专题 3.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点 1 平面
平面 叙述
①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面
平面的表示
可写成平面a ，平面 ABCD，平面 AC 或平面 BD（对角线）
①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2
平面的画法 倍；
②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线
图示
①平面是平的；
平面的特点 ②平面是无限延展的没有边界的；
③平面是没有厚度的。
点、直线、平面的位 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“ ”或“ ”；
置关系 ②直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”
知识点 2 平面的基本事实
1.基本事实
基本事实 基本事实 1 基本事实 2 基本事实 3
过不在一条直线上的三点，有 如果一条直线上的两点在一个 如果两个不重合的平面有一个
叙述
且只有一个平面 平面内，那么这条直线在这个 公共点，那么它们有且只有一
平面内 条过该点的公共直线
图示
A，B，C 三点不共线 存在唯 A l, B l 且 A a , B a P a , P b a b＝ l
符号表示
一的平面 α 使 A, B, C a l a 且 P l
确定一个平面或判断“直线共面” ①检验平面； ①判定两平面相交；
的方法 ②判断直线在平面内； ②作两平面相交的交线；
作用
③由直线在平面内判断直线上 ③证明多点共线
的点在平面内
2.三个推论：
推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
重难点 1 三种语言的相互转换
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”为 ．
【答案】 A l ， l a
【详解】由点 A 在直线 l 上，得 A l ；由 l 在平面a 外，得 l a .
故答案为： A l ； l a
2．看图填空：
（1）直线 AC 直线BD = .
（2）平面 A1B1BA 平面 A1B1C1D1 = .
（3）平面 A1C1CA 平面 ABCD = .
（4）平面 A1C1CA 平面D1B1BD = .
（5）平面 A1B1C1D1 I平面 A1B1BA 平面B1C1CB = .
（6）直线 A1B1 I 直线B1B 直线B1C1 = .
【答案】 O 直线 A1B1 直线 AC 直线OO1 B1 B1
【详解】（1） AC 与BD交于点O，\直线 AC 直线BD = O；
（2）平面 A1B1BA与平面 A1B1C1D1的交线为 A1B1 ，\平面 A1B1BA 平面 A1B1C1D1 =直线 A1B1 ；
（3）平面 A1C1CA与平面 ABCD的交线为 AC ，\平面 A1C1CA 平面 ABCD =直线 AC ；
（4）平面 A1C1CA与平面D1B1BD 的交线为OO1 ，\平面 A1C1CA 平面D1B1BD =直线OO1 ；
（5）平面 A1B1C1D1，平面 A1B1BA，平面B1C1CB的公共点是B1，
\平面 A1B1C1D1 I平面 A1B1BA 平面B1C1CB = B1；
（6）直线 A1B1 ，直线B1B ，直线 B1C1 的交点为B1，\直线 A1B1 I 直线B1B 直线B1C1 = B1 .
故答案为：O；直线 A1B1 ；直线 AC ；直线OO1 ；B1；B1 .
3．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面 ABD与平面BDC 交于BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC .
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
a I b = l, A l, AB a , AC b .
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【详解】符号语言表示：平面 ABD 平面BDC = BD ，平面 ABC 平面 ADC = AC .
用图形表示如图①所示．
(2)文字语言叙述为：点A 在平面a 与平面b 的交线 l上，直线 AB, AC 分别在平面a , b 内，
图形语言表示如图②所示．
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点 A 在平面a 外，但点 B 在平面a 内；
(2)直线 a既在平面a 内，又在平面b 内．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
【详解】（1）
（2）
5．用集合符号表示下列语句：
(1)点A 在直线 l上，点 B 不在直线 l上；
(2)平面a 与平面b 相交于过点A 的直线 l．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）点A 在直线 l上，点 B 不在直线 l上可表示为： A l, B l
（2）平面a 与平面b 相交于过点A 的直线 l可表示为：a I b = l, A l
重难点 2 证明点线共面问题
6．空间中有三条直线 a，b ， c，则“ a，b ， c两两相交”是“ a，b ， c共面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】D
【详解】如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
AA1、AB、AD三条直线两两相交，但 AA1、AB、AD不共面；
AB、AD、BC ，都在平面 ABCD中，但 AD、BC 不相交.
所以空间中有三条直线 a，b ， c，则“ a，b ， c两两相交”是“ a，b ， c共面”的既非充分也非必要条件.
故选：D.
7．下列命题错误的是（ ）
A．不共线的三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面
【答案】D
【详解】A.由平面的基本性质知：不共线的三点确定一个平面，故正确；
B.由平面的基本性质的推论知：一条直线和直线外一点，可确定一个平面，故正确；
C. 梯形有一组对边平行，由平面的基本性质的推论知：梯形可确定一个平面，故正确；
D. 由平面的基本性质知：当圆心和圆上两点共线时，不能确定平面，故错误；
故选：D
8．（多选）下列说法，不正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】ABC
【详解】对于 AB，当三条直线交于同一点时，三条直线可能不共面，故 AB 错误，
对于 C，当三条直线相互平行时，三条直线可能不共面，故 C 错误，
对于 D，一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面，故 D 正确，
故选：ABC
9．如图，已知 a / /b / /c, l a = A, l b = B, l c = C .求证：直线 a,b,c, l 共面．
【答案】证明见解析
【详解】
因为 a / /b，所以 a和b 确定一个平面a ，
因为 l a = A, l b = B，所以 A a, B a .
