专题 3.2 直观图及表面积体积
知识点 1 斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O.
第一步 画直观图时，把它们画成对应的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O ，且使 x O y = 45°(或
135° )，它们确定的平面表示水平面.
第二步 已知图形中平行于 x 轴或 y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴或 y 轴的线段
已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
第三步
平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半
强调注意：
“斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x轴垂直的线段，在直观图中均与 x 轴成 45°或 135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x 轴或 z 轴的线段长度不变；平行于 y 轴的线段长
度变为原来的一半．
知识点 2 直观图的面积与原图面积之间的关系
S
①原图形与直观图的面积比为 = 2 2 ，即原图面积是直观图面积的 2 2 倍，
S
1
②直观图面积是原图面积的 = 2 倍.
2 2 4
重难点 1 画直观图
1．梯形的直观图是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形
【答案】A
【分析】根据斜二测画法判断即可.
【详解】直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故梯形的直观图仍是梯形.
故选：A
2．（多选）利用斜二测画法得到以下结论，其中说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．等边三角形的直观图是一个钝角三角形
C．正方形的直观图不是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【答案】ABC
【分析】根据斜二测画法的规则，即可判断 A、C、D；作出等边三角形的直观图，结合余弦定理，即可
得出 B 项.
【详解】对于 A 项，由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交
直线 平行直线的关系不变，因此三角形的直观图是三角形，A 正确，
对于 B，设等边三角形的直观图如图所示，
3
设等边三角形边长为 2a ，则B C = 2a ， A O = a，
2
A C O A C 2 = O C 2在△ 中，由余弦定理知 + O A 2 - 2O C ×O A cos 45°
3 3 2 7 6
= a2 + a2 - 2a a = a2 - a2 ,
4 2 2 4 2
同理可得 A B 2 7= a2 6+ a2，
4 2
A B 2 + A C 2 - B C 2
则 cos B A C = < 0，
2A B × A C
所以三角形 A B C 为钝角三角形，B 正确；
对于 C 项，根据斜二测画法的规则，可知正方形的直观图为邻边不垂直也不相等的平行四边形，故C 正
确；
对于 D 项，由 B 可知，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，根据对角线将菱形分割为等腰三角形，可
知直观图的邻边不相等，所以菱形的直观图不是菱形，故 D 错误.
故选：ABC .
3．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．
【答案】作图见解析
【分析】
根据斜二测画法的步骤，即可作出直观图.
【详解】
（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为 x 轴，
垂直于OB的腰OD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的 x 轴和 y 轴，使 x O y = 45° ，在 x 轴上截取O B = OB，
在 y
1
轴上截取O D = OD，过点D 作 x 轴的平行线 l，
2
在 l上沿 x 轴正方向取点C 使得D C = DC .连接B C ，如图②.
（3）所得四边形O B C D 就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
4．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为 5cm 的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
(3)长、宽、高分别为 5cm，2cm，3cm 的长方体．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】
根据斜二测画法的特点求解即可.
【详解】（1）在已知正方形OABC 中，OA = OC = 5cm，取OA,OC 所在直线为 x, y轴（如图 1（1）），
画出对应的 x ， y 轴，使 x O y = 45°，O A = 5cm ，O C = 2.5cm （如图 1（2）），
即四边形O A B C 即为正方形OABC 的直观图.
（2）仿照正方形的直观图的画法：
水平放置的梯形（如图 2（1））的直观图（如图 2（2）），
水平放置的平行四边形（如图 3（1））的直观图（如图 3（2）），
（3）先画出水平放置的长、宽分别为 5cm，2cm 的长方形OABC 的直观图，其中OC = 5cm，OA =1cm ，
再作Oz 垂直于平面 x Oy ，在Oz 轴上截取OD = 3cm ，进而补充出长方体OABC - D A B C 即为直观图.
5．用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为 2，3，高为 2．
【答案】答案见解析
【分析】
先根据斜二测画法的规则，画出棱台的上下底面，再在 z 轴上取一点O ，使OO = 2 ，进而的正四棱台的
直观图.
【详解】（1）画轴．画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O， xOy = 45°， xOz = 90°．
（2）画下底面．如图①，以 O 为中心，在 x 轴上取线段 MN，使MN = 3；在 y 轴上取线段 PQ，使
PQ =1.5．分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线，分别过点 P 和点 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别
为 A，B，C，D，则面 ABCD 即为四棱台的下底面．
（3）画上底面．在 z 轴上取一点O ，使OO = 2 ，过点O 分别作O x ∥Ox，O y ∥Oy，在平面 x O y 内
以O 为中心画水平放置的边长为 2 的正方形的直观图 A B C D ．
（4）连线．被遮挡的线画成虚线，擦去辅助线并整理，就得到四棱台的直观图（如图②）．
6．用斜二测画法画出图中四边形 OBCD 的直观图．
【答案】答案见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则和步骤，将直角画成 45°，沿 x 轴方向长度不变， y 轴方向是原图形长度的一半，
即可做出直观图．
【详解】
分以下三步进行作图：
（1）过点 C 作CE ^ x 轴，垂足为 E，如图①所示．
（2）画出对应的 x 轴、 y 轴，使 x O y = 45°，
在 x 轴上取点B ，E ，使得O B = OB，O E = OE；
在 y
1
轴上取一点D ，使得O D = OD；
2
E C y E C 1过E 作 ∥ 轴，使 = EC ，连接B C ，C D ，如图②所示．2
（3）擦去 x 轴与 y 轴及其他辅助线，
如图③所示，四边形O B C D 就是所求的直观图．
重难点 2 斜二测画法的计算
7．如图，△ A B C 是水平放置VABC 的直观图，其中B C = C A =1， A B // x 轴， A C // y 轴，则BC =
（ ）
A． 2 B．2 C． 6 D．4
【答案】C
【分析】在△ A B C 中由余弦定理求得 A B ，结合斜二测画法求得 AB ，再根据勾股定理即可求得BC .
