专题 3.6 空间直线、平面的垂直
知识点 1 异面直线所成的角
已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点O作直线 a //a，b //b，则 a 与b 所成的锐角(或直
定义
角)
取值范围 0° a 90°
垂直 如果两条异面直线 a, b 所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作 a ^ b .
知识点 2 直线与平面垂直的判定和性质
1.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内
l ^ a，l ^ b ü
线线垂直 线面垂直 的两条相交直线垂直，那么 a a，b a l ^ a
该直线与此平面垂直 a b＝P
2.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线 a ^ a ü
b ^ a
a∥b
线面垂直 线线平行 平行.
推论：
①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
④垂直于同一条直线的两个平面平行.
知识点 3 直线和平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
规定
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 0°的角
取值范围 0° a 90°
重难点 1 求异面直线所成的角
1 2．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 为等腰直角三角形，且 AB = AC = AA1 =1，则异面直线2
AB1与 A1C 所成角的正弦值为（ ）
A 2 B 5 3 3． 3 ． C．- D．3 3 3
2．在正四棱锥P- ABCD中，E 为PC的中点，且 BE ^ PC ，则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值为
（ ）
A 2 B 2 C 6 D 6． ． ． ．
6 4 3 6
3．如图，空间四边形OABC 的所有棱长为 1，D、E 分别是棱OA、BC 的中点，则OC 与DE 所成角为
4．如图，在每个面都为等边三角形的四面体 S - ABC 中，若点E ，F 分别为 SC ， AB 的中点，试求异面
直线 EF 与SA所成的角．
5．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2 ， BC = B1B =1，M、N 分别是 AD、DC 的中点.
(1)求：棱锥B - A1B1C1 的体积；
(2)求：异面直线MN 与BC1所成角的余弦值.
重难点 2 由异面直线所成的角求长度
6．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 8, AD = 6，异面直线BD与 AC
7
1所成的的余弦值为 ，则
10
CC1 =（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 2 3 D．3 2
7．如图，已知圆柱O1O2 的底面半径和母线长均为 1，B、A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线
O π1B,O2 A所成的角为 ，则 AB =（3 ）
A．1 B． 2 C．1 或 2 D．2 或 2
8．在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，E，F 分别是棱 BC， A1C1的中点，若异面直线 AA1与 EF 所成的角是 45°，
则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（ ）
A 3- 3 B 3- 3． ． C 3 - 3 3 - 3． D．
6 4 3 2
9．已知四面体 ABCD中， AD = BC = 4，E 、F 分别为 AB 、CD 的中点，且异面直线 AD 与BC所成角为
π
，则EF = .
3
10．如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD，E、F 分别为 BC、AD 的中点．
(1)若 AB⊥CD，求 EF 与 AB 所成的角的大小；
(2)若 AB＝CD＝2，且异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 60°，求线段 EF 的长．
11．如图，在空间四边形 ABCD中， AB = CD = 8，M，N 分别是BC， AD 的中点．若异面直线 AB 与CD
所成的角为60°，求MN 的长．
重难点 3 线面垂直的判定和性质
12 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P- ABCD中 ， BD ^ PC ， BAD =120°， 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，
uur uuur
PB = 2AB = 2PA，E 是棱PD上的动点PE = lPD .证明：PA ^平面 ABCD .
13．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BAC = 90o ， AB = a, A1A = 2a，D为棱B1B 的
中点.求证： A1D ^平面 ADC .
14．如图，在四棱锥P- ABCD中，PD ^平面 ABCD，底面 ABCD是矩形．
(1)求证： AB//平面PCD；
(2)求证： AB ^ 平面PAD ．
15．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为棱DD1的中点，底面对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：
(1) BD1∥平面 ACE ；
(2) BD1 ^ AC .
16．如图所示，已知 AA1 ^ 平面 ABC ，BB1 / / AA1, AB = AC ，点 E 和 F 分别为BC和 A1C 的中点.
(1)证明：EF / / 平面 A1B1BA；
(2)证明： AE ^ 平面BCB1 .
17．如图，在三棱锥 S - ABC 中， ABC = 90°，D是 AC 的中点，且 SA = SB = SC .
(1)求证： SD ^ 平面 ABC ；
(2)若 AB = BC ，求证：BD ^平面 SAC .
重难点 4 直线与平面所成的角
18．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 AA1与平面 ABC1D1所成的角为（ ）
A．30o B． 45o C．60o D．90o
19．（多选）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF ，且该八面体的各棱长均相等，则
（ ）
A．平面 ABF // 平面CDE
B．平面 ADE ^平面EBC
C．直线 AE 3与平面BDE 所成角的正弦值是
2
1
D．平面 ABE 与平面 ADE 夹角的余弦值是
3
20．如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD
1
，AB ^ AD, AD / /BC ，BC = AD ， PA = AB = 2，E
2
为棱PD的中点．
(1)求证： EC //平面PAB；
(2)当PC = 3 时，求直线PC与平面BCE 所成角的正弦值．
21．已知三棱锥P - ABC 中，PA ^平面 ABC, AB ^ AC ，过点M 分别作平行于平面PAB的直线交 AC, PC
于点 E, F ．
(1)求证：EF / / 平面PAB；
(2)若M 为BC的中点，PA = AB = 3, AC = 4，求直线PM 与平面 ABC 所成角的正切值．
1
22．如图在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面PAD ^底面 ABCD，且PA = PD = BD，设
2
E, F 分别为PC, BD的中点．
(1)求证：平面PAB ^平面PDC ；
(2)求直线 EF 与平面 ABCD所成角的大小．
23．如图， P 是矩形 ABCD所在平面外一点，且PA ^平面 ABCD．已知PA = AB = 2, BC = 1．
(1)求二面角P - BC - D 的大小；
(2)求直线 PB与平面PAC 所成角的正弦值．
重难点 5 线面垂直的存在性问题
24．如图，矩形 ABCD中， AB = 1, BC = a ，PA ^平面 ABCD，若在线段BC上至少存在一个点Q满足
PQ ^ DQ ，则 a的取值范围是 .
25．如图所示，已知 ABCD 是正方形，PD⊥平面 ABCD，PD＝AD＝2.
(1)求 PC 与平面 PBD 所成的角；
(2)在线段 PB 上是否存在一点 E，使 PC⊥平面 ADE？若存在，确定 E 点的位置；若不存在，说明理由.
26．若图，三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1 ^ CC1，BC1 ^ A1C ，且E 、F 分别是
BC、 A1B1 的中点.
(1)求证：EF // 平面 A1C1CA；
AP
(2)在线段 AB 上是否存在点 P ，使得BC1 ^ 平面EFP？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.AB
27．如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是平行四边形，BC1⊥C1C，平面 A1C1CA⊥平面 BCC1B1，
且 E，F 分别是 BC，A1B1的中点.
(1)求证：BC1⊥A1C；
(2)求证：EF∥平面 A1C1CA；
AP
(3)在线段 AB 上是否存在点 P，使得 BC1⊥平面 EFP？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.AB
28．如图 1，在RtDABC 中， C = 90°，D，E 分别为 AC ， AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将
DADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F ^ CD ，如图 2．
（1）证明： A1F ^ BE ；
AQ
（2）线段 A1B 上是否存在点Q，使 A1C ^ DEQ
1
平面 ？若存在，求出 A B 的值；若不存在，说明理由．1
29．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD1 I A1D = E ，CD1 I C1D = F .
（1）求证：EF ^ BD；
（2）在线段BC1上，是否存在点H ，使得BC1 ^ 平面 DEH ？并说明理由.
知识点 4 平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平
l ^ a ü
线面垂直 面面垂直 面的垂线，那么这两个平面 a ^ b
l b
垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面 a ^ b ü
a b = l
内有一直线垂直于这两个平面 a ^ b
面面垂直 线面垂直 a a
的交线，那么这条直线与另一 a ^ l
个平面垂直
知识点 5 二面角的概念
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
画法
记法 二面角a -l-b 或a -AB-b
①O l ；②OA a，OB b ；③OA ^ l，OB ^ l ，
则二面角a -l-b 的平面角是 AOB．
二面角的平面角
重难点 6 垂直有关命题的判断
30．已知直线 a,b和平面a ，则下列判断中正确的是（ ）
A．若 a / /a ,b / /a ，则 a / /b B．若 a / /b,b / /a ，则 a / /a
r r
C．若 a / /a ,b ^ a ，则 a ^ b D．若 a ^ b,b //a ，则 a ^ a
31．已知m 是直线，a ，b 是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若m b ，a∥b ，则m a B．若m ^ b ，a ^ b ，则m a
C．若m b ，a ^ b ，则m ^ a D．若m b ，m ^ a ，则a ^ b
32．设m ， n为两条不同的直线，a ，b 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m ^ a ， n ^ b ，m//n，则a ^ b B．若m ^ a ，a //b ， n b ，则m ^ n
C．若m / /a ， n//b ，a ^ b ，则m ^ n D．若a ^ b ，a I b = m ，m ^ n，则n ^ a
33．（多选）已知m, n是两条不同的直线，a , b 是两个不同的平面，则（ ）
A．若m // a ,m ^ b ，则a ^ b
B．若m a ,n a ，则m 与 n为异面直线
C．若m // n,n // a ，则m // a
D．若m ^ a ,n // a ，则m ^ n
34．（多选）已知 m、n 为两条不重合的直线，a 、b 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m ^ a ， n ^ b 且a ∥b ，则m∥n B．若m ^ n，m ^ a ， n ^ b ，则a ^ b
C．若m∥n，n a，a ∥b ，则m∥b D．若m∥n，n ^ a ，a ^ b ，m b ，则m∥b
重难点 7 证面面垂直
35．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BAC = 90°, AB = AC = 2 2, A1A = A1B = 4, A1AB = A1AC ．
(1)求证：平面 A1BC ^平面 ABC ；
(2)求四棱锥 A1 - C1B1BC 的体积．
36．如图，在几何体中，四边形 ABCD为菱形，对角线 AC 与BD的交点为 O，四边形DCEF 为梯形，
DC∥EF .
(1)若DC = 2EF ，求证：OE / / 平面 ADF ；
(2)若FB = FD ，求证：平面 AFC ^ 平面 ABCD .
37．如图，在四棱锥M - ABCD中，MA ^ 平面 ABCD， AD//BC ，CD ^ AD ，BC = 2， AD = DC =1，
点 N 为MB的中点.证明：平面MAB ^ 平面 NAC .