故 l a .
又 a / /c ，所以 a和 c确定一个平面b .
同理 l b .
即 l和 a既在平面a 内又在平面b 内，且 l与 a相交，
故平面a ，b 重合，即直线 a,b,c, l 共面．
10．如图，已知 E，F，G，H 分别为四面体 ABCD 的棱长 AB，BC，CD，AD 的中点，求证：E，F，G，
H 四点共面．
【答案】答案见详解
【详解】∵E，F，分别为 AB，BC 的中点，
1
∴EF∥ AC ，且EF = AC ，
2
∵G，H 分别为 CD，AD 的中点，
1
∴GH∥AC ，且GH = AC ，
2
∴EF∥GH ，且EF = GH ，
∴四边形EFGH 为平行四边形
∴E，F，G，H 四点共面．
11．如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2, E , F 分别为 AD,CC1的中点.
uuuur uuur
(1)已知点G 满足DD1 = 4DG ，求证B, E,G, F 四点共面；
(2)求三棱柱 ABD - A1B1D1的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)12+4 2 .
【详解】（1）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，取DD1中点H ，连接 AH , HF , EG，如图，
因为F 是CC1 的中点，则HF / /DC / / AB, HF = DC = AB，即四边形 ABFH 是平行四边形，
uuuur uuur
则有BF / / AH ， 由DD1 = 4DG ，知G 为DH 的中点，而E 为 AD 中点，于是EG / / AH ，即有EG / /BF ，
所以B, E,G, F 四点共面.
（2）显然三棱柱 ABD - A1B1D1是直三棱柱， AB = AD = AA1 = 2, BAD = 90
o , BD = 2 2 ，
上下两个底面的面积和为 S1 = 2SVABD = 2
1
2 2 = 4 ，
2
侧面积 S2 = AA1×(2AB + BD) = 2(2 2 + 2 2) = 8+ 4 2 ，
所以三棱柱 ABD - A1B1D1的表面积 S = S1 + S2 =12 + 4 2 .
重难点 3 证明线共点问题
12．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，P，Q 分别是棱 AA1，CC1 的中点，平面 D1PQ I 平面 ABCD = l ，
则下列结论错误的是（ ）
A． l过点 B
B． l不一定过点 B
C．D1P的延长线与DA的延长线的交点在 l上
D．D1Q的延长线与DC 的延长线的交点在 l上
【答案】B
【详解】连接 PB，QB ，如图，
因为 P，Q 分别是棱 AA1，CC1 的中点，
由勾股定理得D1P = D1Q = QB = BP ，
所以四边形D1PBQ是菱形，
所以D1，P，B，Q 四点共面，即B 平面D1PBQ .
又B 平面 ABCD，所以B l ，故 A 结论正确，B 结论错误.
如图，延长D1P与DA的延长线交于点 F，延长D1Q与DC 的延长线交于点 E.
因为D1F 平面D1PBQ，所以F 平面D1PBQ，
因为DF 平面 ABCD，所以F 平面 ABCD，所以F l ，
同理 E l ，故 C，D 正确.
故选：B
13．如图，点 N 为正方形 ABCD的中心，平面ECD ^平面 ABCD，且ED = EC = 2CD ，M 是线段ED
的中点，则（ ）
A．BM = EN ，且直线BM EN 是相交直线
B．BM EN ，且直线BM EN 是相交直线
C．BM = EN ，且直线BM EN 是异面直线
D．BM EN ，且直线BM EN 是异面直线
【答案】A
【详解】如图所示：
连接BD, BE, MN ，点 N 为正方形 ABCD的中心，
则BD经过点 N ，且点 N 为BD中点，
M 是线段ED的中点，
所以在△EBD 中，MN P EB，
又ED = EC = 2CD ， 且由正方形性质可知BD = 2CD，
EM 1 DE 2 1所以 = = CD = BD = BN ，
2 2 2
即四边形EBNM 为等腰梯形，
又BM , EN 为等腰梯形的对角线，
所以BM = EN ，且直线BM EN 是相交直线.
故选：A.
14．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，对角线BD1与过 A1、D、C1的平面交于点M ，则
BM : MD1 = ．
【答案】2:1
【详解】连接 B1D1交 A1C1于O，连接BD、DO ，
由M BD1，BD1 面BDD1B1，则M 面BDD1B1，
又M 面 A1C1D，而面BDD1B1 I面 A1C1D = DO ，故M DO，
所以M 是BD1与DO 的交点，又B1D1 / /BD，
BM BD BD
= = = 2
所以 MD1 D 11O B D ，
2 1 1
所以BM : MD1 = 2 :1 .
