专题 1.9 平面向量的最值范围
题型一 数量积的最值范围
题型二 夹角的最值范围
题型三 模长的最值范围
题型四 系数的最值范围
题型一 数量积的最值范围（基底法）
1．如图，已知正方形 ABCD的边长为 4，若动点 P 在以 AB 为直径的半圆上（正方形 ABCD内部，含边界），
uuur uuur
则PC × PD的取值范围为（ ）
A． 0,16 B． 0,16 C． 0,4 D． 0,4
2．如图，在平面四边形 ABCD中， A = 90o , AB = AD = 2,VBCD为等边三角形，当点M 在对角线 AC 上运
uuuur uuuur
动时，MC ×MD的最小值为（ ）
3
A．- B．-1
2
1
C．- D．2
2
π uuur uuur
3．如图，A ， B 是半径为1的圆O上的两点，且 AOB = .若C 是圆O3 上的任意一点，则OA·BC 的最大值为
（ ）
3 1
A．- B． C 1． 2 D．12 4
4．如图，已知在边长为 2 的正三角形 ABC中，点 P，Q，R 分别在边 AB ，BC ，CA上，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP = BQ = CR ，则 AQ × BR + BR × CP + CP × AQ的最大值为 .
5．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图 1．其
uuur uuur展开几何图是如图 2 的扇形 AOB，其中 AOB = 120° ，OC = 2，OA = 5，点E在CD上，则EA × EB 的最小值
是 ．
6．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉
下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹
和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径
uuur uuur
为 1，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ， B 在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA × MB 的取值范围
是 ．
uuur uuur
7．已知边长为 2 的菱形 ABCD中， DAB = 30o , E 是边 AD 所在直线上的一点，则EB × EC 的取值范围
为 ．
题型二 数量积的最值范围（坐标法）
AOB COD 2π8．如图，在扇形COD及扇形 中， = ， OC 3 OA 3
uuur uuur
= = ，动点 P 在C D（含端点），则3 PA × PB
的最小值是（ ）
11 13
A． B．6 C． D．7
2 2
uuur uuur
9．在RtVABC 中， A = 90o , AB = 2, AC = 4，D 为 BC 的中点，点 P 在VABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则PB × PC
的取值范围为（ ）
A． -5,0 B． -3,0 C． 0,3 D． 0,5
10．如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD, AB = 3, CD = 2, AD = 3, BAD = 90° .若 P 为线段 AB 上一动点，
则 CP × DP 的最大值为 .
11．在梯形 ABCD中， AB / /CD, AB = BC = 2,CD =1, BCD =120°, P、Q分别为线段BC 和线段CD上的动点，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
且BP = l BC, DQ = DC ，则DP × AQ的取值范围为 ．
2l
12．如图，在平面四边形 ABCD 中， AB ^ BC ， AD ^ CD ， BAD =120°， AB = AD = 2 ．若点 E 为边 CD
uuur uuur
上的动点，则 AE × BE 的最小值为 ．
uuur uuur
uuur uuur AB AC uuur uuur uuur uuur uuur
13．已知非零向量 AB 与 AC 满足 uuur + uuur ÷ × BC = 0，且 AB - AC = 2 2, AB + AC = 6 2 ，点 是VABC D
è AB AC
÷
uuur uuur
的边 AB 上的动点，则DB × DC 的最小值为 .
14．在VABC 中， A = 90°， AB = AC = 4，点 M，N 分别为边 AB，AC 上的动点，且MN = 2，点 D 为斜
uuuur uuur
边 BC 的中点，则MD × ND的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． 4 - 2 2 D．8 - 4 2
题型三 夹角的最值范围
r r r r r r
15．已知 a , b 是平面向量，满足 | a |= 4， | b | 1且 | 3b a
r
- | 2 r，则 cosáa ,b 的最小值是（ ）
11 7
A． B 15 3 15． C． D．
16 8 8 16
ur r r ur r ur ur r r
16．已知 m =1，向量 n满足 n - m = n ×m，当向量m ， n夹角最大时， n = ．
17．已知矩形 ABCD中， AB = 2, AD = 1，点 E , F ,G, H 分别在边 AB, BC,CD, AD上（包含端点），若
uuur uuur uuur uuur
EG × HF = 2，则EG 与HF 夹角的余弦值的最大值是 .
uuur uuur uur uuur
18．已知 AD 为△ ABC边BC 上的中线，点G 满足 AG = 3GD 且GA ×GB = 0，则 cosC 的最小值为 .
