
（1）根据复数的概念列式求解即可；
（2）根据复数的概念列式求解即可；
（3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可.
2 2
【详解】（1）因为复数 z = m + m - 2 + m -1 i是实数，所以m2 -1 = 0，所以m = ±1；
ìm2 -1 0
（2 2）因为复数 z = m + m - 2 + m2 -1 i是纯虚数，所以 í ，
m
2 + m - 2 = 0
所以m = -2；
3 2 2 2 2（ ）复数 z = m + m - 2 + m -1 i在复平面中对应的点为 m + m - 2, m -1 ，
ìm2 + m - 2 < 0
因为该点位于第三象限，所以 í 2 ，所以 -1 < m < 1.
m -1< 0
23．复平面内表示复数 z = m2 - 2m - 3 + m - 3 i m R 的点为Z ．
(1)当实数m 取何值时，复数 z 表示纯虚数？并写出 z 的虚部；
(2)当点Z 位于第四象限时，求实数m 的取值范围；
(3)当点Z 位于直线 y = x 上时，求实数m 的值．
【答案】(1) m = -1，虚部为-4
(2) m < -1
(3) m = 0或m = 3
【分析】（1）根据纯虚数的定义求解m ，然后可求虚部；
（2）根据复数的几何意义列式计算；
（3）根据点 Z 位于直线 y = x 上，可得m2 - 2m - 3 = m - 3，从而可求m .
【详解】（1）依题意得，当m2 - 2m - 3 = 0且m - 3 0，即m = -1时，复数 z 是纯虚数，虚部为
-4．
（2）依题意，得m2 - 2m - 3 > 0且m - 3 < 0，解得m < -1．所以当m < -1时，点Z 位于第四象限．
（3）依题意得当m2 - 2m - 3 = m - 3，即m = 0或m = 3时，点Z 位于直线 y = x 上．
重难点 5 共轭复数
24．已知 z = 2 - 3i（ i 虚数单位）， 则 z 的共轭复数 z 的虚部为（ ）
A．2 B． i C．3 D．3i
【答案】C
【分析】根据共轭复数定义得 z = 2 + 3i ，即可确定虚部.
【详解】由题设 z = 2 + 3i ，故其虚部为 3.
故选：C
25．复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 -1, 2 ，则 z 的共轭复数 z = （ ）
A．1 + 2i B．1- 2i C．-1+ 2i D．-1- 2i
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义和共轭复数定义解题即可.
【详解】z 在复平面对应的点是 -1, 2 ，根据复数的几何意义得 z = -1+ 2i，
由共轭复数的定义可知 z = -1- 2i .
故选：D
26．已知复数 z = 1- 2i，则 z 的共轭复数 z 对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
根据题意求 z ，进而结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 z = 1- 2i，则 z = 1+ 2i ，
所以复数 z 对应的点为 1,2 ，位于复平面的第一象限.
故选：A.
27．已知 a,b R， i 是虚数单位，若 a + 2i与1+bi互为共轭复数，则 a - b = （ ）
A．1 B． -1 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】根据共轭复数的概念，即可求得答案.
【详解】因为 a + 2i与1+bi互为共轭复数，所以 a =1，b = -2，
所以 a - b = 3，
故选：C.
28．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数和其共轭复数都是成对出现的
B．实数不存在共轭复数
C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D．复数和其共轭复数的模相等
【答案】AD
【分析】
利用共轭复数的概念逐一判断.
【详解】对于 A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确；
对于 B：实数的共轭复数是他本身，错误；
对于 C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误；
对于 D：复数和其共轭复数的模相等，正确.
故选：AD.
重难点 6 复数的模及其应用
29．已知复数 z 满足 z2 +1 = 0，则 z +1 =（ ）
A．3 B．2 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】求出 z ，再求 z +1 可得答案.
【详解】因为 z2 +1 = 0，所以 z = ±i ，
所以 z +1 = 1± i = 12 + ±1 2 = 2 .
故选：C.
30．若 x - i = 1- 2i ，则实数 x =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据复数的模即可得到方程，解出即可.
【详解】因为 x - i = 1- 2i ，所以 ( x )2 +12 =12 + (-2)2，所以 x = 4．
故选：D.
31．已知复数 z = sinq + i，则满足 z 2 的所有不相等的复数 z 之和的虚部为（ ）
A．1 B．i C．2 D．2i
【答案】C
【分析】根据复数模的运算列不等式，由此求得符合题意的 z ，进而求得正确答案.
