专题 3.1 基本立体图形
知识点 1 多面体
定义 图形及表示 结构特征
一般地，有两个面互相平 用表示底面的各顶点的字 ①有两个面互相
平行；
行，其余各面都是四边 母表示棱柱，如右图棱柱
②各侧棱都互相
棱 形，并且每相邻两个四边 ABCDEF - A1B1C1D1E1F1
平行，各侧面都
柱 形的公共边都互相平行，
是平行四边形
由这些面所围成的多面
体
一般地，有一个面是多边 表示顶点和底面各顶点 ①有一个面是多
边形；
形，其余各面都是有一个 的字母表示棱锥．如图所
棱 ②其余各面都是
公共顶点的三角形，由这 示的四棱锥可表示为棱
有一个公共顶点
锥
些面所围成的多面体 锥 S ABCD． 的三角形．
用一个平行于棱锥底面 用表示底面各顶点的字母 ①上底面与下底
面是互相平行的
的平面去截棱锥，底面与 表示棱台，如右图棱台
相似多边形；
棱 截面之间的部分 ABCD A′B′C′D′
② 侧 面 都 是 梯
台 形；
③侧棱延长线必
交于一点
重难点 1 多面体的结构特征
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
2．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
3．下列命题中成立的是（ ）
A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
4．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
5．如图所示，在三棱台 ABC - A1B1C1 中，沿平面 A1C1B截去三棱锥 B1 - A1C1B，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
6．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
重难点 2 展开图及最短距离问题
7．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
8．在三棱锥 A - BCD中， BAC CAD DAB 40 ， AB AC AD 2，一只蜗牛从 B 点出发，绕
三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱 AB 的中点E ，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A． 3 B． 5 C． 6 D． 7
9．如图所示，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB 2 ， AA1 2，由顶点 B 沿棱柱侧面(经过棱 AA1 )到达顶
点C1，与 AA1的交点记为M ，则从点 B 经点M 到C1的最短路线长为（ ）
A．2 2 B． 2 5 C．4 D． 4 5
10．如图，在三棱锥V - ABC 中，VA VB VC 4， AVB AVC BVC 30 ，过点 A 作截面△AEF ，
则△AEF 周长的最小值为 .
11．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 .
12．如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD 2, AA1 4，对角线 AC1与底面 ABCD所成角余弦值为
35
，则从点A 沿表面到点C1的最短距离为 ．
7
重难点 3 多面体的有关计算
13．长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 AB 2，M 为 AB 的中点，D1M ^ MC ，则 AD （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．正四棱台的上底面边长为 a，下底面边长为 b，上底面中心处高为 h 的旗杆顶点恰好为该四棱台四条
侧棱的交点，则该四棱台的高为（ ）
ah bh (b - a)h (b - a)h
A． Bb ． C Da ． ．b a
15．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A ， B ，C 为其上三点，则在正方体盒子中， ABC
等于（ ）
A．30 B．60 C．90 D．45
16．棱长都是 3 的三棱锥的高等于 .
17．从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为 6，8，12，求这个长方体的对角线的长．
知识点 2 旋转体
定义 图形及表示 结构特征
以矩形的一边所在直线为旋 圆柱可以用表示 ①圆柱有无数条母线，
它们平行且相等．
转轴，其余三边旋转形成的 它的轴的字母表
圆 ②平行于底面的截面是
面所围成的旋转体 示，右图所示的圆
柱 与底面大小相同的圆．
柱可以表示为圆 ③圆柱的任何一条母线
柱 OO′． 都平行于圆柱的轴．
以直角三角形的一条直角边 圆锥可以用表示 ①圆锥有无数条母线，
它们有公共点即圆锥的
所在直线为旋转轴，其余两 它的轴的字母表
圆 顶点，且长度相等．
边旋转形成的面所围成的旋 示，右图所示的圆
锥 ②平行于底面的截面都
转体 锥可以表示为圆
是圆．
锥 SO．
③过任意两条母线的截
面是等腰三角形．
用平行于圆锥底面的平面去 圆台可以用表示 ①圆台有无数条母线，
且它们相等，延长后相
截圆锥，底面与截面之间的 它的轴的字母表
交于一点．
部分 示，右图所示的圆
②平行于底面的截面是
圆 台可以表示为圆 圆．
台 台 OO′． ③过轴的截面是全等的
等腰梯形．
④过任意两条母线的截
面是等腰梯形．
以半圆的直径所在直线为旋 可以用表示球心 球是旋转体，球的表面
转轴，半圆面旋转一周形成 的字母表示球，右 是旋转形成的曲面，球
球 的旋转体 图所示的球可以 是球面及其内部空间组
表示为球 O 成的几何体．
知识点 3 组合体
由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成
重难点 4 旋转体的结构特征
18．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．下列几何体是台体的是( )
A． B． C． D．
20．有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
21．下列说法中正确的个数是（ ）
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；
②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．
③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
A．0 B．1 C．2 D．3
22．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
23．以下说法正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球；
B．球的大圆的半径等于球的半径；
C．球面和球是同一个概念；
D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.