v v v v v v v
19．已知 a =1，向量b 满足 2 b - a = b × a
v
，设 a,b 的夹角为q ，则 cosq 的最小值为 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
20．已知OA + OB 与OC 为相反向量，若 OA = 2， OB + OC = 4，则OA，OB 夹角的余弦的最小值
为 ．
题型四 模长的最值范围
21． A 、 B 、C 三点在半径为1的圆O上运动，且 AC ^ BC ，M 是圆O外一点，OM = 2，则
uuur uuur uuuur
MA + MB + 2MC 的最大值是 ．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
22．在梯形 ABCD 中， AD//BC ， AB ^ BC ， | AB |= 2， | BC |= 2 | AD | .若点 P 在线段 BC 上，则 | PC + 3PD |
的最小值是（ ）
7
A B 4 C 9． ． ． D．6
2 2
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
23．在平面上， AB1 ^ AB
1
2 , OB1 = OB2 =1， AP = AB1 + AB2 .若 OP < ，则 OA 的取值范围是（ ）2
5 ù 5 7 ù
A． 0, ú B． ,
è 2 è 2 2
ú
5 ù ù
C． , 2
7
D． , 2
è 2
ú ú
è 2
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
24．平面内不同的三点 O，A，B 满足 OA = AB = 4，若m 0,1 ， mOB - OA + 1- m BO - BA4 的最小值
uuur
为 19 ，则 OB = （ ）
A． 6 B． 2 3 C．2 6 D． 4 3
uuur uuur uuur uuur
25．已知VABC 为等边三角形， AB = 2 ，VABC 所在平面内的点 P 满足 AP - AB - AC =1, AP 的最小值
为 ．
uuur uuur
26．如图，在等腰VABC 中，已知 AB = AC =1， A =120°，E、F 分别是边 AB 、 AC 的点，且
uuur uuur uuur uuur uuuur
AE = l AB， AF = m AC ，其中l, m 0,1 且l + 2m =1，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、 N ，则 MN 的
最小值是 ．
题型五 系数的最值范围
uuur uuur uuur
27．在扇形OAB 中， AOB = 60o，C 为弧 AB 上的一动点，若OC = xOA + yOB，则3x + y 的取值范围
是 ．
uuur uuur uuur
28．在正方形 ABCD中，动点E从点 B 出发，经过C ，D，到达A ， AE = l AB + m AC ，则l + m 的取值范
围是（ ）
A． -1,1 B． 0,1 C． -1, 2 D． 0,2
uuur uuur uuur
29．在正六边形 ABCDEF 中，点G 为线段DF （含端点）上的动点，若CG = lCB + mCD（l ， m R ），
则l + m 的取值范围是 ．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
30．已知VABC 中， AO = l AB + (1- l)AC ，且O为VABC 的外心．若BA在 BC 上的投影向量为m BC ，且
cos 1 2 AOC é ùê , m 3 3 ú
，则 的取值范围为（ ）
é2 , 5ù é1 , 3 ù é4 5ù é1 3ùA． ê ú B． ê ú C． , 3 6 5 10 ê 3 3ú
D． ,
ê 5 5ú
uuur uuur uuur
31．在正六边形 ABCDEF 中，点 P 是VCDE内（包括边界）的一个动点，设 AP = l AB + m AF l,m R ，
则l + m 的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 2,4 D． 3,4 专题 1.9 平面向量的最值范围
题型一 数量积的最值范围
题型二 夹角的最值范围
题型三 模长的最值范围
题型四 系数的最值范围
题型一 数量积的最值范围（基底法）
1．如图，已知正方形 ABCD的边长为 4，若动点 P 在以 AB 为直径的半圆上（正方形 ABCD内部，含边界），
uuur uuur
则PC × PD的取值范围为（ ）
A． 0,16 B． 0,16 C． 0,4 D． 0, 4
【答案】B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取CD的中点E，连接PE，如图所示，
é AD ù
所以PE的取值范围是 ê ，AEú，即 é 2, 2 5ù ， 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
PC × PD = (PE + ED) × (PE + EC) 2又由 PE CD= - = PE2 - 4，
4
uuur uuur
所以PC × PD 0,16 .
故选：B.
2．如图，在平面四边形 ABCD中， A = 90o , AB = AD = 2,VBCD为等边三角形，当点M 在对角线 AC 上运
uuuur uuuur
动时，MC ×MD的最小值为（ ）
3
A．- B．-1
2
1
C．- D．2
2
【答案】A
uuuur uuuur uuuur
2
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得MC × MD = MC
6 3
- ÷÷ - ，然后利用二次函数求解最值即可，
è 2 2
【详解】由题意， AB = AD = 2 ， ABC = ADC = 45o + 60o =105o，
BC = DC = BD = 2 2 ，所以△ABC @△ADC ，
所以 ACB = ACD，即 AC 平分 BCD，
uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur2 uuuur uuur
由MD = MC + CD可得MC × MD = MC × (MC + CD) = MC + MC ×CD
uuuur 2 uuuur uuur uuuur 2 uuuur uuuur
2
= MC + MC 6 3× CD ×cos150o = MC - 6 MC = MC - ÷÷ - ，
è 2 2
uuuur 6 uuuur uuuur 3
所以当 MC = 时，MC ×MD有最小值为- .
2 2
故选：A
π uuur uuur
3．如图，A ， B 是半径为1的圆O上的两点，且 AOB = .若C 是圆O3 上的任意一点，则OA·BC 的最大值为
（ ）
3 1
A．- B C 1． ． 2 D．12 4
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1
【分析】根据向量的运算可得OA·BC = OA·OC - OA·OB，由数量积的定义可得OA·OB = ，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OA·OC = cos AOC ，当 cos AOC 取最大值时，OA·BC 取得最大值 .当OA与OC 同向时， cos AOC 取得最
大值为1，代入求解即可．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【详解】因为OA·BC = OA· OC - OB = OA·OC - OA·OB，
uuur uuur uuur uuur
OA·OB = OA·OB cos AOB =1 1 1 1 = ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
OA·OC = OA·OC cos AOC = cos AOC ，
uuur uuur
所以OA·BC = cos AOC
1
-
2
uuur uuur
即当 cos AOC 取最大值时，OA·BC 取得最大值．
uuur uuur
当OA与OC 同向时， cos AOC 取得最大值为1，
uuur uuur 1
此时，OA·BC 取得最大值 2 ．
故选：C．
4．如图，已知在边长为 2 的正三角形 ABC中，点 P，Q，R 分别在边 AB ，BC ，CA上，且
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP = BQ = CR ，则 AQ × BR + BR × CP + CP × AQ的最大值为 .
9
【答案】 - 2
【分析】根据数量积的运算律以及定义即可求解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】设 AP = t AB, 0 t 1 ，则CR = tCA, BQ = tBC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur故 AQ × BR = AB + tBC × é 1- t AC - ABù = 1- t AC × AB + t 1- t AC × BC - AB - tBC × AB
1 t 2 2 1 1 1 1
2 3
= - + t 1- t 2 2 - 22 - t 2 2 - ÷ = -2t 2 + 2t - 2 = 2
t - ÷ - ，2 2 è 2 è 2 2
1 uuur uuurt 3故当 = ， AQ × BR取最大值- ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 9
由于 AQ × BR = BR ×CP = CP × AQ，所以 AQ × BR + BR ×CP + CP × AQ = 3AQ × BR，故最大值为 - 2 ，
9
故答案为： - 2
5．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图 1．其
uuur uuur
展开几何图是如图 2 的扇形 AOB，其中 AOB = 120° ，OC = 2，OA = 5，点E在C D上，则EA × EB 的最小值
是 ．
37
【答案】-
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur【分析】若F 为 AB 中点，由EA × EB = (EO + OA) × (EO + OB)、OA + OB = OF ，应用向量数量积的运算律化
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
简得EA × EB = EO OF
17
× - ，根据EO,OF 位置关系求最小值.