故答案为：2:1.
15．如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AB, AA1的中点．求证：CE, D1F , DA三线交于
一点．
【答案】证明见解析
【详解】
连接 EF , D1C, A1B ，
1
因为E 为 AB 的中点，F 为 AA1的中点，所以EF / / A1B且EF = A1B .2
又因为 A1B / /D1C 且 A
1
1B = D1C ，所以EF / /D1C 且EF = D1C ，2
所以E, F , D1,C 四点共面，
设D1F ICE = P .又D1F 平面 A1D1DA,CE 平面 ABCD，
所以点 P 为平面 A1D1DA与平面 ABCD的公共点．
又因为平面 A1D1DA I平面 ABCD = DA，
所以根据基本事实 3,得P DA，
即CE, D1F , DA三线交于一点．
16．（1）已知直线 a∥b，直线 l与 a，b 都相交，求证：过 a，b ， l有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形 ABCD中，H ，G 分别是 AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边 AB ，BC上的点，
CF AE 1
且 = = .求证：直线EH ，BD， FG 相交于一点.
FB EB 3
【答案】证明过程见解析
【详解】（1）证明：设直线 l与 a，b 分别交于M , N 点，
如图 1，
因为 a∥b，所以 a,b确定一个平面，记为平面a ，
因为点M 直线 a，点 N 直线b ，所以M a ， N a ，
所以直线MN ，即 l 平面a ，所以过 a，b ， l有且只有一个平面；
（2）在空间四边形 ABCD中，连接EF , HG ，
因为H ,G 分别为 AD,CD 的中点，则HG / /AC 1，且HG = AC ，
2
CF AE 1 3
又由 = = ，则EF // AC ，且EF = AC ，
FB EB 3 4
故HG / /EF ，且HG EF ，故四边形EFGH 为梯形，EH 与 FG 交于一点，
设EH 与 FG 交于点 P ，如图 2，
由于EH 平面 ABD，点 P 在平面 ABD内，同理点 P 在平面BCD内，
又因为平面 ABD 平面BCD = BD，
所以点 P 在直线BD上，
故直线EH , BD, FG 相交于一点.
17．在空间四边形 ABCD 中，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E，F 分别边 AB，BC 上的点，且
CF AE 1
= = ．求证：
FB EB 3
(1)点 E，F，G，H 四点共面；
(2)直线 EH，BD，FG 相交于一点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）由题意，作图如下：
空间四边形 ABCD中，H ,G 分别是 AD,CD 的中点，\HG / / AC .
CF AE 1
又 = = ，\EF / / AC ，\EF / /HG ，E, F ,G, H 四点共面.
FB EB 3
（2）证明：连接 EF 、HG，因为H ,G 分别是 AD,CD 的中点，所以HG / /AC ，
且HG
1 AC CF AE 1 EF 3= ，又因为 = = ，所以EF // AC ，且 = AC ，
2 FB EB 3 4
所以HG / /AC ，且HG EF ，故四边形EFGH 为梯形，且EH , FG 是梯形的两腰，
所以EH , FG 相交于一点.设交点为 P ，因为EH 平面 ABD，所以P 平面 ABD，
同理P 平面BCD，而平面 ABD 平面BCD = BD，所以P BD ，
故点 P 时直线EH , BD, FG 的公共点，即直线EH , BD, FG 相交于一点.
重难点 4 证明点共线问题
18．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为棱D1C1的靠近D1上的三等分点.设 AE 与平面 BB1D1D的交点
为O，则（ ）
A．三点D1,O, B共线，且OB = 2OD1
B．三点D1,O, B共线，且OB = 3OD1
C．三点D1,O, B不共线，且OB = 2OD1
D．三点D1,O, B不共线，且OB = 3OD1
【答案】B
【详解】
连接连接 AD1 ，BC1，
QO 直线 AE, AE 平面 ABC1D1,\O 平面 ABC1D1 .
又QO 平面 BB1D1D，平面 ABC1D1 平面BB1D1D = BD1,\O 直线BD1
∴三点D1,O, B共线.
QVABO ~VED1O,\OB : OD1 = AB : ED1 = 3:1,\OB = 3OD1 .
故选：B.
19．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G,H 分别在 ，CD 上，且
BG:GC = DH:HC =1:2.则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H 四点共面；②EG//FH ;③若直线 EG 与直线 FH 交于点 P，则 P，A，C 三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】如图所示，
1E，F 分别为 AB，AD 的中点，∴EF //BD，EF = BD， 2
G,H 2分别在 ，CD 上，且BG : GC = DH : HC =1: 2，∴GH //BD ，GH = BD，
3
∴EF //GH ，则 E，F，G，H 四点共面，说法①正确；
∵GH > EF ，四边形FEGH 是梯形，EG//FH 不成立，说法②错误；
若直线EG与直线FH 交于点 P，则由P EG ，EG 平面 ABC ，得P 平面 ABC ，
同理P 平面 ACD，又平面 ABC 平面 ACD = AC ，P AC
∴则 P，A，C 三点共线，说法③正确；
说法中正确的有 2 个.