【详解】在△ A B C ，B C = C A =1， B A C = 45°，
由余弦定理可得：B C 2 = A C 2 + A B 2 - 2A C A B cos 45°，
即 A B 2 - 2 A B = 0，而 A B > 0，解得 A B = 2 ；
由斜二测画法可知：△ ABC 中， AB ^ AC ， AB = A B = 2 ， AC = 2 C A = 2，
故BC = AB2 + AC 2 = 2 + 4 = 6 .
故选：C.
8．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC 的直观图为如图所示的直角梯形O A B C ，其中梯
1
形的上底长是下底长的 ，若原平面图形OABC 的面积为3 2 ，则O A 的长为(3 )
3
A．2 B． 2 C． 3 D． 2
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的规则，得到原几何图形OABC ，设O A = x ，结合梯形的面积公式，列出方程，
即可求解.
【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，得到原几何图形OABC ，
设O A = x ，可得O B = 2x，
则OB = 2O B = 2 2x, BC = B C
x
= ,OA = O A = x，
3
且OB
1 x
为原图形中梯形的高，所以平面图形OABC 的面积为 S = (x + ) 2 2x = 3 2 ，
2 3
3
解得 x = .
2
故选：D.
9．如图，VA B C 是VABC 的直观图，其中 A B / /O x , A C / /O y ，且 A B = A C = 1，那么VABC 的面积
是（ ）
A．1 B．2 2
C．8 D 2．
4
【答案】A
【分析】根据直观图，求出VABC 的相关数据，然后再求面积.
【详解】根据斜二测画法可得，原图形中， A B / /O x , A C / /O y ，
则 AB ^ AC ，又 AB = A B =1， AC = 2A C = 2，
S 1所以 △ABC = AB × AC =1.2
故选：A
10．VABC 的直观图VA B C 如图所示，其中 A B //x 轴， A C //y 轴，且 A B = A C = 1，则VABC 的面积
为（ ）
A 2 2 B 1 C 8 D 2． ． ． ．
4
【答案】B
【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积
【详解】由直观图还原平面图形，VABC 中， AB ^ AC ， AB = A B =1， AC = 2A C = 2，
1
所以 SV ABC = 1 2 = 12 ．
故选：B．
11．如图所示，矩形O A B C 是水平放置的平面图形OABC 的斜二测直观图，其中O A = 6cm，
C D = 2cm，则四边形OABC 的形状是 .
【答案】菱形
【分析】根据直观图可得原图四边形中各边的长度，故可判其形状.
【详解】如图，
在四边形OABC 中，
有BC = OA = O A = 6cm,OD = 2O D = 2 2 2 = 4 2cm，CD = C D = 2cm，
2
∴ AB = OC = OD2 + CD2 = 4 2 + 22 = 6cm ，
∴OA = OC = BC = BA，故四边形OABC 是菱形．
故答案为：菱形.
12．如图，VA B C 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若 A C = 2,VA B C 3的面积是 ，求原图形中 AC 边上的高和原图形的面积.
2
【答案】(1)图形见解析
(2) 6 ， 6
【分析】（1）逆用斜二测画法的原理，平行依旧斜改垂，横等纵二倍竖不变，即可由直观图得出原图.
（2）先根据VA B C B D 6的面积求出 = ，然后利用斜二测画法原理求出高 BD = 6 ，由此可求出原的
2
面积.
【详解】（1）画出平面直角坐标系 xOy ，在 x 轴上取OA = O A ，即CA = C A ，
在图①中，过B 作B D / / y 轴，交 x 轴于D ，在 x 轴上取OD = O D ，
过点D作DB//y轴，并使DB = 2D B ,
连接 AB ，BC，则VABC 即为VA B C 原来的图形，如图②所示：
.
（2）由（1）知，原图形中，BD ^ AC 于点D，则BD为原图形中 AC 边上的高，且BD = 2B D ，
在直观图中作B E ^ A C 于点E ，
则VA B C 1 3的面积 SVA B C = A C B E = B E = ，2 2
在直角三角形B E D 中，B D = 2B E 6= ，所以BD = 2B D = 6 ，
2
所以S
1
VABC = AC BD = 6 .2
故原图形中 AC 边上的高为 6 ，原图形的面积为 6 .
13．（1）已知VABC 的直观图VA B C 是边长为 a 的正三角形.求原三角形 ABC 的面积；
（2）如图，VA B C 是水平放置的VABC 斜二测画法的直观图，能否判断VABC 的形状；
（3）若（2）中VA B C 的边 A′C′＝6，B′C′＝4，则 AB 边的实际长度是多少？
6
【答案】（1） a2（2）能（3）10
2
【分析】首先分析题意，利用面积公式求出原图形面积，再用斜二测画法进行求解.
2 3 6
【详解】（1）∵直观图的面积 S 直＝ S 原，S 直＝ a2，∴S ＝ a2原 ，
4 4 2
6
即原三角形 ABC 的面积为 a2.
2
（2）由斜二测画法规则知 ACB＝90°，故VABC 为直角三角形.
（3）由已知得在直角VABC 中， AC＝A C ＝6，BC＝2B C ＝8，
故 AB = AC 2 + BC 2 =10 .
知识点 3 表面积
1．多面体的侧面积和表面积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
侧面展开图
S 1 1= ch S = ch′ S = (c+c′)h′
2 2
侧面积公式 (c为底面周长，h为侧 (c为底面周长，h′为侧面等腰 (c′，c分别为上、下底面周
棱长) 三角形底边上的高) 长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式 S = S + 2S棱柱侧 底 S = S + S S = S + S + S棱柱表 棱锥表 棱锥侧 底 棱台表 棱台侧 上底 下底
2.旋转体的侧面积和表面积
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式 S侧 = 2p rl S侧 = p rl S侧 = p l r + r
表面积公式 S表 = 2p r r + l S表 = p r r + l S表 = p (r + r2 + r l + rl) S 2球 = 4p R
知识点 4 体积
几何体 体积
柱 V柱 = Sh (S 为底面面积，h 为高)
锥 V 1锥 = Sh (S 为底面面积，h 为高)，3
1
台 V = (S + S S + S)h (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，台 3
4 3
球 V球 = p R ( R 为球的半径)3
重难点 3 多面体的表面积
14．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的
上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为3 3，则该物件的高为（ ）
A 3． B．1 C． 2 D．3
2
【答案】C
【分析】作出正四棱台的图形，设 A1B1 = BB1 = a，利用该四棱台侧面的面积求得 a，进而利用勾股定理即
可得解.