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】如下图，EA × EB = (EO + OA) × (EO + OB) = EO + EO × (OA + OB) + OA ×OB，
uuur uuur uuur若F 为 AB 中点，且 AOB =120o ，则OA + OB = OF ，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur2 17
则EA × EB = 2 + EO ×OF + 5 5 - ÷ = EO ×OF - ，
è 2 2
uuur uuur
要使其最小，只需EO,OF 共线，
uuur uuur
o 17 17 37
此时，由图知此时EA × EB = 2 5 cos180 - = -10 - = - .
2 2 2
37
故答案为：- .
2
6．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉
下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹
和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径
uuur uuur
为 1，若点M 在正六边形的边上运动，动点A ， B 在圆O上运动且关于圆心O对称，则MA × MB 的取值范围
是 ．
【答案】 2,3
uuuur
【分析】根据平面向量的数量积运算将问题转化为关于 MO 范围的问题，数形结合即可求得结果.
【详解】连接 AB,OM ，如图所示：
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuuur uuur uuuur uuur uuur uuurMA × MB = MO + OA × MO + OB = MO + MO ×OA + MO ×OB + OA ×OB
uuuur 2 uuuur uuur uuur uuuur 2
= MO + MO × OA + OB -1 = MO -1．
uuuur 2
根据图形可知，当点M 位于正六边形各边的中点时， MO 有最小值为 3，此时 MO -1 = 2，
uuuur 2
当点M 位于正六边形的顶点时， MO 有最大值为 2，此时 MO -1 = 3，
uuur uuur uuur uuur
故 2 MA × MB 3，即MA × MB 的取值范围是 2,3 ．
故答案为： 2,3 .
uuur uuur
7．已知边长为 2 的菱形 ABCD中， DAB = 30o , E 是边 AD 所在直线上的一点，则EB × EC 的取值范围
为 ．
【答案】 0, +
uuur uuur uuur 2 uuur 2
【分析】取BC
1
的中点Q，连接 EQ ，利用平面向量的运算可得 EB × EC = (4 EQ - CB )4 ，结合菱形的几何性
质可得答案.
【详解】
uuur uuur uuur
取BC 的中点Q，连接 EQ ，则 EB + EC = 2EQ，
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur 2
所以 EB × EC = [(EB + EC)2 - (EB - EC)2 ] = (4 EQ - CB ) = EQ -14 4 ，
uuur
当且仅当EQ BC EQ
2
时， 有最小值，则 EQ -1有最小值，
1 o
此时菱形的面积 EQ BC = 2 AB AD sin 30 EQ 2
1 1
= 2 2 2 EQ = 1
2 2 2 ，
uuur 2
EQ -1最小值为1-1 = 0 ，
uuur 2
因为E是边 AD 所在直线上的一点，所以 EQ 无最大值， EQ -1无最大值，
uuur uuur
EB × EC 的取值范围为 0, + ，
故答案为： 0, +
题型二 数量积的最值范围（坐标法）
uuur uuur
8．如图，在扇形COD及扇形 AOB
2π
中， COD = ， OC = 3 OA = 3，动点 P 在C D（含端点），则3 PA × PB
的最小值是（ ）
11 13
A． B．6 C． D．7
2 2
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可结合三角恒等变换求解最值.
1 3
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则 A 1,0 , B - , ÷÷ .
è 2 2
设P 3cosq ,3sinq é，q ê0,
2π ù
3 ú
，
uuur uuur
则PA = -3cosq +1,-3sinq , PB = -3cosq
1 3
- ,-3sinq + ÷÷ ,
è 2 2
uuur uuur 1 3 17 π
则PA × PB = 3cosq -1 3cosq + ÷ + 3sinq 3sinq - ÷÷ = - 3sin q + ，è 2 è 2 2 è 6
÷
π π 5π uuur uuur
其中q +
é , ùê ú .所以PA PB
17 3sin π 17 11× = -
6 6 6 2
q + ÷ - 3 = ，
è 6 2 2
π
当且仅当q = 时，取“=”，
3
故选:A.
uuur uuur
9．在RtVABC 中， A = 90o , AB = 2, AC = 4，D 为 BC 的中点，点 P 在VABC 斜边 BC 的中线 AD 上，则PB × PC
的取值范围为（ ）
A． -5,0 B． -3,0 C． 0,3 D． 0,5
【答案】A
uuur uuur
【分析】以A 为坐标原点， AC, AB为 x, y轴的正方向建立平面直角坐标系， AP = l AD 0 l 1 ，求出 P
uuur uuur
点坐标可得PB × PC ，利用二次函数的单调性可得答案.
【详解】以A 为坐标原点， AC, AB为 x, y轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以 A 0,0 , B 0,2 ,C 4,0 ，因为 D 为 BC 的中点，所以D 2,1 ，
uuur uuur uuur uuur
AD = 2,1 ，设 AP = l AD 0 l 1 ，所以 AP = l 2,1 = 2l,l ，
uuur uuur
所以P 2l,l ，可得PB = 0,2 - 2l,l = -2l, 2 - l ，PC = 4,0 - 2l,l = 4 - 2l,-l ，
uuur uuur 2
所以PB × PC = -10l + 5l 2 = 5 l -1 - 5，
uuur uuur
因为 0≤l ≤1，所以PB × PC = 5 l -1 2 - 5 -5,0 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数
量积.
10．如图，在四边形 ABCD中， AB∥CD, AB = 3, CD = 2, AD = 3, BAD = 90° .若 P 为线段 AB 上一动点，
则 CP × DP 的最大值为 .