故选：C
20．如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AB, AA1上的点且D1F CE = M ．求证：点
D, A, M 三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】因为D1F CE = M ，且D1F 平面 A1D1DA，所以M 平面 A1D1DA，
同理M 平面 ABCD，
从而 M 在两个平面的交线上，
因为平面 A1D1DA∩平面 ABCD = AD ，所以M AD 成立．
所以点D, A, M 三点共线．
21．如图所示， VABC 在平面a 外，三边 AB，AC，BC 所在直线分别交平面a 于 P，Q，R 三点．求证：
P，Q，R 三点在同一直线上．
【答案】证明见解析
【详解】由 AB a = P，可知点P AB，
且 AB 平面 ABC，可知点P 平面 ABC，又P a ，
所以点 P 在平面 ABC 与平面a 的交线上，
同理可得：点 Q，R 均在平面 ABC 与平面a 的交线上，
所以 P，Q，R 三点共线．
22．已知VABC 三边所在直线分别与平面 α 交于P,Q, R三点，求证：P,Q, R三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】∵ A, B,C 是不在同一直线上的三点
∴过 A, B,C 有一个平面b
又Q AB a = P ,且 AB b ，所以P a , P b ，
设a I b = l ，则P l.
同理可证：Q l, R l ，
所以P,Q, R三点共线
知识点 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
图示
平行
关系 符号
a∥b a∥α a //b
语言
图示
相交
关系 符号
a b = A a a = A a b = l
语言
图示
独有
符号
关系 a，b 是异面直线 a a
语言
重难点 5 异面直线的判断
23．过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（ ）对
A．15 B．24 C．36 D．54
【答案】C
【详解】三棱柱 ABC - A1B1C1 中，与 A1B1 异面的直线有C1C,C1A,C1B,CA,CB，
与 A1C1异面的直线有B1C,B1A,B1B,BA,BC ,
与 B1C1 异面的直线有 A1C, A1B, A1A, AB, AC ,
与 AA1异面的直线有BC,BC1,C1B ,
与BB1异面的直线有 AC, AC1, A1C ,
与CC1 异面的直线有 AB, AB1, A1B ,
与 A1B 异面的直线有 AC,B1C, AC1 ,与 AB1异面的直线有BC,BC1,CA1 ,
与B1C 异面的直线有 AB, AC1 ,与BC1异面的直线有 AC, A1C ,
与 A1C 异面的直线有 AB ,与 AC1异面的直线有BC ,
所以异面直线有5 3+3 3+3 2+2 2+1 2 = 36对，
故选： C.
24．如图，已知 E，F 分别为三棱锥D - ABC 的棱 AB, DC 的中点，则直线DE 与 BF 的位置关系是
（填“平行”，“异面”，“相交”）．
【答案】异面
【详解】假设直线DE, BF 共面，EB 平面DEBF ，
由 A EB ，则 AB 平面DEBF ，
同理，DC 平面DEBF ，故 AB,CD 共面，
这与D - ABC 是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线DE, BF 异面.
故答案为：异面.
25．（多选）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 为DD1的中点，则下列直线中与直线C1M 是异面直线的
有（ ）
A．DD1 B．CC1 C．BD1 D．CA1
【答案】CD
【详解】
由题意可知 M 为DD1的中点，故DD1 IC1M = M ，C1M CC1 = C1 ，
故DD1，CC1 与C1M 均为相交直线，A，B 错误；
BD1 I平面CC1D1D = D1，C1M 平面CC1D1D,D1 直线C1M ，
故BD1与直线C1M 为异面直线，同理可说明CA1与直线C1M 为异面直线，C，D 正确，
故选：CD
26．已知直线 a//c,a,b 为异面直线，且b 与 c不相交，求证：b,c为异面直线．
【答案】证明见解析
【详解】
方法一：证明：如图，假设b,c为共面直线，∵b,c不相交，∴b//c，
但 c//a ，∴ a //b ，这与 a,b为异面直线矛盾，故假设不成立，∴b,c为异面直线．
方法二：∵ a//c ，故 a,c 两直线确定了一个平面a ．
若b//a ，则 a,b为异面直线，∴b 不平行 c，且b,c不相交，∴b,c为异面直线．
若b Ia = B，则b,c不相交，∴B c ，因此b 与 c为异面直线．
综上所述，b,c为异面直线．
27．已知 a，b，c 是三条直线，如果 a 与 b 是异面直线，b 与 c 是异面直线，那么 a 与 c 有怎样的位置关
系？并画图说明.