重难点 5 组合体的结构特征
24．（多选）如图，模块①～⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构
成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体，则能够完成任
务的模块组合有（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤
C．②③④ D．①②③
25．碳 60（C60 ）是一种非金属单质，它是由 60 个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结
构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32 个面，且满足：顶
点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 .
26．指出图中三个空间几何体的构成．
27．指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
重难点 6 展开图及最短距离问题
28．如图，某圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 2 的正方形，P，Q 分别为线段 BC，AC 上的两个动点，E 为
AB 上一点，且BE 1，则PQ + PE 的最小值为（ ）
A 3 B 3 3 C 3 2
3
． ． ． D．
2 2 2
29．如图，一圆柱体的底面周长为 24cm ，高 AB 为16cm，BC是上底面的直径.一只昆虫从点A 出发，沿
着圆柱的侧面爬行到点C ，昆虫爬行的最短路程是 .
30．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里，母线长为 40 公里， B 母线SA一
点，且 AB 10公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到 B 的观光铁路，则这段铁路的
长度为 公里.
π
31．已知两圆锥的底面积分别为 ，4π，其侧面展开图中圆心角之和为 2π，则两圆锥的母线长之和的最
4
小值为（ ）
7
A 9． B． C．4 D．5
2 2
32．如图，圆台上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长为 20cm ，从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳，
围绕圆台侧面转至下底面的 B 点，求 BM 间细绳的最短长度.
重难点 7 圆柱、圆锥、圆台的有关计算
33．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为1: 4，母线长为 9，则圆锥的母线长
是 ．
34．已知一个圆柱底面圆半径为 1，高为 2，上底面的直径为 AB，C 是底面圆周上的一个动点，关于VABC
的面积大小下列说法正确的是（ ）
A．VABC 的面积是定值 B．VABC 的面积没有最大值
C．VABC 的面积最大值是 5 D．VABC 的面积最大值是 2
35．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 3，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
36．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16cm2 ，则该等边圆柱的
底面周长为 cm．
37．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是 10，水面宽 AB 是 16，则截面水深CD 是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
38．若圆锥的底面半径为 3，高为 1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． 3 C． 2π D． 2 3π
重难点 8 球的简单计算
39．已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为 3，且圆锥的侧面展开图是一个半
圆，则球O的半径为（ ）
A．2 6 B． 2 3 C．2 D． 3
40．已知 A，B，C 三点在球心为 O，半径为 R 的球面上， AC ^ BC ，且 AB R ，那么 A，B 两点的球面
距离为 ，球心到平面 ABC 的距离为 .
41．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平
面截球面所得的圆）．设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬45 东经120 ，乙地位于北纬45 西经60 ，则
甲、乙两地的球面距离为（ ）
A 2π
π
R B 2π 2π． ． R C． R D．
6 3 2
R
2
42 2．北纬 45 圈上有 A，B 两点，该纬度圈上劣弧 AB 长为 p R （R 为地球半径），则 A，B 两点的球面
4
距离为 .
43．若球的两个平行截面的面积分别为10π 和16π，球心到这两个截面的距离之差为 2 ，则球的直径为
（ ）
A．3 2 B．4 2 C．5 2 D． 6 2专题 3.1 基本立体图形
知识点 1 多面体
定义 图形及表示 结构特征
一般地，有两个面互相平 用表示底面的各顶点的字 ①有两个面互相
平行；
行，其余各面都是四边 母表示棱柱，如右图棱柱
②各侧棱都互相
棱 形，并且每相邻两个四边 ABCDEF - A1B1C1D1E1F1
平行，各侧面都
柱 形的公共边都互相平行，
是平行四边形
由这些面所围成的多面
体
一般地，有一个面是多边 表示顶点和底面各顶点 ①有一个面是多
边形；
形，其余各面都是有一个 的字母表示棱锥．如图所
棱 ②其余各面都是
公共顶点的三角形，由这 示的四棱锥可表示为棱
有一个公共顶点
锥
些面所围成的多面体 锥 S ABCD． 的三角形．
用一个平行于棱锥底面 用表示底面各顶点的字母 ①上底面与下底
面是互相平行的
的平面去截棱锥，底面与 表示棱台，如右图棱台
相似多边形；
棱 截面之间的部分 ABCD A′B′C′D′
② 侧 面 都 是 梯
台 形；
③侧棱延长线必
交于一点
重难点 1 多面体的结构特征
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
【答案】D
【分析】根据题意，结合棱柱的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故 A
不正确；
对于 B 中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以 B 不正确；
对于 C 中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故 C 不正确；
对于 D 中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以 D 正确.
