专题3.5空间直线、平面的平行(十个重难点突破)(含答案)2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避(人教A版2019必修第二册)

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名称 专题3.5空间直线、平面的平行(十个重难点突破)(含答案)2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避(人教A版2019必修第二册)
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资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-07-12 09:50:24

文档简介

专题 3.5 空间直线、平面的平行
知识点 1 基本事实 4 与等角定理
1.基本事实 4
①文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
a//bü
②符号表述:
a//c
a//c,作用:证明两条直线平行

2.等角定理
①文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
②符号语言:OA//O A , OB//O B AOB = A O B 或 AOB + A O B =180o
等角定理的两个推论:
(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补;
(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。
作用:判断和证明两个角相等或互补。
3.空间四边形
顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形,叫做空间四边形.
这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;
连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.
知识点 2 直线与平面平行
1.直线与平面的位置关系
叙述 位置关系 记法
一条直线 a 与平面 α 有两个不同的公共点 直线在平面内 a a
直线 a 与平面 α 只有一个公共点 A 直线与平面相交 a a=A
一条直线 a 与平面 α 没有公共点 直线与平面平行 a//a
2.直线与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平 l //m ü

线线平行 线面平行 面内的一条直线平行,那么这条直 m a l //a
l a
线和这个平面平行
3.直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个平面平 l∥a ü

行,经过这条直线的平面和这 l b l∥l
线面平行 线线平行 a I b = l
个平面相交,那么这条直线就
和交线平行
重难点 1 基本事实 4 与空间四边形
1.若 AOB = A1O1B1,且OA//O1A1,OA 与O1A1的方向相同,则(  )
A.OB//O1B1 ,且方向相同 B.OB//O1B1 ,且方向不同
C.OB 与O1B1不平行 D.OB 与O1B1不一定平行
2.当角a 与角b 的两边分别平行,当角a = 40° 时,角 b =
3.已知 ABC=45o , EFM 的两边 EF、FM 分别平行于 ABC 的两边 AB 与 BC.则
EFM = .
4.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是棱CC1 ,BB1及DD1的中点, GBC = 70°,则
ED1F =
5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别是 AB,BB1,BC 的中点,求证:△EFG∽△
C1DA1.
重难点 2 等角定理的应用
6.一平面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行,那么
这四个交点围成的四边形是(  )
A.梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.任意四边形
7.如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 AE : EB = AF : FC ,则 EF 与 B1C1
的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.平行或相交
8.在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别边 AB, BC,CD, DA上的中点,则直线 EG 和 FH 的位置关
系是 .
9.如图,E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 AC=6,BD=4,
AE
则当 = 时,四边形 EFGH 为菱形.
EB
10.如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H 分别是棱的中点,则 EF 与 GH 在原正方体中的位置关系
为 .
11.如图,空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、CD 上的点,且
CF CG
= ,求证:直线 EH 与直线 FG 平行.
CB CD
12.在空间四边形 ABCD中, AD = BC = a,与直线 AD, BC 都平行的平面分别交 AB , AC , C D , BD 于点 E,
F,G,H.
(1)求证:四边形EFGH 是平行四边形;
(2)求四边形EFGH 的周长.
重难点 3 证线面平行
13.如图,点 A,B,C,M,N 为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN / / 平面
ABC 的是( )
A. B. C. D.
14.已知三棱柱 ABC - A1B1C1 中,D,E 分别是 AB, A1C1的中点,有以下四个结论:
①直线BC1∥平面 A1DC ; ②直线DE∥平面BCC1B1;
③直线 A1D∥平面B1EC ; ④直线BC1∥平面 CDE.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
15.如图,四边形 ABCD是圆柱OE的轴截面,点F 在底面圆O上,OB = BF =1,点G 是线段 BF 的中点.
证明: EG//平面DAF .
16.如图,在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,侧棱 AA1的长为 3,底面 ABCD是边长为 2 的正方形,E 是棱
BC的中点.
(1)证明:BD1 / / 平面C1DE ;
(2)求三棱锥 A - C1DE 的体积.
17.设点 A 是△BCD所在平面外一点,点 M,N 分别是VABC 和VACD的重心.求证:MN // 平面
BCD.
18.如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外的一点,E、F 分别是PA、BD上的点且 E、F 分
别是PA、BD的中点.求证:EF // 平面PBC .
重难点 4 利用线面平行证明线线平行
19.如图,已知圆锥的顶点为 S,AB 为底面圆的直径,点 M,C 为底面圆周上的点,并将弧 AB 三等分,
过 AC 作平面a
SN
,使 SB//a ,设a 与 SM 交于点 N,则 的值为(
SM )
1
A B 1
3
. . 2 C
2
. 3 D.3 4
20.已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱和底面边长均为 1,M,N 分别是棱 BC,A1B1 上的点, 且
CM = 2B1N = l , 当 MN / / 平面 AA1C1C 时, l 的值为( )
3 2 1 1A. B. C. D.
4 3 2 3
21.已知正方体 AC1的棱长为 1,点 P 是平面 AA1D1D的中心,点Q是平面 A1B1C1D1的对角线 B1D1上一点,
且PQ∥平面 AA1B1B,则线段 PQ的长为( )
A 1. 2 B
2
. C. 2 D
3

2 2
22.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的边长为 4,点 E 是棱 CD 的中点,P 为四边形CDD1C1 内(包括边界)
的一动点,且满足B1P∥平面BA1E ,则点 P 的轨迹长为( )
A 2. 2 2 B.2 C. D.1
2
23.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD为菱形, BAD = 60°,Q 为 AD 的中点,点 M 在侧棱PC
上且PM = tPC .若PA / / 平面MQB ,试确定实数 t 的值.
24.如图,长方体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形,其侧面展开图是边长为 4 的正方形,E,F 分
别是侧棱 AA1,CC1上的动点,点 P 在棱 AA1上,且 AP =1,若EF / / 平面 PBD,求 EF 的长.
25.如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 是 PD 的中点.
(1)求证:PB / / 平面 EAC.
(2)若 M 是 CD 上异于 C,D 的点,连接 PM 交 CE 于点 G,连接 BM 交 AC 于点 H,求证:GH / /PB .
重难点 5 线面平行的存在性问题
26.如图,四棱锥 A - BCDE 中, N 是BC的中点,四边形BCDE 为平行四边形,且DC ^平面 ABC .试
探究在线段 AE 上是否存在点M ,使得MN // 平面 ACD?若存在,请确定M 点的位置,并给予证明;若
不存在,请说明理由;
27.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, AC = BC = 4,D 是 AC 的中点,E 是 AB 上一点,且
DE ^ AB.将VADE 沿着 DE 折起,形成四棱锥P - BCDE,其中 A 点对应的点为 P.在线段 PB 上是否
PF
存在一点 F,使得CF // 平面 PDE?若存在,指出 的值,并证明;若不存在,说明理由.
PB
28.如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E, F ,G 分别是 AB,CC1, AD 的中点.
(1)证明: EG//平面D1B1C ;
DT
(2)棱CD 上是否存在点T ,使 AT // 平面B1EF ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.DC
29.如图,四棱锥P- ABCD的底面 ABCD为平行四边形,F ,G 分别为PB, AD 的中点.
(1)证明:AF P 平面PCG ;
(2)在线段BD上是否存在一点 N ,使得FN P 平面PCG ,并给出必要的证明.
30.如图是一个以V A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为V ABC.已知AA1=4,BB1=2,
CC1=3.在边 AB 上是否存在一点 O,使得 OC∥平面 A1B1C1.
知识点 3 平面与平面平行
1.平面与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
a//b,b//b ü
一个平面内的两条相交直
线面平行 面面平行 a b=P a //b
线与另一个平面平行 a a,b a
2.平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时和第三 a //b ü