38．如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形 ABCD为正方形，已知PD ^平面 ABCD，且PD = AD，E 为PC
中点．
(1)证明：PA//平面BDE ；
(2)证明：平面PCD ^平面PBC ．
39．已知平面五边形 ABCDE 如图 1 所示，其中 AD//BC, AB ^ BC, AD = 2BC = 4 ， AB = 6,△ADE 是正三
角形．现将四边形 ABCD沿 AD 翻折，使得CE = 3 2 ，得到的图形如图 2 所示．求证：平面 ABCD ^平面
ADE ．
40．如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PB = PD．证明：平面PAC ^平
面 PBD ；
重难点 8 利用面面垂直证线面垂直
41．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，M 为 CD 的中点．将△ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM⊥平面
ABCM.点 O 是线段 AM 的中点．求证：
(1)平面 BDO⊥平面 ABCM；
(2)AD⊥BM.
42．如图，四棱锥 P- ABCD中， AD∥BC ， BC ^ CD， BC = 2CD = 2AD = 2 2 ，平面 ABCD⊥平面
PAC．
(1)证明：PC ^ AB；
(2) PA PC 5若 = = AC ，M 是 PA 的中点，求三棱锥M - ABC 的体积．
2
43．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，平面 A1B1BA ^平面 ABC， AB = AC = AB1 = AA1 = 2 ， AC ^ AB1，D 为 AC
的中点．求证：平面 ACC1A1 ^平面 A1B1BA .
44．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 为正三角形，点 E，F 分别在棱BB1， AC 上，且
BE 1= BB 11， AF = AC ．3 4
(1)证明：平面C1EF ^平面 ACC1A1 ；
(2)若 AC = AA1 =12，求三棱锥C1 - ECF 的体积．
45．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = AC, AC ^ BC ，平面 A1BC ^平面 ACC1A1, D1为 A1B1 的中点.
(1)求证： A1C / / 平面BC1D1；
(2)求证：BC ^ AA1 .
46．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD 为梯形， AB CD，CD = 2AB = 2 2 ，BC = BD ，
PAB = 90°，且在VPAD中， PAD =120°，PA = AD ．
(1)求证： AB ^ PD；
(2)若PA = AD = 2，求四棱锥P- ABCD的体积．
重难点 9 求二面角的大小
47．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，棱长为 2, E是CC1 的中点，则二面角E - DB - C 的正弦值为（ ）
A 2． B 3． C 6． D 3．
3 3 3 4
48 P - ABC PC ^ ABC PC 2 3．三棱锥 中， 平面 ， = ， AC = 2，BC = 4， AB = 2 3 ，则二面角P- AB-C
3
的大小为 .
49．如图，已知PD ^平面 ABCD,CD = 2AB = 2AD = 2, AB//CD, AD ^ CD, PC 与底面 ABCD所成角为q ，
且 tanq 6= ．
2
(1)求证：CB ^ 平面 PBD ；
(2)求二面角P - BC - D 的大小．
50 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PA ^平 面 ABCD， 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， ADC = 60°，
PA = AD = 4，E 为 AD 的中点．
(1)求证：平面PCE ^平面PAD ；
(2)求二面角 A - PD - C 的平面角的正弦值．
51．如图，已知正方形 ABCD所在平面与等腰直角三角形EAB所在平面相互垂直.以 AE 为直径，在平面
EAB内作半圆（半圆位于EA的左侧）.点F 为弧 AE 上的一点.
(1)证明：EF ^ 平面 ADF;
(2)若点F 为弧 AE 的中点，求二面角F - BD - A的余弦值.
52．如图（1），六边形 ABCDEF 是由等腰梯形 ADEF 和直角梯形 ABCD拼接而成，且
BAD = ADC = 90° ， AB = AF = EF = ED = 2, AD = CD = 4，沿 AD 进行翻折，得到的图形如图（2）所
示，且 AEC = 90° .
(1)求证：CD ^平面 ADEF .
(2)求二面角C - AE - D 的余弦值；
重难点 10 面面垂直的存在性问题
53．如图示，正方形 ABCD与正三角形 ADP所在平面互相垂直，Q是 AD 的中点.
(1)求证：PQ ^ BQ；
(2)在线段 AB 上是否存在一点 N，使面PCN ^ 面PQB ？并证明你的结论.
54．如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD ^底面
ABCD，M 是QD 的中点．
(1)求证： AM ^ 平面QCD；
BN
(2)在棱BQ上是否存在点 N 使平面 ACN ^平面 ACM 成立？如果存在，求出 NQ ；如果不存在，说明理
由．
55 o．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是矩形，侧面BB1C1C 是菱形， B1BC = 60 ，D、E
分别为棱 AB 、 B1C1 的中点，F 为线段C1E 的中点.
(1)证明： AF //平面 A1DE ；
(2)在棱BB1上是否存在一点G ，使平面 ACG ^平面BB1C1C ？若存在，请指出点G 的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.
56．在四棱锥P- ABCD中，VPAD是等边三角形，且平面PAD ^平面 ABCD， AD = 2AB = 2BC ，
BAD = ABC = 90o．
(1).在 AD 上是否存在一点 M，使得平面PCM ^平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2).若VPCD 的面积为8 7 ，求三棱锥P - ABC 的体积．
π
57．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形且 ABC = ，PB = PA = 4，
3
PC = 6 ．
(1)求PD的值；
uuur uuur
(2)若BH = l BP ，是否存在l ，使得平面CDH ^平面PAB？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理
由．专题 3.6 空间直线、平面的垂直
知识点 1 异面直线所成的角
已知两条异面直线 a, b ，经过空间任一点O作直线 a //a，b //b，则 a 与b 所成的锐角(或直
定义
角)
取值范围 0° a 90°
垂直 如果两条异面直线 a, b 所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作 a ^ b .
知识点 2 直线与平面垂直的判定和性质
1.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内
l ^ a，l ^ b ü
线线垂直 线面垂直 的两条相交直线垂直，那么 a a，b a l ^ a
该直线与此平面垂直 a b＝P
2.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线 a ^ a ü
a∥b
线面垂直 线线平行 平行.
b ^ a
推论：
①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面
④垂直于同一条直线的两个平面平行.
知识点 3 直线和平面所成的角
定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角
一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
规定
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 0°的角
取值范围 0° a 90°
重难点 1 求异面直线所成的角
1 2．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 为等腰直角三角形，且 AB = AC = AA1 =1，则异面直线2
AB1与 A1C 所成角的正弦值为（ ）
A 2 B 5 3 3． 3 ． C．- D．3 3 3
【答案】B
【详解】将直三棱柱 ABC - A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱：
连接B1D、 AD ，则B1D / / A1C ，
则异面直线 AB1与 A1C 所成角的平面角为 DB1A (或其补角)，
2
又DB 21 = B1A = 1 + 2 = 3 ， AD = 12 +12 = 2 ，
2 23 + 3 - 22
由余弦定理可得： cos 2 DB1A = = ，2 3 3 3
2 2 5
所以 sin DB1A = 1-
÷ = ，故 B 正确.
è 3 3
故选：B.
2．在正四棱锥P- ABCD中，E 为PC的中点，且 BE ^ PC ，则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值为
（ ）
A 2 2 6 6． B． C． D．
6 4 3 6
【答案】D
【详解】连接BD交 AC 于O，取PA的中点F ，再连接EF , BF , PO ，
因为EF // AC ，所以 BEF 为所求角或其补角，
在VPBC中，E 为PC的中点，且 BE ^ PC ，所以PB = BC ，
所以正四棱锥P- ABCD的所有棱长都相等．
设四棱锥P- ABCD的棱长均为 2，在△BEF 中，EF = 2 ， BE = BF = 3，
cos BEF BE
2 + EF 2 - BF 2 2 + 3 - 3 6
所以 = = = .
2BE × EF 2 3 2 6
故选：D.
3．如图，空间四边形OABC 的所有棱长为 1，D、E 分别是棱OA、BC 的中点，则OC 与DE 所成角为
【答案】45°
【详解】取 AC 中点F ，连接 EF 、DF 、BD、CD ，
DF 1 OC 1则DF / /OC 且 = = ，EF
1
= AB 1= ，
2 2 2 2
2
2
有BD CD 3 3= = 1 2，故DE ^ BC ，则DE =
2 2 ÷÷
- = ，
è è 2
÷
2
由DF / /OC ，故OC 与DE 所成角等于 FDE ，
2 2
1 2 1
2
÷ +
2
-
2 ÷ 2 ÷
又 è è è cos FDE 2 = = ，
1 2 22
2 2
即 FDE = 45°，即OC 与DE 所成角为45° .
故答案为：45° .
4．如图，在每个面都为等边三角形的四面体 S - ABC 中，若点E ，F 分别为 SC ， AB 的中点，试求异面
直线 EF 与SA所成的角．
π
【答案】
4
【详解】如图，连接CF ， SF ， 取 SB 的中点为D，连接ED，FD .
又因为F 为 AB 的中点，
所以DF //SA，
则 DFE 为异面直线 EF 与SA所成的角(或补角)．
设四面体 S - ABC 的棱长为 a，
则DF
a
= ，
2
又D, E 分别为 SB, SC 的中点，
1 a
所以DE = BC = ，
2 2
在等边△SAB 中， SB = a ，
所以 SF 3 a CF 3= ，同理 = a，
2 2
在△SCF 中，因为 SC = a，
所以EF 2= a ，
2
所以DE2 + DF 2 = EF 2
故VDEF 是等腰直角三角形，
故 EFD
π π
= ，即异面直线 EF 与SA所成的角为 .4 4
5．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2 ， BC = B1B =1，M、N 分别是 AD、DC 的中点.
(1)求：棱锥B - A1B1C1 的体积；
(2)求：异面直线MN 与BC1所成角的余弦值.
1
【答案】(1)
3
(2) 10
10
【详解】（1）∵ BC = B1B =1， AB = 2 ，∴ A1B1 = AB = 2， B1C1 = BC =1，
故 S
1
VA B C = A B × B C =1，1 1 1 2 1 1 1 1
又BB1⊥平面 A1B1C1D1，
故三棱锥B - A1B1C1 的体积为：
V 1 S BB 1B- A1B1C = × = .1 3 VA1B1C1 1 3
（2）连接 AC ，
∵M、N 分别是 AD、DC 的中点，∴MN / / AC，
又 A1C1 / / AC ，∴ A1C1 / /MN ，
异面直线MN 与BC1所成角为 A1C1B或其补角，
其中 A1C1 = A1B = 1+ 4 = 5 ， BC1 = 1+1 = 2 ，
A1C
2 + BC 2 - A B 2
cos AC B 1 1 1 5 + 2 - 5 10由余弦定理得 1 1 = = = ，2 A1C1 × BC1 2 5 2 10
10
故异面直线MN 与BC1所成角的余弦值为 ．
10
重难点 2 由异面直线所成的角求长度
6．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 8, AD = 6，异面直线BD与 AC
7
1所成的的余弦值为 ，则
10
CC1 =（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 2 3 D．3 2
【答案】C
【详解】连接 AC ，交DB 于点O，取CC1 的中点E ，连接OE, BE .