【答案】6
uuur uuur
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到CP × DP = (x -1)2 + 2 ，再求二次函数
的最大值即可．
【详解】以A 为原点， AB ， AD 所在直线分别为 x ， y 轴建立平面直角坐标系，
则 A(0,0)，B(3,0) ，C(2, 3)，D(0, 3)，
设 P(x, 0) ，其中0 x 3，
uuur uuur
则CP = (x - 2,- 3) ， DP = (x,- 3) ，
uuur uuur
\ CP × DP = x(x - 2) + 3 = x2 - 2x + 3 = (x -1)2 + 2 ，
uuur uuur
当 x = 3时，CP × DP 有最大值 6．
故答案为：6.
11．在梯形 ABCD中， AB / /CD, AB = BC = 2,CD =1, BCD =120°, P、Q分别为线段BC 和线段CD上的动点，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
且BP = l BC, DQ = DC ，则DP × AQ的取值范围为 ．
2l
é 7 1 ù
【答案】 ê2 3 - , 2 2 ú
【分析】以点 B 为坐标原点，直线 AB 为 x 轴，过点 B 且垂直于直线 AB 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，
uuur uuur
利用平面向量数量积的坐标运算可得出DP × AQ关于l 的函数关系式，求出l 的取值范围，利用对勾函数的
uuur uuur
单调性可求得DP × AQ的取值范围.
【详解】以点 B 为坐标原点，直线 AB 为 x 轴，过点 B 且垂直于直线 AB 的直线为 y 轴建立如下图所示的平
面直角坐标系，
则 A -2,0 、C -1, 3 、D -2, 3 、P -l, 3l uuur，则DP = 2 - l, 3l - 3 ，
ì0 l 1
1
由题意可得 í 1 ，解得 l 1，
0 1 2 2l
uuur uuur uuur uuur 1 uuurAQ AD DQ AD DC 0, 3 1 1= + = + = + 1,0 = , 3 ，2l 2l 2l ÷è
uuur uuur
DP AQ 2 - l 3 l 1 1 3l 7所以， × = + - = + - ，
2l l 2
f l 1 7
é 3 ù
由对勾函数的单调性可知，函数 = + 3l - 在区间 ê ,1ú上单调递增，l 2 3
é1 3 ù 3
在 ê , ú 上单调递减，且 f ÷÷ = 2 3
7 f 1 0, f 1 1- ， ÷ = = ，
2 3 è 3 2 è 2 2
则 2 3
7 1
- f l .
2 2
uuur uuur é2 3 7 , 1 ù因此，DP × AQ的取值范围是 ê - ú . 2 2
é2 3 7 1- , ù故答案为：
ê 2 2 ú
.
12．如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC ， AD CD ， BAD =120°， AB = AD = 2 ．若点 E 为边 CD
uuur uuur
上的动点，则 AE × BE 的最小值为 ．
21
【答案】 /5.25
4
uuur uuur
【分析】以 D 为原点，DA, DC 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算，
结合二次函数性质可得.
【详解】连接 AC，因为 AB BC ， AD CD ， AB = AD, AC = AC ，
所以RtVACD @ RtVACB ，
又 BAD =120°，所以 DAC = 60°，
所以DC = AD tan 60° = 2 3 .
过点 B 作 AD 的垂线 BF，垂足为 F，
易知，在RtVABF 中， BAF = 60°, AB = 2，
所以BF = 3, AF =1，
uuur uuur
以 D 为原点，DA, DC 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，
则 A 2,0 , B 3, 3 ,
设E 0, m ,m é0,2 3ù ，
uuur uuur
则 AE = -2, m , BE = -3, m - 3 ，
uuur uuur
AE × BE = 6 + m m - 3 = m2 - 3m + 6 ，
3 uuur uuur 21
当m = 时， AE × BE 有最小值
2 4
.
21
故答案为： 4
uuur uuur
uuur uuur AB AC uuur uuur uuur uuur uuur
13．已知非零向量 AB 与 AC 满足 uuur + uuur ÷ × BC = 0，且 AB - AC = 2 2, AB + AC = 6 2 ，点D是VABC
è AB AC
÷
uuur uuur
的边 AB 上的动点，则DB × DC 的最小值为 .
1
【答案】- /-0.2
5
uuur uuur
【分析】根据向量的几何意义得到 BAC 的平分线与BC 垂直，并计算出 AE = 3 2 ， CB = 2 2 ，建立平
uuur uuur
面直角坐标系，表达出DB × DC ，配方求出最小值.
uuur uuur uuur uuur
AB
【详解】 uuur , u
AuCur uuur uuur AB AC
AB AC 分别表示 AB 与 AC 方向的单位向量，故
uuur + uuur
AB AC 所在直线为 BAC 的平分线所在直线，
uuur uuurAB AC uuur
又 uuur + uuur ÷ × BC = 0，故 BAC 的平分线与BC 垂直，
AB AC ֏
由三线合一得到 AB = AC ，取BC 的中点E，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AB - AC = CB = 2 2, AB + AC = 2 AE = 6 2 ，故 AE = 3 2 ，
以E为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，EA所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，
则B 2,0 ,C - 2,0 , A 0,3 2 ，
设D 2 - m,3m ，m é0, 2ù ，
uuur uuur 2
则DB × DC = m, -3m × m - 2 2, 3m 10m2 2 2m 2 1- = - =10 m - ÷÷ - ，
è 10 5
2 uuur uuur 1
当m = 时，DB × DC 取得最小值，最小值为- .
10 5
1
故答案为：-
5
14．在VABC 中， A = 90°， AB = AC = 4，点 M，N 分别为边 AB，AC 上的动点，且MN = 2，点 D 为斜
uuuur uuur
边 BC 的中点，则MD × ND的最小值为（ ）
A．0 B．4 C． 4 - 2 2 D．8 - 4 2
【答案】D
M m,0 uuuur uuur【分析】建立平面直角坐标系，设出 ，表达出MD × ND = 8 - 2m - 2 4 - m2 ，利用三角换元求出最
小值.
