专题 3.9 立体中的外接球和内切球
题型一 长方体及墙角模型
题型二 对棱相等及共斜边模型
题型三 柱体模型
题型四 线面垂直模型
题型五 正锥模型
题型六 面面垂直模型
题型七 折叠模型
题型八 台体模型
题型九 内切球模型
题型一 长方体及墙角模型
1．已知一个正方体的外接球的体积为36π，则正方体的体积为 .
2．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为 2，1，1，那么这个球的表面积是 ．
3．已知 S , A, B,C 是球 O 表面上不同的点， SA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ， AB = 1，BC = 2 ，若球O的体积
4π
为 ，则 SA =（
3 ）
A 2． B．1 C． 2 D． 3
2
4．三棱锥P - ABC 2 3 6的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是 、 、 ，则该三棱锥的外接球的
2 2 2
体积是（ ）
A 2 π B 8 2． ． π C． 6π D．8 6π
3 3
5．已知正三棱锥P - ABC 的侧棱PA， PB，PC两两互相垂直，且PA = PB = PC = a ，则其外接球的表面
积为（ ）
A．3a2π B． 3a2π C．12a2π D． 4 3a2π
π
6．已知三棱锥P - ABC 的底面 ABC 为直角三角形，且 ACB = .若PA ^平面 ABC ，且 AB = 3， PA = 4 ，
2
V
三棱锥P - ABC 的所有顶点均在球O的球面上，记球O的体积和表面积分别为V ，S，则 =（ ）S
5 5 5 5
A． B． C． D．
12 6 3 2
7．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC = AB = 4， AA1 = 6， BAC = 90°，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为（ ）
A．17π B．51π C．68π D．244π
题型二 对棱相等及共斜边模型
8．在三棱锥 S - ABC 中， SA = BC = 5， SB = AC = 41， SC = AB = 34 ，则该三棱锥的外接球表面积是
（ ）
A．50π B．100π C．150π D．200π
9．已知矩形 ABCD的边长分别为 1， 3，沿对角线 AC 折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表
面积为 ．
10．在三棱锥P - ABC 中，PA = PB = AC = BC = 3 ，PC = AB = 2，则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积
为（ ）
A．20π B．12π C．5π D．4π
11．如图，在四面体 ABCD中， ACB = ADB = 90°， AB = 2，则四面体 ABCD外接球的表面积为（ ）
A．2π 8πB．4π C．8π D． 3
12．已知三棱锥 S - ABC 的四个顶点都在球O的球面上，且 SA = BC = 2 ， SB = AC = 7 ， SC = AB = 5 ，
则球O的表面积是 ．
题型三 柱体模型
13．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 ^ 底面 ABC ，DABC 是正三角形，若 AA1 = 2AB = 2 3 ，则该三棱柱外
接球的表面积为（ ）
32p
A． B．8p C．16p D．64π
3
14．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 （侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱）中， AB = AC =1， AA1 = 2，
BAC 2p= ，则三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的体积为（ ）3
A 8p B 4 2π C 8 2p
8p
． ． ． D．
3 3 3
15．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 ^ 平面 ABC ， ABC = 90°，BA = BC = BB1 =1， P 是矩形BCC1B1内一
动点，满足PA2 + PC 2 = 2，则三棱锥P - ABC 外接球体积为 .
16．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知 AA1 ^ 平面 ABC，BC = 3， AA1 = 8， BAC = 30°，则该三棱柱外接球
的表面积为 .
17．已知圆柱内接于球，当圆柱的侧面积与球的表面积之比最大时，圆柱与球的体积之比为 .
18．已知球 O 的表面积为 100 π，某个高为 6 的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积
为 ．
题型四 线面垂直模型
AD 2MP 4, MP AP, MP DP, APD 519．在三棱锥D - APM 中， = = ^ ^ = p ，则三棱锥D - APM 的外接球
6
的体积为（ ）
A．68 17p B．28 17p
C 68 17p D 17 17p． ．
3 3
20．已知在三棱锥P - ABC 中，PA = 3 ， PB = PC = 2，底面 ABC 是边长为 1 的正三角形，则该三棱锥的外
接球表面积为（ ）
13π
A．3π B． C．4π D．6π
3
21．在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，底面VABC 为正三角形，三棱锥M - ABC 的体积为 6，VABC
的外接圆半径为 2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
28π
A． 28π B 28 7π． C．
3 28 7π
D．
3
22．三棱锥P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，VABC 为等边三角形，且 AB = 3，PA = 2 ，则该三棱锥外接球的
表面积为（ ）
32π
A．8π B．16π C． D．12π
3
23．在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，底面VABC 是边长为 2 3 的正三角形，二面角M - BC - A的
π
大小为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 .
4
24．已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球O的表面上，且 SA ^ 平面
ABC, SA = 3 3, ABC π= , AC = 2 3, M 是边BC上一动点，直线 SM 与平面 ABC 所成角的正切值的最大值
3
为 3，则球O的表面积为 .
题型五 正锥模型
25．在正三棱锥 A - BCD中，BC = CD = DB = 2 ， AB = AC = AD = 3，则三棱锥 A - BCD的外接球表面积
为（ ）
27π 27π
A． B．9π 27πC． D．
2 5 4
26．已知正三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为3p ，若PA ^平面 PBC，则三棱锥P - ABC 的体积为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 3 48 24
27．已知正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
28．已知正四棱锥的底面边长为 4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则四棱锥的最大体
积为 .
29．已知正四棱锥 S - ABCD 的底面边长为3 2 ，侧棱SA与底面 ABCD所成的角为 45°，顶点 S，A，B，C，
D 在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 .
169π
30．已知球内接正四棱锥P- ABCD的高为3， AC 、BD相交于O，球的表面积为 ，若E 为PC中点.
9
(1)求证：OE // 平面PAD ；
(2)求三棱锥C - EOB 的体积.