因为 AC1 / / OE，所以BD与 AC1所成的角为 BOE （或其补角）.
令EC = x，在△BEO 中，由 AB = 8, AD = 6，得OB = 5 .
又OE = x2 + 25, BE = x2 + 36 ， cos BOE 7= ，
10
OE2 + OB2 - BE2 7 x2 + 25 + 25 - x2 - 36 7
由余弦定理得 = ，即 = ，解得 x = 3 ，
2OE ×OB 10 2 5 x2 + 25 10
所以CC1 = 2 3 .
故选：C
7．如图，已知圆柱O1O2 的底面半径和母线长均为 1，B、A分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线
O1B,O2 A
π
所成的角为 ，则 AB =（
3 ）
A．1 B． 2 C．1 或 2 D．2 或 2
【答案】D
【详解】如图，过点A 作 AD ^ 平面O1于点D，则 AD 是母线，
连接DB,QO1O2 ^ 底面，\ AD / /O1O2 , AD = O1O2 ，
则四边形 ADO1O2 是平行四边形，O1D / /O2 A，
\O2 A与O1B所成的角就是 DO1B或其补角．
π
当 DO1B = 时，△DO1B是等边三角形，BD =1，3
在Rt△ABD 中， AB = BD2 + AD2 = 2 ；
2π
当 DO1B = 时，在VO1DB中，3 BD 2
3
= = 3 ，
2
在Rt△ABD 中， AB = BD2 + AD2 = 2 ．
综上， AB = 2或 2 .
故选：D．
8．在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，E，F 分别是棱 BC， A1C1的中点，若异面直线 AA1与 EF 所成的角是 45°，
则该三棱柱的侧面积与表面积的比值是（ ）
A 3- 3． B 3- 3． C 3 - 3 D 3 - 3． ．
6 4 3 2
【答案】D
【详解】取 AC 中点 D，连接 FD，DE，
又在正三棱柱 ABC - A1B1C1 中，E，F 分别是棱 BC， A1C1的中点，
则DF //AA1 ，且DF ^面 ABC，
又直线 AA1与 EF 所成的角是 45°，DF //AA1 ，
直线DF 与 EF 所成的角是 45°
故Rt△DEF 为等腰直角三角形，
不妨设DE = DF = x ，则 AB = 2x，
则 S侧 = (AB + BC + AC) AA1 = 6x × x = 6x
2
S = 2 1 2x 2x 3 = 2 3x2
底 2 2
S S 6x2侧 侧 6 3 - 3
故 = = = =
S表 S侧 + S底 6x
2 + 2 3x2 6 + 2 3 2
故选：D
9．已知四面体 ABCD中， AD = BC = 4，E 、F 分别为 AB 、CD 的中点，且异面直线 AD 与BC所成角为
π
，则EF = .
3
【答案】 2或 2 3
【详解】取线段BC的中点O，连接OE、OF ，
在四面体 ABCD中， AD = BC = 4，E 、F 分别为 AB 、CD 的中点，O为BC的中点，
1 1 1 1
所以，OE //AC ，OF //BD，且OE = AC = 4 = 2，OF = BD = 4 = 2，
2 2 2 2
所以，异面直线 AC 、BD所成角为 EOF 或其补角，
π π 2π
因为异面直线 AD 与BC所成角为 ，则 EOF = 或 .
3 3 3
当 EOF
π
= 时，则VEOF 是边长为 2的等边三角形，此时，EF = 2；
3
EOF 2π当 = 时，由余弦定理可得EF = OE2 + OF 2 - 2OE ×OF cos 2π
3 3
= 22 + 22 - 2 22 1 -
÷ = 2 3 .
è 2
综上所述，EF = 2或 2 3 .
故答案为： 2或 2 3 .
10．如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，AB＝CD，E、F 分别为 BC、AD 的中点．
(1)若 AB⊥CD，求 EF 与 AB 所成的角的大小；
(2)若 AB＝CD＝2，且异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 60°，求线段 EF 的长．
【答案】(1)45°；
(2) EF =1或 3
【详解】（1）取 BD 的中点 G，连接 EG、FG；
因为 E、F 分别为 BC、AD 的中点，所以 EG∥CD，GF∥AB，
1
且 EG＝ 2 CD，GF
1
＝ 2 AB；又 AB＝CD，所以 EG＝GF；
因为 AB⊥CD，所以 EG⊥GF；
在△EGF 中，EG＝GF，EG⊥GF，所以△EGF 为等腰直角三角形，得∠EFG＝45°；
因为 GF∥AB，所以 EF 与 AB 所成的角即为∠EFG，
即 EF 与 AB 所成的角的大小为 45°；
（2）因为 AB＝CD＝2，所以 EG＝GF＝1；
因为 AB 与 CD 所成角的大小为 60°，所以∠EGF＝60°或 120°；
在△EGF 中，当∠EGF＝60°时，此三角形为等边三角形，故 EF＝1；
在△EGF 中，当∠EGF＝120°时，由余弦定理得，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GF·cos120°＝3，故 EF＝ 3，
综上，EF =1或 3
11．如图，在空间四边形 ABCD中， AB = CD = 8，M，N 分别是BC， AD 的中点．若异面直线 AB 与CD
所成的角为60°，求MN 的长．
【答案】MN = 4 3 或 4.
【详解】如图所示：
取BD的中点 E，连接ME, NE ．因为 M，N 分别是BC, AD 的中点，
所以ME∥CD 且ME
1
= CD = 4 1， NE∥ AB 且 NE = AB = 4，
2 2
从而 MEN （或其补角）即为 AB 与CD 所成的角．
又异面直线 AB 与CD 所成的角为60°，所以 MEN = 60°或120°，
当 MEN = 60°时，由余弦定理可知
MN = EN 2 + EM 2 - 2 EN EM cos 60° = 4 .
当 MEN =120°时，由余弦定理可知
MN = EN 2 + EM 2 - 2 EN EM cos120° = 4 3
重难点 3 线面垂直的判定和性质
12 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P- ABCD中 ， BD ^ PC ， BAD =120°， 四 边 形 ABCD是 菱 形 ，
uur uuur
PB = 2AB = 2PA，E 是棱PD上的动点PE = lPD .证明：PA ^平面 ABCD .
【答案】证明见解析
【详解】
因为四边形 ABCD是菱形，所以BD ^ AC .
因为BD ^ PC ， AC ，PC 平面PAC ，且 AC I PC = C ，所以BD ^平面PAC .
因为PA 平面PAC ，所以BD ^ PA .
因为PB = 2AB = 2PA，所以PB2 = AB2 + PA2 ，即 AB ^ PA .
因为 AB ，BD 平面 ABCD，且 AB I BD = B，所以PA ^平面 ABCD .
13．如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BAC = 90o ， AB = a, A1A = 2a，D为棱B1B 的
中点.求证： A1D ^平面 ADC .
【答案】证明见解析
【详解】
由题意可知， AA1 ^ 平面 ABC ，又 AC 平面 ABC ，所以 AA1 ^ AC ，
又 BAC = 90o ，所以 AC ^ AB，
又 AB AA1 = A， AB, AA1 面 A1ABB1，
所以 AC ^平面 A1ABB1，又 A1D 平面 A1ABB1，
所以 AC ^ A1D ，
因为D为BB1的中点，BB1 = 2a, AB = A1B1 = a ，
在△A1DA中， A1D = 2a, AD = 2a, AA1 = 2a
2 2 2
，所以 A1D + AD = A1A ，
o
所以 A1DA = 90 ，即 A1D ^ AD ，
而 AC AD = A， AC, AD 面 ADC ，
故有 A1D ^平面 ADC .
14．如图，在四棱锥P- ABCD中，PD ^平面 ABCD，底面 ABCD是矩形．
(1)求证： AB//平面PCD；
(2)求证： AB ^ 平面PAD ．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）由题意，底面 ABCD是矩形，即 AB//CD ，
CD 平面PCD， AB 平面PCD，所以 AB//平面PCD；
（2）由题意，PD ^平面 ABCD， AB 平面 ABCD，
所以 AB ^ PD，
又底面 ABCD是矩形，即 AB ^ AD ，
AD PD = D, AD 平面PAD ， PD 平面PAD ，
所以 AB ^ 平面PAD ．
15．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为棱DD1的中点，底面对角线 AC 与 BD 相交于点 O.求证：
(1) BD1∥平面 ACE ；
(2) BD1 ^ AC .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
如图，连结OE，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
因为OB = OD ，E 为棱DD1的中点，
所以OE为VBDD1的中位线，所以BD1 //OE ，
又因为OE 平面 ACE ，BD1不在平面 ACE 内，
所以BD1 // 平面 ACE .
（2）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，
由DD1 ^面 ABCD， AC 面 ABCD，所以DD1 ^ AC ，又 AC ^ BD ，
BD 面BDD1，DD1 面BDD1，BD I DD1 = D，所以 AC ^面BDD1，
又由BD1 面BDD1，所以BD1 ^ AC .
16．如图所示，已知 AA1 ^ 平面 ABC ，BB1 / / AA1, AB = AC ，点 E 和 F 分别为BC和 A1C 的中点.
(1)证明：EF / / 平面 A1B1BA；
(2)证明： AE ^ 平面BCB1 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接 A1B ，在VA1BC 中，
∵点 E 和 F 分别是BC和 A1C 的中点，\EF / / A1B ，
又Q A1B 平面 A1B1BA且EF / 平面 A1B1BA，
\EF / / 平面 A1B1BA；
（2）Q AB = AC, E 为BC中点，\ AE ^ BC ，
Q AA1 ^平面 ABC, BB1 / / AA1，\BB1 ^平面 ABC ，
Q AE 平面 ABC ，\BB1 ^ AE ，
又QBC, BB1 平面BCB1且BC I BB1 = B，
\ AE ^平面BCB1 .
17．如图，在三棱锥 S - ABC 中， ABC = 90°，D是 AC 的中点，且 SA = SB = SC .
(1)求证： SD ^ 平面 ABC ；
(2)若 AB = BC ，求证：BD ^平面 SAC .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）
因为 SA = SC ，D是 AC 的中点，所以 SD ^ AC .
在Rt△ABC 中， AD = BD ，
由已知 SA = SB ，所以△ADS @△BDS ，所以 SD ^ BD .
又 AC BD = D, AC, BD 平面 ABC ，
所以 SD ^ 平面 ABC .
（2）
因为 AB = BC ，D是 AC 的中点，
所以BD ^ AC .