故选：D.
2．下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【分析】由棱锥的定义可判断 A，由棱台的定义可判断 BCD.
【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故 A
错误；
两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故 B
错误，D 正确；
用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故 C 错误．
故选：D.
3．下列命题中成立的是（ ）
A．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
【答案】A
【分析】
依据直棱柱、棱锥、正棱锥的概念来判断.
【详解】对 A，以三棱柱为例，如图，若侧面 A1ACC1 和侧面 A1ABB1为矩形，则 A1A ^ AC, A1A ^ AB .
又 AC AB = A，AC, AB 平面 ABC，所以 A1A ^ 面 ABC ，
又棱柱侧棱互相平行，故其他侧棱也与底面垂直.
所以此三棱柱为直三棱柱，故 A 正确；
对 B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故 B 不正确；
对 C，如图所示的三棱锥中有BA = BD = CA = CD，BC = AD ，满足侧面是全等的等腰三角形，
但它不是正三棱锥，故 C 不正确；
对 D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故 D 不正确.
故选：A
4．下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②
【答案】C
【分析】根据棱锥的定义和结构特征进行判断可得答案.
【详解】根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥.
故选：C
5．如图所示，在三棱台 ABC - A1B1C1 中，沿平面 A1C1B截去三棱锥 B1 - A1C1B，则剩余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱
【答案】B
【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案.
【详解】截去三棱锥 B1 - A1C1B，则剩余的部分B - ACC1A1是四棱锥.
故选：B
6．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4，AC＝3，A1C1＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【答案】C
【分析】本题主要考查棱台的定义，根据棱台的上下底面互相平行，故两个底面对应边之间的比值是相等
的，此条件是构成棱台的必要条件，逐个分析可得答案.
【详解】解：棱台是由棱锥截成的，上下两个底面互相平行，且对应边之间的比值相等.
A1B1 2 B1C 3A： = 1 = ，故 A 不正确；
AB 3 BC 4
B
B： 1
C1 1.5 A= 1C1 2= ，故 B 不正确；
BC 3 AC 3
A1B1 B1C1 A1C1 1C： = = = ，故 C 正确；
AB BC AC 2
D：满足这个条件的是一个三棱柱，不是棱台，D 不正确；
故选：C
重难点 2 展开图及最短距离问题
7．把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，
然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有 C
和 D，再根据三角形的位置，即可得出答案，
故选：C
8．在三棱锥 A - BCD中， BAC = CAD = DAB = 40 ， AB = AC = AD = 2，一只蜗牛从 B 点出发，绕
三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱 AB 的中点E ，则蜗牛爬行的最短距离是（）．
A． 3 B． 5 C． 6 D． 7
【答案】D
【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段 BE 为所求，再利用余弦定理即可得解.
【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段 BE 为所求，
由题意得， EAB =120 , AB = 2, AE =1，
BE2 = AB2 + AE2由余弦定理可得 - 2AB
1
× AE ×cos BAE = 4 +1- 2 2 1 - ÷ = 7，
è 2
则BE = 7 ，即蜗牛爬行的最短距离是 7 .
故选：D.
9．如图所示，在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = 2 ， AA1 = 2，由顶点 B 沿棱柱侧面(经过棱 AA1 )到达顶
点C1，与 AA1的交点记为M ，则从点 B 经点M 到C1的最短路线长为（ ）
A．2 2 B． 2 5 C．4 D． 4 5
【答案】B
【分析】沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，根据展开图，即可得出最小路径.
【详解】如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开
由侧面展开图可知，当 B ，M ，C1三点共线时，从点 B 经点M 到C1的路线最短．
所以最短路线长为BC = 421 + 2
2 = 2 5 .
故选：B.
10．如图，在三棱锥V - ABC 中，VA = VB = VC = 4， AVB = AVC = BVC = 30 ，过点 A 作截面△AEF ，
则△AEF 周长的最小值为 .