题型六 面面垂直模型
31．已知四面体 A - BCD的各顶点均在球O的球面上，平面 ABC ^ 平面BCD，
AB = BC = AC = CD = 2, BC ^ CD ，则球O的表面积为（ ）
28π
A． B．14π C． 28π D．32π
3
32．已知四面体 ABCD的各顶点都在同一球面上，若 AB = BC = CD = DA = BD = 2 3 ，平面 ABD ^平面BCD，
则该球的表面积是（ ）
A．100π B． 40π C．20π D．16π
33．在三棱锥P - ABC 中，侧面PAB是等边三角形，平面PAB ^平面 ABC ， AB ^ BC 且 AB = BC = 2，则
三棱锥P - ABC 外接球的表面积为（ ）
1372π 196π 28π 7π
A． B． C． D．
81 9 3 3
34．如图①所示，四边形PACB是由一个边长为 3的等边VABC 与另外一个VPAB 拼接而成，现沿着直线 AB
进行翻折，使得平面 PAB ^平面 ABC ，连接 PC 3，得到三棱锥 P - ABC ，如图②所示．若 PA = ，
2
PB 3= ，则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为（ ）
2
2π 4π
A． B． C．2π D．4p
3 3
35．已知三棱锥 S - ABC 的底面是边长为 3 的等边三角形，且 SA = AB ， SAB =120°，平面 SAB ^ 平面
ABC ，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
36．在三棱锥 A - BCD中，BC ^ BD， AB = AD = BD = 4 3 ，BC = 6，平面 ABD ^平面BCD，则三棱锥
A - BCD的外接球体积为 ．
题型七 折叠模型
37．已知在VABC 中， AC ^ BC ， AC = 2， B = 30°，D 是 AB 的中点，沿着 CD 将VACD折起，使得点 A
折叠到点 A1的位置，则当三棱锥 A1 - BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
13π 52π
A． B．12π C．16π D．
3 3
38．如图，把两个完全相同的直三角尺 SBC ， SAC 斜边重合，沿其斜边 SC 折叠形成一个 120°的二面角，其
中 SA = SB = 2，且 AB = 3 ，则空间四边形SABC外接球的表面积为（ ）
16p 20p
A． 4p B． C．3p D．
3 3
39．已知菱形 ABCD中，对角线 AC、BD 交于点O， BD = 2，将△ABD 沿着BD折叠，使得 AOC = 60°，
AC = 3 ，则三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为 .
40．已知等边 VABC 的边长为 2，AD 为 BC 边上的高，以 AD 为折痕进行折叠，使得二面角 B - AD - C 为
2π
，则三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为 .
3
41．已知VABC 中， AB = AC = 2, BC = 2 2, AD为BC边上的高线，以 AD 为折痕进行折叠，使得二面角
2π
B - AD - C 为 ，则三棱锥 A - BCD的外接球半径为 .
3
题型八 台体模型
42．已知正四棱台 ABCD - EFGH 的上底面积为 16，下底面积为 64，且其各个顶点均在半径R = 57 的球 O
的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2 B．8 C．2 或 12 D．4 或 8
43．已知某正四棱台上底面的边长为 2 2 ，下底面的边长为 4 2 ，外接球的表面积为80π ，则该正四棱台
的体积为 .
44．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木
料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意
趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为5 2 ，两个底边长分别为 4 2 和
3 2 ，则该米斗的外接球的表面积是 ．
45 14 3．如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中， A1B1 = 2 ， AB = 2 2 ，该棱台体积V = ，则该棱台外接3
球的表面积为 ．
46．在三棱台 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC, BC = 6, A1B1 = A1C1 = 4 2 ， AA1 = 5 2 ，平面 BB1C1C ^平面 ABC ，
则该三棱台外接球的体积为 ．
题型九 内切球模型
47．已知圆锥PO的顶点为 P ，其三条母线PA， PB，PC两两垂直．且母线长为 6．则圆锥PO的内切球表
面积与圆锥侧面积之和为（ ）
A．12(10 - 3 6)π B． 24(20 - 7 6)π
C． 60(8 - 3 6)π D．3(40 - 7 6)π
48．如图，已知四棱锥P- ABCD的底面是边长为 2 的菱形，O为 AC, BD 的交点，PO ^平面 ABCD，
PBA = ABC = 60°，则四棱锥P- ABCD的内切球的体积为（ ）
A 6π B 6π C 6π D 6π． ． ． ．
2 4 8 16
49．已知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的上底面面积为12，其内切球体积为36π，则该正四棱台的表面积为
（ ）
A．312 B．328 C．362 D．368
50．正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 1，则三棱锥 A1 - BCD 内切球的表面积为（ ）
4π 4π 4π 16π
A． 22 3 B．+ 2 2 +1 2 2 22 3 2 C．+ +1 3 + 2 2 +1 D． 3 + 2 2 +1
51 2．已知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的内切球半径 r = , AB = 2A1B1，则异面直线 A1B1 与DD1所成角的余2
弦值为
52．在三棱锥P - ABC 中，VPAB ，VPBC，△PAC ，△ABC 的面积分别 3，4，12，13，且
APB = BPC = APC ，则其内切球的表面积为 ．专题 3.9 立体中的外接球和内切球
题型一 长方体及墙角模型
题型二 对棱相等及共斜边模型
题型三 柱体模型
题型四 线面垂直模型
题型五 正锥模型
题型六 面面垂直模型
题型七 折叠模型
题型八 台体模型
题型九 内切球模型
题型一 长方体及墙角模型
1．已知一个正方体的外接球的体积为36π，则正方体的体积为 .
【答案】 24 3
【详解】记正方体棱长为 a，外接球半径为 R，
4πR3
则 = 36π ，解得R = 3，
3
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，
所以 2R 2 = 3a2 = 36，解得 a = 2 3 ，
所以，正方体的体积为 a3 = 2 3 3 = 24 3 .
故答案为： 24 3
2．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为 2，1，1，那么这个球的表面积是 ．
【答案】6π
【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为 2r = 22 +12 +12 = 6 ，
2
故这个球的表面积是 S = 4πr 2 = π 2r = 6π .
故答案为：6π
3．已知 S , A, B,C 是球 O 表面上不同的点， SA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ， AB =1，BC = 2 ，若球O的体积
4π
为 ，则 SA =（
3 ）
A 2． B．1 C． 2 D． 3
2
【答案】B
【详解】因为 SA ^ 平面 ABC ， AB ^ BC ，
所以四面体 S - ABC 的外接球半径等于以 SA, AB, BC 为长宽高的长方体的顶点的外接球，
4π 4π 4π 3
又球O的体积为 ，即 = R ，所以R =1，
3 3 3
所以 2R = 1+ 2 + SA2 = 2 ，
所以 SA =1 .
故选：B.