【详解】设 A1B1 = BB1 = a，则 AB = 2a .
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧面都为等腰梯形，上、下底面为正方形，
在四边形 ABB1A1中，过点 A1作 A1E ^ AB 于点E ，
AE 1则 = 2a - a a= ，所以
2 2 A
3
1E = a ，2
a + 2a 3 3 3
所以 SABB A = × a = a
2 = 3 3 ，解得 a = 2，
1 1 2 2 4
在平面 ACC1A1 中，过点 A1作 A1F ^ AC 于点F ，
1
易知 A1F 为正四棱台的高，则 AF = 4 2 - 2 2 = 2 ，2
所以 A F = A A2 - AF 21 1 = 4 - 2 = 2 .
故选：C.
15．已知正四棱锥，其底面边长为 8，侧棱长为 41，则正四棱锥的侧面积为 .
【答案】80
【分析】利用正四棱锥的性质，再根据条件，求出斜高，即可求出结果.
【详解】如图所示，正四棱锥E - ABCD的底面边长为 8，侧棱长为 41，
取BC的中点G ，因为EB = EC ，
所以EG ^ BC ，
1
因为BG = BC = 4, EB = 41，
2
EG = EB 2 - BG 2 = 41-16 = 5，
1
所以正四棱锥的侧面积为 S = 4 8 5 = 80，
2
故正四棱锥的侧面积为80 .
故答案为：80 .
16．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高
1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，制造这个滚筒需要 m2铁板（精确到0.1m2）.
【答案】 5 .6
【分析】
根据已知得到正六边形的边长，直接求出表面积即可.
【详解】
由题知此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46m，
所以底面正六边形的边长是0.46m．
所以侧面积 S侧 = Ch = 6 0.46 1.6 = 4.416 m2 .
所以表面积 S = S侧 + S + S = 4.416 2
3
+ 0.462 6 5.6 m2 .
上底 下底 4
故制造这个滚筒约需要5.6m2 铁板．
故答案为： 5 .6
17．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为 9，15，高是 5，则该直四棱柱的表面积是
【答案】160 + 40 7
【分析】
根据题意设底面对角线 AC = a，BD = b，再列式求解菱形的边长，进而求得直四棱柱的表面积即可.
【详解】如图所示，设底面对角线 AC = a，BD = b，交点为 O，
对角线 A1C =15，BD1 = 9， AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 5，
A 2 2 2所以 21C = AA1 + AC ，即15 = 52 + a2 ，故 a2 = 200，
BD2由 1 = BD
2 + DD 2 2 2 21 ，即9 = 5 + b ，故b2 = 56，
因为底面是菱形，
AC 2 BD 2 2 2AB2 a + b 200 + 56所以 = ÷ + ÷ = = = 64，
è 2 è 2 4 4
即 AB = 8，
所以该直四棱柱的侧面积为 4 8 5 =160，
表面积为160
1
+ 2 200 56 =160 + 40 7 .
2
故答案为：160 + 40 7
18．如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB = 2 ， A1B1 =1，且棱台的侧面积为 6，则该棱台的高
为 ．
3
【答案】
2
【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为 1，再计算正棱台的高即可.
【详解】如图所示：
设正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的侧高为 h ，高为H ，
1
棱台的侧面积 S = 1+ 2 h 4 = 6 ，所以 h =1 .
2
2
所以H = 12 - 1
1 3- = .
è 2 ÷ 2
3
故答案为：
2
3
19．已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm 和6cm，高为 cm ，求此正三
2
棱台的表面积.
99 3
【答案】 cm
4
【分析】根据勾股定理求解侧面的高，即可利用表面积公式求解.
【详解】如图所示，画出正三棱台 ABC－A1B1C1，
其中O1,O为正三棱台上、下底面的中心， D, D1分别为BC, B1C1的中点，
则OO1 为正三棱台的高，DD1为侧面梯形BCC1B1的高，四边形ODD1O1为直角梯形，
O D 1 A D 1 3 A B 1 3 3 3 ,OD 1 AD 1 3 1 31 1 = 1 1 = 1 1 = = = = AB = 6 = 3 ,3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2
2 2
2 3 3
所以DD1 = OO
2
1 + OD - O1D1 = ÷ + 3 - ÷ = 3 ,è 2 ÷è 2
所以此三棱台的表面积 S表 = S
1 3 2 3 2 99 3
侧 + S = 3 3+ 6 3 + 3 + 6 =底 cm ,2 4 4 4
重难点 4 旋转体的表面积
4π
20．已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的表面积为（
3 ）
A．4π B．6π C．10π D．16π
【答案】C
【分析】由圆面积公式求出圆锥的底面面积，再由扇形侧面积公式求出圆锥侧面积，即可得到圆锥的表面
积.
l L2 = = 3
【详解】因为底面半径 r = 2，所以底面积 S = πr = 4π底 ，底面周长 L = 2πr = 4π ，圆锥母线长 4π ，
3
圆锥侧面积 S侧 = πrl = 6π ，故圆锥的表面积为 S + S侧 = 4π + 6π =10π底 ．
故选：C.
21．已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A．6π B．16π C． 26π D．32π
【答案】B
【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.
【详解】圆台的上底面圆半径 r =1，下底面圆半径 r = 3，
ì2π 3 = π l + x
设圆台的母线长为 l，扇环所在的小圆的半径为 x ，依题意有： í ，解
2π 1 = πx
ìx = 2
得 í ,
l = 4
所以圆台的侧面积 S = π r + r l = π 1+3 4 =16π .