【答案】4 2
【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可.
【详解】如图，
沿着侧棱VA把正三棱锥V - ABC 展开在同一个平面内，原来的点A 被分到两处 A, A1，
则线段 AA1的长度即为△AEF 周长的最小值.
在VVAA1中，VA = VA1 = 4， AVB = AVC = BVC = 30 ，
故 AVA = 3 30 = 90 ，所以 AA = VA2 +VA2 2 21 1 1 = 4 + 4 = 4 2 .
故答案为：4 2 .
11．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 .
【答案】 前 程
【分析】将展开图还原为四棱台即可得到答案.
【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”.
故答案为：前；程.
12．如图所示，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD = 2, AA1 = 4，对角线 AC1与底面 ABCD所成角余弦值为
35
，则从点A 沿表面到点C1的最短距离为 ．
7
【答案】 6 2
【分析】将正方体按不同位置侧面展开，分别计算平面图形中两点间的距离，比较可得出最小值．
【详解】由C1C ^底面 ABCD，得 C1AC 为对角线 AC1与底面 ABCD所成角，设 AB = x ，则
AC = 22 + 42 + x2 = 20 + x2 , AC = 221 + x
2 = 4 + x2 ，
则 cos
AC 35
C1AC = = ，得 x = 6，从A 点沿表面到C1点可以分为以卡三种情况：AC1 7
①与 A1B1 相交，如图①所示，此时 AC1 = 72 ；②与BB1相交，如图②所示，此时 AC1 = 80 ；
③与BC相交，如图③所示，此时 AC1 = 102 ．综上可知，从点A 沿表面到点C1的最短距离为
72 = 6 2 ．
故答案为： 6 2 .
重难点 3 多面体的有关计算
13．长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 = AB = 2，M 为 AB 的中点，D1M ^ MC ，则 AD =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】连接CD1，设 AD = a a > 0 ，表示出CM ，CD1，MD1，利用勾股定理计算可得.
【详解】如图连接CD1，设 AD = a a > 0 ，则CM = a2 +1，
CD = 22 + 22 = 2 2 ，MD = a2 +12 + 22 = a21 1 + 5 ，
因为D1M ^ MC 2，所以MC + MD21 = CD
2
1 ，即 a2 +1+ a2 + 5 = 8，解得 a =1（负值舍去）.
故选：A
14．正四棱台的上底面边长为 a，下底面边长为 b，上底面中心处高为 h 的旗杆顶点恰好为该四棱台四条
侧棱的交点，则该四棱台的高为（ ）
ah bh (b - a)h (b - a)h
A． Bb ． Ca ． D．b a
【答案】D
【分析】
利用正四棱台的结构特征，借助相似三角形性质计算即得.
【详解】正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的侧棱延长线交于点 P ，则P- ABCD是正四棱锥，
O,O1分别是正方形 ABCD, A1B1C1D1的中心，则P,O1,O共线，且PO是正四棱锥P- ABCD的高，
连接 AC, A1C1，则有 AC / / A1C1, PO ^ AC ，于是VPA1C1∽VPAC ，
PO1 A1C1 h 2a (b - a)h因此 = ，即 = ，解得OO = ，
PO AC h + OO 11 2b a
(b - a)h
所以该四棱台的高为 .
a
故选：D
15．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A ， B ，C 为其上三点，则在正方体盒子中， ABC
等于（ ）
A．30 B．60 C．90 D．45
【答案】B
【分析】还原几何体，进而求解即可.
【详解】解：根据题意，还原几何体如图，
由正方体的性质得VABC 为等边三角形，
所以 ABC 等于60 .
故选：B
16．棱长都是 3 的三棱锥的高等于 .
【答案】 6
【分析】顶点 P 在底面上的射影为D，在直角三角形PAD 中，利用勾股定理求棱锥的高.
【详解】如图，三棱锥P - ABC 棱长都是 3，
设顶点 P 在底面上的射影为D，则D是等边 ABC 的中心，
AD AB 3= = = 3
AD 为VABC 外接圆半径， 2sin 60o 3 ，2
2
则在直角三角形PAD 中，PA = 3, AD = 3 ，
所以三棱锥的高PD = PA2 - AD2 = 9 - 3 = 6 ，
故答案为： 6
17．从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为 6，8，12，求这个长方体的对角线的长．
【答案】 29
【分析】根据三面面积可求长方体的长宽高，故可求对角线的长度.