4 2 3 6．三棱锥P - ABC 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是 、 、 ，则该三棱锥的外接球的
2 2 2
体积是（ ）
A 2 π B 8 2． ． π C． 6π D．8 6π
3 3
【答案】C
【详解】三棱锥P﹣ABC 的三条侧棱PA、 PB、PC 两两互相垂直，
它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，
设PA = a ，PB = b，PC = c ，
1 ab 2 1 bc 3 1则 = ， = ， ca 6= ，
2 2 2 2 2 2
解得， a = 2 ，b =1， c = 3 .
则长方体的对角线的长为 6 .
6
所以球的直径是 6 ，半径长R = ，
2
4
则球的表面积 S = πR3 = 6π ，
3
故选：C.
5．已知正三棱锥P - ABC 的侧棱PA， PB，PC 两两互相垂直，且PA = PB = PC = a ，则其外接球的表面
积为（ ）
A．3a2π B． 3a2π C．12a2π D． 4 3a2π
【答案】A
【详解】因为正三棱锥P - ABC 的侧棱PA， PB，PC 两两互相垂直，且PA = PB = PC = a ，
如图将正三棱锥放到如下棱长为 a正方体中，则正三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
a2 + a2 + a2 3a
则正方体的外接球的半径R = = ，
2 2
2
2 3a 所以外接球的表面积 S = 4πR = 4π 2 ÷÷
= 3πa2 .
è
故选：A
π
6．已知三棱锥P - ABC 的底面 ABC 为直角三角形，且 ACB = .若PA ^平面 ABC ，且 AB = 3， PA = 4 ，
2
三棱锥P - ABC
V
的所有顶点均在球O的球面上，记球O的体积和表面积分别为V ，S ，则 =（
S ）
5 5 5 5
A． B． C． D．
12 6 3 2
【答案】B
π
【详解】因为VABC 为直角三角形且 ACB = ，则 AC ^ BC ，
2
又PA ^平面 ABC ， AB, BC 平面 ABC ，则PA ^ AB, PA ^ BC ，
而PA AC = A, PA, AC 平面PAC ，于是BC ^平面PAC ，又PC 平面PAC ，
因此PC ^ BC ，取PB中点O1，连接CO1, AO1，则O1A = O1P = O1B = O1C ，
从而点O1即为球O的球心O，设三棱锥P - ABC 外接球的半径为 R ，
2R 2 5则 = AB2 + PA2 ，即 4R2 = 32 + 42 = 25，所以R = ，2
4
V πR
3
则 = 3 R 5= = .
S 4πR2 3 6
故选：B
7．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC = AB = 4， AA1 = 6， BAC = 90°，且三棱柱的所有顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为（ ）
A．17π B．51π C．68π D． 244π
【答案】C
【详解】Q三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱垂直于底面，
AC = AB = 4， AA1 = 6， BAC = 90°，
\可将棱柱 ABC - AA1B1C1补成长方体，且长方体的长宽高分别为 4,4,6.
\长方体的对角线 42 + 42 + 62 = 68 ，即为球的直径.
\ R 68球的半径 = ，
2
2
\球的表面积为 S = 4πR2
4π 68
= ÷÷ = 68π .
è 2
故选：C．
题型二 对棱相等及共斜边模型
8．在三棱锥 S - ABC 中， SA = BC = 5， SB = AC = 41， SC = AB = 34 ，则该三棱锥的外接球表面积是
（ ）
A．50π B．100π C．150π D． 200π
【答案】A
【详解】因为 SA = BC = 5, SB = AC = 41, SC = AB = 34 ，
所以可以将三棱锥 S - ABC 如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，
ìa2 + b2 = 41
2 2
则有 ía + c = 25，整理得 a2 + b2 + c2 = 50 ，
b
2 + c2 = 34
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有 a2 5 2+ b2 + c2 = 50 = 2R 2 R = ，
2
2
5 2
所以所求的球体表面积为： S = 4πR2 = 4 π ÷÷ = 50π．
è 2
故选：A．
9．已知矩形 ABCD的边长分别为 1， 3，沿对角线 AC 折起，使四个顶点都在同一个球面上，则该球的表
面积为 ．
【答案】4π
【详解】将长方形 ABCD沿对角线 AC 折起，使顶点A ， B ，C ，D落在同一个球面上，
取 AC 中点O，则OA = OB = OC = OD，
\ 1该球的半径为 R = OA = AC
1
= 1+ 3 = 1
2 2 ，
该球的表面积为 S = 4πR2 = 4π ．
故答案为：4π．
10．在三棱锥P - ABC 中，PA = PB = AC = BC = 3 ，PC = AB = 2，则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积
为（ ）
A．20π B．12π C．5π D．4π
【答案】C
【详解】如图，将三棱锥P - ABC 转化为长方体，
可知三棱锥P - ABC 的外接球即为长方体的外接球，
ìa2 + b2 = 4
2 2
则 ía + c = 3 ，可得 a2 + b2 + c2 = 5，
b
2 + c2 = 3
a2 + b2 + c2 5
则外接球的半径R = = ，
2 2
2
5
所以三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为 4πR2 = 4π ÷÷ = 5π .
è 2
故选：C.
11．如图，在四面体 ABCD中， ACB = ADB = 90°， AB = 2 ，则四面体 ABCD外接球的表面积为（ ）
A． 2π B．4π
8π
C．8π D． 3
【答案】B
【详解】由题设，若O是 AB 中点，又 ACB = ADB = 90°，故OA = OB = OC = OD，
1
所以O是四面体外接球的球心，且半径为OA = OB = OC = OD = AB =1，
2
所以外接球的表面积为 4π 12 = 4π .
故选：B
12．已知三棱锥 S - ABC 的四个顶点都在球O的球面上，且 SA = BC = 2 ， SB = AC = 7 ， SC = AB = 5 ，
则球O的表面积是 ．
【答案】8π
【详解】将三棱锥 S - ABC 放入长方体中，设长方体的长宽高分别为 a,b,c，如图所示：
ìa2 + b2 = 5
则 ía2 + c2 = 7 ，则 a2 + b2 + c2 = 8，
2
b + c
2 = 4
因为球O的直径即为长方体的体对角线，
O a
2 + b2 + c2
则球 的半径为 = 2 ，
2
2
所以球O的表面积是 4π 2 = 8π .
故答案为：8π .