由(1)知 SD ^ BD .
又因为 SD I AC = D, SD, AC 平面 SAC ，
所以BD ^平面 SAC .
重难点 4 直线与平面所成的角
18．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 AA1与平面 ABC1D1所成的角为（ ）
A．30o B． 45o C．60o D．90o
【答案】B
【详解】连接 A1D，则 AD1 ^ A1D ，
因为 AB ^ 平面 AA1D1D， AD1 平面 AA1D1D，
所以 AB ^ A1D，
又 AB AD1 = A, AB, AD1 平面 ABC1D1，
所以 A1D ^平面 ABC1D1，
所以 D1AA1即为直线 AA1与平面 ABC1D1所成角的平面角，
在等腰直角三角形 AA1D1中， D1AA1 = 45
o
，
所以直线 AA o1与平面 ABC1D1所成的角为 45 .
故选：B.
19．（多选）如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF ，且该八面体的各棱长均相等，则
（ ）
A．平面 ABF // 平面CDE
B．平面 ADE ^平面EBC
C 3．直线 AE 与平面BDE 所成角的正弦值是
2
1
D．平面 ABE 与平面 ADE 夹角的余弦值是
3
【答案】AD
【详解】连接 AC 交 BD 于点 O，则点 O 为正方形 ABCD 的中心，
由对称性可知OE = OF ，OA = OC ，所以四边形 AFCE为平行四边形，
所以 AF∥CE ，又 AF 平面 CDE，CE 平面CDE ，所以 AF / / 平面CDE ，
同理BF∥平面CDE ，又 AFIBF = F，AF， BF 平面 ABF ，
所以平面 ABF∥平面CDE ，A 正确；
取BC中点M ，连接EM、FM ，则EM ^ BC、FM ^ BC ，
所以 EMF 为二面角E - BC - F 的平面角，
3
设该八面体的棱长为 a，则EM = FM = a, EF = 2 EB2 - OB2 = 2a，
2
2 2
cos EMF EM + FM - EF
2 1
所以 = = - ，
2EM × FM 3
所以二面角E - BC - F 不是直二面角，则平面EBC 与平面FBC 不垂直，
而平面 ADE // 平面FBC ，所以平面 ADE 与平面EBC 也不垂直，B 错误；
同理，取BC中点 N ，连接BN、DN ， BND 为二面角B - AE - D的平面角，
cos BND 1 1= - ，所以平面 ABE 与平面 ADE 夹角的余弦值是 ，D 正确；
3 3
由 AE = AF ，OE = OF ，得 AO ^ EF ，在正方形 ABCD 中， AO ^ BD ，
EF 平面 BEDF，BD 平面 BEDF，又BD EF = O，所以 AO ^ 平面 BEDF，
所以 AEO即为直线 AE 与平面 BDE 所成的角，
1 1 2 2
设该八面体的棱长为 2，则 AO = AC = AB + BC = 2 ，
2 2
所以EO = AE2 - AO2 = 2 = AO，所以 AEO = 45°，C 错误.
故选：AD.
1
20．如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD，AB ^ AD, AD / /BC ，BC = AD ， PA = AB = 2，E
2
为棱PD的中点．
(1)求证： EC //平面PAB；
(2)当PC = 3 时，求直线PC与平面BCE 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2 5 .
15
【详解】（1）取PA中点为M ，连接ME, MB ，如下所示：
在△PAD 中，因为M , E 分别为PA, PD 的中点，故ME // AD, ME
1
= AD；
2
又 AD / /BC, BC
1
= AD，故ME // BC, ME = BC ，则四边形MBCE 为平行四边形， EC // MB；
2
又MB 面PAB, EC 面PAB，故 EC //面PAB .
（2）过点 P 作 BM 延长线的垂线，垂足为 N ，连接 NC ，如下所示：
由（1）可知， EC // BM ，故平面BCE 也即平面 NMBCE ；
因为 AB ^ AD, BC // AD ，则BC ^ AB；
又PA ^面 ABCD, BC 面 ABCD，故BC ^ PA；
又PA AB = A, PA, AB 面PAB，故BC ^面PAB；
又PN 面PAB，则PN ^ BC ，又PN ^ BN ；
BC BN = B, BC, BN 面BCE ，故PN ^面BCE ，
则 PCN 即为PC与平面BCE 的夹角；
1
在△ ABM 中，因为 AB = 2, AM = PA =1 2 5，则BM = AB2 + AM 2 = 5 ，2 sin AMB =
；
5
1
在△ PMN 中，因为PM = PA =1， AMB = PMN ，则
2 PN = sin PMN PM
2 5
= ；
5
2 5
PC = 3 PN 2 5 PC BCE 2 5又 ， sin ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 . PCN = = 5 =
PC 3 15 15
21．已知三棱锥P - ABC 中，PA ^平面 ABC, AB ^ AC ，过点M 分别作平行于平面PAB的直线交 AC, PC
于点 E, F ．
(1)求证：EF / / 平面PAB；
(2)若M 为BC的中点，PA = AB = 3, AC = 4，求直线PM 与平面 ABC 所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析；
6
(2) ．
5
【详解】（1）由ME / / 平面PAB, MF / /平面PAB，ME MF = M , ME, MF 平面MEF ，
得平面MEF / / 平面PAB，而EF 平面MEF ，
所以EF / / 平面PAB．
（2）连接 AM ，由PA ^平面 ABC, AM 平面 ABC ，得PA ^ AM ，
则 AM 是直线PM 在平面 ABC 内的射影， PMA是直线PM 与平面 ABC 所成的角，
在VABC 中， AB ^ AC, AB = 3, AC = 4，则BC = 32 + 42 = 5，
1 5 PA 3 6
由点M 是BC的中点，得 AM = BC = RtVPAM tan PMA = = =，在 中， AM 5 5 ，2 2 2
6
所以直线PM 与平面 ABC 所成角的正切值是 ．
5
1
22．如图在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面PAD ^底面 ABCD，且PA = PD = BD，设
2
E, F 分别为PC, BD的中点．
(1)求证：平面PAB ^平面PDC ；
(2)求直线 EF 与平面 ABCD所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
π
(2)
4
【详解】（1）因为面PAD ^面 ABCD，且面PAD 面 ABCD = AD ，CD ^ AD ，CD 面 ABCD，
所以CD ^面PAD ，又PA 面PAD ，
所以CD ^ PA，
PA PD 1又 = = BD，又
2 BD = 2AD
，
所以PA = PD 2= AD ，
2
所以VPAD为等腰直角三角形，且PA ^ PD ，
又CD I PD = D，且CD, PD 面PDC ，
所以PA ^面PDC ，又PA 面PAB，
所以平面PAB ^平面PDC ；
（2）因为 E, F 分别为PC, BD的中点，所以EF / /PA，
所以直线 EF 与平面 ABCD所成角的大小等于直线PA与平面 ABCD所成角的大小，
因为侧面PAD ^底面 ABCD，
所以 PAD就是直线PA与平面 ABCD所成角，
又VPAD为等腰直角三角形，且PA ^ PD ，
π
所以 PAD = ，
4
π
即直线 EF 与平面 ABCD所成角的大小为 .
4
23．如图， P 是矩形 ABCD所在平面外一点，且PA ^平面 ABCD．已知PA = AB = 2, BC = 1．
(1)求二面角P - BC - D 的大小；
(2)求直线 PB与平面PAC 所成角的正弦值．
π
【答案】(1)
4
(2) 10
10
【详解】（1）∵底面 ABCD为矩形，∴BC ^ AB，
又∵PA ^平面 ABCD， AB，BC 平面 ABCD，
∴PA ^ BC, PA ^ AB ，
PAI AB = A, PA、AB 平面PAB，∴BC ^平面PAB，
又PB 平面PAB，∴PB ^ BC ，
易知 PBA即二面角P - BC - A平面角，，
tan PBA PA π π由题意易知 = =1 PBA = ，故二面角P - BC - D 的大小为 ．
AB 4 4
（2）如图所示，过 B 作BO ^ AC 交 AC 于点O，连接PO，
根据已知PA ^平面 ABCD，BO 平面 ABCD，∴PA ^ BO ，
∵PAI AC = A, PA、AC 平面PAC ，
∴BO ^平面PAC ，
由直线与平面的夹角的定义可知直线 PB与平面PAC 所成角为 BPO，
矩形 ABCD中，易知BO × AC = AB × BC BO
2
= ，
5
又易知PB = 2AB = 2 2 ，
∴ sin BPO BO 2 1 10= = = ，
BP 5 2 2 10
10
∴直线 PB与平面PAC 所成角的正弦值为 ．
10
重难点 5 线面垂直的存在性问题
24．如图，矩形 ABCD中， AB = 1, BC = a ，PA ^平面 ABCD，若在线段BC上至少存在一个点Q满足
PQ ^ DQ ，则 a的取值范围是 .
【答案】 a 2
【详解】解：QPA ^ 平面 ABCD，DQ 平面 ABCD，
\PA ^ DQ，
又QPQ ^ DQ， PAIPQ = P ，
∴ DQ ^ 平面PAQ ，又 AQ 平面PAQ ，
\ DQ ^ AQ ，
所以点Q是以 AD 中点为圆心，以 AD 为直径的圆与BC的交点，
Q AB =1，BC = a ，在线段BC上至少存在一个点Q满足PQ ^ DQ ，
\a 2．
故答案为： a 2．
25．如图所示，已知 ABCD 是正方形，PD⊥平面 ABCD，PD＝AD＝2.
(1)求 PC 与平面 PBD 所成的角；
(2)在线段 PB 上是否存在一点 E，使 PC⊥平面 ADE？若存在，确定 E 点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】(1)30°
(2)存在，E 为 PB 的中点
【详解】（1）解：设 AC 交 BD 于 O，
∵PD⊥平面 ABCD， AC 平面 ABCD，∴PD⊥AC，
又 BD⊥AC，且BD I PD = D，∴OC⊥平面 PBD，
又OP 平面 PBD，∴OC⊥OP，
∴∠CPO 为 PC 与平面 PBD 所成的角，
∵PD=AD=2，∴AC= 2 2 ，∴OC= 2 ，PO= 6 ，
OC
∴tan 3∠CPO= = ，∴∠CPO=30° ，
OP 3
即 PC 与平面 PBD 所成的角为 30°；
（2）解：在线段 PB 上存在一点 E，E 为 PB 的中点，使得 PC⊥平面 ADE ，
因为 PD⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD，
所以PD ^ BC ，
又因BC ^ CD,CD I PD = D ，
所以 BC⊥平面 PDC，因为PC, DF 平面 PDC，所以 DF⊥BC，PC ^ BC
又取 PC 的中点 F，取 PB 的中点 E，连结 EF，则EF ∕ ∕ BC ， 所以 PC⊥EF，
因为 PD=DC，所以 DF⊥PC，
又因为EF DF = F ，所以 PC⊥平面 DEF，
因为 AD ∕ ∕ BC ，所以 AD ∕ ∕ EF ，
则平面DEF 即为平面 ADE ，
所以 PC⊥平面 ADE.