【答案】平行、相交、异面，画图见解析
【详解】直线 a 与直线 c 的位置关系可以是平行、相交、异面，如图（1）（2）（3）.
28．如图，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形 ABCD的边 AB 、BC、CD 、DA的中点．
(1)证明：四边形EFGH 为平行四边形；
(2)证明： AC 和BD是异面直线．
【答案】(1)证明过程见解析.
(2)证明过程见解析.
【详解】（1）证明：因为已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形 ABCD的边 AB 、BC、CD 、DA的中
1 1
点．所以线段 EF 是DABC 的中位线，所以EF∥ AC 且EF = AC ，同理可得HG∥ AC 且HG = AC ，
2 2
所以EF∥HG且EF = HG，所以四边形EFGH 为平行四边形.
（2）反证法：假设 AC 和BD不是异面直线，则 AC 和BD平行或相交，所以 AC 和BD可以确定一个平面
a ，所以 A, B,C, D a ，这与 ABCD是空间四边形矛盾，故 AC 和BD是异面直线.
重难点 6 线面关系的判断
29．已知直线m 和平面a ，则“ m a ”是“直线m 与平面a 无公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【详解】因为m a 包含m∥a 和直线m 与平面a 相交两种情况，因此若m a ，则直线m 可以与平面a
无公共点也可以与平面a 有一个公共点，
因此“ m a ”是“直线m 与平面a 无公共点”的必要不充分条件.
故选：B．
30．已知空间中点 A，B，直线 l，平面 α，若 A l ，B l ， A a ，B a ，则下列结论正确的是
（ ）．
A． l∥a B．l 与 ɑ 相交 C． l a D．以上都有可能
【答案】B
【详解】因为 A l ， A a ，
所以 l a ，
又因为B l ，B a ，
所以 l 与 ɑ 相交，
故选：B
31．已知 l，m 是两条不同的直线，a 为平面，m a ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 l 与a 不平行，则 l 与 m 一定是异面直线
B．若 l∥a ，则 l 与 m 可能垂直
C．若 l Ia = A，且 A m，则 l 与 m 可能平行
D．若 l Ia = A，且 l 与a 不垂直，则 l 与 m 一定不垂直
【答案】B
【详解】对于选项 A：若 l 与a 不平行，则 l 与a 的位置关系有：相交或直线在平面内，
且m a ，则 l 与 m 的位置关系有：平行、相交或异面，故 A 错误；
对于选项 B：若 l∥a ，则 l 与 m 可能垂直，
如图所示： l∥l , l a , l ^ m，可知： l ^ m ，故 B 正确；
对于选项 C：若 l Ia = A，且 A m，m a ，则 l 与 m 异面，故 C 错误；
对于选项 D：若 l Ia = A，且 l 与a 不垂直，则 l 与 m 可能垂直，
如图，取a 为平面 ABCD， l = AD1, m = AB，
符合题意，但 l ^ m ，故 D 错误；
故选：B.
32．在空间中，若直线 l平行于平面a ，则下列结论成立的是（ ）
A．a 内不存在与 l共面的直线 B．a 内不存在与 l异面的直线
C．a 内不存在与 l垂直的直线 D．a 内不存在与 l相交的直线
【答案】D
【详解】由题意作出下图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，设CC1所在直线为 l，平面 AA1B1B所在平面为
a ，
对 A：由图及正方体性质可知BB1 //CC1 ，且BB1 平面 AA1B1B，此时BB1与CC1共面，故 A 错误；
对 B：由图及正方体性质可知 AB 与CC1异面，且 AB 平面 AA1B1B，故 B 错误；
对 C：由图及正方体性质可知 AB ^ CC1，且 AB 平面 AA1B1B，故 C 错误；
对 D：由CC1 // 平面 AA1B1B，且CC1 平面 AA1B1B，故 D 正确.
故选：D.
33．已知点 M 为正方体 ABCD - A1B1C1D1 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
q1：过点 M 有且只有一个平面与 AA1和 B1C1 都平行；
q2：过点 M 至少可以作两条直线与 AA1和 B1C1 所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A．命题 q1是真命题，命题q2是假命题 B．命题 q1是假命题，命题q2是真命题
C．命题 q1，q2都是真命题 D．命题 q1，q2都是假命题
【答案】A
【详解】已知点M 为正方体 ABCD - A1B1C1D 内（不包含表面）的一点，过点M 的平面为a ，
如图所示：
对于 q1，在平面 AA1D1D与平面BB1C1C 之间与平面 AA1D1D与平面BB1C1C 平行的平面均与 AA1和 B1C1 平行，
如平面a
，当点M 为正方体 ABCD - A1B1C1D 内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题 q1
是真命题；
对于q2，点M在正方体 ABCD - A1B1C1D1 内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与 AA1和 B1C1
所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得 AA1， B1C1 ，M 在同一平面内，与 AA1和 B1C1 异面矛盾，所
以假设错误，所以命题q2是假命题.
故选：A.