题型三 柱体模型
13．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 ^ 底面 ABC ，DABC 是正三角形，若 AA1 = 2AB = 2 3 ，则该三棱柱外
接球的表面积为（ ）
32p
A． B．8p C．16p D．64π
3
【答案】C
1
【详解】设球心为O，DABC 的中心为O1，则OO1 = AA2 1
= 3 ，
O 3 2 2 21A = 3 =1，球的半径R = O1O + O1A = 2，2 3
所以球的表面积为 S = 4p R2 =16p .
故选：C
【点睛】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.
14．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 （侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱）中， AB = AC =1， AA1 = 2，
BAC 2p= ，则三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的体积为（ ）3
8p
A．8p B 4 2π C 8 2p． ． D．
3 3 3
【答案】C
【详解】如图：
直三棱柱 ABC - A1B1C1 的外接球的球心 O 为DABC 与DA1B1C1外接圆圆心G 与G1连线的中点，设DABC 的外
BC
r = 2r
3
= = 2
接圆半径为 ，在DABC 中，由余弦定理得BC = 3 ，由正弦定理得 sin BAC 3 ，得 r =1，所以
2
直三棱柱 ABC - A1B1C1 的外接球的径为 R = 12 +12 = 2 ，三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的体积为
V 4p 8 2p= R3 = .
3 3
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是球的体积，解题关键是正确找到外接球的球心，考查空间想象能力和运算能
力，属于常考题.
15．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 ^ 平面 ABC ， ABC = 90°，BA = BC = BB1 =1， P 是矩形BCC1B1内一
动点，满足PA2 + PC 2 = 2，则三棱锥P - ABC 外接球体积为 .
2
【答案】 π
3
【详解】由BA = BC =1，且 ABC = 90°，可得 AC = 2 ，
设VABC 的外接圆的圆心为O1，则O1为 AC 的中点，且 AO
2
1 = ，2
因为PA2 + PC 2 = 2，所以△PAC 为直角三角形，
所以△PAC 的外接圆的圆心为 AC 的中点，
2
所以三棱锥P - ABC 外接球的球心为O1，且半径为 r = AO1 = ，2
所以三棱锥P - ABC 4外接球的体积为V = πr3 4= π ( 2 )3 2= π .
3 3 2 3
2
故答案为： π .
3
16．在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知 AA1 ^ 平面 ABC，BC = 3， AA1 = 8， BAC = 30°，则该三棱柱外接球
的表面积为 .
【答案】100π
【详解】设△A1B1C1，与VABC 的外心分别为O1，O2 ，则线段O1O2 的中点O为外接球的球心.
V BC设 ABC 外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为 r ， R ，由正弦定理知 = 2r ，解得 r = 3，
sin 30°
: R 8
2
所以 = 2 ÷ + 3 = 5，从而三棱柱 ABC - A1B1C1 外接球的表面积 S = 4πR
2 =100π .
è 2
故答案为：100π .
17．已知圆柱内接于球，当圆柱的侧面积与球的表面积之比最大时，圆柱与球的体积之比为 .
3 2
【答案】
8
【详解】设圆柱的底面半径为 r ，球的半径为 R ，则圆柱的高为 2 R2 - r2 ，所以圆柱的侧面积 S1与球的表
S 2p r ×2 R2 - r 2 2 21 r é ù1 r 1
é r
2
r
2
ù 1
面积 S2 之比 = 2 = ÷ ê - ÷ ú × ê ÷ +1- ÷ ú = ，S2 4p R è R ê è R ú 2 êè R è R ú 2
r 2 S1 1
当且仅当 = 时取等号，故 S 取最大值 2 时，圆柱与球的体积之比R 2 2
V1 3p r
2 × 2 R2 - r 2 3 r 2 2
= = 1- r 3 2
V 4p R3 2 R ÷ R ÷
= .
2 è è 8
3 2
故答案为： .
8
18．已知球 O 的表面积为 100 π，某个高为 6 的圆柱的上下底面圆周都在此球面上，则此圆柱的体积
为 ．
【答案】96π
【详解】设球的半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，
ì4πR2 =100π ìR2 = 25
由题意可得 í 2 2 ，解得 ，
R = r + 3
2 í 2
r =16
所以圆柱的体积为6 πr 2 = 96π .
故答案为：96π .
题型四 线面垂直模型
19．在三棱锥D - APM 中， AD = 2MP = 4, MP ^ AP, MP DP, APD
5
^ = p ，则三棱锥D - APM 的外接球
6
的体积为（ ）
A．68 17p B．28 17p
C 68 17p 17 17p． D．
3 3
【答案】C
【详解】由题意可知，MP ^ PA, MP ^ PD ，且PA PD = P, PA 平面PAD, PD 平面PAD ，所以MP ^平
面PAD ．
AD
设VPAD的外接圆的半径为 r ，则由正弦定理可得 = 2r ，
sin APD
4
= 2r
即 sin 5p ，所以 r = 4．
6
设三棱锥D - APM 的外接球的半径为 R ，则 (2R)2 = PM 2 + (2r)2，
即 (2R)2 = 4 + 64 = 68，所以R2 =17 ，
4 3 4p
所以外接球的体积为 p R = 17 17 = 68 17p ．
3 3 3
故选：C．
20．已知在三棱锥P - ABC 中，PA = 3 ， PB = PC = 2，底面 ABC 是边长为 1 的正三角形，则该三棱锥的外
接球表面积为（ ）
13π
A．3π B． C．4π D．6π
3
【答案】B
【详解】在三棱锥P - ABC 中，PA = 3 ， PB = PC = 2，正VABC 的边长为 1，
则PA2 + AB2 = 4 = PB2 ，即有PA ^ AB ，同理PA ^ AC ，而 AB I AC = A, AB, AC 平面 ABC ，
于是PA ^平面 ABC ，令正VABC 的外心为O1，三棱锥P - ABC 外接球球心为O，
则OO1 ^平面 ABC ，显然球心O在线段PA的中垂面上，取PA的中点D，则OD ^ PA，
而OO1 / /PA，则四边形 ADOO
2 3
1 是矩形，OD = O1A = AB sin 60
o = ，
3 3
R OP OD2 PD2 ( 3 )2 ( 3 )2 13= = + = + = 2
13π
所以球半径 ，表面积 S = 4πR = .