故选：B
S S
22．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为 S 甲和 S ，侧面积分别为 S1和 S2 .若 = 2
1 =
甲 乙 S ，则乙 S2
（ ）
A 2． 2 B． C．2 2 D 2．
2 4
【答案】B
【分析】设甲圆柱底面圆半径为 r1，高为 h1 ，乙圆柱底面圆半径为 r2 ，高为 h2 ，由等面积之比得到
r1 = 2r2，再由体积相同得到 h2 = 2h1，最后由侧面积公式计算可得.
【详解】设甲圆柱底面圆半径为 r1，高为 h1 ，乙圆柱底面圆半径为 r2 ，高为 h2 ，
S πr 2甲 1 r
2
则 = 2 =
1
2 = 2，∴ r1 = 2r .S 2乙 πr2 r2
又 πr 21 h1 = πr
2
2 h2 ，则 h2 = 2h1，
1
∴ S1 2πr1h
2r2 h2
1 2 2= = = .
S2 2πr2h2 r2 h2 2
故选：B.
23．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰 AB 边旋
1
转一周得到一个圆台，已知 ABC = 45°, AD = AB = BC =1，则该圆台的表面积为 .
2
【答案】5π + 3 5π
【分析】先还原出平面图形，得圆台的上下底面半径与母线长，结合圆台的表面积公式即可求解.
【详解】作出其平面图形，
则在平面图形中 AD =1,AB = 2,BC
π
= 2, ABC = ,CD = 5 ，
2
则圆台的上底面半径 r = AD = 1，下底面半径R = 2，母线 l = 5 ，
则由圆台的表面积公式得：
S = π r 2 + R2 + rl + Rl = π 12 + 22 + 5 + 2 5 = 5π + 3 5π .
24．已知矩形的周长为 40cm ，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为
cm2 (结果保留 π )；
【答案】 200π
【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，再利用均值不等式求解即可.
【详解】不妨设矩形的一条边为 rcm，则矩形的另一条边为 20 - r cm，
则旋转后的圆柱的底面圆半径为 rcm，高为 20 - r cm，
2
从而圆柱的侧面积为 S = 2πr(20 r) 2π é r + (20 - r)- ùê ú = 200π， 2
当且仅当 r = 20 - r 时，即 r =10时，圆柱的侧面积取得最大值 200π .
故答案为： 200π .
25．圆台的上、下底面半径和高的比为1: 4 : 4，若母线长为10，求圆台的表面积.
【答案】168π
【分析】作出圆台的轴截面图，再设上底面半径为 r ，下底面半径为 R ，高为 h ，结合勾股定理列式可得
r = 2, R = 8 ，进而求得表面积.
【详解】圆台的轴截面如图所示，
设上底面半径为 r ，下底面半径为 R ，高为 h ，
由题意，R = h = 4r ，
2 2 2
则它的母线长为 l = h2 + R - r = 4r + 3r = 5r =10，所以 r = 2, R = 8 .
故 S侧 = π R + r l = π 8 + 2 10 =100π ，
S表 = S侧 + πr
2 + πR2 =100π + 4π + 64π =168π .
故答案为：168π
重难点 5 柱、锥、台的体积
26．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为 1，2，体积为 3，则该正四棱台的高为（ ）
4 6 9
A．1 B． C． D．
3 5 7
【答案】D
【分析】设该正四棱台的高为 h ，由棱台体积公式计算即可.
【详解】设该正四棱台的高为 h ，
又其上、下底面边长分别为 1，2，体积为 3，
1 2 2 7h
则V = h 1 + 2 + 12 223 = = 3，3
9
所以 h = ,
7
故选：D.
27．若一圆锥的内切球半径为 2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
64π
A．16π B． C．24π D．32π
3
【答案】C
【分析】利用圆锥侧面展开图扇形弧长可构造方程求得 l = 2r，利用圆锥轴截面面积可构造方程求得 r 的
值，代入圆锥体积公式即可.
【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l，高为 h ，
Q圆锥侧面展开图为一个半圆，
\侧面展开图扇形弧长为 πl = 2πr ，则 l = 2r，
作出圆锥的轴截面如下图所示，其中O为圆锥内切球球心，
Qh = l 2 - r 2 = 3r ，
S 1\ VPAB = × 2r × h = 3r
2
，
2
1
又 SVPAB = (2l + 2r) 2 = 6r2 ，
\ 3r 2 = 6r ，解得 r = 2 3 或 r = 0（舍去），\h = 6，
\ 1 2 1
2
圆锥体积为V = πr h = π 2 3 6 = 24π .3 3
故选：C
28．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的
方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外
圆的直径为 20cm ，高为 20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 2cm 的粘土，然后，沿圆桶母
线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，
全年级共 500 人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据： π 3.14）（ ）
A．0.8m3 B．1.4m3 C．1.8m3 D．2.2m3
【答案】B
【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦的体积，再求需准备的粘土量.
【详解】由条件可得四片瓦的体积V = π 122 20 - π 102 20 = 880π （ cm3 ）
所以 500 名学生，每人制作 4 片瓦共需粘土的体积为500 880π = 440000π （ cm3 ），
又 π 3.14，
所以共需粘土的体积为约为1.3816m3 ，
故选：B.
29．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知
AB = 2A1B1 ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质
量为（ ）
A．152kg B．133kg C．114kg D．112kg
【答案】D
【分析】设线段 AA1、BB1、CC1 、DD1的中点分别为 A2、B2、C2 、D2 ，利用台体的体积公式计算棱台
A1B1C1D1 - ABCD与棱台 A1B1C1D1 - A2B2C2D2 的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量.