所以在线段 PB 上存在一点 E，E 为 PB 的中点时，PC⊥平面 ADE.
26．若图，三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1 ^ CC1，BC1 ^ A1C ，且E 、F 分别是
BC、 A1B1 的中点.
(1)求证：EF // 平面 A1C1CA；
AP
(2)在线段 AB 上是否存在点 P ，使得BC1 ^ 平面EFP？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.AB
【答案】(1)证明见解析
AP 1
(2)存在， =
AB 2
【详解】（1）证明：取 A1C1中点G ，连接 FG 、CG .
因为F 、G 分别是 A1B1 、 A1C1的中点，
所以FG//B1C
1
1 且FG = B C .2 1 1
在平行四边形BCC1B1中，B1C1 //BC 且B1C1 = BC ，
1
因为E 是BC的中点，所以EC //B1C1且EC = B1C1 .2
所以EC //FG 且EC = FG ，所以四边形 FECG 是平行四边形，所以FE //GC ，
又因为FE 平面 A1C1CA，GC 平面 A1C1CA，所以EF // 平面 A1C1CA .
（2）解：当点 P 为线段 AB 的中点时，BC1 ^ 平面EFP，理由如下：
取 AB 的中点 P ，连接PE、PF .
因为BC1 ^ CC1，BC1 ^ A1C ， A1C CC1 = C ，所以，BC1 ^ 平面 ACC1A1 ，
因为 P 、E 分别为 AB 、BC的中点，则PE //AC ，
QPE 平面 ACC1A1 ， AC 平面 ACC1A1 ，则PE // 平面 ACC1A1 ，
又因为EF // 平面 ACC1A1 ，EF PE = E ，所以，平面EFP// 平面 ACC1A1 ，
所以，BC1 ^ 平面EFP .
AP 1
故当点 P 是线段 AB 的中点时，BC1 ^ 平面EFP，此时， = .AB 2
27．如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是平行四边形，BC1⊥C1C，平面 A1C1CA⊥平面 BCC1B1，
且 E，F 分别是 BC，A1B1的中点.
(1)求证：BC1⊥A1C；
(2)求证：EF∥平面 A1C1CA；
AP
(3)在线段 AB 上是否存在点 P，使得 BC1⊥平面 EFP？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.AB
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
AP 1
(3)存在, =
AB 2
【详解】（1）证明：因为BC1 ^ C1C ，又平面 A1C1CA ^平面BCC1B1，
且平面 A1C1CA 平面BCC1B1 = C1C ，BC1 平面BCC1B1，所以BC1 ^ 平面 ACC1A1 ．
又因为 A1C 平面 A1C1CA，所以BC1 ^ A1C ．
（2）证明：取 A1C1中点G ，连 FG ，连GC ．
在△A1B1C1中，因为F ，G 分别是 A1B1 ， A1C1中点，
FG / /B C FG 1所以 1 1，且 = B1C1．2
在平行四边形BCC1B1中，因为E 是BC的中点，
1
所以EC //B1C1，且EC = B2 1
C1．
所以EC //FG ，且EC = FG ．
所以四边形 FECG 是平行四边形，所以FE //GC ．
又因为 FE / 平面 A1C1CA，GC 平面 A1C1CA，所以EF // 平面 A1C1CA．
（3）解：在线段 AB 上存在点 P ，使得BC1 ^ 平面EFP．
取 AB 的中点 P ，连PE，连PF ．
因为BC1 ^ 平面 ACC1A1 ， AC 平面 ACC1A1 ，CG 平面 ACC1A1 ，
所以BC1 ^ AC，BC1 ^ CG．
在VABC 中，因为 P ，E 分别是 AB ，BC中点，所以PE / / AC ．
又由（2）知FE / /CG ，所以BC1 ^ PE ，BC1 ^ EF ．
由PE EF = E ，PE, EF 平面EFP，所以BC1 ^ 平面EFP．
AP 1
故当点 P 是线段 AB 的中点时，BC1 ^ 平面EFP．此时 = ． AB 2
28．如图 1，在RtDABC 中， C = 90°，D，E 分别为 AC ， AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将
DADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F ^ CD ，如图 2．
（1）证明： A1F ^ BE ；
AQ
（2 1）线段 A1B 上是否存在点Q，使 A1C ^平面DEQ？若存在，求出 A B 的值；若不存在，说明理由．1
1
【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 2 ．
【详解】（1）证明：由已知得 AC ^ BC 且DE / /BC,\DE ^ AC ，
\DE ^ A1D，又DE ^ CD, A1D CD = D，
\DE ^平面 A1DC ，面 A1F 平面 A1DC ，
\DE ^ A1F ，
又 A1F ^ CD, DE CD = D，\ A1F ^平面BCDE ，
\ A1F ^ BE .
（2）
线段 A1B 上存在点Q，使 A1C ^平面DEQ .
理由如下：如图，分别取 A1C, A1B 的中点P,Q ，则PQ / /BC .
QDE / /BC,\DE / /PQ.\平面DEQ即为平面DEP .
由（1）知DE ^ 平面 A1DC,\DE ^ A1C ，
又QP是等腰三角形DA1C 底边 A1C 的中点，\ A1C ^ DP ，
QDE DP = D，\ A1C ^平面DEP ，从而 A1C ^平面DEQ，
AQ 1
故线段 A B 11 上存在点Q，使 A1C ^平面DEQ，其中 =A B 2 .1
29．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD1 I A1D = E ，CD1 I C1D = F .
（1）求证：EF ^ BD；
（2）在线段BC1上，是否存在点H ，使得BC1 ^ 平面 DEH ？并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.
【详解】（1）如图，连接 AC ，因为 AD1 I A1D = E ，CD1 I C1D = F ，所以 E ， F 分别为 AD1 ，CD1的中点，
所以EF //AC ，
又 AC ^ BD ，所以EF ^ BD .
（2）如图，取BC1的中点H ，连接EH ，DH ，
因为 AB ^ 平面BCC1B1，所以 AB ^ BC1，又EH //AB ，所以 EH ^ BC1 .
因为BC1 //AD1， AD1 ^ DE ，所以BC1 ^ DE .
因为 EH I DE = E ，所以BC1 ^ 平面 DEH ，
所以在线段BC1上，存在点H ，使得BC1 ^ 平面 DEH .
【点睛】关键点睛：本题考查空间中的线线垂直，线面垂直关系的证明，关键在于准确地应用判定定理，
满足判定定理所需的条件得以证明．
知识点 4 平面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平
l ^ a ü
线面垂直 面面垂直 面的垂线，那么这两个平面 a ^ b
l b
垂直
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面 a ^ b ü
a b = l
内有一直线垂直于这两个平面 a ^ b
面面垂直 线面垂直 a a
的交线，那么这条直线与另一 a ^ l
个平面垂直
知识点 5 二面角的概念
定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
画法
记法 二面角a -l-b 或a -AB-b
①O l ；②OA a，OB b ；③OA ^ l，OB ^ l ，
则二面角a -l-b 的平面角是 AOB．
二面角的平面角
重难点 6 垂直有关命题的判断
30．已知直线 a,b和平面a ，则下列判断中正确的是（ ）
A．若 a / /a ,b / /a ，则 a / /b B．若 a / /b,b / /a ，则 a / /a
r r
C．若 a / /a ,b ^ a ，则 a ^ b D．若 a ^ b,b //a ，则 a ^ a
【答案】C
【详解】A：若 a / /a ,b / /a ，则两直线平行或异面或相交，故 A 错误；
B：若 a / /b,b / /a ，当直线 a在平面a 内时，则直线 a不平行于平面a ，故 B 错误；
C：若 a / /a ，设过 a的平面与a 相交于 c，则 a / /c ，
又因为b ^ a ，c a
r r
，所以b ^ c，所以b ^ a ，所以 a ^ b，故 C 正确；
D：若 a ^ b,b //a ，则 a ^ a 或 a / /a 或 a a ，故 D 错误；
故选：C.
31．已知m 是直线，a ，b 是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若m b ，a∥b ，则m a B．若m ^ b ，a ^ b ，则m a
C．若m b ，a ^ b ，则m ^ a D．若m b ，m ^ a ，则a ^ b
【答案】D
【详解】选项 A：根据给定条件有m a 或m a ；
选项 B：根据给定条件有m a 或m a ；
选项 C：根据给定条件有m 与a 的位置可能平行、相交或 m 在 α 内；
选项 D：因为m b ，所以存在直线m' b 使得m' m，
又因为m ^ a ，所以m' ^ a ，因为m' b ，所以a ^ b .
故选：D.
32．设m ， n为两条不同的直线，a ，b 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若m ^ a ， n ^ b ，m//n，则a ^ b B．若m ^ a ，a //b ， n b ，则m ^ n
C．若m / /a ， n//b ，a ^ b ，则m ^ n D．若a ^ b ，a I b = m ，m ^ n，则n ^ a
【答案】B
【详解】
对于 A 中，若m ^ a ， n ^ b ，m//n，则a //b ，故 A 不正确；
对于 B, 若m ^ a ，a //b ，则m ^ b ，若 n b ，则m ^ n，故 B 正确；
对于 C 中，m ， n不一定垂直；
对于 D 中，n//a ，n a或 n与a 相交.
故选：B.
33．（多选）已知m, n是两条不同的直线，a , b 是两个不同的平面，则（ ）
A．若m // a ,m ^ b ，则a ^ b
B．若m a ,n a ，则m 与 n为异面直线
C．若m // n,n // a ，则m // a
D．若m ^ a ,n // a ，则m ^ n
【答案】AD
【详解】对于 A，因为m // a ，所以存在直线 a a ，使得m // a .因为m ^ b ，所以 a ^ b ，所以a ^ b ，
故 A 正确.
对于 B 根据 B 选项的条件直线m 与 n可能相交，也可能为异面直线.故 B 不正确.
根据 C 选项的条件不能排除m a .故 C 不正确
对于 D 因为若 n // a 则存在直线 a a ，使得 n // a，因为m ^ a ,所以m ^ a，所以m ^ n ，故 D 正确.