【详解】依题意， z = sin2 q +1 2 ，
所以 sinq = ±1，所以 z =1+ i或 z = -1+ i，
所以所有不相等的复数 z 之和的虚部为1+1 = 2 .
故选：C
32．（多选）若 4 + 2 5i + x + 3- 2x i = 3 + y + 5 i ( i 为虚数单位)，其中 x, y是实数，则（ ）
A． x = 3 B． y = 4
C． x + yi = -3+ 4i D． x + yi = 5
【答案】BCD
【分析】
先根据复数相等的定义求出 x, y，再根据复数的模的计算公式计算即可.
【详解】
4 + 2 5i = 16 + 20 = 6 ，
则由已知，得6 + x + 3 - 2x i = 3 + y + 5 i ，
ì6 + x = 3 ìx = -3
所以 í3 2x y 5，解得- = + íy 4 ， =
所以 x + yi = -3+ 4i, x + yi = 5．
故选：BCD．
33．(多选)已知复数 z = m - 3 + m -1 i的模等于 2，则实数 m 的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】AC
【分析】
运用复数的模长公式直接求解
【详解】
依题意可得 m - 3 2 + m -1 2 = 2 ，
解得 m＝1 或 m＝3.
故选：AC
34．若复数 z 满足 z = 2 5 ，且 z - 4是纯虚数，则复数 z = .
【答案】 4 + 2i 或 4 - 2i
【分析】
设 z = x + yi(x, y R)，然后根据题意列方程组可求出 x, y，从而可求出复数 z .
【详解】
设复数 z = x + yi(x, y R)，则 z - 4 = (x - 4) + yi(x, y R) ，
因为复数 z 满足 z = 2 5 ，且 z - 4是纯虚数，
ì x2 + y2 = 2 5 ìx = 4 ìx = 4
所以 í ，解得 í ，或 í
x - 4 = 0且y 0 y = 2 y = -2
，
所以复数 z = 4 + 2i 或 z = 4 - 2i，
故答案为： 4 + 2i 或 4 - 2i
重难点 7 复数与复平面内向量的关系
uuur uuuur uuuur
35．在复平面内，复数1- 2i与 -1+ 3i 分别对应向量ON 和OM ，其中O为坐标原点，则 | NM | =
（ ）
A．1 B．5 C． 2 D． 29
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解得到答案．
【详解】
uuur uuuur
由复数的几何意义知：ON = (1,-2)，OM = (-1,3) ，
uuuur uuuur uuur
NM = OM - ON = (-2,5)，
uuuur
∴ NM = (-2)2 + 52 = 29 ．
故选:D．
uuur uuur uuur
36．在复平面内，复数 2 + 4i 与1+ 5i所对应的向量分别为OA和OB ，其中O为坐标原点，则 AB 对
应的复数为 ．
【答案】-1+ i
uuur uuur uuur
【分析】首先求出OA和OB 的坐标，从而求出 AB 的坐标，即可得解.
uuur uuur
【详解】因为复数3+ 4i与5 + 6i所对应的向量分别为OA和OB ，
uuur uuur
所以OA = 2,4 ，OB = 1,5 ，
uuur uuur uuur uuur
所以 AB = OB - OA = 1,5 - 2,4 = -1,1 ，即 AB 对应的复数为-1+ i .
故答案为：-1+ i
uuur uuur
37．在复平面内，向量OA表示的复数为-1+ 5i ，将向量OA向右平移 2 个单位长度后，再向上平移
uuuur
1 个单位长度，得到向量O1A1 ，求：
uuuur
(1)向量O1A1 对应的复数；
(2)点 A1对应的复数．
【答案】(1) -1+ 5i
(2)1+ 6i
【分析】
uuuur uuur uuuur
（1）由向量平移可得到O1A1 = OA，从而得到向量O1A1 对应的复数；
（2）首先得到点 A -1,5 平移后所对应的点，即可得到 A1点的坐标，从而得到其所对应的复数.
uuuur uuur
【详解】（1）由向量平移可知O1A1 = OA = -1,5 ，
uuuur
∴向量O1A1 对应的复数为-1+ 5i ．
（2）依题意 A -1,5 ，将 A -1,5 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度得到 1,6 ，
即 A1 1,6 ，故点 A1对应的复数为1+ 6i．
38 O ．在复平面内， 是原点，向量OZ 对应的复数是 z1 = 2 - i，向量1 OZ 对应的复数是2
z2 = a - 2i(a R) .