【详解】设线段 AA1、BB1、CC1 、DD1的中点分别为 A2、B2、C2 、D2 ，如下图所示：
由题可知，四边形 AA1B1B为等腰梯形，设 A1B1 = a ，因为 AB = 2A1B1 ，
A B AB + A所以 1
B1 3a
2 2 = = ，2 2
设棱台 A1B1C1D1 - A2B2C2D2 的高为 h ，体积为V1，棱台 A1B1C1D1 - ABCD的高为 2h，体积为V ，
V 1 a2 9 a2 3 19则 1 = + + a
2
÷ h = a
2h
3 è 4 2
，
12
V 1 a2 4a2 2a2 2h 14 V 56= + + × = a2h，所以 = V = 383 3 V ，又 1 ，1 19
56
所以V = 38 =112 .所以该“方斗”可盛米的总质量为 112kg.
19
故选：D.
30．如图，已知 ABCD－A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1的中点，F 为 CC1上一点，则三棱锥
A1－D1EF 的体积为 .
1 a3【答案】
12
【分析】根据锥体体积公式求解.
【详解】由已知 A1D1 = a, A
1
1E = a ，2
S 1 A D A E 1 1 1 2所以 VA1D E = × = a × a = a ，1 2 1 1 1 2 2 4
三棱锥F - A1D1E 的高等于CD ，CD = a ，
V 1 1 a2 1所以 F -A D = a = a
3
，
1 1E 3 4 12
又因为VA1 -D1EF = VF - A1D1E ，
1 3
所以VA = a .1-D1EF 12
1 3
故答案为： a .
12
31．如图，已知正四棱锥V - ABCD 中，底面 ABCD是正方形， AC 与BD交于点 M，VM 是棱锥的高，若
AC = 6cm,VC = 5cm，则正四棱锥V - ABCD 的体积为 cm3 .
【答案】24
【分析】由题意先根据底面正方形对角线长度求得底面积，然后解直角三角形得四棱锥的高的长度，结合
棱锥体积公式即可求解.
【详解】因为四棱锥V - ABCD 中，底面 ABCD是正方形，且对角线 AC = 6cm，
所以BD = 6cm，且 AC ^ BD ，
S 1 1 2所以 ABCD = AC BD = 6 6 =18 cm ，2 2
因为VM 是棱锥的高，且VC = 5cm，
所以在RtVVMC 中，VM = VC 2 - MC 2 = 52 - 32 = 4 cm ，
1 1
所以正四棱锥V - ABCD 的体积为V1 = SABCD VM = 18 4 = 243 3 cm
3 .
故答案为：24.
重难点 6 球的表面积和体积
32．如图所示，圆O1和圆O2 是球O的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心O在两个截面之间，记圆
O1，圆O2 的半径分别为 r1, r2，若 r2 = 3r1 = 3,O1O2 = 4 ，则球O的表面积为（ ）
A． 40π B． 42π C． 44π D． 48π
【答案】A
【分析】
根据给定条件，利用球的截面小圆性质列式计算出球半径即可.
【详解】设球O 2 2 2 2 2的半径为 R ，依题意，OO1 + r1 = R = OO2 + r2 ，
(4 - OO )2 +1 = OO2则 2 2 + 9，解得OO2 =1，因此R2 =10 ，
所以球O的表面积 S = 4πR2 = 40π .
故选：A
33．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容
器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为 4cm 的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平
面恰好经过冰块的球心 O（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（ ）
128π cm3 32π cm3 16π cm3 64πA． B． C． D． cm3
9 9 3 9
【答案】A
【分析】
根据球的体积公式即可求解.
【详解】
显然，球形冰块内切于高脚杯圆锥，圆锥轴截面正三角形是球面大圆的外切三角形，如图，
作OD ^ AC ，垂足为D，则球的半径 r = OD = 4，
此时OA = 2r = 8，水面半径R = OC = 8 tan 30 8 3 ° = ，
3
设加入小球后水面以下的体积为V ，原来水的体积为V ，球的体积为V1，
1 1 8 3 2
所以水的体积为V = V - V = π( )2 8 - π 43 128π= .
2 1 3 3 3 9
故选：A
34．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
【答案】3
【分析】根据体积公式和面积公式列式计算.
2 4 3
【详解】设此球的半径为 R ，则 4πR = πR ，
3
解得R = 3 .
故答案为：3 .
35．已知一平面截球O所得截面圆的半径为 2，且球心O到截面圆所在平面的距离为 1，则该球的体积
为 ．
20 5π
【答案】
3
【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解.
【详解】由球的截面圆性质可知球的半径R = 12 + 22 = 5 ，
4π
则该球的体积为 ( 5)3 = 20 5π .
3 3
20 5π
故答案为： .
3
36．两个球的半径之比为 2 : 3，那么这两个球的表面积之比为 .
【答案】 4 : 9
【分析】根据球的表面积公式即可求解.
S 4πr 2 r 2 4
【详解】设两个球的半径分别为 r1， r2 ，表面积分别为 S 1 1 11， S2 ，则 = 2 = 2 = ．S2 4πr2 r2 9
故答案为： 4 : 9
37．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆
台，圆台上下底面半径分别为 1，2，将一个表面积为8π 的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知
空心圆台（厚度不计）围成的体积为7π，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）
为 ．
【答案】 4 + 2 / 2 + 4
【分析】由球的表面积、圆台体积公式可求得水晶球的半径及圆台的高，再求出水晶球球心到圆台上底面
的距离，进而可求得结果.
【详解】如图所示，
设水晶球的半径为 r ，则 4πr2 = 8π ，解得 r = 2 ，
h
设圆台的高为 h ，则7π = π ×12 + π × 22 + π × 12 22 ，解得 h = 3，3
2
又因为水晶球球心到圆台上底面的距离 OA = 2 -12 =1，
所以该奖杯的高为 h + r +1 = 4 + 2 ．
故答案为： 4 + 2 .
重难点 7 球的外接问题
38．已知圆锥的高为 8，底面圆的半径为 4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为
（ ）
A．100π B．68π C．52π D．50π
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得球的半径 r = 5，再由球的表面积公式，即可得到结果.