【详解】设从长方体一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c，
则 ab = 6,ac = 8,bc =12，故 a = 2,b = 3,c = 4，
故长方体的对角线的长为 4 + 9 +16 = 29 .
知识点 2 旋转体
定义 图形及表示 结构特征
以矩形的一边所在直线为旋 圆柱可以用表示 ①圆柱有无数条母线，
它们平行且相等．
转轴，其余三边旋转形成的 它的轴的字母表
圆 ②平行于底面的截面是
面所围成的旋转体 示，右图所示的圆
柱 与底面大小相同的圆．
柱可以表示为圆 ③圆柱的任何一条母线
柱 OO′． 都平行于圆柱的轴．
以直角三角形的一条直角边 圆锥可以用表示 ①圆锥有无数条母线，
它们有公共点即圆锥的
所在直线为旋转轴，其余两 它的轴的字母表
顶点，且长度相等．
圆 边旋转形成的面所围成的旋 示，右图所示的圆
②平行于底面的截面都
锥 转体 锥可以表示为圆
是圆．
锥 SO．
③过任意两条母线的截
面是等腰三角形．
用平行于圆锥底面的平面去 圆台可以用表示 ①圆台有无数条母线，
且它们相等，延长后相
截圆锥，底面与截面之间的 它的轴的字母表
交于一点．
部分 示，右图所示的圆
②平行于底面的截面是
圆 台可以表示为圆 圆．
台 台 OO′． ③过轴的截面是全等的
等腰梯形．
④过任意两条母线的截
面是等腰梯形．
以半圆的直径所在直线为旋 可以用表示球心 球是旋转体，球的表面
转轴，半圆面旋转一周形成 的字母表示球，右 是旋转形成的曲面，球
球 的旋转体 图所示的球可以 是球面及其内部空间组
表示为球 O 成的几何体．
知识点 3 组合体
由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成
重难点 4 旋转体的结构特征
18．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案.
【详解】解：
对于选项 A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；
对于选项 B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形；
对于选项 C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆；
对于选项 D：截面的形状不可能是等腰梯形；
故选：D
19．下列几何体是台体的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】侧棱没有相交于一点，故不是台体
两个底面没有平行，不是台体
是棱锥，不是台体
是圆台
故选：D
20．有下列命题：
① 若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
② 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③ 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；
④ 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥．
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴线时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴
时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③
错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；
④错误，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥．
【考查意图】空间几何体的结构特征．
21．下列说法中正确的个数是（ ）
①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；
②圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面．
③以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由棱柱，圆台的定义，旋转体的性质判断．
【详解】有两个侧面是矩形的棱柱中，如果这两个侧面相互平行，此时棱柱不一定是直棱柱，①错；
圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆面，②正确；
以直角梯形的不与底面垂直的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体不是圆台，③错．
只有一个命题正确．
故选：B．
22．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的底面是圆面
B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
【答案】AB
【分析】根据圆柱和圆台的结构特征，依次判断选项即可.
【详解】A：圆柱的底面是圆面，故 A 正确；
B：如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面，故 B 正确；
C：圆台的母线延长相交于一点，故 C 错误；
D：圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故 D 错误.
故选：AB
23．以下说法正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球；
B．球的大圆的半径等于球的半径；
C．球面和球是同一个概念；
D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.
【答案】B
【分析】
根据球面和球的定义判断 ABC，根据球的性质判断 D
【详解】对于 A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，
所以 A 错误，
对于 B，球的大圆的半径等于球的半径，所以 B 正确，
对于 C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，
而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以 C 错误，
对于 D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以 D 错误，
故选：B
重难点 5 组合体的结构特征
24．（多选）如图，模块①～⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成，模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构
成．现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体，则能够完成任
务的模块组合有（ ）
A．①②⑤ B．①④⑤
C．②③④ D．①②③
【答案】ABC
【分析】根据选项逐一放入判断可得结果.
【详解】将模块①和②组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，
故 A 正确；
将模块①和④组合成一层，则差角上一小块，将模块⑤平放于模块⑥中，这样正好满足条件，故 B 正确；
将模块②放在模块⑥上的四个小方块上，模块③的中间凸出的一小块倒放入模块⑥最右侧，然后再将模块
④竖放入模块⑥最前侧即可，故 C 正确；
无论如何放入模块①②③都无法满足要求，故 D 不正确．
故选：ABC．
25．碳 60（C60 ）是一种非金属单质，它是由 60 个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结
构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共 32 个面，且满足：顶
点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为 .