【详解】以 AB, AC 所在直线分别为 x, y轴，建立平面直角坐标系，
则D 2,2 ，设M m,0 ，
因为MN = 2，则0 m 2，且 AN = 4 - m2 ，故 N 0, 4 - m2 ，
uuuur uuur
所以MD × ND = 2 - m, 2 × 2, 2 - 4 - m2 = 4 - 2m + 4 - 2 4 - m2 = 8 - 2m - 2 4 - m2 ，
π
令m = 2cosq ，则q
é
ê0,
ù
，
2 ú
uuuur uuur
MD ND 8 4cosq 4sinq 8 4 2 sin q π则 × = - - = - +
，
è 4 ÷
é π ù é ù
因为q ê0, ú，所以q
π é π , 3π ù sin q π 2+ + ,1
2 4 ê 4 4 ú
， 4 ÷ ê ú
，
è 2
uuuur uuur
故MD
π
× ND = 8 - 4 2 sin q +
÷ é 8 - 4 2, 4ù ，è 4
uuuur uuur π
所以MD × ND的最小值为8 - 4 2 ，当且仅当q = 时取得.4
故选：D
题型三 夹角的最值范围
r r r r r r
15．已知 a , b 是平面向量，满足 | a |= 4， | b | 1且 | 3b a
r
- | 2，则 cos ráa ,b 的最小值是（ ）
11 7
A． B C 15 3 15． ． D．
16 8 8 16
【答案】B
uuur r uuur r
【分析】设OA = a，OB = 3b，利用几何意义知 B 既在以 O 为圆心，半径为 3 的圆上及圆的内部，又在以 A
为圆心，半径为 2 的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.
uuur r uuur r
【详解】设OA = a，OB = 3b，由题意，知 B 在以 O 为圆心，半径为 3 的圆上及圆的内部，
r
| 3b ar由 - | 2，知 B 在以 A 为圆心，半径为 2 的圆上及圆的内部，如图所示
r r r r
则 B 只能在阴影部分区域，要 cosáa ,b 最小，则< a,b > 应最大，
r r
2 2 2 2 2 2
cos a,b cos BOA OA + OB - AB 4 + 3 - 2 7此时 á = = = = .
min 2OA ×OB 2 4 3 8
故选：B.
【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
ur r r ur r ur ur r r
16．已知 m =1，向量 n满足 n - m = n ×m，当向量m ， n夹角最大时， n = ．
【答案】 2
ur r r
【分析】设m =（1，0）， n =（x，y），把已知等式用坐标表示得出 x, y的关系，从而把 n 用 x 表示，再求出
r
两向量夹角的余弦值，由换元法和函数的性质得出最小值即得向量夹角的最大值，由此可得 n .
ur r
【详解】设m =（1，0）， n =（x，y），
r ur r ur
∵ n - m = n ×m，
1
∴ x -1 2 + y2 = x，化简后可得 y2 = 2x -1， x ，2
r
∴ n = x2 + y2 = x +1 2 - 2 ，
ur r
cos m n x x x
2 1
< , >= = =
∴ x2 y2 x2 2
=
+ + 2x -1 x + 2x -1 1 2 1+ -
x x2
1 ur r 1 1
设 t= ，即 0= =1+ 2t - t 2 2 ，当 t=1，即 x=1 时，x - t -1 + 2
ur r ur r
cos < m，n >取得最小值，即向量m ， n夹角最大，
r
2
∴ n = 2 - 2 = 2 ．
故答案为： 2
17．已知矩形 ABCD中， AB = 2, AD = 1，点 E , F ,G, H 分别在边 AB, BC,CD, AD上（包含端点），若
uuur uuur uuur uuur
EG × HF = 2，则EG 与HF 夹角的余弦值的最大值是 .
4
【答案】 /0.8
5
uuur uuur
【分析】建立坐标系，根据题意设出可设EG = t,1 , HG = 2, s ，-2 t 2, -1 s 1,利用向量的数量积和
uuur uuur
夹角余弦值的坐标运算公式，结合二次函数性质，基本不等式，利用分类讨论思想求得EG 与HF 夹角余弦
值的最大值.
uuuv uuuv
【详解】如图建立直角坐标系，则可设EG = t,1 , HF = 2, s ，-2 t 2, -1 s 1,
uuur uuur uuur uuuruuur uuur EG × HF 2 2
EG × HF = 2t + s = 2， cos EG, HF = uuur uuur = =EG × HF t 2 +1 4 + s2 st 2 + 4t 2 + s2 + 4
2 2 2
= = =
st 2 - 4st + 2t + s 2 + 4 st 2 - 4st 8 st ，+ - 2 2 + 4
当 st 0时， st - 2 2 4，
当 st > 0 时，由 2t + s = 2 ，
故 s > 0, t > 0 ,
1
∴ 2 = 2t + s 2 2st ,∴ st ,2
s 1, t 1当且仅当 = = 时取等号，
2
1
∴ st 最大值为 2 ，
2
∴ st - 2 2 1的最小值为 - 2
9= ,
è 2 ÷ 4
2 4
此时 st 2 2 4 取得最大值为 ，- + 5
uuur uuur 4
即EG 与HF 夹角的余弦值的最大值为 .5
4
故答案为：
5
uuur uuur uur uuur
18．已知 AD 为△ ABC边BC 上的中线，点G 满足 AG = 3GD 且GA ×GB = 0，则 cosC 的最小值为 .
5
【答案】
3
【分析】由题设 AG = 3GD,GA BG ，构建以 G 为原点的直角坐标系，设点坐标 A(0,3) ，B(m,0)，
uuur uuur
C(-m,-2)，求得CA = (m,5)，CB = (2m,2)，应用向量夹角的坐标表示表示出 cosC ，结合基本不等式即可求
最值，注意取值条件.
uuur uuur uur uuur
【详解】由 AG = 3GD 且GA ×GB = 0，则 AG = 3GD,GA BG ，构建如下平面直角坐标系，
uuur uuur
G 为原点，结合中线可令 A(0,3) ，B(m,0)，C(-m,-2)，则CA = (m,5)，CB = (2m,2)，
uuur uuur
cosC uuCurA ×CuB
2
uur m + 5 m
4 +10m2 + 25 16
= = = = 1-
∴ | CA | × | CB | m2 25 m2 4 2+ × +1 m + 26m + 25 m2 25 ，+ 2 + 26m
m2 25 2 m2 25由 + 2 × 2 = 10，当且仅当m = ± 5 时等号成立，m m
cosC 1 16 1 16 5= - 25 - = 5所以 m2 26 36 3 ，仅当m
2 = 5时等号成立，即 cosC 的最小值为 .+
m2
+ 3
5
故答案为：
3
v v v v v v v v
19．已知 a =1，向量b 满足 2 b - a = b × a ，设 a,b 的夹角为q ，则 cosq 的最小值为 .