2
【详解】设球的半径为 r ，则 r2 = 8 - r + 42 ，解得 r = 5，
所以球的表面积为 4πr 2 =100π，
故选：A.
39．已知底面为正方形的长方体，各顶点都在同一球面上，高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是
【答案】24π
【分析】根据给定条件，求出长方体底面正方形边长，再求出其外接球半径作答.
【详解】令长方体的底面正方形边长为 a，依题意， 4a2 =16，解得 a = 2，
因此该长方体外接圆半径 R ，有 2R = 22 + 22 + 42 = 2 6 ，
所以这个球的表面积 S = 4πR2 = π(2R)2 = 24π .
故答案为：24π
40．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
2 7 πa2 11 πa2 3A πa B C D pa2． ． ． ．3 3 7
【答案】B
【分析】
根据题意条件可知三棱柱是棱长都为 a 的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，
【详解】如图：
R a
2
a
2
7
则其外接球的半径为 = 2 2 ÷
+ 2sin 60o ÷
= a
è è 12
7a2 7
球的表面积为 S球 = 4π = πa
2；
12 3
故选：B．
41．直角三角形 ABC 中，斜边 AB 长为 2，绕直角边 AC 所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体
16π
外接球表面积为 ，则 AC 长为
3
【答案】 3
【分析】
由球的表面积公式求出球半径，再由球的截面小圆性质列式求解即得.
【详解】
在Rt△ABC 中，设直角边 AC = m ，而斜边 AB = 2 ，则BC = AB2 - AC 2 = 4 - m2 ，
绕直角边 AC 所在直线旋转一周形成的几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为 R ，
显然外接球的球心为O在直线 AC 上，球心O到截面小圆圆心C 的距离OC =| m - R |，
4πR2 16π= R 2 3由 ，得 = ，因此 4 - m2 2 3+ (m - )2 43 =
，解得m = 3 ，
3 3 3
所以 AC 长为 3 .
故答案为： 3
42．已知长方体 ABCD - A1B1C1D
2
1 的底面是边长为2 2 的正方形，若 cos BAC1 = ，则该长方体的外接4
球的表面积为 ．
【答案】64π
【分析】根据题意结合长方体的结果特征求外接球的半径，进而可得结果.
【详解】设长方体的外接球的半径为 R ，
因为 AB ^ 平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以 AB ^ BC1，
AB 2 2 2
又因为 AB = 2 2 ，在RtVABC1 中， cos BAC1 = = = ，AC1 AC1 4
可得 AC1 = 8 = 2R，即R = 4，
所以长方体的外接球的表面积 S = 4πR2 = 64π．
故答案为：64π .
43．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 acm ，则球的体积为 .
3
【答案】 πa3 cm32
【分析】由已知正方体的对角线即为其外接球的直径，由此可求该球的半径，利用球的体积公式可求结
论．
【详解】因为正方体的棱长为 acm ,
所以正方体的体对角线长为 3acm，
又正方体的对角线即为其外接球的直径，
R 3所以该球的半径 = acm，
2
3
4 4 3 3
所以正方体的外接球的体积V = πR3 = π ×
3 3
a
2 ÷
3 3
÷ = πa cm .
è 2
3
故答案为： πa3 cm32
重难点 8 组合体的表面积和体积
44．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
8π
A． 3 B．3π
10π
C． D．6π
3
【答案】B
【分析】由题中直观图可知，该几何体是一个圆柱去掉了其中一部分，因此要求的几何体体积为圆柱的体
积减去切掉部分的体积.
1
【详解】由题图可知，此几何体为从底面半径为 1，高为 4 的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的 后剩余
4
的部分，
1
所以所求几何体的体积V = π 12 4 - π 12 4 = 3π .
4
故选：B.
45．如图，已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 的体积为V , E 是棱C1D1的中点，平面 AB1E 将长方体分割成两部
分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
7 V 7 7A． B． V C． V
1
D． V
24 17 15 2
【答案】A
【分析】根据题意，先求平面 AB1E 与DD1交点F 的位置，再设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，最
后利用三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】取DD1的中点F ，连接EF ， 易知EF //DC1 //AB1，所以平面 AB1E 与DD1交点为F .
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则V = abc .
平面 AB1EF 将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为
V V 1 b 1 a c 1 1 1 1 7 7 F - AB A + = × × × × + ×c × ×
a + a ×b = abc = V .
1 1 F - A1B1ED1 3 2 3 2 2 ֏ 2 24 24
故选：A.
46．三星堆遗址祭祀坑区 4 号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某
玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长 2 cm，外径长 3 cm，筒高 4 cm，中部为棱长是 3 cm
的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A． (27
7π π
- )cm3 B． (24 + )cm3
4 4
(36 9π 7πC． - )cm3 D． (18 + )cm3
4 4
【答案】A
【分析】根据图形，几何体的体积由圆柱的体积加正方体的体积减去正方体遮住圆柱的部分求解.
【详解】由图可知，组合体的体积为：
é
V π 4 3
2 ù 3 2 7π
= ê ÷ -1
2 ú + 3 3 3- π 3
= 27 - 3
2 2 ÷ 4 ÷
cm ，
ê è ú è è
故选：A.
47．陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺
的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径 AB =12cm，圆柱体
部分的高 BC = 6cm ，圆锥体部分的高CD = 4cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． (144 +12 13)πcm2 B． (144 + 24 13)πcm2
C． (108 +12 13)πcm2 D． (108 + 24 13)πcm2
【答案】C
【分析】根据给定的几何体，求出圆锥的侧面积、圆柱的侧面积及上底面积即可.
【详解】依题意，圆锥底面直径为12cm，则该圆锥的母线长 l = 62 + 42 = 2 13 （ cm），
因此该圆锥的侧面积 S = π 6 2 13 =12 13π （ cm21 ），
圆柱的侧面积为 S2 = 2π 6 6 = 72π （ cm2 ），
所以这个陀螺的表面积是 S = S + S + π 62 = (108 +12 13)π（ cm21 2 ）.