【答案】 20
【分析】根据顶点数－棱数＋面数＝2 求出棱数，设正五边形有 x 个，正六边形有 y 个，根据面数和棱数
即可得关于 x, y的方程组，解得 y 的值，即可求解.
【详解】根据题意， 碳60 （Co ）由60 个顶点，有32个面，
由顶点数－棱数＋面数＝2 可得：棱数为60 + 32 - 2 = 90，
设正五边形有 x 个，正六边形有 y 个，
ìx + y = 32 ìx =12
则 í ，解得： í 20
5x + 6y = 90 2 y 20
，所以六元环的个数为 个，
=
故答案为： 20
26．指出图中三个空间几何体的构成．
【答案】答案见解析
【分析】由几何体的定义以及题图观察可得结果.
【详解】题图①中的空间几何体是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面是圆锥，下面是四棱
柱．
题图②中的空间几何体是由一个圆锥内部挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥．
题图③中的空间几何体是由一个球内部挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.
27．指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
【答案】答案见解析．
【分析】由组合体结合简单几何体判断．
【详解】第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体；
第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱
柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面），四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面（可认为是两个四分
之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体），中间还挖去两个小圆柱．
重难点 6 展开图及最短距离问题
28．如图，某圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 2 的正方形，P，Q 分别为线段 BC，AC 上的两个动点，E 为
AB 上一点，且BE =1，则PQ + PE 的最小值为（ ）
A 3 B 3 3 C 3 2
3
． ． ． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】根据圆柱的结构特征采用将VBCE 沿直线 BC 旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段
的长度问题，结合求解线段长度即得答案.
【详解】如图，连接 EC，将VBCE 沿直线 BC 旋转到VBCE 的位置，
且E 在 AB 的延长线上．则PE = PE ，
由于圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 2 的正方形，故 BAC = BCA
π
= ， AE = AB + BE = 2 +1 = 3，
4
则PQ + PE = PQ + PE E Q ，当Q, P, E 三点共线时取等号，
当E Q ^ AC 时，E Q π 3 2最小，最小值为 AE sin = ，
4 2
即PQ + PE 3 2的最小值为 ，
2
故选：C
29．如图，一圆柱体的底面周长为 24cm ，高 AB 为16cm，BC是上底面的直径.一只昆虫从点A 出发，沿
着圆柱的侧面爬行到点C ，昆虫爬行的最短路程是 .
【答案】 20cm
【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为 AC ，利用勾股定理可求得结果.
【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示，
则当昆虫的爬行路线为线段 AC 时，爬行的路程最短，
Q 1圆柱体的底面周长为 24cm ，\ AD = 24 =12 cm ；
2
\最短路程为： AD2 + CD2 = 122 +162 = 20 cm .
故答案为： 20cm .
30．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10 公里，母线长为 40 公里， B 母线SA一
点，且 AB =10公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到 B 的观光铁路，则这段铁路的
长度为 公里.
【答案】50
【分析】将圆锥沿SA剪开得到扇形，根据圆锥的相关长度得出扇形的相关长度，根据展开图，求解即可
得出答案.
【详解】
如图，将圆锥沿SA剪开，
则圆锥的母线即扇形的半径 SA = 40，
圆锥底面圆的周长即扇形的弧长为 2π 10 = 20π，
a 20π π所以圆心角 = = ，即 A1SB = 90 .40 2
又 SA1 = SA = 40， SB = SA - AB = 30，
A B = SA 2所以， 1 1 + SB2 = 50 .
所以，这段铁路的长度为50公里.
故答案为：50.
π
31．已知两圆锥的底面积分别为 ，4π，其侧面展开图中圆心角之和为 2π，则两圆锥的母线长之和的最
4
小值为（ ）
7
A B 9． ． C．4 D．5
2 2
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】设A 圆锥（底面积较小）的底面半径为 r1，母线长为 l1， B 圆锥（底面积较大）的底面半径为 r2 ，
母线长为 l2，
依题意 πr 2
π
1 = , r
1 2
1 = , πr2 = 4π, r2 = 2，4 2
2πr1 2πr2 π 4π
所以 + = + = 2π,
1 4
+ = 2
l1 l
，
2 l1 l2 l1 l2
1
所以 l1 + l2 = l1 + l
1 4 1 l2 4l1
2 2
+ ÷ = 5 + +
è l1 l2 2 è l1 l
÷
2
1 l 4l 9 l 4l 3
5 + 2
2 1 = 2 = 1，当且仅当 , l = 3, l = 时等号成立.