2 5
【答案】
5
r r r r r r
【解析】根据条件可设 a = (1,0),b = (x, y)，从而根据 2 b - a = b × a 即可得出 4(x -1)2 + 4y2 = x2 ，且得出 x > 0，
3 cosq
x 1
= =
2 2 2
从而得出 y = - x + 2x -1，从而得出 1 24 x + 2x -1 1 2 1 ，从而配方即可求出 cosq 的最4 - ÷ + +è x x 4
小值.
r
【详解】解：∵ a =1，
r r
∴不妨设 a = (1,0),b = (x, y)，
r r
\b - a = (x -1, y)，
r r r r
∴由 2 b - a = b × a 得， 2 (x -1)2 + y2 = x ，则 x > 0，
∴ 4(x -1)2 + 4y2 = x2 ，
2 3 2
∴ y = - x + 2x -14 ，
r r
\cosq a ×br x x x 1= r = = = =| a || b | x2 + y2 x2 3- x2 + 2x 1-1 x2 + 2x -1 1
2
2 1
4 4 - ÷ + +è x x 4
1
\ =1，即 x =1时 cosq 2 5取最小值 .
x 5
2 5
故答案为： .
5
【点睛】本题考查了利用向量坐标解决向量问题的方法，向量坐标的减法和数量积的运算，向量的夹角公
式，根据向量坐标求向量长度的方法，以及二次函数最值的求解，考查了计算能力，属于中档题.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
20．已知OA + OB 与OC 为相反向量，若 OA = 2， OB + OC = 4，则OA，OB 夹角的余弦的最小值
为 ．
【答案】-1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】先根据向量模长相关不等式得到 OB - 2 4 - OB 2 + OB ，解出1 OB 3，设 OB = t 1,3 ，OA，
uuur uuur uuur uuur
OB 夹角为q ，将OC = - OA + OB 两边平方，得到 cosq 3= - 2 ，结合 t 1,3 ，求出 cosq 3= - 2 -1,1 ，t t
得到答案.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur【详解】OC = - OA + OB ，故 OB - OA OC = OA + OB OA + OB ，
uuur uuur uuur uuur uuur
因为 OB + OC = 4，所以 OC = 4 - OB ，又 OA = 2，
uuur uuur uuur uuur
所以 OB - 2 4 - OB 2 + OB ，解得：1 OB 3，
uuur uuur uuur uuur
不妨设 OB = t 1,3 ，OA，OB 夹角为q ，则 OC = 4 - t ，
uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2OC = - OA + OB 两边平方得：OC = OA + 2 OA × OB cosq + OB ，
即 4 - t 2 3= 4 + 2 2t cosq + t 2，解得： cosq = - 2 ，
t
因为 t 1,3 3，所以 cosq = - 2 -1,1 ，
t
uuur uuur
故OA，OB 夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
题型四 模长的最值范围
21． A 、 B 、C 三点在半径为1的圆O上运动，且 AC BC ，M 是圆O外一点，OM = 2，则
uuur uuur uuuur
MA + MB + 2MC 的最大值是 ．
【答案】10
【分析】根据圆的几何性质、向量运行以及绝对值三角不等式，由此求得正确答案.
【详解】连接 AB ，如下图所示：
因为 AC BC ，则 AB 为圆O的一条直径，故O为 AB 的中点，
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur所以，MA + MB = MO + OA + MO + OB = 2MO ，
uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以， MA + MB + 2MC = 2MO + 2 MO + OC = 4MO + 2OC 4 MO + 2 OC ，
uuuur uuur
= 4 2 + 2 1 =10，当且仅当M ,O,C 共线且MO,OC 同向时，等号成立．
故答案为：10
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
22．在梯形 ABCD 中， AD//BC ， AB BC ， | AB |= 2， | BC |= 2 | AD | .若点 P 在线段 BC 上，则 | PC + 3PD |
的最小值是（ ）
7
A． B．4 C
9
． D．6
2 2
【答案】D
uuur uuur
【分析】以 B 为原点， BC 为 x 轴正方向，BA为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
uuur uuur
【详解】如图示，以 B 为原点， BC 为 x 轴正方向，BA为 y 轴正方向建立平面直角坐标系.
则B 0,0 , A 0, 2 , C 2d ,0 , D d , 2 , P p,0 0 p 2d ，
uuur uuur
所以PC = 2d - p,0 ，PD = d - p, 2 .
uuur uuur
所以PC + 3PD = 5d - 4 p,6 ，
uuur uuur 2
所以 | PC + 3PD |= 5d - 4 p + 62 6 （当且仅当5d = 4 p 时等号成立）.
uuur uuur
所以 | PC + 3PD |的最小值是 6.
故选：D
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur
23．在平面上， AB1 AB2 , OB = OB =1 OP
1
1 2 ， AP = AB1 + AB2 .若 < ，则 OA 的取值范围是（ ）2
ù ù
A． 0,
5 5
ú B． ,
7
2 2 2 úè è
5 ù ù
C． , 2
7
ú D． , 2
è 2 è 2
ú
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设出O点的坐标 x, y ，根据已知条件求得 x2 + y2 的取值范围，也即求得
uuur
OA 的取值范围.