34．如图所示，A 是△BCD所在平面外的一点，E ，F 分别是BC， AD 的中点．
(1)判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系．
(2)判断直线 EF 与直线BD的位置关系．
【答案】(1)相交；
(2)异面；
【详解】（1）因为E BC, BC 面 ABC ，所以E 面 ABC ，又F 面 ABC ，
所以直线 EF 与平面 ABC 的位置关系是相交；
（2）由（1）得直线 EF 与平面 ABC 的位置关系是相交，BD 面 ABD，
又F 面 ABD，F BD ，E 面 ABD，
所以直线 EF 与直线BD的位置关系是异面；
重难点 7 面面关系的判断
35．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M , N 分别是 A1B1, BB1的中点，则下列直线与平面、平面与
平面的位置关系是什么？
(1) AM 所在的直线与平面 ABCD的位置关系；
(2)CN 所在的直线与平面 ABCD的位置关系；
(3) AM 所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)平面 ABB1M 与平面CDD1C1的位置关系；
(5)平面 AMD1 与平面BNC 的位置关系.
【答案】(1)相交
(2)相交
(3)平行
(4)平行
(5)相交
【详解】（1）由于 A 点在平面 ABCD内，M 不在平面 ABCD内，所以 AM 所在的直线与平面 ABCD相
交.
（2）由于 C 点在平面 ABCD内，N 不在平面 ABCD内，CN 所在的直线与平面 ABCD相交.
（3）由正方体的结构特征得平面 AA1B1B / /平面CDD1C1 ， AM AA1B1B，
所以 AM 所在的直线与平面CDD1C1 平行.
（4）由正方体的结构特征得平面 AA1B1B / /平面CDD1C1 ，
所以平面 ABB1M 与平面CDD1C1 平行.
（5）由正方体的结构特征得平面 AA1D1D / / 平面CBB1C1 ，
而平面 AA1D1D 平面 AMD1 = AD1 ，
所以平面 AMD1 与平面BNC 相交.
36．如图，在正方体 ABCD- A B C D 中，E，F 分别为B C ， A D 的中点，求证：平面 ABB A 与平面CDFE
相交．
【答案】证明见解析
【详解】证明：在正方体 ABCD- A B C D 中，E 为B C 的中点，
所以B E
1
= BC ，B E // BC，
2
所以四边形B ECB为梯形，
所以 EC 与B B不平行，
所以延长 CE 与BB 必交于一点，设为点 H，
所以H EC ，且H B B ，
又B B 平面 ABB A ，CE 平面CDFE，
所以H 平面 ABB A ，H 平面CDFE，
所以点 H 为平面 ABB A 与平面CDFE的公共点，
所以平面 ABB A 与平面CDFE相交．
37．在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，E，F 分别为 A1B1，B1C1的中点.求证:平面 ACC1A1与平面 BEF 相交.
【答案】见解析
【详解】证明：因为在矩形 AA1B1B 中，E 为 A1B1的中点，
所以 AA1与 BE 不平行，则 AA1，BE 的延长线相交于一点，设此点为 G，所以 G∈AA1，G∈BE.
又 AA1 平面 ACC1A1，BE 平面 BEF，
所以 G∈平面 ACC1A1，G∈平面 BEF，
所以平面 ACC1A1与平面 BEF 相交.
38．（多选）两平面a , b 平行， a a ，则下列四个命题正确的是（ ）
A． a与b 内的所有直线平行
B． a与b 内无数条直线平行
C． a与b 至少有一个公共点
D． a与b 没有公共点
【答案】BD
【详解】 a不是与b 内的所有直线平行，
而是与b 内的无数条直线平行，有一些是异面，A 错误，B 正确；
根据定义， a与b 没有公共点，C 错误，D 正确.
故选：BD.
39．若平面a P 平面b ，直线 a a ，直线b b ，那么 a,b的位置关系是（ ）
A．无公共点 B．平行
C．既不平行也不相交 D．相交
【答案】A
【详解】由题，直线 a，b 分别含于两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交.
故选：A
40．若 A 面a ，B 面a ，C 面a ，则平面 ABC 与平面a 的位置关系 .
【答案】相交
【详解】因 A 面a ，B 面a ，C 面a ，则面 ABC 与面a 有公共点 A，且不重合，
所以面 ABC 与面a 的位置关系是相交.