3 2 2 3 3
故选：B
21．在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，底面VABC 为正三角形，三棱锥M - ABC 的体积为 6，VABC
的外接圆半径为 2，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
28π
A 28π B C 28 7π D 28 7π． ． ． ．3 3
【答案】D
【详解】设底边正三角形的边长为 a，外接圆的半径为 r ，外接圆的圆心为O1，三棱锥的外接球的球心为
O，
a
π = 2r = 4则根据正弦定理得 sin ，则 a = 2 3 ，
3
1
因为MA ^ 平面 ABC ，则有VM - ABC = S3 VABC
× MA，
1 1 2 3
即6 = 2 3 × MA，解得MA = 2 3，3 2 2
2
MA
2
2 3
则外接球半径R = 2 2 2 ÷
+ r = ÷ + 2 = 7 ，
è ÷è 2
4 3
则外接球的体积为 πR3 4= π
3 3 7
28 7π
= .
3
故选：D.
22．三棱锥P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，VABC 为等边三角形，且 AB = 3，PA = 2 ，则该三棱锥外接球的
表面积为（ ）
32π
A．8π B．16π C． D．12π
3
【答案】B
【详解】如图，点H 为VABC 外接圆的圆心，过点H 作平面 ABC 的垂线，
点D为PA的中点，过点D作线段PA的垂线，所作两条垂线交于点O，
则点O为三棱锥外接球的球心，
因为PA ^平面 ABC ，且VABC 为等边三角形，PA = 2, AB = 3，
3 1
所以四边形 AHOD为矩形， AH = AB = 3 ，OH = PA =1，
3 2
2
所以OA = 3 +12 = 2，即三棱锥外接球的半径R = 2，
则该三棱锥外接球的表面积为 4πR2 =16π .
故选：B
23．在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，底面VABC 是边长为 2 3 的正三角形，二面角M - BC - A的
π
大小为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 .
4
125p 125
【答案】 / p
6 6
【详解】取BC的中点为E ，连接 AE ，ME ，VABC 是边长为 2 3 的正三角形，
则 AE ^ BC ， AE = 3，又MA ^ 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，则MA ^ BC ，又MAI AE = A，MA, AE 平
面MAE ，
于是BC ^平面MAE ，而ME 平面MAE ，则BC ^ ME ，因此 MEA为二面角M - BC - A的平面角，
MEA π即 = ，则MA = 3，将三棱锥M - ABC 补成三棱柱（VABC 为底面、MA为侧棱），
4
则该三棱柱的外接球就是三棱锥M - ABC 的外接球，
2
设三棱锥M - ABC 的外接球半径为 R ，显然VABC 的外接圆半径 r = AE = 2，
3
5 3
因此R = r 2 (MA 3+ )2 = 22 + ( )2 5= 3 4π( )，所以球的体积为V 4πR 2 125π= = = .2 2 2 3 3 6
125π
故答案为：
6
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性
质求解.
24．已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球O的表面上，且 SA ^ 平面
ABC, SA = 3 3, ABC π= , AC = 2 3, M 是边BC上一动点，直线 SM 与平面 ABC 所成角的正切值的最大值
3
为 3，则球O的表面积为 .
【答案】 43π
【详解】将三棱锥 S - ABC 放入直三棱柱 SB1C1 - ABC ，则两者外接球相同，
取底面 ABC, SB1C1的外心为O1,O2 ，连接O1O2 ，取其中点为O，连接OA, AO1，如图所示，
QSA = 3 3, SA ^ 平面 ABC ，则 SMA为直线 SM 与平面 ABC 的所成角，
又直线 SM 与平面 ABC 所成角的正切值的最大值为 3，
所以 tan SMA SA 3 3 = = 3 ，则 AM min = 3，此时 AM ^ BC ，
AM AM
π
在RtVABM 中， ABM = , AM = 3，
3
\ AB = 2 3,Q AC = 2 3 ，
\VABC 是边长为 2 3 的等边三角形，
O 2\ 1 3 31A = AM = 2，又OO1 = SA = ，3 2 2
2
2 2 2 3 3 43\OA = OO1 + O1A =
2
2 ÷÷
+ 2 =
è 4
43
则球O的表面积为 4π = 43π .
4
故答案为： 43π .
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相
等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
题型五 正锥模型
25．在正三棱锥 A - BCD中，BC = CD = DB = 2 ， AB = AC = AD = 3，则三棱锥 A - BCD的外接球表面积
为（ ）
27π 27π
A． B．9π 27πC． D．
2 5 4
【答案】C
【详解】方法一：如图，取正三角形BCD的中心为 P ，连接 AP, PC，
则三棱锥 A - BCD的外接球球心O在 AP 上，连接OC .
在正三角形BCD BC = 2 PC 2中， ，所以 = BC sin π 2 3= .
3 3 3
在Rt△APC 中， AC = 3 ，所以 AP = AC 2 - PC 2 = 3 4 15- = .
3 3
设外接球的半径为 R ，
2 2
15 2 3 9
由OC 2 = OA2，OP2 + PC 2 = OC 2 2 R = - R3 ÷÷
+ = R ，解得 ，
è è 3
÷÷
2 15
27π
所以三棱锥 A - BCD 2的外接球表面积 S = 4πR = .
5
故选:C.
方法二：在正三棱锥 A - BCD中，过点A 作 AF ^底面BCD于点F ，
则F 为底面正三角形BCD的中心，
BCD 2 BF 2 BC sin π 2 3因为正三角形 的边长为 ，所以 = = .
3 3 3
15
因为 AB = 3 ，所以 AF = AB2 - BF 2 = .
3
如图，以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 A 0,0,
15 2 3
÷÷，C3
0, ,0
3 ÷÷
.
è è
设三棱锥 A - BCD的外接球球心为O 0,0, h ，半径为 R .
2
4 15 1
由OC 2 = OA2，得 + h2 = h - ÷÷ ，解得 h = ，3 è 3 2 15
2 4
所以R = + h2
27
= ，
3 20
则三棱锥 A - BCD的外接球表面积 S = 4πR2
27π
= .
5
故选：C.
26．已知正三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为3p ，若PA ^平面 PBC，则三棱锥P - ABC 的体积为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 3 48 24
【答案】A
【详解】设外接球半径为 R ，则 4p R2 3= 3p ，所以 R = .
2
设PB = PC = PA = a ，因为PA ^平面 PBC，所以PA ^ PB ，PA ^ PC
所以 AB = AC = 2a，又因为△ABC 为正三角形，\BC = 2a，\PB ^ PC
即 PA，PB，PC 两两垂直.