【详解】根据条件知 A，B1，P，B2 构成一个矩形 AB1PB2，以 AB1，AB2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，
如图.设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点 O 的坐标为(x，y)，则点 P 的坐标为(a，b)，B1 a,0 , B2 0,b .
uuur uuur ì(x - a)2 + y2 =1
由 OB1 = OB2 =1得 í 2
x + (y - b)
2 =1
ì(x - a)2 =1- y2
则 í
(y - b)
2 =1- x2
uuur 1 2 2 1 2 1 7
又由 OP < ，得 x - a + y - b < ，则1- x +1- y2 < x2 + y2，即 > ①.
2 4 4 4
又 (x - a)2 + y2 =1，得 x2 + y2 + a2 =1+ 2ax 1+ a2 + x2 ，则 y2 1；
同理由 x2 + (y - b)2 =1，得 x2 1，即有 x2 + y2 2 ②.
7
< x2 + y 2 7由①②知 2 ，所以 2
4 < x + y
2 2 .
2
uur
2 uur
而 OA = x + y2 7，所以 < OA 2 .
2
故选：D
【点睛】本小题主要考查利用坐标法求解平面几何问题，属于中档题.
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur
24．平面内不同的三点 O，A，B 满足 OA = AB = 4，若m 0,1 ， mOB - OA + 1- m BO - BA4 的最小值
uuur
为 19 ，则 OB = （ ）
A． 6 B． 2 3 C．2 6 D． 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur 1 uuur p
【分析】设OC = mOB(0 m 1)，BD = BA， ABO = q (0 < q < )，作D关于OB 的对称点D1，如图根4 2
uuur uuur uuuur
据向量的线性运算化简题中的等式 AC + DC ，利用点关于直线的对称性可得 AD1 = 19 ，结合余弦定理可
uuur uuur
得出 cos 2q ，利用二倍角的余弦公式求出 cosq ，最后根据 OB = 2 AB cosq 即可求解.
【详解】解：由题意得：
如图所示：
uuur uuur
设OC = mOB(0 m 1)，则点C 在线段 OB 上运动
uuur uuur uuur uuur uuur
故 mOB - OA = OC - OA = AC
uuur 1 uuur
设BD = BA
4
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1- m BO - BA = m -1 OB - BD = mOB - OB - BD = mOB - OB + BD = OC - OD = DC 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
\ mOB - OA + 1- m BO 1- BA = AC + DC ，即
4 AC + DC = 19min
p
作D关于OB 的对称点D1，设 ABO = q (0 < q < )2
uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur\ AC + DC = AC + D1C AD1 ，即 AC + DC = AD1 = 19min
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
在VABD
1
1中， OA = AB = 4， BD = BD1 = BA =1， AD4 1
= 19
cos 2q 16 +1-19 1由余弦定理可得： = 2cos2 q -1 = = - ，解得：
2 1 4 4 cosq
6
=
4
uuur uuur
OB 2 AB cos 2 4 6= q = = 2 6
4
故选：C
uuur uuur uuur uuur
25．已知VABC 为等边三角形， AB = 2 ，VABC 所在平面内的点 P 满足 AP - AB - AC =1, AP 的最小值
为 ．
【答案】 2 3 -1 / -1+ 2 3
uuur
【分析】构造不等式去求 AP 的最小值
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
【详解】 AB + AC = AB + AC + 2AB × AC = 22 + 22 + 2 2 2 1 = 2 3
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AP = AP - AB - AC + AB + AC AP - AB - AC - AB + AC = 2 3 -1
uuur uuur uuur uuur uuur
（当且仅当 AP - AB - AC 与 AB + AC 方向相反时等号成立）
故答案为： 2 3 -1
uuur uuur
26．如图，在等腰VABC 中，已知 AB = AC =1， A =120°，E、F 分别是边 AB 、 AC 的点，且
uuur uuur uuur uuur uuuur
AE = l AB， AF = m AC ，其中l, m 0,1 且l + 2m =1，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、 N ，则 MN 的
最小值是 ．
21 1
【答案】 / 21
14 14
【分析】直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以m 为变量的二次
函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果．
uuur uuur
【详解】在等腰VABC 中，∵ | AB |=| AC |=1， A = 120o ，
uuur uuur uuur uuur
∴ AB × AC =| AB || AC | cos A
1
= -
2 ；
∵E、F 分别是边 AB 、 AC 的点，
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur
∴ AM = (AE + AF ) = (m AC + l AB) ， AN = (AB + AC)2 2 ，2
uuuur uuur uuuur
MN AN AM 1
uuur uuuur
∴ = - = [(1- l)AB + (1- m)AC]2 ，
uuuur 2 1 uuur 2 uuur uuur uuur 2 2 2
∴ MN = [(1- l)2 AB + 2(1- l)(1- m)AB × AC + (1- m)2 AC ]
l + m - lm - l - m +1
= ，
4 4
∵l + 2m =1，∴l =1- 2m ，
2 2 3
∴ uuuur 2 1- 2m
2 + m 2 - 1- 2m m - 1- 2m - m +1 7m 2 - 4m +1 7(m - ) +MN = = = 7 7 ，
4 4 4
1
其中l ，m (0,1)，即 m (0, )2 ，
2 uuuur 2 3
∴当m = 时， MN 取得最小值 ，
7 28
uuuur
∴ | MN | 21的最小值是 ．
14
21
故答案为： ．
14
题型五 系数的最值范围
uuur uuur uuur
27．在扇形OAB 中， AOB = 60o，C 为弧 AB 上的一动点，若OC = xOA + yOB，则3x + y 的取值范围
是 ．
【答案】 1,3
uuur uuur
【分析】以 O 为原点，OA,OB分别为 x，y 轴正方向建立平面直角坐标系.向量坐标化进行坐标运算，利用
三角函数求出3x + y 的取值范围.
uuur uuur
【详解】以 O 为原点，OA,OB分别为 x，y 轴正方向建立平面直角坐标系.
uuur uuur uuur
则OA = 1,0 ,OB 1 , 3 p= ÷÷ .不妨设OC = cosq ,sinq , 0 q .
è 2 2
÷
è 3
ì 1 ì
uuur uuur uuur cosq = x + y x = cosq
3
- sinq
2
因为OC = xOA 3+ yOB，所以 í ，解得： í ，
sinq 3= y y
2 3
= sinq
2 3
所以3x + y = 3cosq 3- sinq .