若OZ1 ^ OZ ，则a = .2
【答案】 -1
【分析】求出两向量的坐标，然后由OZ ^ OZ ，可得OZ ×OZ = 0，可求出 a的值.1 2 1 2
【详解】因为向量OZ 对应的复数是 z1 = 2 - i，向量OZ 对应的复数是 z2 = a - 2i(a R)，1 2
所以OZ = 2,-1 ，OZ = a,-2 ，1 2
因为OZ ^ OZ ，所以1 2 OZ1×OZ = 2a + 2 = 0，得 a = -1，2
故答案为： -1专题 2.1 复数的概念
知识点 1 数系的扩充及复数的有关概念
1.复数的有关概念
（1）复数的定义:形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,且 .
（2）复数集:全体复数构成的集合 叫做复数集.
（3）复数的表示: ,其中 叫做复数 的实部, 叫做复数 的虚部.
2.数系的扩充
3.复数相等
若 ,则复数 与 相等的充要条件是 且 .
4.复数的分类
（1）对于复数 ,当且仅当 时,它是实数;当且仅当 时,它是实数 0;当 时,它叫
做虚数;当 且 时,它叫做纯虚数.
这样,复数 可以分类如下:
重难点 1 复数的概念
1．下列命题正确的个数是（ ）
①1+ i2 = 0；②若 a,b R，且 a > b，则 a + i > b + i ；③若 x2 + y2 = 0 ，则 x = y = 0 ；④两个虚数不
能比较大小.
A．1 B．2
C．0 D．3
2．给出下列命题：
①若 a R，则 (a +1)i是纯虚数；
②若 a,b R 且 a > b，则 a + i > b + i ；
③若 a,b C，则复数 a + bi的实部为 a，虚部为 b；
④i 的平方等于 -1 .
其中正确命题的序号是（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
3 2．已知复数 z = a + 2a + 3 i（ a R ）的实部大于虚部，则实数 a的取值范围是（ ）
A． -1,3 B． - , -1 3,+
C． -3,1 D． - , -3 1,+
4．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若 x 是实数，则 x 是复数
B．若 z 是虚数，则 z 不是实数
C．复数 a + i与b + 3i （ a,b R）不可能相等
D． -1没有平方根
5．给出下列四个命题：
①两个复数不能比较大小；
②若实数 a 与 ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
④以 2 为实部的复数有无数个．
其中真命题是 .（填写序号）
6．以 2 + i 的实部为虚部， 2i +1的虚部为实部的复数为 ．
重难点 2 复数的分类
7．已知复数 z = a2 + 5a + 6 + a + 2 i（其中 i 为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数 z 的一个正确
结论： .
8．已知 x 是实数，则“复数 x x -1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“ ”.
9．已知 z1 = -4a +1+ 2a2 + 3a i, z2 = 2a + a2 + a i，其中 a R ， z1 > z2 ，则 a的值为 .
10．实数 m 取什么值时，复数 z = m m -1 + m -1 i 是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
11 1．在复数1- 2i， 2 + 3 ， i 7 + 5 - 2 i2 ，-5 + 2i，0， 中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是
纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
12．已知 z = sin A + k sin A + cos A -1 i，A 为VABC 的一个内角．若不论A 为何值，总存在 k使得 z
是实数，求实数 k的取值范围．
重难点 3 复数相等的充要条件
13．已知 i 为虚数单位， x, y为实数，若 x + yi + 2 = 3- 4i + 2yi，则 x + y =（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．已知 1+ i b = a i -1 + 2i，其中 a,b R，i 为虚数单位，则以 a,b为根的一个一元二次方程是
（ ）
A． x2 -1= 0 B． x2 + x = 2 C． x2 - x = 0 D． x2 + x = 0
15．定义：复数 b + ai是 z = a + bi ( a,b R )的转置复数，已知 a,b R， i 是虚数单位，若
a + 2i =1- bi ，则复数 z = a + bi 的转置复数是 .
16．已知复数 z1 = m + 4 - m2 i, z2 = 2cosq + l + 3sinq i, m,l,q R ，且z1 = z2，则l 的取值范围
是（ ）
é 9 9
A． ê- ,1
ù é
ú B． ê- ,7
ù
16 16 ú
é 9
C． ê- , +
÷ D． 1,7
16
17．已知M = 2, m2 - 2m + m2 + m - 2 i ， N = -1,2,4i ，若M N = N ，求实数m 的值．
18．分别求满足下列条件的实数 x，y 的值．
(1) 2x -1+ (y +1)i = x - y + (-x - y)i ；
2
(2) x - x - 6 + (x2 - 2x - 3)i = 0 .
x +1
知识点 2 复数的几何意义
1.复平面
实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数a + bi a,b R 都与平面直角坐标系上的
点 a,b 一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横
轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
2.复数的几何意义
（1）复数 一一对应复平面内的点 .