PA PB PC R 3 3将三棱锥补成以 ， ， 为邻边的正方体，则 = = a ，得 a =1，
2 2
1 1 1
所以三棱锥的体积为V = 1 1 = .
3 2 6
故选：A.
27．已知正三棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】16π
【详解】如图设底面VABC 的中心为O ，连接PO ，则球心在直线PO 上，
3
由几何关系可知， BO = 3 = 3 ，先将三角形 PO B转化成平面三角形，
3
如图：
2
因为 PB = 2，由勾股定理可得 PO = 22 - 3 =1，设球心为O，
则O在PO 的延长线上，且 OP = OB = R ，则 OO = R -1，
2 2 2
由勾股定理可得 O B + OO =| OB |2，即 3 + R -1 2 = R2 ，
解得R = 2，所以球体的表面积 S = 4πR2 =16π ．
故答案为：16π．
28．已知正四棱锥的底面边长为 4，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为36π，则四棱锥的最大体
积为 .
64
【答案】
3
【详解】画出图形，如图所示：
1
设PE ^底面 ABCD于点E ，则E 为正方形 ABCD AE = 42的中心，则 + 42 = 2 2 ，
2
因为该球的表面积为36π，则 4πr 2 = 36π，所以该球的半径 r 为 3，
2
则OE = 32 - 2 2 =1，
1 2 64
则四棱锥的最大体积为 4 4 = ，
3 3
64
故答案为： .
3
29．已知正四棱锥 S - ABCD 的底面边长为3 2 ，侧棱SA与底面 ABCD所成的角为 45°，顶点 S，A，B，C，
D 在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为 .
【答案】36π
【详解】如图，在正四棱锥 S - ABCD 中，连接 AC ，BD交于点O ，连接 SO ，
则 SO ^平面 ABCD， SAO 为侧棱SA与底面 ABCD所成的角，
所以 SAO = 45° .
所以O S = O A O B O C O D 2= = = = AB = 3，
2
所以顶点 S，A，B，C，D 在以O 为球心，3 为半径的球面上，即点 O 与O 重合，
所以球 O 的表面积为 4π 32 = 36π .
故答案为：36π .
169π
30．已知球内接正四棱锥P- ABCD的高为3， AC 、BD相交于O，球的表面积为 ，若E 为PC中点.
9
(1)求证：OE // 平面PAD ；
(2)求三棱锥C - EOB 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【详解】（1）依题意底面 ABCD为正方形， AC 、BD相交于O，
所以O为 AC 的中点，又E 为PC中点，
所以OE //AP，
又OE 平面PAD ， AP 平面PAD ，
所以OE // 平面PAD .
169π
（2 2）设球的半径为 R ，由球的表面积公式 S = 4πR = ，
9
R 13解得 = （负值舍去），
6
设球心为O1，在正四棱锥P- ABCD中，高为PO，则O1必在PO上，
AO O P 13 5 13连接 1 ，则 1 = ，O1O = OP - O1P = ， AO1 = ，6 6 6
2 2
则在Rt△O1OA，则OO2 + OA2 = O A2
5 OA2 13+ = 1 1 ，即 ÷ ÷ ，
è 6 è 6
解得OA = 2（负值舍去），
1
则OB = OC = OA = 2，所以 S△BOC = 2 2 = 2，2
PC 1 3又E 为 中点，PO ^平面 ABCD且PO = 3，所以E 到平面 ABCD的距离为 PO = ，
2 2
V V 1 3所以 C-EOB = E-COB = 2 =1 .3 2
题型六 面面垂直模型
31．已知四面体 A - BCD的各顶点均在球O的球面上，平面 ABC ^ 平面BCD，
AB = BC = AC = CD = 2, BC ^ CD ，则球O的表面积为（ ）
28π
A． B．14π C． 28π D．32π
3
【答案】A
【详解】因为平面 ABC ^ 平面BCD， AB = BC = AC = CD = 2, BC ^ CD ，
所以可将四面体 A - BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：
则四面体 A - BCD的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形 ABC 的外心到三角形 ABC 2 2 3的顶点的长度为 22 -12 = ，
3 3
2
2 2 3 7所以直三棱柱的外接球的半径 r = 1 + ÷÷ = ，
è 3 3
2
O 7
28π
则球 的表面积 S = 4πr 2 = 4 π ÷÷ = ，
è 3 3
故选：A.
32．已知四面体 ABCD的各顶点都在同一球面上，若 AB = BC = CD = DA = BD = 2 3 ，平面 ABD ^平面BCD，
则该球的表面积是（ ）
A．100π B． 40π C．20π D．16π
【答案】C
【详解】过三角形 ABD的中心E 作平面 ABD的垂线，
过三角形BCD的中心F 作平面BCD的垂线，
两垂线交于点O，连接OD，
依据题中条件可知，O为四面体 ABCD的外接球球心，
因为 AB = BC = CD = DA = BD = 2 3 ，
所以DF = 2,OF =1,
则OD = OF 2 + FD2 = 5 ,
即外接球半径为 5 ，
2
则该球的表面积为 4π 5 = 20π ，
故选：C.
33．在三棱锥P - ABC 中，侧面PAB是等边三角形，平面PAB ^平面 ABC ， AB ^ BC 且 AB = BC = 2，则
三棱锥P - ABC 外接球的表面积为（ ）
1372π 196π 28π 7π
A． B． C． D．
81 9 3 3
【答案】C
【详解】
因为侧面PAB是等边三角形，所以三棱锥P - ABC 外接球的球心一定在过三角形PAB中心（外接圆圆心）G
的垂线上，
因为平面PAB ^平面 ABC ，作GO ^ 平面PAB，其中O为三棱锥P - ABC 外接球的球心，
又因为 AB ^ BC ，
所以三棱锥P - ABC 外接球的球心一定在过三角形 ABC 的外接圆圆心E （E 为直角三角形 ABC 斜边 AC 中
点）的垂线上，
作OE ^ 平面 ABC ，交 AC 于E ，
1
由题意知EC = 4 + 4 = 2,GD 1 2 3 3= = ，
2 3 2 3
2
2
所以三棱锥P - ABC 3外接球的半径为OC = ÷÷ + 2
21
= ，
è 3 3
2
所以三棱锥P - ABC 4π 21 28π外接球的表面积为 ÷÷ = .
è 3 3
故选：C.