面面平行 线线平行 个平面相交,那么它们的交线 a g=a a //b
b g=b
平行
3.其余推论
①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②夹在两个平行平面间的平行线段相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
重难点 6 平行有关命题的判断
31.下列命题中正确的个数是( )
①如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面;②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥
α,那么 a 与平面 α 内的任何一条直线平行;③如果直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b α,那么 b∥
α.
A.0 B.1 C.2 D.3
32.已知m, n表示两条直线,a , b ,g 表示平面,下列命题中正确的有( )
①若a Ig = m, b Ig = n,且m / /n,则a / /b ;
②若m, n相交且都在平面a , b 外,m / /a ,m / /b ,n / /a ,n / /b ,则a / /b ;
③若m / /a ,m / /b ,则a / /b ;
④若m / /a ,n / /b ,且m//n,则a / /b .
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
33.a ,b 是两个平面,m , n是两条直线,下列四个命题中正确的是( )
A.若m∥n,n∥a ,则m Pa B.若m Pa ,n a,则m∥n
C.若a∥b ,m a ,则m P b D.若m∥n,m a , n b ,则a∥b
34.下列条件中能推出平面a //平面b 的是( )
A.存在一条直线 a, a / /a , a / /b
B.存在一条直线 a, a a , a / /b
C.存在两条平行直线 a,b , a a ,b b , a / /b ,b//a
D.存在两条异面直线 a,b , a a ,b b , a / /b ,b//a
35.已知m, n是不同的直线,a , b 是不同的平面,下列命题中真命题为( )
A.若m a ,n∥a ,则m∥n
B.若m∥a ,m∥b ,则a∥b
C.若a ∥b ,m b ,则m Pa
D.若a ∥b ,m∥a ,则m P b
36.平面a 与平面b 平行的充分条件是( )
A.a 内有无穷多条直线都与b 平行
B.直线 a a ,直线b b ,且 a∥b ,b∥a
C.a 内的任何一条直线都与b 平行
D.直线 a∥a ,a∥b ,且直线 a不在a 内,也不在b 内
重难点 7 证面面平行
37.在正方体 ABCD- A B C D 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是( ).
A.截面 BDC 与截面B D C B.截面 A BC 与截面 ACD
C.截面B D D与截面BDA D.截面 A DC 与截面 AD C
38.如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABED 与四边形 ACFD均为梯形.已知点B,C, E, F 四点共面,且
AB∥DE, AC∥DF .证明:平面 ABC∥平面DEF .
39.在圆柱O1O2 中,等腰梯形 ABCD 为底面圆O1的内接四边形,且 AD = DC = BC =1,矩形 ABFE 是该
圆柱的轴截面,CG 为圆柱的一条母线.求证:平面O1CG// 平面 ADE.
40.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD 是菱形, AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别是棱 PA,PB
的中点,连接 OE,OF,EF.求证:平面OEF // 平面 PCD.
41.如图所示, B 为VACD所在平面外一点,M 、 N 、G 分别为VABC 、△ABD 、△BCD的重心.求证:
平面MNG// 平面 ACD.
重难点 8 利用面面平行证明线面、线线平行
42.如图所示,两条异面直线BA, DC 与两平行平面 α,β 分别交于点 B,A 和 D,C,点 M,N 分别是 AB,CD
的中点,求证:MN / / 平面 α.
43.如图,BF // 平面 ADE,CF //AE .求证: AD//BC .
44.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 3,点E 在棱 AA1上,点F 在棱CC1 上,G 在棱BB1上,且
AE = FC1 = B1G =1, H 是棱 B1C1 上一点.
(1)求证:E, B, F , D1四点共面;
(2)若平面 A1GH ∥平面BED1F ,求证:H 为 B1C1 的中点.
45.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD是正方形,PA ^平面 ABCD, PA = AC = 2 ,点 E 在PD上,
且PE = 2ED.在棱PC上是否存在一点 F,使得BF // 平面 AEC 若存在,求点 F 的位置,若不存在,请
说明理由.
46.如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,侧面 AA1C1C o是矩形,侧面BB1C1C 是菱形, B1BC = 60 ,D、E
分别为棱 AB 、 B1C1 的中点,F 为线段C1E 的中点.证明: AF //平面 A1DE .
47.如图,在多面体 ABCDMP 中,四边形 ABCD是菱形,且PB∥DM .
求证: AM / / 平面PBC .
重难点 9 面面平行的存在性问题
48.如图PA ^平面 ABCD, ABCD是矩形,PA = AB =1, AD = 2,点F 是 PB的中点,点E 是BC边上
的任意一点.当E 是BC的中点时,线段 AB 上是否存在点G ,使得平面EFG// 平面PAC ,若存在指出点
G 位置并证明,若不存在说明理由.
49.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD是平行四边形, AC 交BD于点O,E 是PD上一点且PB//
平面 ACE
(1)证明:E 为PD的中点;
(2)在线段PA上是否存在点F ,使得平面OEF // 平面PBC ,若存在,请给出点F 的位置,并证明,若不
存在,请说明理由.
50.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面四边形 ABCD是平行四边形, AB =1, AD = 2, E, F 分别为棱PC, AB
的中点.
(1)证明:EF // 平面 ADP;
(2)在底面四边形内部(包括边界)是否存在点G ,使得平面GEF // 平面 ADP?如果存在求点G 的位置,
并求 FG 的最大值,如果不存在请说明理由.
51.如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1中,E ,F 分别为线段 AC1, A1C1的中点.
(1)求证:EF / / 平面BCC1B1.
(2)在线段BC1上是否存在一点G ,使平面EFG / / 平面 ABB1A1 请说明理由.
52.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,PB⊥平面 ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段 PB 上是否存
在一点 F,使平面 AFC∥平面 PMD?若存在,请确定点 F 的位置;若不存在,请说明理由.
2p
53.在如图所示的五面体 ABCDEF 中,△ADF 是正三角形,四边形 ABCD 为菱形, ABC = ,EF / /
3
平面 ABCD,AB=2EF=2,点 M 为 BC 中点,在直线 CD 上是否存在一点 G,使得平面 EMG// 平面 BDF ,
请说明理由
重难点 10 平行的综合
54.如图,三棱柱 ABC - A1B1C1中, AB = 4,AC = 3,BC = 5,AA1 = 6,D为CC1中点,E 为BB1上一点,
uuur uuur
BB1 = 3BE, ACD =120 ° ,M 为侧面 AA1C1C 上一点,且BM / /平面 ADE ,则点M 的轨迹的长度为
( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
55.(多选)如图,已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ,点E 、F 、G 分别为棱BC、CC1 、CD 的中点,下列
结论正确的有( )
A. AE 与D1F 共面 B.平面 AB1D1 // 平面GFE
C. AE ^ EF D.BF // 平面 AB1D1
56.(多选)已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E 为棱DD1的中点,O 是正方形 ABCD 的中心,则( )
A.直线OC1与直线CE 相交
B.平面OC1E 截正方体表面为梯形
C.直线BD1∥平面OC1E
D.平面 ABD1∥平面OC1E
57.在正四棱柱 A1B1C1D1 - ABCD中,E 、F、G、H 分别是为棱C1C 、C1D1、DD1、DC 的中点, N 是BC
的中点,点M 在四边形EFGH 上及其内部运动,则M 满足条件 时,有MN / / 平面B1BDD1(或
MN ^ A1C1).
58.如图,已知四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD是边长为 2 的正方形,侧棱 SD ^ 底面 ABCD,且 SD = 4, E
为侧棱 SC 的中点.
(1)求证: SA / / 平面 EDB ;
(2)求三棱锥E - ABD的体积.
(3)若 F 为侧棱 AB 的中点,求证:EF / / 平面 SAD.
59.如图所示正四棱锥 S - ABCD, SA = SB = SC = SD = 2, AB = 2 , P 为侧棱 SD 上的点,且
SP = 3PD ,求:
(1)正四棱锥 S - ABCD的表面积;
(2)若M 为 SA的中点,求证: SC / / 平面BMD;
SE
(3)侧棱 SC 上是否存在一点E ,使得BE / /平面PAC .若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.
EC专题 3.5 空间直线、平面的平行
知识点 1 基本事实 4 与等角定理
1.基本事实 4
①文字语言:平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
a//bü
②符号表述:
a//c
a//c,作用:证明两条直线平行

2.等角定理
①文字语言:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
②符号语言:OA//O A , OB//O B AOB = A O B 或 AOB + A O B =180o
等角定理的两个推论:
(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补;
(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等。
作用:判断和证明两个角相等或互补。
3.空间四边形
顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形,叫做空间四边形.
这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点;
所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边;
连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.
知识点 2 直线与平面平行
1.直线与平面的位置关系
叙述 位置关系 记法
一条直线 a 与平面 α 有两个不同的公共点 直线在平面内 a a
直线 a 与平面 α 只有一个公共点 A 直线与平面相交 a a=A
一条直线 a 与平面 α 没有公共点 直线与平面平行 a//a
2.直线与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果平面外的一条直线和这个平 l //m ü
m a 线线平行 线面平行 面内的一条直线平行,那么这条直 l //a
l a
线和这个平面平行
3.直线与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一条直线和一个平面平 l∥a ü

行,经过这条直线的平面和这 l b l∥l
线面平行 线线平行 a I b = l
个平面相交,那么这条直线就
和交线平行
重难点 1 基本事实 4 与空间四边形
1.若 AOB = A1O1B1,且OA//O1A1,OA 与O1A1的方向相同,则(  )
A.OB//O1B1 ,且方向相同 B.OB//O1B1 ,且方向不同
C.OB 与O1B1不平行 D.OB 与O1B1不一定平行
【答案】D
【详解】在正方体中,如下图所示,则OB//O1B1 ,
如下图所示,则OB与O1B1不平行,
综上所述,D 选项符合.
故选:D
2.当角a 与角b 的两边分别平行,当角a = 40° 时,角 b =
【答案】 40° 或140°
【详解】因为角a 与角b 的两边分别平行,
所以角a 与角b 相等或互补,
又a = 40° ,所以 b = 40° 或 b = 140° .
故答案为: 40° 或140°
3.已知 ABC=45o , EFM 的两边 EF、FM 分别平行于 ABC 的两边 AB 与 BC.则
EFM = .
π 3π
【答案】 或
4 4
π
【详解】由等角定理,如果一个角的两边与另一个角的两边平行,则两个角相等或互补,所以 EFM =
4