2 è l l
÷÷ 2 1
1 2 2 l1 l2 2
故选：B
32．如图，圆台上、下底面半径分别为5cm，10cm，母线长为 20cm ，从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳，
围绕圆台侧面转至下底面的 B 点，求 BM 间细绳的最短长度.
【答案】50cm
π
【分析】作出圆台的展开图，设 SA = x， S = q ，MB 为最短距离，计算得到q = ， x = 20，再根据勾2
股定理计算得到答案.
【详解】如图所示：圆台的展开图，设 SA = x， S = q ，MB 为最短距离，
则 xq = 2π 5 =10π， x + 20 q = 2π 10 = 20π π，解得q = ， x = 20，
2
故MB = 302 + 402 = 50 .
故 BM 间细绳的最短长度为50cm .
重难点 7 圆柱、圆锥、圆台的有关计算
33．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为1: 4，母线长为 9，则圆锥的母线长
是 ．
【答案】12
【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.
【详解】设圆台的上底面半径为 r ，圆锥的母线长为 l，
则圆台的下底面的半径为 4r ，
作出圆锥的轴截面如图，则VSO A ∽VSOA，
SA O A l - 9 r
所以 = ，即 = ．
SA OA l 4r
解得 l =12，即圆锥的母线长为 12．
故答案为：12 .
34．已知一个圆柱底面圆半径为 1，高为 2，上底面的直径为 AB，C 是底面圆周上的一个动点，关于VABC
的面积大小下列说法正确的是（ ）
A．VABC 的面积是定值 B．VABC 的面积没有最大值
C．VABC 的面积最大值是 5 D．VABC 的面积最大值是 2
【答案】C
【分析】AB 长度不变，分析 C 到直线 AB 距离的取值范围，得到三角形面积的取值范围.
【详解】
如图，过 C 作 CD 垂直于 AB，过 D 作 DE 垂直于底面，连接 CE，
1
因为 AB 长为 2，则VABC 的面积为 AB CD = CD ，
2
CD = CE2 + DE2 = CE2 + 4 ，
因为 CD 垂直于 AB，DE 垂直于圆柱底面，所以 DE 垂直于 AB，所以 AB 垂直于平面 CDE，
所以 CE 垂直于 AB，C 是底面圆周上动点，所以 CE 最大等于底面半径，等于 1，所以 CD 最大为 5 ，
即面积最大为 5 .
故选：C.
35．已知圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 3，则圆锥的高为 ；母线的长为 .
【答案】 3 2
【分析】
设正三角形的边长为 a，根据题意，列出方程求得轴截面正三角形的边长，进而求得圆锥的高和母线长.
【详解】
3
设正三角形的边长为 a，因为轴截面的面积为 3，可得 a2＝ 3，解得 a = 2，
4
3
由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为 a = 3 ，
2
圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为 2 .
故答案为： 3； 2；
36．轴截面图形为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16cm2 ，则该等边圆柱的
底面周长为 cm．
【答案】 4π
【分析】由等边圆柱的轴截面面积可计算圆柱的底面半径，从而求出底面周长.
【详解】如图所示，作出等边圆柱的轴截面 ABCD，
由题意知，四边形 ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为 r，则 AB = AD = 2r ．
ABCD S = AB AD = 2r 2r = 4r 2轴截面 的面积 =16 cm2 ，解得 r = 2cm．
故该等边圆柱的底面周长C = 2πr = 4π cm ．
故答案为：4π
37．一条排水管的截面如图．已知排水管的截面圆半径OB是 10，水面宽 AB 是 16，则截面水深CD 是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题意知OD ^ AB ，交 AB 于点C ，在RtVOBC中，求出OC = 6，即可得答案；
【详解】由题意知OD ^ AB ，交 AB 于点C ，
1 1
∵ AB =16，∴BC = AB = 16 = 8，
2 2
在RtVOBC中，∵OB =10， BC = 8，
∴OC = OB2 - BC 2 = 102 - 82 = 6 ，∴CD = OD - OC =10 - 6 = 4．
故选：B．
38．若圆锥的底面半径为 3，高为 1，过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． 3 C． 2π D． 2 3π
【答案】A
【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解.
【详解】依题意，设圆锥的母线长为 l，则 l = 3+1 = 2，
2
22 + 22 - 2 3
设圆锥的轴截面的两母线夹角为q ，则 cosq 1= = - ，
2 2 2 2
2π
因为0 < q < π，所以q = ，
3
a ,a 0, 2π则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为
ù
è 3 ú
，
1
故截面的面积为 S = 2 2 sina 2
π
，当且仅当a = 时，等号成立，
2 2
故截面的面积的最大值为 2.