34．如图①所示，四边形PACB是由一个边长为 3的等边VABC 与另外一个VPAB 拼接而成，现沿着直线 AB
进行翻折，使得平面 PAB ^平面 ABC 3，连接 PC，得到三棱锥 P - ABC ，如图②所示．若 PA = ，
2
PB 3= ，则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为（ ）
2
2π 4π
A． B． C．2π D．4p
3 3
【答案】B
【详解】
3 3
由已知PA = ，PB = ，2 AB = 3
，即PA2 + PB2 = AB2 ，故 APB = 90°，
2
设等边VABC 的中心O，连接OA，OB，OC ，
3
可得OA = OB = OC = =1，
2sin 60°
延长CO交 AB 于点D，则D为 AB 的中点，OD ^ AB ，
连接PD，PO，
如图所示，因为平面PAB ^平面 ABC ，平面PAB 平面 ABC = AB，OD 平面 ABC ，
所以OD ^ 平面PAB，
又 PD 平面PAB，所以PD ^ OD ．
3 1
因为PD = ，OD = ，所以2 PO = PD
2 + OD2 =1 = OA，
2
则三棱锥P - ABC 的外接球球心即为VABC 的中心O，
4π 3 4π
故三棱锥P - ABC 的外接球的体积V = 1 = ，
3 3
故选：B．
35．已知三棱锥 S - ABC 的底面是边长为 3 的等边三角形，且 SA = AB ， SAB =120°，平面 SAB ^ 平面
ABC ，则该三棱锥外接球的表面积为 ．
【答案】39π
【详解】因为三棱锥 S - ABC 的底面是边长为 3 的等边三角形，
所以 AB = 3，则 SA = AB = 3，
设△ABC,△SAB 的外接圆的半径分别为 r1, r2，
2r AB 2则在等边VABC 中， 1 = = 3 = 2 3sin 60 ，° 3
在△SAB 中， SAB =120°，
1
所以 SB2 = SA2 + AB2 - 2SA × AB cos SAB = 32 + 32 - 2 3 3 - ÷ = 27 ，
è 2
SB 2
则 SB = 3 3， 2r2 = = 3 3 = 6sin120 ，° 3
设三棱锥 S - ABC 的外接球的半径为 R ，因为平面 SAB ^ 平面 ABC ，
2
则 2R 2 = 2r 2 + 2r 2 - AB2 = 2 3 + 62 - 321 2 = 39，
所以该三棱锥外接球的表面积为 4πR2 = 39π .
【点睛】结论点睛：在三棱锥P - ABC 中，
（1）若PA， PB，PC两两垂直，可以把三棱锥的外接球半径问题转化成长方体的外接球问题，利用长方
2
体的外接球直径就是长方体的体对角线可得： 2R = a2 + b2 + c2（其中 R 为三棱锥外接球半径， a,b,c分
别为PA, PB, PC 的长）.
2
（2）若PA ^平面 ABC ，则先求VABC a外接圆半径 r ，那么有R2 = r2 + ÷ .
è 2
2
（3）若平面PAB ^平面 ABC ，且三棱锥P - ABC AB 确定有外接球，则R2 = r2 + r21 2 - ÷ （其中 r1, r2分别为
è 2
VPAB 和VABC 的外接圆半径）.
36．在三棱锥 A - BCD中，BC ^ BD， AB = AD = BD = 4 3 ，BC = 6，平面 ABD ^平面BCD，则三棱锥
A - BCD的外接球体积为 ．
500π
【答案】
3
【详解】因为平面 ABD ^平面BCD，平面 ABD 平面BCD = BD，BC ^ BD，BC 平面BCD，可知BC ^
平面 ABD，
又因为 AB = AD = BD = 4 3 ，则△ABD 是边长为 4 3 的等边三角形，
2r AB=
由正弦定理得△ABD 的外接圆的直径为 sin π
= 8
，即 r = 4，
3
BC 2
借助于直三棱柱可得该球的直径为R = r2 + ÷ = 5，
è 2
V 4 πR3 4 π 53 500所以三棱锥 A - BCD的外接球体积为 = = = π．
3 3 3
500π
故答案为： .
3
题型七 折叠模型
37．已知在VABC 中， AC ^ BC ， AC = 2， B = 30°，D 是 AB 的中点，沿着 CD 将VACD折起，使得点 A
折叠到点 A1的位置，则当三棱锥 A1 - BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
13π 52π
A． B．12π C．16π D．
3 3
【答案】D
【详解】由题易知△A1CD 是边长为 2 的等边三角形，△BCD是顶角为120°的等腰三角形，
设三棱锥 A1 - BCD 的高为 h，△A1CD 的高为 A1E ，则E 为CD 的中点，则 h A1E ，
当且仅当 A1E ^平面 BCD 时， h = A1E，此时三棱锥 A1 - BCD 的体积最大，
如图O1,O2 分别为△A1CD 和△BCD的外接圆圆心，O为三棱锥 A1 - BCD 的外接球球心，
则四边形OO1EO2 是矩形，
3
VBCD = 2 , OO O E 3由题可知 的外接圆半径为 3 所以 1 = 2 = CD = 3 （易知O2E 是等边三角形O2CD的2
2
高）.
O C 2 3 A D 2 3= = OC 2 = OO2 + O C 2
13
因为 1 1 ，所以 1 1 = ，3 2 3 3
所以三棱锥 A1 - BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为 4π ×OC 2
52π
= .
3
故选：D.
38．如图，把两个完全相同的直三角尺 SBC ， SAC 斜边重合，沿其斜边 SC 折叠形成一个 120°的二面角，其
中 SA = SB = 2，且 AB = 3 ，则空间四边形SABC外接球的表面积为（ ）
16p 20p
A． 4p B． C．3p D．
3 3
【答案】B
【详解】
过点 B 作BD ^ SC 于D，连接DA，由于Rt△ SBC 和RtVSAC 全等，所以 AD ^ SC ， AD = BD ，所以 BDA
为二面角B - SC - A的平面角，即 BDA =120o，在△ABD 中，结合余弦定理得
AB2 = BD2 + AD2
1
- 2BD × AD ×cos BDA，即 3 = BD2 + BD2 - 2BD × BD ×
- ÷，因此 3 = 3BD2 ，因为 BD > 0，
è 2
所以BD =1，
在Rt△SBD中， sin BSD
1
= ，从而 BSD
p
= ，在Rt△ SBC 中，
2 6 cos BSD
3 SB
= = ，又因为 SB = 2 ，
2 SC
SC 4 3所以 = ，取 SC 的中点O，连接OB,OA，由于 SC 是Rt△ SBC 和RtVSAC 的斜边，所以
3
OB = OA = OS = OC ，故O为空间四边形SABC外接球的球心， SC 为球直径，所以空间四边形SABC外接球
2
2 3 2 3 16p
的半径为 ，所以空间四边形SABC外接球的表面积为 4p ÷÷ = ，3 è 3 3
故选：B.