或 .
4
π 3π
故答案为: 或 .
4 4
4.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是棱CC1 ,BB1及DD1的中点, GBC = 70°,则
ED1F =
p
【答案】20° /
9
【详解】连接 EF ,如下图所示:
依题意EC //D1G且EC=D1G ,所以四边形ECGD1为平行四边形,
所以GC //D1E ,
同理可得GB//D1F ,
根据空间等角定理可知 ED1F = CGB或 ED1F 与 CGB互补,显然 ED1F 与 CGB不互补,
所以 ED1F = CGB;
由正方体可知,BC ^平面CC1D1D ,而CG 平面CC1D1D ,所以BC ^ CG,
即 BCG = 90o ,又 GBC = 70°,所以 ED1F = CGB = 20
o

故答案为:20°
5.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G 分别是 AB,BB1,BC 的中点,求证:△EFG∽△
C1DA1.
【答案】证明见解析
【详解】
证明:如图所示,连接 B1C.
因为 G,F 分别为 BC,BB1的中点,所以 GF∥B1C.
又 ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以 CD∥AB,A1B1∥AB,所以 CD∥A1B1,
所以四边形 A1B1CD 为平行四边形,所以 A1D∥B1C.
又 B1C∥FG,所以 A1D∥FG.
同理可证 A1C1∥EG,DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF 的两条边分别对应平行且方向相同,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
所以△EFG∽△C1DA1.
重难点 2 等角定理的应用
6.一平面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形只有一条对角线与这个截面平行,那么
这四个交点围成的四边形是(  )
A.梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.任意四边形
【答案】A
【详解】解:根据题意,不妨设该面截空间四边形 ABCD 的四边得到四个交点 E、F、G、H,AC∥平面
EFGH,BD 不平行于平面 EFGH.
因为 AC∥平面 EFGH,AC 平面 ABC,且平面 ABCI平面 EFGH=EF,
所以 AC∥EF,
同理可得:AC∥GH,
所以 GH∥EF;
下面证明 EH 与 FG 不平行.
假设 EH∥FG,由 FG 平面 BCD,EH 平面BCD,得 EH∥平面 BCD,
又因为 EH 平面 ABD,且平面 ABDI平面 BCD=BD,
由线面平行的性质可得:EH∥BD,
又 EH 平面 EFGH,BD 平面EFGH
所以 BD∥平面 EFGH,
与题设 BD 不平行于平面 EFGH 矛盾,
所以 EH 与 FG 不平行,
所以四边形 EFGH 是梯形.
故选:A.
【点睛】
7.如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中,E,F 分别是 AB,AC 上的点,且 AE : EB = AF : FC ,则 EF 与 B1C1
的位置关系是( )
A.异面 B.平行 C.相交 D.平行或相交
【答案】B
【解析】根据线段比例关系,可得直线与直线的平行.结合空间中平行线的传递性即可判断.
【详解】因为在DABC 中, AE : EB = AF : FC
所以EF∥BC
又因为BC P B1C1
所以EF P B1C1
故选:B
【点睛】本题考查了根据线段比例关系证明直线平行,空间中平行线传递性的应用,属于基础题.
8.在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别边 AB, BC,CD, DA上的中点,则直线 EG 和 FH 的位置关
系是 .
【答案】相交
【详解】∵E、F、G、H 分别是四边上的中点,
∴ EF P AC P GH ,即 EF P GH ,
同理可得:EH P GF ,
故 E、F、G、H 四点共面,且EFGH 为平行四边形,则直线 EG 和 FH 的位置关系是相交.
故答案为:相交.
9.如图,E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 AC=6,BD=4,
AE
则当 = 时,四边形 EFGH 为菱形.
EB
3
【答案】 /1.5
2
【详解】解:∵E、F、G、H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 AC=6,BD=
4,
AE AH CF CG 3 3 12
∴当 = = = = 时,EH∥BD∥FG,EF∥AC∥GH,且 EH=GF= BD= ,EF=GH=
BE DH BF DG 2 5 5
2 AC 12= ,
5 5
AE 3
∴当 = 时,四边形 EFGH 为菱形.
BE 2
3
故答案为: .
2
10.如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H 分别是棱的中点,则 EF 与 GH 在原正方体中的位置关系
为 .
【答案】平行
【详解】由题意,将正方体的表面展开图还原构造成正方体,如图所示:
分别取 AB,AA1的中点 Q,P,连接 EP,FQ,PQ,A1B,
由正方体的结构特征可得 EF∥PQ,
又因为点 Q,P,H,G 分别是 AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故 PQ∥A1B,HG∥A1B,
故 PQ∥HG,所以 EF∥GH.
故答案为:平行
11.如图,空间四边形 ABCD,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、CD 上的点,且
CF CG
= ,求证:直线 EH 与直线 FG 平行.
CB CD
【答案】证明见详解
【详解】∵E、H 分别是 AB、AD 的中点,则EH P BD,
CF CG
又∵F、G 分别是 BC、CD 上的点,且 = ,则 FG P BD,
CB CD
∴EH P FG ,
故直线 EH 与直线 FG 平行.
12.在空间四边形 ABCD中, AD = BC = a,与直线 AD, BC 都平行的平面分别交 AB , AC , C D , BD 于点 E,
F,G,H.
(1)求证:四边形EFGH 是平行四边形;
(2)求四边形EFGH 的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2a
【详解】(1)证明:因为直线 AD// 平面EFGH , AD 平面 ABD,平面 ABD 平面EFGH = EH ,所以
AD P EH .
同理得 AD∥FG ,所以 EH ∥FG .同理得EF∥HG,所以四边形EFGH 是平行四边形,
EF AE , EH BE(2)由(1)可知 = = ,两式相加得EF + EH = a ,所以四边形EFGH 的周长为 2a .
a AB a AB
重难点 3 证线面平行
13.如图,点 A,B,C,M,N 为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN / / 平面
ABC 的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】对于 A,如下图所示,
易得 AC / /EF , MN / /EF ,
则MN / / AC,
又MN 平面 ABC , AC 平面 ABC ,
则MN / / 平面 ABC ,故 A 满足;
对于 B,如下图所示,
E 为所在棱的中点,连接EA, EC, EB ,
易得 AE = BC, AE / /BC ,
则四边形 ABCE为平行四边形,
A, B,C, E 四点共面,
又易知MN / /BE ,
又MN 平面 ABC , BE 平面 ABC ,
则MN / / 平面 ABC ,故 B 满足;
对于 C,如下图所示,
点D为所在棱的中点,连接DA, DC, DB ,
易得四边形 ABCD为平行四边形, A, B,C, D 四点共面,
且MN / /BD ,
又MN 平面 ABC , BD 平面 ABC ,
则MN / / 平面 ABC ,故 C 满足;
对于 D,连接 AM , BN ,
由条件及正方体的性质可知四边形 AMNB 是等腰梯形,
所以 AB 与MN 所在的直线相交,
故不能推出MN 与平面 ABC 不平行,故 D 不满足,
故选:D.
14.已知三棱柱 ABC - A1B1C1 中,D,E 分别是 AB, A1C1的中点,有以下四个结论:
①直线BC1∥平面 A1DC ; ②直线DE∥平面BCC1B1;
③直线 A1D∥平面B1EC ; ④直线BC1∥平面 CDE.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【详解】
对于①:如图 1,连接 AC1,交 AC1于点 F,连接 DF,则点 F 是 AC1的中点,又 D 是 AB 的中点,所以
DF∥BC1,因为DF 平面 A1DC ,BC1 平面 A1DC ,所以直线BC1∥平面 A1DC ,所以①正确.
对于②:如图 2,取 BC 的中点 F,连接 DF,C1F ,因为 D 是 AB 的中点,所以DF∥ AC ,且
DF 1= AC ,又EC
1
1 = A
1
1C1 = AC ,EC1∥ AC ,所以DE∥C1F ,DF = EC1 ,所以四边形DFC1E 是平2 2 2
行四边形,所以DE∥C1F ,又C1F 平面BCC1B1,DE 平面BCC1B1,所以直线DE∥平面BCC1B1,故
②正确.
1
对于③:如图 3,取 BC 的中点 F,连接 DF,因为 D 是 AB 的中点,所以DF∥ AC ,且DF = AC ,又
2
A 11E = A
1
2 1
C1 = AC , A2 1
E∥ AC ,所以DF∥ A1E ,DF = A1E ,连接 EF,所以四边形DFEA1是平行四边
形,所以 A1D∥EF ,显然 EF 与平面B1EC 相交,则 A1D与平面B1EC 相交,故③错误.
对于④:如图 4,连接 AC1,交 EC 于点 F,连接 DF,则平面 ABC1 I 平面CDE = DF ,若直线BC1∥平
面 CDE,则DF∥BC1,由于 D 是 AB 的中点,所以点 F 是 AC1的中点,而显然点 F 不是 AC1的中点,矛
盾,故④错误.
故选:B.
15.如图,四边形 ABCD是圆柱OE的轴截面,点F 在底面圆O上,OB = BF =1,点G 是线段 BF 的中点.
证明: EG//平面DAF .
【答案】证明见解析
【详解】证明:取 AF 中点 M,连接DM ,GM ,如图所示,G 为 BF 中点,则GM //AB,
1
又 AB / /DE ,得GM / /DE ,由GM 1= AB2 ,DE = AB,得GM = DE ,2
所以四边形DEGM 为平行四边形,DM / /EG ,
又DM 平面DAF ,EG 平面DAF ,所以EG / / 平面DAF .
16.如图,在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,侧棱 AA1的长为 3,底面 ABCD是边长为 2 的正方形,E 是棱
BC的中点.
(1)证明:BD1 / / 平面C1DE ;
(2)求三棱锥 A - C1DE 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【详解】(1)连接CD1交C1D 于点O,连接OE,
则O为CD1的中点,因为E 为BC的中点,所以OE P BD1 ,
又因为BD1 平面C1DE ,OE 平面C1DE ,所以BD1 / / 平面C1DE .
1 1 1
(2)VA-C DE = VC - ADE = S ADECC1 1 3 △ 1
= 2 2 3 = 2 .
3 2
17.设点 A 是△BCD所在平面外一点,点 M,N 分别是VABC 和VACD的重心.求证:MN // 平面
BCD.
【答案】证明见解析
【详解】
如图,延长 AM , AN ,分别交BC、CD 于点 E 、F, 连接 EF .
QM ,N 分别是VABC 和VACD的重心,
\ AE, AF 分别为VABC 和VACD的中线,
AM AN 2
\ = = ,\MN //EF ,
AE AF 3
又QMN 平面BCD,EF 平面BCD,
所以MN //平面BCD .
18.如图,已知点 P 是平行四边形 ABCD所在平面外的一点,E、F 分别是PA、BD上的点且 E、F 分
别是PA、BD的中点.求证:EF // 平面PBC .
【答案】证明见解析.
【详解】因为在平行四边形 ABCD中,F 是BD的中点,
所以F 是 AC 的中点,
因为 E 是PA的中点,所以EF / /PC ,
又EF 平面PBC ,PC 平面PBC ,
所以EF / / 平面PBC .
重难点 4 利用线面平行证明线线平行
19.如图,已知圆锥的顶点为 S,AB 为底面圆的直径,点 M,C 为底面圆周上的点,并将弧 AB 三等分,
SN
过 AC 作平面a ,使 SB//a ,设a 与 SM 交于点 N,则 的值为(
SM )
1 3
A 1 2. B. 2 C. 3 D.3 4
【答案】C
【详解】连接MB交 AC 于点D,连接 ND, NA, NC ,则平面 NAC即为平面a ,
因为 SB//a ,平面 SMB a = DN , SB 平面 SMB ,
所以 SB//DN ,
因为 AB 为底面圆的直径,点 M,C 将弧 AB 三等分,
1
所以 ABM = BMC = MBC = BAC = 30°,MC = BC = AB,
2
1
所以MC //AB 且MC = AB ,
2
DM MC 1
所以 = = ,
DB AB 2
MN DM 1
又 SB//DN ,所以 = = ,
SN DB 2
SN 2
所以 = .
SM 3
故选:C.
MN DM
【点睛】关键点点睛:根据线面平行得性质及平行线分线段成比例定理得到 = 是解决本题得关
SN DB
键.
20.已知直三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱和底面边长均为 1,M,N 分别是棱 BC,A1B1 上的点, 且
CM = 2B1N = l , 当 MN / / 平面 AA1C1C 时, l 的值为( )
3
A 2 1
1
. B. C. D.
4 3 2 3
【答案】B
【详解】过 N 作 NP / /B1C1交 A1C1于 P ,连接CP ,
因为MC / /B1C1,∴ NP / /MC ,故 N , P, M ,C 共面,
因为MN / / 平面 AA1C1C ,平面MNPC 平面 AA1C1C = CP ,MN 平面MNPC ,
所以MN / / CP ,又 NP / /MC ,
∴四边形MNPC 为平行四边形,
又CM = 2B1N = l ,
∴ NP =1
l
- = l = CM ,
2
2
所以l = .
3
故选:B.
21.已知正方体 AC1的棱长为 1,点 P 是平面 AA1D1D的中心,点Q是平面 A1B1C1D1的对角线 B1D1上一点,
且PQ∥平面 AA1B1B,则线段 PQ的长为( )
A 1. 2 B
2
. C D 3. 2 .
2 2
【答案】B
【详解】连接 AD1 , AB1,则 AD1 过点 P .如图所示
∵PQ∥平面 AA1B1B,平面 AB1D1 I 平面 AA1B1B = AB1,PQ 平面 AB1D1,
∴PQ∥ AB1,∵D1P = PA,
PQ 1 AB 1 2∴ = 1 = 1
2 +12 = .
2 2 2
故选:B.
22.已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的边长为 4,点 E 是棱 CD 的中点,P 为四边形CDD1C1 内(包括边界)
的一动点,且满足B1P∥平面BA1E ,则点 P 的轨迹长为( )
A. 2 2 B 2 C
2
. . D.1
2
【答案】A
【详解】如图,
分别作CC1,C1D1, DD1的中点 G,H,F,连接B1G, B1H ,GH , HE,CD1, A1B, A1F , EF ,
由题可知HE∥CC1∥BB1, HE = CC1 = BB1,
则四边形BB1HE为平行四边形,
QB1H / 平面 BEF,BE 平面BA1E ,\B1H ∥平面BA1E ;
同理可得B1G∥平面BA1E ,∴平面B1GH ∥平面BA1E ,
由题意知P 平面B1GH ,又点 P 为四边形CDD1C1 内(包括边界)的一动点,
\P 线段 GH,点 P 的轨迹为 GH,\GH = 2 2 .
故选:A.
23.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD为菱形, BAD = 60°,Q 为 AD 的中点,点 M 在侧棱PC
上且PM = tPC .若PA / / 平面MQB ,试确定实数 t 的值.
1
【答案】
3
【详解】如图,连接BD, AC, AC 交BQ于点 N ,交BD于点O,连接MN ,易知O为BD的中点.
因为BQ, AO 分别为正三角形 ABD的边 AD, BD 上的中线,
所以 N 为正三角形 ABD的中心.
设菱形 ABCD的边长为 a,
AN 2 AO 2 3 a 3 3则 = = = a , AC = 2AO = 2 a = 3a .
3 3 2 3 2
因为PA / / 平面MQB ,PA 平面PAC ,平面PAC I平面MQB = MN ,
所以PA / /MN .
3
所以 PM AN a 1= = 3 = .
PC AC 3a 3
PM 1即 = PC
1
,所以实数 t 的值为 .
3 3
24.如图,长方体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形,其侧面展开图是边长为 4 的正方形,E,F 分
别是侧棱 AA1,CC1上的动点,点 P 在棱 AA1上,且 AP =1,若EF / / 平面 PBD,求 EF 的长.
【答案】 6
【详解】因为长方体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,其侧面展开图是边长为 4的正方形,所以
AD =1, AA1 = 4,
如图所示,连接 AC 与BD交于点O,连接PO,
在棱 AA1上取PQ = AP =1,连接QC , A1C1,则OP / /CQ OP
1
,且 = QC ,
2
因为EF / / 平面 PBD,且EF 平面 A1ACC1 ,平面 A1ACC1 平面BPD = OP ,
所以EF / /OP,所以EF / /QC ,
又因为QE / / CF ,所以四边形 QEFC 是平行四边形,所以EF = QC = 2OP,
2