故选：C
1
48．如图，一个几何体的上半部分是一个圆柱体，下半部分是一个圆锥体，圆柱体的高为 m ，圆锥体的
4
1
高为 m
1
，公共的底面是半径为 m 的圆形，那么这个几何体的表面积为 m2． 2 4
3 + 5 π
【答案】
16
【分析】利用圆柱和圆锥的表面积公式，可得解.
1 1 1 2 3π
【详解】解：由圆柱的表面积公式可得这个几何体上半部分的表面积 S1 = 2π + π = ；4 4 ÷è 4 16
1 1 2 2 1 5π
由锥体侧面积公式可得这个几何体下半部分的表面积 S2 = π 4 ÷
+ ÷ = ；
è 2 è 4 16
故几何体的表面积 S S 3π 5π
3+ 5 π
1 + 2 = + = ．16 16 16
3 + 5 π
故答案为： ．
16
49．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知
被截的正方体棱长是 2a .
(1)求石凳的体积；
(2)求石凳的表面积.
20a3
【答案】(1)
3
(2) 12 + 4 3 a2
【分析】
（1）用正方体的体积减去 8 个四面体的体积，即可求解；
（2）计算 6 个正方形的面积与 8 个正三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）
3 3
根据题意可知正方体的体积为V正方体 = (2a) = 8a ，
1 1 a3
又截去的每个四面体体积为V四面体 = a
2 a = ，
3 2 6
3 3
\石凳的体积V = V正方体 - 8V 8a
3 8 a 20a四面体 = - = ；6 3
（2）
2
Q石凳的每个正方形面面积为： S正方形 = 2a = 2a2 ，
1 2 3a2
又石凳的每个正三角形面面积为： S三角形 = 2a sin 60° = ，2 2
\ 3a
2
石凳的全面积为 S = 6S正方形 + 8S
2
三角形 = 12a + 8 = 12 + 4 32 a
2 ．专题 3.2 直观图及表面积体积
知识点 1 斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O.
第一步 画直观图时，把它们画成对应的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O ，且使 x O y = 45°(或
135° )，它们确定的平面表示水平面.
第二步 已知图形中平行于 x 轴或 y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴或 y 轴的线段
已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
第三步
平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半
强调注意：
“斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x轴垂直的线段，在直观图中均与 x 轴成 45°或 135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x 轴或 z 轴的线段长度不变；平行于 y 轴的线段长
度变为原来的一半．
知识点 2 直观图的面积与原图面积之间的关系
S
①原图形与直观图的面积比为 = 2 2 ，即原图面积是直观图面积的 2 2 倍，
S
1 2
②直观图面积是原图面积的 = 倍.
2 2 4
重难点 1 画直观图
1．梯形的直观图是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．三角形 D．任意四边形
2．（多选）利用斜二测画法得到以下结论，其中说法正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．等边三角形的直观图是一个钝角三角形
C．正方形的直观图不是正方形
D．菱形的直观图是菱形
3．画水平放置的直角梯形（如图所示）的直观图．
4．用斜二测画法画出下列图形：
(1)水平放置的边长为 5cm 的正方形；
(2)水平放置的梯形和平行四边形；
(3)长、宽、高分别为 5cm，2cm，3cm 的长方体．
5．用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图，其中上、下底面边长分别为 2，3，高为 2．
6．用斜二测画法画出图中四边形 OBCD 的直观图．
重难点 2 斜二测画法的计算
7．如图，△ A B C 是水平放置VABC 的直观图，其中B C = C A =1， A B // x 轴， A C // y 轴，则BC =
（ ）
A． 2 B．2 C． 6 D．4
8．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC 的直观图为如图所示的直角梯形O A B C ，其中梯
1
形的上底长是下底长的 ，若原平面图形OABC 的面积为3 2 ，则O A 的长为( )3
3
A．2 B． 2 C． 3 D． 2
9．如图，VA B C 是VABC 的直观图，其中 A B / /O x , A C / /O y ，且 A B = A C = 1，那么VABC 的面积
是（ ）
A．1 B．2 2
C 2．8 D．
4
10．VABC 的直观图VA B C 如图所示，其中 A B //x 轴， A C //y 轴，且 A B = A C = 1，则VABC 的面积
为（ ）
A 2 2 B 1 C 8 D 2． ． ． ．
4
11．如图所示，矩形O A B C 是水平放置的平面图形OABC 的斜二测直观图，其中O A = 6cm，
C D = 2cm，则四边形OABC 的形状是 .
12．如图，VA B C 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
(1)画出它的原图形，
(2)若 A C = 2,VA B C 3的面积是 ，求原图形中 AC 边上的高和原图形的面积.
2
13．（1）已知VABC 的直观图VA B C 是边长为 a 的正三角形.求原三角形 ABC 的面积；
（2）如图，VA B C 是水平放置的VABC 斜二测画法的直观图，能否判断VABC 的形状；
（3）若（2）中VA B C 的边 A′C′＝6，B′C′＝4，则 AB 边的实际长度是多少？
知识点 3 表面积
1．多面体的侧面积和表面积
几何体 棱柱 棱锥 棱台
侧面展开图
S 1 1= ch S = ch′ S = (c+c′)h′
2 2
侧面积公式 (c为底面周长，h为侧 (c为底面周长，h′为侧面等腰 (c′，c分别为上、下底面周
棱长) 三角形底边上的高) 长，h′为侧面等腰梯形的高)
表面积公式 S = S + 2S棱柱侧 底 S = S + S S = S + S + S棱柱表 棱锥表 棱锥侧 底 棱台表 棱台侧 上底 下底
2.旋转体的侧面积和表面积
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积公式 S侧 = 2p rl S 侧 = p rl S侧 = p l r + r
表面积公式 S表 = 2p r r + l S表 = p r r + l S 2 表 = p (r + r + r l + rl) S球 = 4p R2
知识点 4 体积
几何体 体积
柱 V柱 = Sh (S 为底面面积，h 为高)
锥 V 1锥 = Sh (S 为底面面积，h 为高)，3
台 V
1
= (S + S S + S)h (S′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)，
台 3
V 4= p R3球 球 ( R 为球的半径)3
重难点 3 多面体的表面积
14．将一个正四棱台物件放入有一定深度的电解槽中，对其表面进行电泳涂装．如图所示，已知该物件的
上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为3 3，则该物件的高为（ ）
A 3． B．1 C． 2 D．3
2
15．已知正四棱锥，其底面边长为 8，侧棱长为 41，则正四棱锥的侧面积为 .