故选：AD
34．（多选）已知 m、n 为两条不重合的直线，a 、b 为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m ^ a ， n ^ b 且a ∥b ，则m∥n B．若m ^ n，m ^ a ， n ^ b ，则a ^ b
C．若m∥n，n a，a ∥b ，则m∥b D．若m∥n，n ^ a ，a ^ b ，m b ，则m∥b
【答案】ABD
【详解】对于 A，若m ^ a ， a ∥b ，所以m ^ b ，
又 n ^ b 且 m、n 为两条不重合的直线，则m∥n，故 A 正确；
对于 B，若m ^ n，m ^ a ，则n a或 n / /a ，
当n a时，又 n ^ b ，从而a ^ b ，
当 n / /a ，存在平面g ，使得 n g ，且g / /a ，
又 n ^ b ，从而g ^ b ，又g / /a ，所以a ^ b ，故 B 正确；
对于 C，若n a，a ∥b ，则 n / /b ，又m∥n，则m∥b 或m b ，故 C 错误；
对于 D，若m∥n，n ^ a ，则m ^ a ，又 a ^ b ，m b ，所以m∥b ，故 D 正确.
故选：ABD.
重难点 7 证面面垂直
35．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BAC = 90°, AB = AC = 2 2, A1A = A1B = 4, A1AB = A1AC ．
(1)求证：平面 A1BC ^平面 ABC ；
(2)求四棱锥 A1 - C1B1BC 的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)16 3 ．
3
【详解】（1）如图，取BC的中点M ，连接 AM , A1M ，
因为 AB = AC = 2 2, BAC = 90°，所以BC = 4, AM = 2，
因为 A1AB = A1AC, AB = AC ，所以△ABA1≌△ACA1 ，所以 A1B = A1C = 4，
所以 A1M ^ BC, A1M = 2 3 ．
VA 2 2 2在 1AM 中， A1A = 4, A1M = 2 3, AM = 2 ，所以 A1A = AM + A1M ，
所以 A1M ^ AM ，
又 A1M ^ BC, BC I AM = M , BC, AM 平面 ABC ，
所以 A1M ^ 平面 ABC ，
又 A1M 平面 A1BC ，所以平面 A1BC ^平面 ABC ．
1
（2）由（1）可知 A1M ^ 平面 ABC ，VA1 - ABC = V3 ABC- A1B C
，
1 1
所以四棱锥 A1 - C1B1BC 的体积VA -C B BC = VABC- A B C -VA - ABC = 2V1 1 1 1 1 1 1 A1 - ABC
2 1= S
3 VABC
× A1M
2 1 1= 2 2 2 2 2 3 16 3 = ．
3 2 3
36．如图，在几何体中，四边形 ABCD为菱形，对角线 AC 与BD的交点为 O，四边形DCEF 为梯形，
DC∥EF .
(1)若DC = 2EF ，求证：OE / / 平面 ADF ；
(2)若FB = FD ，求证：平面 AFC ^ 平面 ABCD .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）证明：取 AD 的中点G ，连接OG， FG ，
∵O是菱形 ABCD的对角线 AC ，BD的交点，
1
∴OG//DC ，且OG = DC，
2
又∵ EF //DC ，且DC = 2EF ，
∴OG//EF ，且OG = EF ，
从而OGEF 为平行四边形，
∴OE //FG ，
又 FG 平面 ADF ，OE 平面 ADF ，
∴OE // 平面 ADF .
（2）证明：连接OF ，
∵四边形 ABCD为菱形，∴OC ^ BD ，
∵FD = FB，O是BD的中点，∴OF ^ BD ，
又OF IOC = O ，OF ,OC 平面 AFC ，
∴BD ^平面 AFC ，又BD 平面 ABCD，
∴平面 AFC ^ 平面 ABCD .
37．如图，在四棱锥M - ABCD中，MA ^ 平面 ABCD， AD//BC ，CD ^ AD ，BC = 2， AD = DC =1，
点 N 为MB的中点.证明：平面MAB ^ 平面 NAC .
【答案】证明见解析
【详解】因为MA ^ 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，则MA ^ AC ，
取BC中点Q，连接 AQ ，
因为 AD//BC ，BC = 2， AD =1，
则CQ = AD =1，且CQ / / AD ，可知四边形 ADCQ 为平行四边形，
又因为CD ^ AD ， AD = DC =1，可知四边形 ADCQ 为正方形，
则 AQ = BQ =1， AQ ⊥BC，
所以VABQ 为等腰直角三角形，
故 BAQ = CAQ = 45°， BAC = 90°，即 AB ^ AC ，
又MAI AB = A，MA, AB 平面MAB ，可得 AC ^平面MAB ，
因为 AC 平面 NAC，所以平面 NAC⊥平面MAB .
38．如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形 ABCD为正方形，已知PD ^平面 ABCD，且PD = AD，E 为PC
中点．
(1)证明：PA//平面BDE ；
(2)证明：平面PCD ^平面PBC ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接 AC, BD 交于点O，连接OE，
Q四边形 ABCD为正方形，\O 为 AC 中点，又E 为PC中点，\OE //PA，
QOE 平面BDE ，PA 平面BDE ，\PA// 平面BDE .
（2）QPD ^ 平面 ABCD，BC 平面 ABCD，\PD ^ BC ；
Q四边形 ABCD为正方形，\BC ^ CD ；
QPD ICD = D ，PD,CD 平面PCD，\BC ^平面PCD，
Q BC 平面PBC ，\平面PCD ^平面PBC .
39．已知平面五边形 ABCDE 如图 1 所示，其中 AD//BC, AB ^ BC, AD = 2BC = 4 ， AB = 6,△ADE 是正三
角形．现将四边形 ABCD沿 AD 翻折，使得CE = 3 2 ，得到的图形如图 2 所示．求证：平面 ABCD ^平面
ADE ．
【答案】证明见解析
【详解】如图，取 AD 的中点O，连接EO,CO ，
因为VADE 是等边三角形，O为 AD 的中点，所以EO ^ AD ，
因为 AD = 4，所以EO = 42 - 22 = 2 3 ，
因为 AD = 2BC ， ABC = 90°， AD//BC ，
所以四边形 ABCO为矩形，所以CO = AB = 6 ，
又因为CE = 3 2 ，所以CE2 = EO2 + CO2 ，即 EO ^ CO ，
因为EO ^ AD ， EO ^ CO ，CO I AD = O ，CO, AD 平面 ABCD，
所以EO ^平面 ABCD，又因为EO 平面 ADE ，
所以平面 ABCD ^平面 ADE ．
40．如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PB = PD．证明：平面PAC ^平
面 PBD ；
【答案】证明见解析
【详解】连接 AC, BD ， AC 与BD相交于点O，连接PO，
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，则 AC ^ BD ，O为 AC 和BD的中点，
PB = PD，则PO ^ BD，
PO, AC 平面PAC ，PO I AC = O，BD ^平面PAC ，
又因为BD 平面 PBD ，所以平面PAC ^平面 PBD .
重难点 8 利用面面垂直证线面垂直
41．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，M 为 CD 的中点．将△ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM⊥平面
ABCM.点 O 是线段 AM 的中点．求证：
(1)平面 BDO⊥平面 ABCM；
(2)AD⊥BM.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】
证明：（1） 在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，M 为 CD 的中点，∴ AD＝DM.
∵ O 是 AM 的中点，∴ DO⊥AM.
∵ 平面 ADM⊥平面 ABCM，平面 ADM∩平面 ABCM＝AM，∴ DO⊥平面 ABCM，
∵ DO 平面 BDO，∴ 平面 BDO⊥平面 ABCM.
（2） 在矩形 ABCD 中，AB＝2AD，M 为 CD 的中点，
∴ AM＝BM＝ AD＝ AB，则 AM2＋BM2＝AB2，
∴ AM⊥BM.
由（1）知，DO⊥平面 ABCM，
∵ BM 平面 ABCM，∴ DO⊥BM.
∵ DO∩AM＝O，DO 平面 ADM，AM 平面 ADM，
∴ BM⊥平面 ADM.
∵ AD 平面 ADM，∴ AD⊥BM.
42．如图，四棱锥 P- ABCD中， AD∥BC ， BC ^ CD， BC = 2CD = 2AD = 2 2 ，平面 ABCD⊥平面
PAC．
(1)证明：PC ^ AB；
(2)若PA = PC 5= AC ，M 是 PA 的中点，求三棱锥M - ABC 的体积．
2
【答案】(1)证明见解析
(2) 23
【详解】（1）
取 BC 中点 N，连接 AN，则CN = AD = CD = 2 ，又 AD∥CN ，BC ^ CD，
所以四边形 ANCD 为正方形，则 ANB = ANC = 90o， NAC = 45o ，
π π
又在VANB中， AN = BN = 2 ，则 BAN = ，所以 BAC = ，即 AB ^ AC ．4 2
又平面 ABCD⊥平面 PAC，平面 ABCD 平面PAC = AC ， AB 平面 ABCD，
所以 AB ^ 平面PAC ，又PC 面 PAC，所以PC ^ AB．
（2）
连接 DN ，交 AC 于 O，连接OP，
因为 AB ^ 平面PAC ，PO 平面PAC ，所以PO ^ AB
由于 AD∥BN ， AD = BN ，又因为PA = PC ，O为 AC 的中点，所以OP ^ AC ，
又因为 AC 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以PO ^平面 ABCD
所以PA = PC = 5 ，OP = PA2 - AO2 = 5 -1 = 2
S 1 1VABC = 2 2 = 2，V P- ABC = 2 2
4
=
2 三棱锥 3 3
1 2
又因为 M 为 PA 中点，所以VM - ABC = V2 P- ABC
=
3
43．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，平面 A1B1BA ^平面 ABC， AB = AC = AB1 = AA1 = 2 ， AC ^ AB1，D 为 AC
的中点．求证：平面 ACC1A1 ^平面 A1B1BA .
【答案】证明见解析
【详解】取 A1B1 的中点E ，连接 AE ，如下图所示：
由题意可知VAA1B1为等边三角形，则 A1B1 ^ AE ，且 A1B1 //AB ，可得 AB ^ AE ，
因为平面 A1B1BA ^平面 ABC，平面 A1B1BA 平面 ABC = AB， AE 平面 A1B1BA，
所以 AE ^ 平面 ABC，由 AC 平面 ABC，可得 AC ^ AE，
又因为 AC ^ AB1， AE AB1 = A， AE, AB1 平面 A1B1BA，
可得 AC ^平面 A1B1BA，且 AC 平面 ACC1A1 ，
所以平面 ACC1A1 ^平面 A1B1BA .