在直角△APO中, AP =1, AO = 12 AC =
2 2 6,所以
2 OP = 1
2 + 2 ÷÷
= ,
è 2
EF 2 6所以 = = 6 .
2
25.如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 是 PD 的中点.
(1)求证:PB / / 平面 EAC.
(2)若 M 是 CD 上异于 C,D 的点,连接 PM 交 CE 于点 G,连接 BM 交 AC 于点 H,求证:GH / /PB .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】(1)连接BD交 AC 于O,连接EO,
因为四边形 ABCD是平行四边形,所以O为BD中点,
又因为E 为PD中点,所以EO是△PBD 的中位线,
所以EO / /PB ,
又因为EO 平面 EAC , PB 平面 EAC ,
所以PB / / 平面 EAC .
(2)因为PB / / 平面 EAC ,平面EAC I平面PBM = GH ,PB 平面PBM ,
所以GH / /PB .
重难点 5 线面平行的存在性问题
26.如图,四棱锥 A - BCDE 中, N 是BC的中点,四边形BCDE 为平行四边形,且DC ^平面 ABC .试
探究在线段 AE 上是否存在点M ,使得MN // 平面 ACD?若存在,请确定M 点的位置,并给予证明;若
不存在,请说明理由;
【答案】存在,M 为 AE 的中点,证明见解析
【详解】在线段 AE 上存在点M ,且M 为 AE 的中点,使得MN // 平面 ACD .
证明如下:
取 AD 得中点G ,连接CG ,GM ,MN .
因为M 为 AE 的中点,
1
所以GM // DE ,且GM = DE .
2
因为 N 为BC的中点,且四边形BCDE 为平行四边形,
1
所以CN // DE ,且CN = DE ,
2
所以GM // CN ,且GM = CN ,
所以四边形CNMG 为平行四边形.
所以GC // MN .
因为GC 平面 ACD,MN 平面 ACD,
所以MN // 平面 ACD .
27.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, AC = BC = 4,D 是 AC 的中点,E 是 AB 上一点,且
DE ^ AB.将VADE 沿着 DE 折起,形成四棱锥P - BCDE,其中 A 点对应的点为 P.在线段 PB 上是否
PF
存在一点 F,使得CF // 平面 PDE?若存在,指出 的值,并证明;若不存在,说明理由.
PB
PF 1
【答案】存在, =
PB 3
PF 1
【详解】当 = 时,CF // 平面 PDE,证明如下:
PB 3
过点 C 作CH ^ ED ,交ED的延长线于H ,
在 PE 上取一点 M,使得PM
1
= PE ,连接 HM,FM,
3
1 1 1
因为PM = PE ,PF = PB ,所以FM //EB 且FM = EB ,
3 3 3
1
因为 D 是 AC 的中点,且DE ^ AB,所以CH //EB 且CH = EB ,
3
所以CH //FM 且CH = FM ,所以四边形 CFMH 是平行四边形,即CF //HM ,
又因为CF 平面 PDE,HM 平面 PDE,所以CF // 平面PDE .
28.如图,在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E, F ,G 分别是 AB,CC1, AD 的中点.
(1)证明: EG//平面D1B1C ;
DT
(2)棱CD 上是否存在点T ,使 AT // 平面B1EF ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.DC
【答案】(1)证明见解析
DT 1
(2)存在, =
DC 4
【详解】(1)连接BD, B1D1,CD1,
QE,G 分别为 AB, AD中点,\EG//BD ,
QBB1 //DD1,BB1 = DD1 ,\四边形BDD1B1为平行四边形,\BD//B1D1,
\EG//B1D1,又EG 平面D1B1C ,B1D1 平面D1B1C ,
\ EG// 平面D1B1C .
(2)假设在棱CD 上存在点T ,使得 AT // 平面B1EF ,
延长 BC, B1F 交于H ,连接EH 交DC 于K ,
QCC1 //BB1,F 为CC1 中点,\C 为BH 中点,
1 1
QCD//AB,\KC //AB ,\KC = EB = DC ,
2 4
Q AT //平面B1EF , AT 平面 ABCD,平面B1EF 平面 ABCD = EK ,
1
\ AT //EK ,又TK //AE ,\四边形 ATKE 为平行四边形,\TK = AE = DC ,
2
1
\DT = KC = DC ;
4
\ DT 1当 = 时, AT // 平面B
DC 4 1
EF .
29.如图,四棱锥P- ABCD的底面 ABCD为平行四边形,F ,G 分别为PB, AD 的中点.
(1)证明:AF P 平面PCG ;
(2)在线段BD上是否存在一点 N ,使得FN P 平面PCG ,并给出必要的证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在,证明见解析
【详解】(1)证明:取PC中点H ,连接GH , FH ,在VPBC中,F 为 PB的中点,
FH 1\ ∥ BC .
2
1
QG 为 AD 的中点,\ AG P BC,\ AG P FH , AG = FH ,
2
即四边形 AGHF 为平行四边形,\ AF∥GH .
Q GH 平面PCG, AF 平面PCG,\ AF P 平面PCG .
(2)设BD CG = O,取OB中点K ,连接FK ,则在VPOB中,
Q F , K 分别是OB, PB的中点,
\FK ∥OP
QOP 平面PCG, FK 平面PCG ,
\FK P 平面PCG .
QVDOG 与VBOC 相似,且相似比为1: 2,
\BO = 2DO = 2KB
\K 为BD的三等分点.
\ N 在K 点位置时满足FN P 平面PCG .
即点 N 在线段BD靠近 B 端的三等分点时符合题意.
30.如图是一个以V A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为V ABC.已知AA1=4,BB1=2,
CC1=3.在边 AB 上是否存在一点 O,使得 OC∥平面 A1B1C1.
【答案】存在
【详解】存在,取 AB 的中点 O,连接 OC,作 OD∥AA1交 A1B1于点 D,连接 C1D,则 OD∥BB1∥CC1.
因为 O 是 AB 的中点,
所以 OD= 12 (AA1+BB1)=3=CC1,则四边形 ODC1C 是平行四边形,所以 OC∥C1D.
又 C1D 平面 C1B1A1,且 OC 平面 C1B1A1,
所以 OC∥平面 A1B1C1.
即在边 AB 上存在一点 O,使得 OC∥平面 A1B1C1.
知识点 3 平面与平面平行
1.平面与平面平行的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
a//b,b//b ü
一个平面内的两条相交直
线面平行 面面平行 a b=P a //b
线与另一个平面平行 a a,b a
2.平面与平面平行的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果两个平行平面同时和第三 a //b ü