16．如图所示，有一滚筒是正六棱柱形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两端是封闭的，筒高
1.6m，底面外接圆的半径是0.46m，制造这个滚筒需要 m2铁板（精确到0.1m2）.
17．在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为 9，15，高是 5，则该直四棱柱的表面积是
18．如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB = 2 ， A1B1 =1，且棱台的侧面积为 6，则该棱台的高
为 ．
3
19．已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为3cm 和6cm，高为 cm ，求此正三
2
棱台的表面积.
重难点 4 旋转体的表面积
4π
20．已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的表面积为（
3 ）
A．4π B．6π C．10π D．16π
21．已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A．6π B．16π C． 26π D．32π
S甲 S22 1．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为 S 和 S = 2 =甲 乙，侧面积分别为 S1和 S2 .若 S ，则乙 S2
（ ）
A 2． 2 B． C．2 2 D 2．
2 4
23．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰 AB 边旋
转一周得到一个圆台，已知 ABC = 45°, AD = AB
1
= BC =1，则该圆台的表面积为 .
2
24．已知矩形的周长为 40cm ，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为
cm2 (结果保留 π )；
25．圆台的上、下底面半径和高的比为1: 4 : 4，若母线长为10，求圆台的表面积.
重难点 5 柱、锥、台的体积
26．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为 1，2，体积为 3，则该正四棱台的高为（ ）
4 6 9
A．1 B． C． D．
3 5 7
27．若一圆锥的内切球半径为 2，该圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
64π
A．16π B． C．24π D．32π
3
28．《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的
方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外
圆的直径为 20cm ，高为 20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为 2cm 的粘土，然后，沿圆桶母
线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，
全年级共 500 人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据： π 3.14）（ ）
A．0.8m3 B．1.4m3 C．1.8m3 D．2.2m3
29．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知
AB = 2A1B1 ，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质
量为（ ）
A．152kg B．133kg C．114kg D．112kg
30．如图，已知 ABCD－A1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1的中点，F 为 CC1上一点，则三棱锥
A1－D1EF 的体积为 .
31．如图，已知正四棱锥V - ABCD 中，底面 ABCD是正方形， AC 与BD交于点 M，VM 是棱锥的高，若
AC = 6cm,VC = 5cm，则正四棱锥V - ABCD 的体积为 cm3 .
重难点 6 球的表面积和体积
32．如图所示，圆O1和圆O2 是球O的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心O在两个截面之间，记圆
O1，圆O2 的半径分别为 r1, r2，若 r2 = 3r1 = 3,O1O2 = 4 ，则球O的表面积为（ ）
A． 40π B． 42π C． 44π D． 48π
33．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容
器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为 4cm 的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平
面恰好经过冰块的球心 O（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（ ）
128π cm3 32π cm3 16π cm3 64πA． B． C． D． cm3
9 9 3 9
34．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 .
35．已知一平面截球O所得截面圆的半径为 2，且球心O到截面圆所在平面的距离为 1，则该球的体积
为 ．
36．两个球的半径之比为 2 : 3，那么这两个球的表面积之比为 .
37．某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆
台，圆台上下底面半径分别为 1，2，将一个表面积为8π 的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知
空心圆台（厚度不计）围成的体积为7π，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）
为 ．
重难点 7 球的外接问题
38．已知圆锥的高为 8，底面圆的半径为 4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为
（ ）
A．100π B．68π C．52π D．50π
39．已知底面为正方形的长方体，各顶点都在同一球面上，高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是
40．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
7 11 3
A． πa2 B πa2． C． πa2 D． pa23 3 7
41．直角三角形 ABC 中，斜边 AB 长为 2，绕直角边 AC 所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体
16π
外接球表面积为 ，则 AC 长为
3
42．已知长方体 ABCD - A1B C D
2
1 1 1 的底面是边长为2 2 的正方形，若 cos BAC1 = ，则该长方体的外接4
球的表面积为 ．
43．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 acm ，则球的体积为 .
重难点 8 组合体的表面积和体积
44．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
8π
A． B．3π3
10π
C． D．6π
3
45．如图，已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 的体积为V , E 是棱C1D1的中点，平面 AB1E 将长方体分割成两部
分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
7 V 7 V 7 1A． B． C． V D． V
24 17 15 2
46．三星堆遗址祭祀坑区 4 号坑发现了玉琮．一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某
玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长 2 cm，外径长 3 cm，筒高 4 cm，中部为棱长是 3 cm
的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A． (27
7π
- )cm3 πB 3． (24 + )cm
4 4
9π 7π
C (36 - )cm3 D (18 + )cm3． ．
4 4
47．陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺
的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径 AB =12cm，圆柱体
部分的高 BC = 6cm ，圆锥体部分的高CD = 4cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A． (144 +12 13)πcm2 B． (144 + 24 13)πcm2
C． (108 +12 13)πcm2 D． (108 + 24 13)πcm2
1
48．如图，一个几何体的上半部分是一个圆柱体，下半部分是一个圆锥体，圆柱体的高为 m ，圆锥体的
4
1 1
高为 m ，公共的底面是半径为 m 的圆形，那么这个几何体的表面积为
2 4 m
2．
49．如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截取八个一样的四面体得到的，已知
被截的正方体棱长是 2a .
(1)求石凳的体积；
(2)求石凳的表面积.