44．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 为正三角形，点 E，F 分别在棱BB1， AC 上，且
BE 1= BB 11， AF = AC ．3 4
(1)证明：平面C1EF ^平面 ACC1A1 ；
(2)若 AC = AA1 =12，求三棱锥C1 - ECF 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)108 3
【详解】（1）取 AC 的中点G ，过点G 作GH //CC1，交C1F 于点H ，连接 BG，EH，如图．
AF 1由 = AC ，且CG = AG
1 AC GF AF 1= ，则 = = ，
4 2 CF CG + AF 3
GH GF 1
由VFGH :VFC
1
1C ，则 = =CC ，所以GH = CC1，1 CF 3 3
由BE//CC 1 11，且BE = BB1 = CC1可知，GH //BE ，且GH = BE ，3 3
所以四边形 BEHG 是平行四边形，所以EH //BG．
因为VABC 为正三角形，点G 为 AC 的中点，所以BG ^ AC ，
因为平面 ABC 平面 ACC1A1 = AC ，平面 ABC ^ 平面 ACC1A1 ，BG 平面 ABC ，
所以BG ^平面 ACC1A1 ，所以EH ^平面 ACC1A1 ，
又EH 平面C1EF ，所以平面C1EF ^平面 ACC1A1 ．
1 3
（2）因为 AF = AC ，所以CF = AC = 9，又CC1 = AA1 =12，4 4
1
所以 S△CC F = CC CF
1
1 × = 12 9 = 54．1 2 2
3
由（1）知EH ^平面 ACC1A1 ，且EH = BG = AC
3
= 12 = 6 3，
2 2
因为三棱锥C1 - ECF 的体积等于三棱锥E -CC1F的体积，
1 1
所以VC -ECF = VE-CC F = S1 1 3 △CC F
× EH = 54 6 3 =108 3 ．
1 3
45．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = AC, AC ^ BC ，平面 A1BC ^平面 ACC1A1, D1为 A1B1 的中点.
(1)求证： A1C / / 平面BC1D1；
(2)求证：BC ^ AA1 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接B1C 交BC1于点E ，则E 为B1C 的中点，连接D1E ，
因为D1为 A1B1 的中点，所以D1E∥A1C ，
又D1E 平面BC1D1，且 A1C 平面BC1D1，
所以 A1C // 平面BC1D1 .
（2）连接 AC1，因为 AA1 = AC ，所以四边形 ACC1A1 为菱形，
所以 AC1 ^ A1C ，
又平面 A1BC ^平面 ACC1A1 ，平面 A1BC 平面 ACC1A1 = A1C ，
且 AC1 平面 ACC1A1 ，所以 AC1 ^平面 A1BC ，
又BC 平面 A1BC ，所以 AC1 ^ BC ，
因为 AC ^ BC, AC I AC1 = A, AC, AC1 平面 ACC1A1 ，
所以BC ^平面 ACC1A1 ，
又 AA1 平面 ACC1A1 ，所以BC ^ AA1 .
46．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD 为梯形， AB CD，CD = 2AB = 2 2 ，BC = BD ，
PAB = 90°，且在VPAD中， PAD =120°，PA = AD ．
(1)求证： AB ^ PD；
(2)若PA = AD = 2，求四棱锥P- ABCD的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
【详解】（1）
如图，取 CD 的中点 E，连接 BE．
1
∵BC = BD ，∴BE ^ CD．∵ AB CD且 AB = DE = CD ，
2
∴四边形 ABED 是矩形，
∴ AB ^ AD ．
又∵ PAB = 90°，即PA ^ AB ，且 AD PA = A， AD 平面 PAD，PA 平面 PAD，
∴ AB ^ 平面 PAD．
∵ PD 平面 PAD，
∴ AB ^ PD．
（2）由题可得，PA = AD = 2．
又 AB ^ 平面 PAD， AB 平面 ABCD，∴平面PAD ^平面 ABCD．
∵平面PAD 平面 ABCD = AD ，∴过 P 作PH ^ AD于 H，则PH ^平面 ABCD．
∵ PAD =120°，PA = 2 ，∴PH = 3 ．
∴V
1 1 1
P- ABCD = AB + CD AD PH = 3 2 2 3 = 6 ．3 2 6
故四棱锥P- ABCD的体积为 6 ．
重难点 9 求二面角的大小
47．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，棱长为 2, E是CC1 的中点，则二面角E - DB - C 的正弦值为（ ）
A 2． B 3 C 6 3． ． D．
3 3 3 4
【答案】B
【详解】
如图，取BD中点O，连接OE，OC ，
因为 ABCD - A1B1C1D1 为正方体，所以CD = CB ，ED = EB ，
因为O为BD中点，所以OE ^ BD ，OC ^ BD ，
因为平面BDE 平面BDC = BD ，OE 平面BDE ，OC 平面BDC ，
所以 EOC 是二面角E - DB - C 的平面角，
CE = 1，OC = 2 ，OE = 2 +1 = 3 ，
sin EOC CE 1 3 = = = 3，所以二面角E - DB - C 的正弦值为 .
OE 3 3 3
故选：B.
48．三棱锥P - ABC 2 3中，PC ^平面ABC，PC = ， AC = 2，BC = 4， AB = 2 3 ，则二面角P- AB-C
3
的大小为 .
【答案】30°
【详解】由题可得 AC 2 + AB2 = BC 2 ，即 AC ^ AB，
如图：
QPC ^平面 ABC， AB 平面 ABC，\PC ^ AB，
又 AC ^ AB，PC AC = C，PC， AC 平面 PAC，
\ AB ^平面 PAC，
而PA 平面 PAC，\ AB ^ PA，
即 PAC 为二面角P- AB-C 的平面角，
2 3
在直角三角形 PCA 中， tan PAC PC 3 3 ， = = =
CA 2 3
可得 PAC = 30°.
故答案为：30°.
49．如图，已知PD ^平面 ABCD,CD = 2AB = 2AD = 2, AB//CD, AD ^ CD, PC 与底面 ABCD所成角为q ，
且 tanq 6= ．
2
(1)求证：CB ^ 平面 PBD ；
(2)求二面角P - BC - D 的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2) 60o
【详解】（1）
因为PD ^平面 ABCD，CB 平面 ABCD，所以PD ^ CB，
又由已知得， AB ^ AD, BD = 2, BC = 12 + 2 -1 2 = 2,CD = 2，
则BD2 + BC 2 = CD2，即CB ^ BD，
又PD I BD = D, PD, BD 平面 PBD ，
所以CB ^ 平面 PBD ；
（2）
因为CB ^ 平面 PBD ，PB 平面 PBD ，所以CB ^ PB ，
所以 PBD 为二面角P - BC - D 的平面角，
因为PD ^平面 ABCD, PC 与底面 ABCD所成角为q ，
所以 PCD 为PC与底面 ABCD所成角，由 tanq 6= ，得PD = 6 ，
2
在RtVPDB中， tan PBD PD 6= = = 3，则 PBD = 60o，
BD 2
所以二面角P - BC - D 的大小为60o ．
50 ． 如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PA ^平 面 ABCD， 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， ADC = 60°，
PA = AD = 4，E 为 AD 的中点．
(1)求证：平面PCE ^平面PAD ；
(2)求二面角 A - PD - C 的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 42
7
【详解】（1）
由题意，
因为四边形 ABCD为菱形，所以DA＝DC .
连接 AC.
因为 ADC＝60°，
所以△ADC为等边三角形，从而CA＝CD .
在△ADC中，E 是 AD 的中点，
所以CE ^ AD .
因为PA ^平面 ABCD，CE 平面 ABCD，
所以CE ^ PA .
∵PAI AD＝A，PA 面PAD ， AD 平面PAD ，CE 面PAD ，
∴EC ^平面PAD .
又CE 平面PCE ，
∴平面 PCE⊥平面 PAD
（2）由题意及（1）得，
在平面PAD 中，过点E 作EM ^ PD，垂足为M ，连接CM .
因为EC ^平面PAD , PD 平面PAD ，所以EC ^ PD .
又EM ICE＝E , EM 平面EMC ,CE 平面EMC ，所以PD ^平面EMC .
又CM 平面EMC ，所以PD ^ CM ，
从而∠EMC 是二面角 A-PD-C 的平面角．
在 RtVEMD 中，ED＝2 , ADP＝45°，
所以EM = MD = 2 .在 Rt△CMD 中，MD = 2 ，CD = 4，
所以CM = CD2 - MD2 = 14 .
在 Rt△CME 中,
CE = 2 3,sin CE 2 3 42 EMC = = = ,
CM 14 7
42
所以二面角 A-PD-C 的平面角的正弦值为 .
7
51．如图，已知正方形 ABCD所在平面与等腰直角三角形EAB所在平面相互垂直.以 AE 为直径，在平面
EAB内作半圆（半圆位于EA的左侧）.点F 为弧 AE 上的一点.
(1)证明：EF ^ 平面 ADF;
(2)若点F 为弧 AE 的中点，求二面角F - BD - A的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2) 3 11
11
【详解】（1）证明：由于平面 ABCD ^平面EAB，且两平面交线为 AB ， AD 平面 ABCD， AD ^ AB，
所以 AD ^平面EAB，
又EF 平面EAB，
所以EF ^ AD ，
又F 在以 AE 为直径的半圆上，
因此可以得到EF ^ AF .
又因为 AD I AF = A， AD, AF 平面 ADF ，
所以EF ^ 平面 ADF.
（2）
过F 在平面 ABEF 内作FH ^ AB 交BA的延长线于点H ，
则FH ^平面 ABCD，
过H 作GH ^ BD交BD于点G ，连接 FG .
由于FH ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，
所以FH ^ BD ，
又GH ^ BD，GH FH = H ，GH ，FH 平面FGH ，
所以BD ^平面FHG，又 FG 平面FHG，即BD ^ FG ，
又BD ^ GH ，
所以 FGH 就是所求二面角F - BD - A的平面角.
点F 为弧 AE 的中点，设正方形 ABCD的边长为 2 a a > 0 ，则 AB = AE = 2a ， EAF= FAH = 45o ，
则HF = AH = AF sin 45o = AE sin 45o sin 45o 2a 2 2= = a，
2 2
HB = AB + AH = 3a，HG = HB sin 45o 3 2a= ，
2
3a
HG 3 11
在RtVFHG 22中，FG = HF 2 + HG2 = a，所以 cos FGH = = 2 = ，
2 FG 22a 11
2
即二面角F - BD - A 3 11的余弦值为 .
11
52．如图（1），六边形 ABCDEF 是由等腰梯形 ADEF 和直角梯形 ABCD拼接而成，且
BAD = ADC = 90° ， AB = AF = EF = ED = 2, AD = CD = 4，沿 AD 进行翻折，得到的图形如图（2）所
示，且 AEC = 90° .
(1)求证：CD ^平面 ADEF .