面面平行 线线平行 个平面相交,那么它们的交线 a g=a a //b
b g=b
平行
3.其余推论
①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②夹在两个平行平面间的平行线段相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
重难点 6 平行有关命题的判断
31.下列命题中正确的个数是( )
①如果 a,b 是两条直线,a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面;②如果直线 a 和平面 α 满足 a∥
α,那么 a 与平面 α 内的任何一条直线平行;③如果直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α,b α,那么 b∥
α.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【详解】
可借助正方体来判断.如图,在正方体 ABCD-A B C D 中, AA ∥BB , AA 在过BB 的平面 ABB A 内,
故命题①不正确;
AA ∥平面BCC B ,BC 平面BCC B ,但 AA 不平行于 BC,故命题②不正确;
运用反证法,假设 b 与 α 不平行,则有:
(1)b 与a 相交,因为 a / /b,所以 a 与 α 相交,这与 a∥a 矛盾,
(2)b a ,这与题设b a 矛盾,故假设不成立,即 b∥a ,故命题③正确.
故选:B.
32.已知m, n表示两条直线,a , b ,g 表示平面,下列命题中正确的有( )
①若a Ig = m, b Ig = n,且m / /n,则a / /b ;
②若m, n相交且都在平面a , b 外,m / /a ,m / /b ,n / /a ,n / /b ,则a / /b ;
③若m / /a ,m / /b ,则a / /b ;
④若m / /a ,n / /b ,且m//n,则a / /b .
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】A
【详解】
对于①,若a Ig = m, b Ig = n,且m//n,则a / /b 或相交,故①错误;
对于③和④,a 与b 也可能相交,均错误;
对于②,设m, n相交确定平面g ,根据线面平行的判定定理知a // g , b // g ,根据平行平面的传递性得知
a / /b .
故选:A.
33.a ,b 是两个平面,m , n是两条直线,下列四个命题中正确的是( )
A.若m∥n,n∥a ,则m Pa B.若m Pa ,n a,则m∥n
C.若a∥b ,m a ,则m P b D.若m∥n,m a , n b ,则a∥b
【答案】C
【详解】A 项:若m//n,n//a ,则m / /a 或m a ,故选项 A 不正确;
B 项:若m / /a ,n a,则m//n或 m 与 n 异面,故选项 B 不正确;
C 项:若a //b ,则a 与b 没有公共点,又因为m a ,所以 m 与b 没有公共点,所以m / /b ,故选项 C
正确;
D 项:若m//n,m a ,n a,则a //b 或a 与b 相交,故选项 D 不正确.
故选:C.
34.下列条件中能推出平面a //平面b 的是( )
A.存在一条直线 a, a / /a , a / /b
B.存在一条直线 a, a a , a / /b
C.存在两条平行直线 a,b , a a ,b b , a / /b ,b//a
D.存在两条异面直线 a,b , a a ,b b , a / /b ,b//a
【答案】D
【详解】A.如图所示: ,存在一条直线 a, a / /a , a / /b ,但平面a 与平面b 相交,
故错误;
B.如图所示: ,存在一条直线 a, a a , a / /b ,但平面a 与平面b 相交,故错
误;
C. 如图所示: ,存在两条平行直线 a,b , a a ,b b , a / /b ,b//a ,但平面a
与平面b 相交,故错误;
D.如图所示: ,在平面b 内过 b 上一点 P 作 c//a ,则 c//a ,又b//a ,且
b I c = P ,所以a //b ,故正确;
故选:D
35.已知m, n是不同的直线,a , b 是不同的平面,下列命题中真命题为( )
A.若m a ,n∥a ,则m∥n
B.若m∥a ,m∥b ,则a∥b
C.若a ∥b ,m b ,则m Pa
D.若a ∥b ,m∥a ,则m P b
【答案】C
【详解】解:由题知,不妨将m, n ,a , b 放在长方体中可知,
关于选项 A,如图所示可知 A 错误,
关于选项 B,如图所示可知 B 错误,
关于选项 D,如图所示可知 D 错误,
根据面面平行的性质定理可知,选项 C 正确.
故选:C
36.平面a 与平面b 平行的充分条件是( )
A.a 内有无穷多条直线都与b 平行
B.直线 a a ,直线b b ,且 a∥b ,b∥a
C.a 内的任何一条直线都与b 平行
D.直线 a∥a ,a∥b ,且直线 a不在a 内,也不在b 内
【答案】C
【详解】C 选项是面面平行的定义,A,B,D 中,平面a 与平面b 相交时都有可能满足.
故选:C.
重难点 7 证面面平行
37.在正方体 ABCD- A B C D 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面是( ).
A.截面 BDC 与截面B D C B.截面 A BC 与截面 ACD
C.截面B D D与截面BDA D.截面 A DC 与截面 AD C
【答案】B
【详解】
如图,选项 A、B、C、D 分别对应图 1、图 2、图 3、图 4.
对于 A,BC 与B C 相交,截面 BDC 与B D C 相交,故 A 错误;
对于 B, 截面 A BC 与 ACD 平行.证明:因为 A D / /BC, A D =BC ,
所以四边形 BCD A 为平行四边形,
所以 A B / /D C ,又 A B 平面 A BC ,D C 平面 A BC ,
所以D C / / 平面 A BC ,
同理可证 AC / / 平面 A BC , AC I D C = C , AC, D C 平面 ACD ,
所以平面 A BC / /平面 ACD .故 B 正确;
对于 C,截面B D D与BDA 相交于 D 点,故 C 错误;
对于 D, A D 与 AD 相交,截面 A DC 与 AD C 相交,故 D 错误;
故选:B.
38.如图,多面体 ABCDEF 中,四边形 ABED 与四边形 ACFD均为梯形.已知点B,C, E, F 四点共面,且
AB∥DE, AC∥DF .证明:平面 ABC∥平面DEF .
【答案】证明见解析
【详解】证明:四边形 ABED 与四边形 ACFD均为直角梯形,
且有 AB∥DE , AC∥DF ,
因为 AB 平面DEF ,DE 平面DEF ,所以 ABP平面DEF ,
同理可得 AC∥平面DEF ,
因为 AB, AC 平面 ABC ,且 AB AC = A,
所以平面 ABC∥平面DEF ,得证.
39.在圆柱O1O2 中,等腰梯形 ABCD 为底面圆O1的内接四边形,且 AD = DC = BC =1,矩形 ABFE 是该
圆柱的轴截面,CG 为圆柱的一条母线.求证:平面O1CG// 平面 ADE.
【答案】证明见解析
【详解】在圆柱O1O2 中, AE∥CG , AE 平面O1CG ,CG 平面O1CG ,
故 AE / / 平面O1CG ;
连接DO1,因为等腰梯形 ABCD为底面圆O1的内接四边形, AD = DC = BC =1,
π
故 AO1D = CO1D = BO1C = ,3
则VAO1D
π
为正三角形,故 O1AD = CO1B = ,则 AD∥O1C ,3
AD 平面O1CG ,O1C 平面O1CG ,故 AD// 平面O1CG ;
又 AE AD = A,AE,AD 平面 ADE ,
故平面 ADE / / 平面O1CG .
40.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD 是菱形, AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别是棱 PA,PB
的中点,连接 OE,OF,EF.求证:平面OEF // 平面 PCD.
【答案】证明见解析
【详解】由于点E ,F 分别是棱PA, PB的中点,所以EF //AB,
因为 ABCD为菱形, AB//CD ,\ EF //CD ,
CD 平面PCD,EF 平面PCD,故EF // 平面PCD,
又O是BD的中点,所以FO//PD , PD 平面PCD,FO 平面PCD,故FO// 平面PCD,
由于FO EF = F ,FO, EF 平面OEF ,所以平面OEF // 平面PCD .
41.如图所示, B 为VACD所在平面外一点,M 、 N 、G 分别为VABC 、△ABD 、△BCD的重心.求证:
平面MNG// 平面 ACD.
【答案】证明见解析
【详解】如图
记 AC,CD, AD的中点分别为E, F , H ;连接EF , FH , HE ;连接BE, BF , BH ;
因为M ,G 分别为VABC 、△BCD的重心,
BM BG 2
所以 = = ,所以MG / /EF ,
BE BF 3
因为MG 平面 ACD,EF 平面 ACD,
所以MG / / 平面 ACD .
同理GN / /平面 ACD,
又MG I GN = G ,MG,GN 平面MNG ,
所以平面MNG / / 平面 ACD.
重难点 8 利用面面平行证明线面、线线平行
42.如图所示,两条异面直线BA, DC 与两平行平面 α,β 分别交于点 B,A 和 D,C,点 M,N 分别是 AB,CD
的中点,求证:MN / / 平面 α.
【答案】证明见解析
【详解】
如图,过点A 作 AE / /CD 交a 于点E ,取 AE 的中点 P ,连接MP, PN , BE, ED, AC .
因为 AE / /CD ,所以 AE,CD确定平面 AEDC .
则平面 AEDC Ia = DE,平面 AEDC I b = AC ,
因为a / /b ,所以 AC / /DE .
又 P, N 分别为 AE,CD的中点,
所以PN / /DE ,
因为PN a , DE a ,