（2）复数 一一对应平面向量 .
实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数a + bi a,b R 都与平面直角坐标系上的
点 a,b 一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，纵坐标代表复数的虚部，横
轴称为实轴，纵轴称为虚轴.
①复数的几何意义：
uuur
②复数的模：向量 OZ 的模叫做复数 z = a + bi(a,b R)的模，记作 | a＋bi |或 | z |，即
| z |= a2 + b2
共轭复数
（1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不
等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
（2）表示:复数 z 的共轭复数表示为 z ,即若 z = a + bi(a,b R) ,则 z = a - bi .
（3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即 z = z z R .
重难点 4 复数与复数坐标
19．已知 i 是虚数单位，在复平面内，复数-1+ i和1- i对应的点间的距离是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D． 2 2
uuur uuur uuur
20．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为5 + 3i，OB 与OA关于 y 轴对称，则点 B 对应的
复数是 ．
21．复数 z = 2sinq + i cosq q R 对应的点在第四象限，则角q 是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
22．求实数 m 2的值或取值范围，使得复数 z = m + m - 2 + m2 -1 i分别满足：
(1)z 是实数；
(2)z 是纯虚数；
(3)z 在复平面中对应的点位于第三象限.
23 z = m2．复平面内表示复数 - 2m - 3 + m - 3 i m R 的点为Z ．
(1)当实数m 取何值时，复数 z 表示纯虚数？并写出 z 的虚部；
(2)当点Z 位于第四象限时，求实数m 的取值范围；
(3)当点Z 位于直线 y = x 上时，求实数m 的值．
重难点 5 共轭复数
24．已知 z = 2 - 3i（ i 虚数单位）， 则 z 的共轭复数 z 的虚部为（ ）
A．2 B． i C．3 D．3i
25．复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 -1, 2 ，则 z 的共轭复数 z = （ ）
A．1 + 2i B．1- 2i C．-1+ 2i D．-1- 2i
26．已知复数 z = 1- 2i，则 z 的共轭复数 z 对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
27．已知 a,b R， i 是虚数单位，若 a + 2i与1+bi互为共轭复数，则 a - b = （ ）
A．1 B． -1 C．3 D．-3
28．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数和其共轭复数都是成对出现的
B．实数不存在共轭复数
C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称
D．复数和其共轭复数的模相等
重难点 6 复数的模及其应用
29．已知复数 z 满足 z2 +1 = 0，则 z +1 =（ ）
A．3 B．2 C． 2 D．1
30．若 x - i = 1- 2i ，则实数 x =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．已知复数 z = sinq + i，则满足 z 2 的所有不相等的复数 z 之和的虚部为（ ）
A．1 B．i C．2 D．2i
32．（多选）若 4 + 2 5i + x + 3- 2x i = 3 + y + 5 i ( i 为虚数单位)，其中 x, y是实数，则（ ）
A． x = 3 B． y = 4
C． x + yi = -3+ 4i D． x + yi = 5
33．(多选)已知复数 z = m - 3 + m -1 i的模等于 2，则实数 m 的值可以为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
34．若复数 z 满足 z = 2 5 ，且 z - 4是纯虚数，则复数 z = .
重难点 7 复数与复平面内向量的关系
uuur uuuur uuuur
35．在复平面内，复数1- 2i与 -1+ 3i 分别对应向量ON 和OM ，其中O为坐标原点，则 | NM | =
（ ）
A．1 B．5 C． 2 D． 29
uuur uuur uuur
36．在复平面内，复数 2 + 4i 与1+ 5i所对应的向量分别为OA和OB ，其中O为坐标原点，则 AB 对
应的复数为 ．
uuur uuur
37．在复平面内，向量OA表示的复数为-1+ 5i ，将向量OA向右平移 2 个单位长度后，再向上平移
uuuur
1 个单位长度，得到向量O1A1 ，求：
uuuur
(1)向量O1A1 对应的复数；
(2)点 A1对应的复数．
38 ．在复平面内，O是原点，向量OZ 对应的复数是 z1 = 2 - i，向量1 OZ 对应的复数是2
z2 = a - 2i(a R) .
若OZ1 ^ OZ ，则a = .2