(2)求二面角C - AE - D 的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2) 5
5
【详解】（1）在等腰梯形 ADEF 中，作EM ^ AD 于 M，
DM AD - EF则 = =1, AM = 3, EM = 3 ，可得
2 AE = 3+ 9 = 2 3
，
连接 AC，则 AC = 4 2 ，
因为 AEC = 90°，可得EC = 2 5 ，
由 ED 2 + DC 2 = EC 2 ，可得CD ^ ED，
且CD ^ AD, AD ED = D， AD, ED 平面 ADEF ，所以CD ^平面 ADEF .
（2）由（1）可知CD ^平面 ADEF，且 AE 平面 ADEF ，可得CD ^ AE ，
且CE ^ AE ，CE CD = C ，CE,CD 平面CDE ，可得 AE ^ 平面CDE ，
且DE 平面CDE ，可得 AE ^ DE，
又 AE ^ CE ，可知 CED 就是二面角C - AE - D 的平面角，
cos CDE DE 2 5在Rt△CDE ，可得 = = = ，
CE 2 5 5
5
所以二面角C - AE - D 的余弦值为 .
5
重难点 10 面面垂直的存在性问题
53．如图示，正方形 ABCD与正三角形 ADP所在平面互相垂直，Q是 AD 的中点.
(1)求证：PQ ^ BQ；
(2)在线段 AB 上是否存在一点 N，使面PCN ^ 面PQB ？并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点 N ，当 N 为 AB 中点时面PCN ^ 面PQB ，证明见解析
【详解】（1）
QPA = PD ，Q为 AD 的中点．
\PQ ^ AD ，Q平面PAD ^平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD = AD ，PQ 平面PAD ，
\PQ ^ 平面 ABCD，
QBQ 平面 ABCD，
\ PQ ^ BQ．
（2）存在点 N ，当 N 为 AB 中点时，面PCN ^ 面PQB ；
证明如下：
Q四边形 ABCD是正方形，Q为 AD 的中点，则RtVCBN≌RtVBAQ，
所以 ABQ = BCN ，又 ABQ + CBQ = 90°，所以 BCN + CBQ = 90°
\BQ ^ NC ，
由（1）知， PQ ^ 平面 ABCD， NC 平面 ABCD，\PQ ^ NC ，
又 BQIPQ = Q ，BQ, PQ 平面PQB ，\ NC ^平面PQB ，
Q NC 平面PCN ，
\平面PCN ^ 平面PQB ．
54．如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面QAD ^底面
ABCD，M 是QD 的中点．
(1)求证： AM ^ 平面QCD；
BN
(2)在棱BQ上是否存在点 N 使平面 ACN ^平面 ACM 成立？如果存在，求出 NQ ；如果不存在，说明理
由．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 2存在， 3 .
【详解】（1）由侧面QAD是正三角形，M 是QD 的中点，得 AM ^ QD ，
由正方形 ABCD，得CD ^ AD ，而平面QAD ^平面 ABCD，平面QAD 平面 ABCD = AD ，
且CD 平面 ABCD，则CD ^平面QAD，又 AM 平面QAD，于是CD ^ AM ，
而CD QD = D,CD,QD 平面QCD，
所以 AM ^ 平面QCD .
（2）取 AD 的中点E ， AB 的中点 P ，连接PE I AC = O ，连接 PQ，连接QE I AM = G ，连接OG，
于是PE / /BD，由正方形 ABCD，得 AC ^ BD ，则PE ^ AC ，令 AD =12 ，
1 1 3
显然G 是正 AQD 的中心，GE = QE = AD = 2 3 ，QE ^ AD ，
3 3 2
又平面QAD ^平面 ABCD，平面QAD 平面 ABCD = AD ，则QE ^ 平面 ABCD，
AC, PE 平面 ABCD，即有QE ^ PE,QE ^ AC ，而QE I PE = E,QE, PE 平面PQE ，
则 AC ^平面PQE ，OG 平面PQE ，在平面PQE 内过O作OH ^ OG 交 PQ于H ，
显然 AC ^ OH ，而 AC IOG = O, AC,OG 平面 ACM ，因此OH ^平面 ACM ，
连接 AH 并延长交QB 于 N ，连接CN ，于是平面 ACN ^平面 ACM ，
过H 作HF / /QE ，则有HF ^ PE， OHF = EOG ， tan OHF = tan EOG，
OF GE 2 3 6 PF PE= 6 2 6，
HF OE OE = PO = 3 2
，则OF = HF = HF ，又 =HF QE ，PF = HF = HF ，3 2 3 6 3 3
PH PF 1
从而点F 是线段PO的中点， = = QBPQ PE 4 ，过 P 作PT / / AN 交 于T ，
BT BP 1 TN PH 1 BN 2
于是 = = ，即BT = TN ，显然 = =NQ HQ 3 ，因此
=
BN BA 2 NQ 3
，
BN 2
所以在棱BQ上存在点 N 使平面 ACN ^平面 ACM 成立， =NQ 3 .
55．如图，在三棱柱 ABC - A1B o1C1 中，侧面 AA1C1C 是矩形，侧面BB1C1C 是菱形， B1BC = 60 ，D、E
分别为棱 AB 、 B1C1 的中点，F 为线段C1E 的中点.
(1)证明： AF //平面 A1DE ；
(2)在棱BB1上是否存在一点G ，使平面 ACG ^平面BB1C1C ？若存在，请指出点G 的位置，并证明你的结
论；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且点G 为棱BB1的中点
【详解】（1）证明：取 A1C1的中点M ，连接 AM 、EM 、 FM ，
因为 AA1 //BB1 且 AA1 = BB1，故四边形 AA1B1B为平行四边形，所以， AB//A1B1 且 AB = A1B1，
因为D为 AB 的中点，则 AD//A1B1且 AD
1
= A1B1，2
1
因为M 、E 分别为 A1C1、 B1C1 的中点，所以， EM //A1B1 且EM = A2 1
B1 ，
所以， AD//EM 且 AD = EM ，故四边形 ADEM 为平行四边形，所以， AM //DE ，
因为 AM 平面 A1DE ，DE 平面 A1DE ，所以， AM // 平面 A1DE ，
因为M 、F 分别为 A1C1、C1E 的中点，所以，FM //A1E ，
因为FM 平面 A1DE ， A1E 平面 A1DE ，所以，FM // 平面 A1DE ，
因为 AM FM = M ， AM 、FM 平面 AFM ，所以，平面 AFM // 平面 A1DE ，
因为 AF 平面 AFM ，故 AF //平面 A1DE .
（2）解：当点G 为BB1的中点时，平面 ACG ^平面BB1C1C ，
因为四边形 AA1C1C 为矩形，则 AC ^ CC1 ，因为BB1 //CC1 ，则BB1 ^ AC ，
因为四边形BB1C1C 为菱形，则BC = BB1，
因为 B1BC = 60
o
，则VB1BC 为等边三角形，
因为G 为BB1的中点，所以，BB1 ^ CG ，
因为 AC CG = C ， AC 、CG 平面 ACG，所以，BB1 ^ 平面 ACG，
因为BB1 平面BB1C1C ，所以，平面 ACG ^平面BB1C1C ，
因此，当点G 为BB1的中点时，平面 ACG ^平面BB1C1C .
56．在四棱锥P- ABCD中，VPAD是等边三角形，且平面PAD ^平面 ABCD， AD = 2AB = 2BC ，
BAD = ABC = 90o．
(1).在 AD 上是否存在一点 M，使得平面PCM ^平面 ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2).若VPCD 的面积为8 7 ，求三棱锥P - ABC 的体积．
【答案】(1)存在；证明见解析
(2) 32 3
3
【详解】（1）存在，当 M 为 AD 的中点时，平面PCM ^平面 ABCD．
证明：取 AD 的中点 M，连接CM , PM ，
由VPAD是等边三角形，可得PM ^ AD ，
由平面PAD ^平面 ABCD， PM 平面PAD ，
平面PAD 平面 ABCD = AD ，可得PM ^平面 ABCD，
由 PM 平面PCM ，可得平面PCM ^平面 ABCD．
（2）设 AB = a ，可得BC = a, AD = 2a MC = AB = MD = a，
则CD = 2a PD = 2a, PM = 3a，由PM ^ MC ，
可得PC = PM 2 + MC 2 = 3a2 + a2 = 2a，
S 1由 VPCD = × 2a
1
× 4a2 - a2 7= a2 = 8 7 a = 4 .
2 2 2
P ABC V 1 S 1 1 32 3所以三棱锥 － 的体积为 = × V ．P - ABC 3 ABC
× h = 4 4 4 3 =
3 2 3
.
π
57．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是边长为 2的菱形且 ABC = ，PB = PA = 4，
3
PC = 6 ．
(1)求PD的值；
uuur uuur
(2)若BH = l BP ，是否存在l ，使得平面CDH ^平面PAB？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) 10 ；
2
(2)存在，l= .
5
【详解】（1）解：取线段 AB 的中点E ，连接CE 、PE，
因为四边形 ABCD是边长为 2的菱形，则BC = 2，BE =1，
ABC π π因为 = 2 2 2，由余弦定理可得CE = BC + BE - 2BC × BE cos = 3，
3 3
\BE2 + CE2 = BC 2 ，所以BE ^ CE ，即CE ^ AB ，
又QPB = PA且E 是 AB 的中点，\PE ^ AB ,
QPE CE = E ，PE、CE 平面PCE ，\ AB ^平面PCE ，
QPC 平面PCE ，\PC ^ AB，QCD//AB，\PC ^ CD ，
QPC = 6 ，\PD = PC 2 + CD2 = 10 ；
（2）解：过点C在平面PCE 内作CM ^ PE，垂足为点M ，
因为 AB ^ 平面PCE ， AB 平面PAB，
所以，平面PAB ^平面PCE ，
Q平面PAB 平面PCE = PE ，CM 平面PCE ，CM ^ PE，
所以，CM ^平面PAB，
过点M 作HN //AB，分别交PA、 PB于点 N 、H ，
因为CD//AB ，则HN //CD，
所以，C、D、 N 、H 四点共面，
因为CM 平面CDNH ，
所以，平面CDNH ^平面PAB，
因为PA = PB = 4， AE =1，PE ^ AB ，
则PE = PA2 - AE2 = 15 ，
2 2 2
因为CE = 3 ，PC = 6 PC + CE - PE 2，由余弦定理可得 cos PCE = = - ，
2PC ×CE 2
sin PCE 1 cos2 2所以， = - PCE = ，
2
S 1△PCE = PC ×CE sin PCE
1
= CM × PE，
2 2
CM PC ×CE sin PCE 15所以， = = ,
PE 5
\EM = CE2 2 15- CM 2 = ，
5
BH EM 2
因为HN //AB，所以，l = = = .
BP PE 5