所以PN / /a .
又M , P分别为 AB, AE 的中点,
所以MP / /BE,且PM a , BE a .
所以PM / /a ,
因为PM I PN = P, PM , PN 面 PMN ,
所以平面PMN / /a .
又MN 平面 PMN ,
所以MN / / 平面a .
43.如图,BF // 平面 ADE,CF //AE .求证: AD//BC .
【答案】证明见解析
【详解】
∵CF //AE ,CF 平面 ADE, AE 平面 ADE,∴CF // 平面 ADE.
∵BF // 平面 ADE,BF CF = F ,BF ,CF 平面 BCF,
∴平面 ADE // 平面BCF .
又平面 ADE I平面 ABCD = AD ,平面BCF 平面 ABCD = BC ,
∴ AD//BC .
44.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 3,点E 在棱 AA1上,点F 在棱CC1 上,G 在棱BB1上,且
AE = FC1 = B1G =1, H 是棱 B1C1 上一点.
(1)求证:E, B, F , D1四点共面;
(2)若平面 A1GH ∥平面BED1F ,求证:H 为 B1C1 的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】(1)证明:在DD1上取一点 N ,使得 DN = 1,
连接CN , EN ,则 AE = DN =1,CF = ND1 = 2,
因为CF∥ND1 ,所以四边形CFD1N 是平行四边形,
所以D1F∥CN ,
同理,四边形DNEA是平行四边形,所以EN P AD ,且EN = AD,
又BC∥AD,且 AD = BC ,所以EN ∥BC, EN = BC ,
所以四边形CNEB是平行四边形,所以CN∥BE ,
所以D1F∥BE,
所以E, B, F , D1四点共面.
(2)因为平面 A1GH P 平面BED1F ,平面 BB1C C I平面 A1HG = HG1 ,平面 BB1C1C I平面BED1F = BF ,
所以BF∥HG .
所以 B1GH = FBG = CFB .
BC 3
在RtVBCF 中, tan CFB = = ,
CF 2
在RtVHB1G 中, tan B GH
B1H
1 = = BB 1
H ,
1G
B H 3所以 1 = ,即H 为 B1C1 的中点.2
45.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD是正方形,PA ^平面 ABCD, PA = AC = 2 ,点 E 在PD上,
且PE = 2ED.在棱PC上是否存在一点 F,使得BF // 平面 AEC 若存在,求点 F 的位置,若不存在,请
说明理由.
【答案】当F 是棱PC的中点时,BF // 平面 AEC ,证明见解析
【详解】当F 是棱PC的中点时,BF // 平面 AEC ,证明如下:
取PE的中点M ,连接FM , BM , BD,记 AC 与BD交于点 O,连接EO.
易得FM / /CE,QFM 平面 AEC,CE 平面 AEC,\FM / / 平面 AEC .
由PE = 2ED, M 是PE的中点,知E 是MD 的中点,
由四边形 ABCD是正方形,知 O 为BD的中点,所以BM / /OE ,
BM 平面 AEC,OE 平面 AEC,\BM / / 平面 AEC .
又QFM I BM = M ,FM , BM 平面BFM ,∴平面BFM //平面 AEC ,
QBF 平面BFM ,\BF / / 平面 AEC .
46.如图,在三棱柱 ABC - A1B o1C1 中,侧面 AA1C1C 是矩形,侧面BB1C1C 是菱形, B1BC = 60 ,D、E
分别为棱 AB 、 B1C1 的中点,F 为线段C1E 的中点.证明: AF //平面 A1DE .
【答案】证明见解析
【详解】证明:如图所示:
取 A1C1的中点M ,连接 AM 、EM 、 FM ,
因为 AA1 //BB1 且 AA1 = BB1,故四边形 AA1B1B为平行四边形,
所以 AB//A1B1 且 AB = A1B1,
1
因为D为 AB 的中点,所以 AD//A1B1且 AD = A1B1,2
因为M 、E 分别为 A1C1、 B1C1 的中点,
1
所以 EM //A1B1 且EM = A1B1 ,2
所以 AD//EM 且 AD = EM ,故四边形 ADEM 为平行四边形,
所以 AM //DE ,
因为 AM 平面 A1DE ,DE 平面 A1DE ,
所以 AM // 平面 A1DE ,
因为M 、F 分别为 A1C1、C1E 的中点,
所以FM //A1E ,
因为FM 平面 A1DE , A1E 平面 A1DE ,
所以FM // 平面 A1DE ,
因为 AM FM = M , AM 、FM 平面 AFM ,
所以平面 AFM // 平面 A1DE ,
因为 AF 平面 AFM ,故 AF //平面 A1DE .
47.如图,在多面体 ABCDMP 中,四边形 ABCD是菱形,且PB∥DM .
求证: AM / / 平面PBC .
【答案】证明见解析
【详解】
因为四边形 ABCD是菱形,
所以 AD∥BC ,
又 AD 平面PBC ,BC 平面PBC ,
所以 AD// 平面PBC ,
因为PB∥DM ,PB 平面PBC ,DM 平面PBC ,
所以DM / / 平面PBC ,
又因为 AD MD = D, AD, MD 平面 ADM ,
所以平面 ADM //平面PBC ,
又 AM 平面 AMD ,
所以 AM / / 平面PBC .
重难点 9 面面平行的存在性问题
48.如图PA ^平面 ABCD, ABCD是矩形,PA = AB =1, AD = 2,点F 是 PB的中点,点E 是BC边上
的任意一点.当E 是BC的中点时,线段 AB 上是否存在点G ,使得平面EFG// 平面PAC ,若存在指出点
G 位置并证明,若不存在说明理由.
【答案】存在G 为 AB 中点使面EFG// 面PAC ,理由见解析
【详解】存在G 为 AB 中点,使得平面EFG// 平面PAC ,理由如下:
当G 为 AB 中点,连接FG,GE, EF , AC ,
又F 是 PB的中点,E 是BC的中点,
所以EF //PC ,FG//PA,
而EF 平面PAC ,PC 平面PAC ,所以EF // 平面PAC ,
同理可证FG//面PAC ,
又EF FG = F ,即平面EFG// 平面PAC ,
综上,G 为 AB 中点时平面EFG// 平面PAC .
49.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面 ABCD是平行四边形, AC 交BD于点O,E 是PD上一点且PB//
平面 ACE
(1)证明:E 为PD的中点;
(2)在线段PA上是否存在点F ,使得平面OEF // 平面PBC ,若存在,请给出点F 的位置,并证明,若不
存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在,F 为PA中点
【详解】(1)
连接BD,设 AC I BD = O ,连接OE,
因为PB// 平面 AEC ,PB 平面 PBD ,平面PBD I平面 AEC = EO,
所以 PB//EO ,又底面 ABCD为平行四边形,所以O为BD的中点,
所以E 为PD的中点.
(2)
存在,F 为PA中点时,平面OEF // 平面PBC ,
因为F 为PA中点,E 为PD的中点,所以EF //AD,
由于BC //AD ,所以 EF //BC ,
由于EF 平面PBC ,BC 平面PBC ,
所以EF // 平面PBC ,
同理可证得OE // 平面PBC ,
由于OE I EF = E,OE, EF 平面OEF ,
所以平面OEF // 平面PBC .
50.如图,在四棱锥P- ABCD中,底面四边形 ABCD是平行四边形, AB =1, AD = 2, E, F 分别为棱PC, AB
的中点.
(1)证明:EF // 平面 ADP;
(2)在底面四边形内部(包括边界)是否存在点G ,使得平面GEF // 平面 ADP?如果存在求点G 的位置,
并求 FG 的最大值,如果不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在,理由见解析, FG 的最大值为 2
【详解】(1)证明:取PD的中点O,连接 AO,OE .
1
QVPCD 中,O, E 分别为PD, PC 的中点,\OE //CD,OE = CD,
2
QE F 分别为PC AB的中点,\ AF //CD, AF
1
= CD ,\ AF //OE, AF = OE,
2
故四边形 AFEO 为平行四边形,\EF //OA,
QEF 平面PAD,OA 平面PAD ,\EF //平面PAD .
(2)解:取CD 中点为V ,连接VF ,VE ,
在VPCD 中,V , E 分别为CD, PC 的中点,\VE //PD ,
QVE 平面PAD, PD 平面PAD ,\VE // 平面PAD .
因为 AB//CD 且 AB = CD,且F 、V 分别为 AB 、CD 的中点,所以, AF //VD且 AF = VD ,
所以,四边形 AFVD 为平行四边形,\VF //AD ,且VF = AD = 2,
QVF 平面PAD, AD 平面PAD ,\VF // 平面PAD .
又VF VE = V ,且VF ,VE 平面VEF ,故平面VEF // 平面PAD .
所以点G 存在,且G VF ,即点G 在线段VF 上移动,可使平面GEF // 平面 ADP,
当点G 运动到V 时,此时 FG 的最大值,最大值为 2.
51.如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1中,E ,F 分别为线段 AC1, A1C1的中点.
(1)求证:EF / / 平面BCC1B1.
(2)在线段BC1上是否存在一点G ,使平面EFG / / 平面 ABB1A1 请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在,理由见解析
【详解】(1)证明:因为E ,F 分别为线段 AC1A1C1的中点所以EF / / A1 A.因为B1B / / A1A,所以 EF / / B1