3
y = cosq q é0,p ù y = -sinq q é p ù 3因为 在 ê ú上单调递减， 在 ê0,3 3 ú上单调递减，所以3x + y = 3cosq - sinq 在 3
q é0,p ùê 3 ú上单调递减
.
所以当q = 0时3x + y = 3
p
最大；当q = 时
3 3x y
p 3 p 3 3 3
+ = 3cos - sin = - × =1最小.
3 3 3 2 3 2
所以3x + y 的取值范围是 1,3 .
故答案为： 1,3 .
uuur uuur uuur
28．在正方形 ABCD中，动点E从点 B 出发，经过C ，D，到达A ， AE = l AB + m AC ，则l + m 的取值范
围是（ ）
A． -1,1 B． 0,1 C． -1, 2 D． 0,2
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点E在BC ，CD， AD 三种情况，求出l + m 的取值范围.
【详解】以 B 为坐标原点， AB ，BC 所在直线分别为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系，
设 AB =1，则B 0,0 , A 1,0 ,C 0,1 , D 1,1 ，
当点E在BC 上时，设E 0,m ,m 0,1 ，
ì-l - m = -1则 -1, m = l -1,0 + m -1,1 ，即 í ，故l + m =1，
m = m
当点E在CD上时，设E t,1 , t 0,1 ，
ì-l - m = t -1 ì
l = -t
则 t -1,1 = l -1,0 + m -1,1 ，即 ím ，解得 ， =1
í
m =1
故l + m =1- t 0,1 ，
当点E在 AD 上时，设E 1,u ,u 0,1 ，
ì-l - m = 0则 0,u = l -1,0 + m -1,1 ，即 ím u ，故l + m = 0 =
综上，l + m 的取值范围是l + m 0,1 .
故选：B
uuur uuur uuur
29．在正六边形 ABCDEF 中，点G 为线段DF （含端点）上的动点，若CG = lCB + mCD（l ， m R ），
则l + m 的取值范围是 ．
【答案】[1, 4]
【分析】以正六边形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，根据已知条件，用点G 的横坐标表示l + m ，
结合点G 横坐标的取值范围，即可求得结果.
【详解】根据题意，不妨设正六边形 ABCDEF 的边长为 2 3 ，以中心O建立平面直角坐标系，如下所示：
则可得F -2 3,0 , D 3,3 ,C 2 3,0 , B 3, -3 ，
uuur uuur uuur
设点G 的坐标为 m, n ，则CG = m - 2 3,n ,CB = - 3, -3 ,CD = - 3,3 ，
uuur uuur uuur
由CG = lCB + mCD可得：m - 2 3 = - 3l - 3m l m 3，即 + = - m + 2，
3
数形结合可知：m é -2 3, 3ù
3
，则- m + 2 1,4 ，即l + m 的取值范围为 1,4 .3
故答案为： 1,4 .
【点睛】本题考查用解析法处理平面向量中的范围问题，解决问题的关键是用点G 的坐标表达l + m ，属中
档题.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
30．已知VABC 中， AO = l AB + (1- l)AC ，且O为VABC 的外心．若BA在 BC 上的投影向量为m BC ，且
cos AOC é1 , 2 ùê3 3 ú ，则
m 的取值范围为（ ）
é2 , 5ù é1A． ê ú B． ê ,
3 ù é4
ú C． ê ,
5ù é1
D． ,
3ù
3 6 5 10 3 3ú ê 5 5 ú
【答案】A
uuur uuur uuur
【分析】根据题意 B，O，C 三点共线．因为O为VABC 的外心，即有 | OA |=| OB |=| OC |，所以VABC 为直角
三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AO = l AB + (1- l)AC = l AB + AC - l AC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AO - AC = l(AB - AC) ，所以CO = lCB，即 B，O，C 三点共线．
uuur uuur uuur
因为O为VABC 的外心，即有 | OA |=| OB |=| OC |，
1
所以VABC 为直角三角形，因此 AB AC ，O为斜边BC 的中点．因为 cos AOC éê ,
2 ù
3 3 ú ，所以
AOC 为
锐角．
如图，过点A 作 AQ BC ，垂足为Q．
uuur uuur uuur uuur 1
因为BA在 BC 上的投影向量为BQ = m BC ，所以 < m <1，2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur
所以OA在 BC 上的投影向量为OQ = BQ - BO = m BC - BC = m - ÷ BC ．2 è 2
uuur 1 uuur
uuur uuur OQ m - ÷ BC
又因为 | OA |
1
= | BC | 2，所以 cos AOC = uuur = è = 2m -1．2 OA 1 uuurBC
2
cos AOC é1 2 ù é1 2因为
ù
ê , ú ，所以 2m -1 ,3 3 ê ú， 3 3
故m
é 2 5 ù
的取值范围为 ,
ê 3 6 ú
．
故选：A．
uuur uuur uuur
31．在正六边形 ABCDEF 中，点 P 是VCDE内（包括边界）的一个动点，设 AP = l AB + m AF l,m R ，
则l + m 的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 2,3 C． 2,4 D． 3,4
【答案】D
【详解】因为 P 为动点，所以不容易利用数量积来得到l, m 的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标
系各个点的坐标易于确定，
3 3
可得：B 1,0 ,C , ÷÷ , D 1, 32 2
1 3 uuur uuur , F - , ÷÷ , E 0, 3 ，则 AB = 1,0 , AF
1
= - ,
3
，所以设P x, y ，
è è 2 2 è 2 2
÷÷
uuur uuur uuur 1 3
则由 AP = l AB + m AF 可得： P l - m, m ÷÷，因为 P 在VCDE内，且CE : x + 3y = 3,CD : 3x + y = 2 3 ，
è 2 2
ìx + 3y 3
ìl + m 3
所以 P 所满足的可行域为 íy 3 ，代入可得： ím 2 ，通过线性规划可得：l + m 3,4 .
3x + y 2 3
l 2