故选：A.
重难点 8 球的简单计算
39．已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为 3，且圆锥的侧面展开图是一个半
圆，则球O的半径为（ ）
A．2 6 B． 2 3 C．2 D． 3
【答案】B
【分析】设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l，由圆锥的侧面展开图是一个半圆可得 l = 2r，再根据勾股定
理可得 r = 3 ，进而可得球O的半径.
【详解】设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l，
1
由圆锥的侧面展开图是一个半圆，可得 2πl = 2πr ，得 l = 2r．
2
由圆锥的高为 3，可得 l 2 - r2 = 3，即 3r = 3，故 r = 3 ，
则球O的半径R = l = 2r = 2 3 ．（根据圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，可知圆锥的母线
长等于球O的半径）
故选：B
40．已知 A，B，C 三点在球心为 O，半径为 R 的球面上， AC ^ BC ，且 AB = R ，那么 A，B 两点的球面
距离为 ，球心到平面 ABC 的距离为 .
p
【答案】 R 3 R
3 2
【分析】由题意画图，三角形 ABC 截面圆心在 AB 中点，求出 AOB ，然后求出 A、B两点的球面距离；
球心到平面 ABC 的距离就是OO1 .
【详解】解：如图所示：
因为 AC ^ BC ，所以 AB 是截面的直径，又 AB = R ，所以VOAB是等边三角形
AOB p p所以 = ，故 A、B两点的球面距离为 R
3 3
于是 O1OA = 30
,所以球心到平面 ABC 的距离：O1O = R cos30
3= R
2
p 3
故答案为： R ； R
3 2
41．球面上两点间距离的定义为：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平
面截球面所得的圆）．设地球的半径为 R ，若甲地位于北纬45 东经120 ，乙地位于北纬45 西经60 ，则
甲、乙两地的球面距离为（ ）
A 2π
π
． R B 2π． R C R D 2π． ．2 R6 3 2
【答案】C
【分析】分析甲、乙两地的球心角，即可得解.
【详解】甲、乙两地在北纬45 线上，所对圆心角为120 + 60 =180 ，
45 r R sin 45 2即甲、乙两地在北纬 线所在小圆的直径的两端，且小圆的半径 = = R ，
2
2
2 π则R + R2 = 2R ，所以甲、乙两地的球心角为 ，2
π
故甲、乙两地的球面距离为 R .
2
故选：C.
42．北纬 45 圈上有 A，B 2两点，该纬度圈上劣弧 AB 长为 p R （R 为地球半径），则 A，B 两点的球面
4
距离为 .
p R
【答案】
3
【分析】先求北纬 45 圈所在圆的半径，是A 、 B 两地在北纬 45 圈上对应的圆心角，得到线段 AB 的长，
设地球的中心为O，解三角形求 AOB 的大小，利用弧长公式求A 、 B 这两地的球面距离.
【详解】北纬45 2 2圈所在圆的半径为 R，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于 p R(R为地球半径），
2 4
\ 2 p R 2
p
= q R(q 是A 、 B 两地在北纬45 圈上对应的圆心角），故q = ，
4 2 2
\ p线段 AB = R ，若地球的中心为O，则 AOB = ，
3
p R
\ A、 B 这两地的球面距离是 ，
3
p R
故答案为： .
3
【点睛】关键点点睛：由北纬 45 纬度圈上劣弧 AB 长求圆心角，进而求得弦长 AB ，即可求该弦与球心所
成圆的圆心角.
43．若球的两个平行截面的面积分别为10π 和16π，球心到这两个截面的距离之差为 2 ，则球的直径为
（ ）
A．3 2 B．4 2 C．5 2 D． 6 2
【答案】D
【分析】根据题意作出截面图，即可根据勾股定理给求出球的半径.
【详解】设球心为O，半径为 R ，
若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图：
设OA = d ，
由题可得 AD = 4，BC = 10 ， AB = 2 ，OD = OC = R ，
ìR2 = 42 + d 2 ì d = 2
则 í 2 2 2 ，解得 í ． R = ( 10) + (d + 2) R = 3 2
故球的直径为 2R = 6 2 ．
若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图：
设OA = d ，
由题可得 AD = 4，BC = 10 ， AB = 2 ，OD = OC = R ，
ìR2 = 42 + d 2
则 í 2 ，解得 d = - 2 （不合题意舍去）．
R = ( 10)
2 + ( 2 - d )2
故选：D．