B.又因为EF 平面BCC1B1,B1B 平面BCC1B1,所以EF / / 平面BCC1B1.
(2)取BC1的中点G ,连接GE ,GF.因为E 为 AC1的中点所以GE / / AB.
因为GE 平面 ABB1A1, AB 平面 ABB1A1,所以GE // 平面 ABB1A1,
同理可得,EF / / 平面 ABB1A1,又因为EF I EG = E ,EG,EF 平面EFG ,所以平面EFG / / 平面
ABB1A1
故在线段BC1上存在一点G ,使平面EFG / / 平面 ABB1A1.
52.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,PB⊥平面 ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段 PB 上是否存
在一点 F,使平面 AFC∥平面 PMD?若存在,请确定点 F 的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】存在,点 F 是 PB 的中点,证明见解析
【详解】当点 F 是 PB 的中点时,平面 AFC∥平面 PMD,
证明如下:如图连接 BD 与 AC 交于点 O,连接 FO,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴O 是 BD 的中点,∴OF∥PD.
又 OF 平面 PMD,PD 平面 PMD,
∴OF∥平面 PMD.
又 MA∥PB 且 PB=2MA.
∴PF∥MA 且 PF=MA,
∴四边形 AFPM 是平行四边形,∴AF∥PM.
又 AF 平面 PMD,PM 平面 PMD,
∴AF∥平面 PMD.
又 AF∩OF=F,AF 平面 AFC,OF 平面 AFC,
∴平面 AFC∥平面 PMD.
ABC 2p53.在如图所示的五面体 ABCDEF 中,△ADF 是正三角形,四边形 ABCD 为菱形, = ,EF / /
3
平面 ABCD,AB=2EF=2,点 M 为 BC 中点,在直线 CD 上是否存在一点 G,使得平面 EMG// 平面 BDF ,
请说明理由
【答案】存在且 G 为CD 中点,理由见解析.
【详解】连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OM,OF,取 CD 的中点 G,连接 GM,GE,
因为EF // 平面 ABCD,EF 平面 ABEF,平面 ABEF∩平面 ABCD=AB,所以EF //AB,
因为OM //AB//EF ,OM
1
= AB = EF ,所以四边形 OMEF 是平行四边形,
2
所以OF //EM ,因为EM 平面 BDF,OF 平面 BDF,所以EM // 平面 BDF.
因为点 G 与点 M 分别为 CD 与 BC 的中点,所以GM //BD,
因为GM 平面 BDF,BD 平面 BDF,所以GM // 平面 BDF,
而 GM∩EM=M,平面EMG// 平面 BDF.
所以存在且 G 为CD 中点,使平面EMG// 平面BDF .
重难点 10 平行的综合
54.如图,三棱柱 ABC - A1B1C1中, AB = 4,AC = 3,BC = 5,AA1 = 6,D为CC1中点,E 为BB1上一点,
uuur uuur
BB1 = 3BE, ACD =120 ° ,M 为侧面 AA1C1C 上一点,且BM / /平面 ADE ,则点M 的轨迹的长度为
( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
【答案】C
【详解】由题意知,BE = 2,CD = 3,在CD 上取点M1 ,使得M1D = 2, M1C =1,
则M1D / /BE且M1D = BE,所以四边形 BEDM1为平行四边形,
故BM1 / /DE,又 BM1 平面 ADE ,DE 平面 ADE ,
所以 BM1 / / 平面 ADE .
在 AC 上取点M 2 ,使得M 2 A = 2, M 2C =1,
M1C M 2C 1
有 = = ,所以VCMM D M A 2 1
M 2 :VCDA,则M1M 2 / / AD ,
1 2
又M1M 2 平面 ADE , AD 平面 ADE ,
所以M1M 2 / / 平面 ADE ,又 BM1 I M1M 2 = M1, BM1、M1M 2 平面 BM1M 2 ,
所以平面 BM1M 2 / / 平面 ADE ,则点 M 的轨迹为线段M1M 2 .
在VCM1M 2 中,CM1 = CM 2 =1, M1CM 2 =120°,由余弦定理,
得M M = M B21 2 1 + M 2B
2 - 2M1B × M 2Bcos120
° = 3,
即点 M 的轨迹长度为 3 .
故选:C
55.(多选)如图,已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ,点E 、F 、G 分别为棱BC、CC1 、CD 的中点,下列
结论正确的有( )
A. AE 与D1F 共面 B.平面 AB1D1 // 平面GFE
C. AE ^ EF D.BF // 平面 AB1D1
【答案】AB
【详解】如下图所示:
对于 A 选项,连接BC1,
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, AB//C1D1 且 AB = C1D1,
所以,四边形 ABC1D1为平行四边形,则BC1 //AD1,
因为E 、F 分别为BC、CC1 的中点,则EF //BC1,故EF //AD1,
所以, AE 与D1F 共面,A 对;
对于 B 选项,因为BB1 //DD1且BB1 = DD1 ,所以,四边形 BB1D1D为平行四边形,
则BD//B1D1,
又因为E 、G 分别为BC、CD 的中点,则EG//BD,所以, EG//B1D1,
因为EG 平面 AB1D1,B1D1 平面 AB1D1,所以, EG//平面 AB1D1,
同理可证EF // 平面 AB1D1,
因为EF I EG = E , EF 、EG 平面EFG ,所以,平面EFG// 平面 AB1D1,B 对;
对于 C 选项,不妨设 ABCD的棱长为 2,则 AE = AB2 + BE2 = 4 +1 = 5 ,
EF = CE2 + CF 2 = 1+1 = 2 , AC = AB2 + BC 2 = 4 + 4 = 2 2 ,
因为CC1 ^ 平面 ABCD, AC 平面 ABCD,则CC1⊥AC ,
所以, AF = AC 2 + CF 2 = 8 +1 = 3,
所以, AE2 + EF 2 AF 2,故 AE 、 EF 不垂直,C 错;
对于 D 选项,假设BF // 平面 AB1D1,
又因为EF // 平面 AB1D1,EF I BF = F , EF 、 BF 平面BB1C1C ,
所以,平面BB1C1C // 平面 AB1D1,
事实上,平面BB1C1C 与平面 AB1D1不平行,假设不成立,D 错.
故选:AB.
56.(多选)已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E 为棱DD1的中点,O 是正方形 ABCD 的中心,则( )
A.直线OC1与直线CE 相交
B.平面OC1E 截正方体表面为梯形
C.直线BD1∥平面OC1E
D.平面 ABD1∥平面OC1E
【答案】BC
【详解】直线OE与直线CC1 异面,所以直线OC1与直线CE 异面,所以 A 错误;
如图,
在平面CDD1C1 中,延长CD 和C1E 交于点 P,
连接PO交 AD ,BC分别于点 M,N,
则四边形C1EMN 就是平面OC1E 截正方体表面所得图形,
因为平面B1C1CB / / 平面 A1D1DA,平面B1C1CB 平面C1EMN = C1N ,
平面 A1D1DA 平面C1EMN = ME ,
所以C1N∥EM ,又因为C1E 与MN 相交,
所以四边形C1EMN 为梯形,所以 B 正确;
因为O是BD的中点,E 为棱DD1的中点,
所以BD1∥OE ,BD1 平面OC1E ,
所以BD1∥平面OC1E ,所以 C 正确;
因为C1N∥EM ,C1N 与 AD1 不平行,所以 AD1 与EM 不平行,
由面面平行性质定理,知平面 ABD1与平面OC1E 不平行,所以 D 错误.
故选:BC.
57.在正四棱柱 A1B1C1D1 - ABCD中,E 、F、G、H 分别是为棱C1C 、C1D1、DD1、DC 的中点, N 是BC
的中点,点M 在四边形EFGH 上及其内部运动,则M 满足条件 时,有MN / / 平面B1BDD1(或
MN ^ A1C1).
【答案】点 M 在线段 FH 上
【详解】解:如图所示:
取 B1C1 中点 Q,连接 QN,QF,连接 FH,
由已知得 QN,FH 与CC1 、BB1都平行且相等,因此 FH 与 QN 平行且相等,
从而FONH 是平行四边形,则FQ // HN ,
又H ,N 分别是CD,CB中点,则HN / /BD ,HN 平面B1BDD1,BD 平面B1BDD1,
∴HN / / 平面B1BDD1,同理 NQ / /平面B1BDD1,
而HN I NQ = N ,HN ,NQ 平面FONH ,
∴平面FQNH // 平面 BB1D1D,
因此只要M FH ,就有MN / / 平面B1BDD1.
故答案为:点 M 在线段 FH 上
58.如图,已知四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD是边长为 2 的正方形,侧棱 SD ^ 底面 ABCD,且 SD = 4, E
为侧棱 SC 的中点.
(1)求证: SA / / 平面 EDB ;
(2)求三棱锥E - ABD的体积.
(3)若 F 为侧棱 AB 的中点,求证:EF / / 平面 SAD.
【答案】(1)证明见解析
4
(2)
3
(3)证明见解析
【详解】(1)
连接 AC 交BD于 O,连接OE,
QE 为侧棱 SC 的中点,O 是 AC 的中点,
\OE∥SA,
QSA / 平面EDB,OE 平面 EDB ;
\SA / / 平面 EDB .
(2)QE 为侧棱 SC 的中点,
\ E 到平面 ABCD的距离等于 S 到平面 ABCD的距离的一半,
\ E 到平面 ABCD h
1
的距离 = SD = 2,
2
1
\VE- ABD = SVABD × h3
1 1 4= 2 2