故答案为：相交
41．点 A 平面a ，点 A 平面b ，平面a I 平面 b = 直线 l，则点A 直线 l（用集合符号表示）．
【答案】
【详解】因为A 既在平面a 内又在平面b 内，所以A 在两平面的交线上，即 A l ;
因为点 A 平面a ，点 A 平面b ，平面a I 平面 b = 直线 l，所以 A l
故答案为： 专题 3.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点 1 平面
平面 叙述
①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面
平面的表示
可写成平面a ，平面 ABCD，平面 AC 或平面 BD（对角线）
①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成 45°，且横边长等于其邻边长的 2
平面的画法 倍；
②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线
图示
①平面是平的；
平面的特点 ②平面是无限延展的没有边界的；
③平面是没有厚度的。
点、直线、平面的位 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“ ”或“ ”；
置关系 ②直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”
知识点 2 平面的基本事实
1.基本事实
基本事实 基本事实 1 基本事实 2 基本事实 3
过不在一条直线上的三点，有 如果一条直线上的两点在一个 如果两个不重合的平面有一个
叙述
且只有一个平面 平面内，那么这条直线在这个 公共点，那么它们有且只有一
平面内 条过该点的公共直线
图示
A，B，C 三点不共线 存在唯 A l, B l 且 A a , B a P a , P b a b＝ l
符号表示
一的平面 α 使 A, B, C a l a 且 P l
确定一个平面或判断“直线共面” ①检验平面； ①判定两平面相交；
的方法 ②判断直线在平面内； ②作两平面相交的交线；
作用
③由直线在平面内判断直线上 ③证明多点共线
的点在平面内
2.三个推论：
推论 1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
重难点 1 三种语言的相互转换
1．用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 α 外”为 ．
2．看图填空：
（1）直线 AC 直线BD = .
（2）平面 A1B1BA 平面 A1B1C1D1 = .
（3）平面 A1C1CA 平面 ABCD = .
（4）平面 A1C1CA 平面D1B1BD = .
（5）平面 A1B1C1D1 I平面 A1B1BA 平面B1C1CB = .
（6）直线 A1B1 I 直线B1B 直线B1C1 = .
3．（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．
平面 ABD与平面BDC 交于BD，平面 ABC 与平面 ADC 交于 AC .
（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．
a I b = l, A l, AB a , AC b .
4．用符号表示下列语句，并画出相应的图形．
(1)点 A 在平面a 外，但点 B 在平面a 内；
(2)直线 a既在平面a 内，又在平面b 内．
5．用集合符号表示下列语句：
(1)点A 在直线 l上，点 B 不在直线 l上；
(2)平面a 与平面b 相交于过点A 的直线 l．
重难点 2 证明点线共面问题
6．空间中有三条直线 a，b ， c，则“ a，b ， c两两相交”是“ a，b ， c共面”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
7．下列命题错误的是（ ）
A．不共线的三点确定一个平面 B．一条直线和直线外一点，可确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点可确定一个平面
8．（多选）下列说法，不正确的有（ ）
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
9．如图，已知 a / /b / /c, l a = A, l b = B, l c = C .求证：直线 a,b,c, l 共面．
10．如图，已知 E，F，G，H 分别为四面体 ABCD 的棱长 AB，BC，CD，AD 的中点，求证：E，F，G，
H 四点共面．
11．如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2, E , F 分别为 AD,CC1的中点.
uuuur uuur
(1)已知点G 满足DD1 = 4DG ，求证B, E,G, F 四点共面；
(2)求三棱柱 ABD - A1B1D1的表面积.
重难点 3 证明线共点问题
12．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，P，Q 分别是棱 AA1，CC1 的中点，平面 D1PQ I 平面 ABCD = l ，
则下列结论错误的是（ ）
A． l过点 B
B． l不一定过点 B
C．D1P的延长线与DA的延长线的交点在 l上
D．D1Q的延长线与DC 的延长线的交点在 l上
13．如图，点 N 为正方形 ABCD的中心，平面ECD ^平面 ABCD，且ED = EC = 2CD ，M 是线段ED
的中点，则（ ）
A．BM = EN ，且直线BM EN 是相交直线
B．BM EN ，且直线BM EN 是相交直线
C．BM = EN ，且直线BM EN 是异面直线
D．BM EN ，且直线BM EN 是异面直线
14．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，对角线BD1与过 A1、D、C1的平面交于点M ，则
BM : MD1 = ．
15．如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AB, AA1的中点．求证：CE, D1F , DA三线交于
一点．
16．（1）已知直线 a∥b，直线 l与 a，b 都相交，求证：过 a，b ， l有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形 ABCD中，H ，G 分别是 AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边 AB ，BC上的点，
CF AE 1
且 = = .求证：直线EH ，BD， FG 相交于一点.
FB EB 3
17．在空间四边形 ABCD 中，H，G 分别是 AD，CD 的中点，E，F 分别边 AB，BC 上的点，且
CF AE 1
= = ．求证：
FB EB 3
(1)点 E，F，G，H 四点共面；
(2)直线 EH，BD，FG 相交于一点．
重难点 4 证明点共线问题
18．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为棱D1C1的靠近D1上的三等分点.设 AE 与平面 BB1D1D的交点
为O，则（ ）
A．三点D1,O, B共线，且OB = 2OD1
B．三点D1,O, B共线，且OB = 3OD1
C．三点D1,O, B不共线，且OB = 2OD1
D．三点D1,O, B不共线，且OB = 3OD1
19．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G,H 分别在 ，CD 上，且
BG:GC = DH:HC =1:2.则下面几个说法中正确的个数是（ ）
①E，F，G，H 四点共面；②EG//FH ;③若直线 EG 与直线 FH 交于点 P，则 P，A，C 三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
20．如图所示，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AB, AA1上的点且D1F CE = M ．求证：点
D, A, M 三点共线．
21．如图所示， VABC 在平面a 外，三边 AB，AC，BC 所在直线分别交平面a 于 P，Q，R 三点．求证：
P，Q，R 三点在同一直线上．
22．已知VABC 三边所在直线分别与平面 α 交于P,Q, R三点，求证：P,Q, R三点共线．
知识点 3 空间点、直线、平面之间的位置关系
直线与直线 直线与平面 平面与平面
图示
平行
关系 符号
a∥b a∥α a //b
语言
图示
相交
关系 符号
a b = A a a = A a b = l
语言
图示
独有
符号
关系 a，b 是异面直线 a a
语言
重难点 5 异面直线的判断
23．过三棱柱任意两个顶点的直线中，其中异面直线有（ ）对
A．15 B．24 C．36 D．54
24．如图，已知 E，F 分别为三棱锥D - ABC 的棱 AB, DC 的中点，则直线DE 与 BF 的位置关系是
（填“平行”，“异面”，“相交”）．
25．（多选）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 为DD1的中点，则下列直线中与直线C1M 是异面直线的
有（ ）
A．DD1 B．CC1 C．BD1 D．CA1
26．已知直线 a//c,a,b 为异面直线，且b 与 c不相交，求证：b,c为异面直线．
27．已知 a，b，c 是三条直线，如果 a 与 b 是异面直线，b 与 c 是异面直线，那么 a 与 c 有怎样的位置关
系？并画图说明.
28．如图，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形 ABCD的边 AB 、BC、CD 、DA的中点．
(1)证明：四边形EFGH 为平行四边形；
(2)证明： AC 和BD是异面直线．
重难点 6 线面关系的判断
29．已知直线m 和平面a ，则“ m a ”是“直线m 与平面a 无公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
30．已知空间中点 A，B，直线 l，平面 α，若 A l ，B l ， A a ，B a ，则下列结论正确的是
（ ）．
A． l∥a B．l 与 ɑ 相交 C． l a D．以上都有可能
31．已知 l，m 是两条不同的直线，a 为平面，m a ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 l 与a 不平行，则 l 与 m 一定是异面直线
B．若 l∥a ，则 l 与 m 可能垂直
C．若 l Ia = A，且 A m，则 l 与 m 可能平行
D．若 l Ia = A，且 l 与a 不垂直，则 l 与 m 一定不垂直
32．在空间中，若直线 l平行于平面a ，则下列结论成立的是（ ）
A．a 内不存在与 l共面的直线 B．a 内不存在与 l异面的直线
C．a 内不存在与 l垂直的直线 D．a 内不存在与 l相交的直线
33．已知点 M 为正方体 ABCD - A1B1C1D1 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
q1：过点 M 有且只有一个平面与 AA1和 B1C1 都平行；
q2：过点 M 至少可以作两条直线与 AA1和 B1C1 所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A．命题 q1是真命题，命题q2是假命题 B．命题 q1是假命题，命题q2是真命题
C．命题 q1，q2都是真命题 D．命题 q1，q2都是假命题
34．如图所示，A 是△BCD所在平面外的一点，E ，F 分别是BC， AD 的中点．
(1)判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系．
(2)判断直线 EF 与直线BD的位置关系．
重难点 7 面面关系的判断
35．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M , N 分别是 A1B1, BB1的中点，则下列直线与平面、平面与
平面的位置关系是什么？
(1) AM 所在的直线与平面 ABCD的位置关系；
(2)CN 所在的直线与平面 ABCD的位置关系；
(3) AM 所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)平面 ABB1M 与平面CDD1C1的位置关系；
(5)平面 AMD1 与平面BNC 的位置关系.
36．如图，在正方体 ABCD- A B C D 中，E，F 分别为B C ， A D 的中点，求证：平面 ABB A 与平面CDFE
相交．
37．在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，E，F 分别为 A1B1，B1C1的中点.求证:平面 ACC1A1与平面 BEF 相交.
38．（多选）两平面a , b 平行， a a ，则下列四个命题正确的是（ ）
A． a与b 内的所有直线平行
B． a与b 内无数条直线平行
C． a与b 至少有一个公共点
D． a与b 没有公共点
39．若平面a P 平面b ，直线 a a ，直线b b ，那么 a,b的位置关系是（ ）
A．无公共点 B．平行
C．既不平行也不相交 D．相交
40．若 A 面a ，B 面a ，C 面a ，则平面 ABC 与平面a 的位置关系 .
41．点 A 平面a ，点 A 平面b ，平面a I 平面 b = 直线 l，则点A 直线 l（用集合符号表示）．