÷ × 2 =3 è 2 3
(3)
法 1:设 M 为侧棱 SD 的中点,连结ME, EF , AM ,
QE 为侧棱 SC 的中点,F 为侧棱 AB 的中点,
\ME∥DC, ME 1= DC ,
2
Q AF∥DC, AF 1= DC ,
2
\ME∥ AF , ME = AF
\四边形 AFEM 为平行四边形,
\EF∥AM ,
QEF 平面 SAD, AM 平面 SAD;\EF / /平面 SAD.
法 2:
设 G 为侧棱 SB 的中点,连结EF ,GE,GF .
QE 为侧棱 SC 的中点,G 为侧棱 SB 的中点,
\EG∥BC, EG 1= BC ,
2
Q AD∥BC, AD = BC
\EG∥ AD, EG 1= AD
2
QEG / 平面EDB, AD 平面 SAD;
\EG / / 平面 SAD.同理可证GF / / 平面 SAD.
\EG IGF = G,且EG,GF 都在平面GEF 内; SAI AD = A,且 SA, AD 都在平面 SAD内,
所以平面EFG / / 平面 SAD.
QEF 平面EFG,\EF / / 平面 SAD.
59.如图所示正四棱锥 S - ABCD, SA = SB = SC = SD = 2, AB = 2 , P 为侧棱 SD 上的点,且
SP = 3PD ,求:
(1)正四棱锥 S - ABCD的表面积;
(2)若M 为 SA的中点,求证: SC / / 平面BMD;
SE
(3)侧棱 SC 上是否存在一点E ,使得BE / /平面PAC .若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.
EC
【答案】(1) 2 7 + 2
(2)证明见解析
SE
(3)在侧棱 SC 存在点E ,使得BE / /平面PAC , = 2
EC
【详解】(1)在正四棱锥 S - ABCD 中, SA = SB = SC = SD = 2, AB = 2 ,
2
则正四棱锥侧面的高为 h = 22 - ( )2 14= ,
2 2
1 14
所以正四棱锥的表面积为 S = 4 2 + 2 2 = 2 7 + 2;
2 2
(2)如图,连接BD交 AC 于点 O,连接MO, BM , DM ,则 O 为 AC 的中点,
当 M 为 SA 的中点时,OM / /SC ,
又OM 平面BMD, SC 平面BMD,
所以 SC / / 平面BMD;
SE
(3)在侧棱 SC 上存在点 E,使得BE / /平面PAC ,满足 = 2 .
EC
理由如下:
取 SD 的中点 Q,由 SP = 3PD ,得PQ = PD,
过 Q 作PC的平行线交 SC 于 E,连接BQ, BE ,
△BDQ 中,有BQ / /PO,又PO 平面PAC , BQ 平面PAC ,
SQ SE SQ
所以 BQ / / 平面PAC ,由 = 2 ,得 = = 2QP EC QP .
又QE / /PC ,又PC 平面PAC ,QE 平面PAC ,
所以QE / /平面PAC ,又 BQ I QE = Q, BQ、QE 平面BEQ ,
所以平面BEQ / / 平面PAC ,而BE 平面BEQ ,
所以 BE / / 平面PAC .