39．已知菱形 ABCD中，对角线 AC、BD 交于点O， BD = 2，将△ABD 沿着BD折叠，使得 AOC = 60°，
AC = 3 ，则三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为 .
364π
【答案】
27
1
【详解】菱形 ABCD中， AB = BC = CD = DA， AC ^ BD ， AO = OC ，BO = OD = BD =1，
2
折叠后， AOC = 60°，VAOC 为等边三角形， AO = OC = AC = 3，
△CBD与△ABD 是全等的等腰三角形，设 E, F 分别为△CBD与△ABD 的外心，
△CBD中，外接圆半径 r = EC = EB，OE = 3- r ，BO = 1，
5
Rt 2△BEO 中，由勾股定理，EB2 = OE2 + BO2 ，即 r 2 = 3- r +12 ，解得 r = ，
3
则OE = 3
5 4 4
- = ，同理OF = ，
3 3 3
H 为三棱锥 A - BCD的外接球球心，连接HE, HF , HO, HB，
由球的性质可知，HE ^平面CBD ，HF ^平面 ABD，
1
RtVHEO 与Rt△HFO全等， HOE = HOF = AOC = 30o ，
2
OH OE 8= =
cos30o ，3 3
AO ^ BD ，CO ^ BD， AO ICO = O ， AO,CO 平面 AOC ，
BD ^平面 AOC ， HO 平面 AOC ，BD ^ HO ，
2
8 91
则三棱锥 A - BCD的外接球半径R = HB = HO2 + OB2 = 3 3 ÷
+1 = ，
è 27
2 364π
所以外接球表面积 S = 4πR = .
27
364π
故答案为： .
27
40．已知等边 VABC 的边长为 2，AD 为 BC 边上的高，以 AD 为折痕进行折叠，使得二面角 B - AD - C 为
2π
，则三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为 .
3
【答案】7π
【详解】
如图，由题意知三棱锥 A - BCD中，BD ^ AD,CD ^ AD，
2π
则 BDC 即为二面角B - AD - C 的平面角，即 BDC = ，
3
由于等边VABC 的边长为 2，AD 为 BC 边上的高，故 AD = 3 ，
2π
在△BCD中，BD = CD =1, BDC = ，
3
BC 2 π则 = 1 sin = 3 ，
3
又BD ^ AD,CD ^ AD, BD ICD = D, BD,CD 平面BCD，
故 AD ^ 平面BCD，
BC 3
设△BCD 2r = = = 2的外接圆圆心为 O，半径为 r，则 sin BDC 3 ，
2
则 r =1，即DO1 =1;
设三棱锥 A - BCD的外接球的球心为O1，连接OO1 ，则OO1 ^平面BCD，
则OO1∥AD
1 3
，且OO1 = AD = ，2 2
2
设三棱锥 A - BCD的外接球的半径为 R，故R2 = DO2 3 71 + OO
2
1 =1+ ÷÷ = ，
è 2 4
R 7故 = ，故三棱锥 A - BCD的外接球的表面积为 4πR2 = 7π ,
2
故答案为：7π
41．已知VABC 中， AB = AC = 2, BC = 2 2, AD为BC边上的高线，以 AD 为折痕进行折叠，使得二面角
2π
B - AD - C 为 ，则三棱锥 A - BCD的外接球半径为 .
3
10
【答案】
2
【详解】由题意，可得BD ^ AD,CD ^ AD,\ BDC 为二面角B - AD - C 的平面角，
BDC 2π即 = ，
3
在△BCD中，BD = CD = 2, BDC
2π
= ，
3
由余弦定理，可得BC = BD2 + CD2 - 2BD ×CD cos BDC = 6 ，
又由BD ^ AD,CD ^ AD, BD CD = D且BD,CD 平面BCD，
所以 AD ^ 平面BCD，
设△BCD外接圆的半径为 r ，圆心为O1，
2r BC则 = = 2 2 ，可得 r = 2 ，即DO1 = 2 ，sin BDC
设三棱锥 A - BCD的外接球的半径为 R ，球心为O，
2
R2 = DO2 + OO2 = DO2 + AD 5 10可得 1 1 1 ÷ = ，即R = ，
è 2 2 2
所以三棱锥 A - BCD 10的外接球半径为 .
2
10
故答案为： .
2
题型八 台体模型
42．已知正四棱台 ABCD - EFGH 的上底面积为 16，下底面积为 64，且其各个顶点均在半径R = 57 的球 O
的表面上，则该四棱台的高为（ ）
A．2 B．8 C．2 或 12 D．4 或 8
【答案】C
【详解】
如图，做出截面DBFH ，此时圆心O位于截面内部，
取DB 中点E ，HF 中点F1，连接DO 、 EF1 和OH ，
易得点O在 EF1 上，由题意得DB = 4 2 ，HF = 8 2 ，OD = OH = 57 ，
因为OF 2 21 = R - HF1 = 57 - 32 = 5，OE = R2 - DE2 = 57 -8 = 7 ，
所以EF1 =12，
当O不在截面内，
同第一种情况理可得OE = 7，OF1 = 5，
所以EF1 = 2，综上所述：该四棱台的高为 2或12 .
故选：C.
43．已知某正四棱台上底面的边长为 2 2 ，下底面的边长为 4 2 ，外接球的表面积为80π ，则该正四棱台
的体积为 .
112
【答案】112或
3
【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：
①若球心位置在几何体内，
如图所示：设O为外接球球心， R 为外接球半径，则OC = OC1 = R ，
AC
又上底面是边长为 2 2 的正方形，故MC = 1 11 = 2,2
NC AC下底面的边长为 4 2 的正方形，故 = = 4,2
外接球的表面积为 4πR2 = 80π,所以R = 2 5, OC = OC1 = R = 2 5,
则OM = OC 21 - MC
2
1 = 20 - 4 = 4,
ON = OC 2 - NC 2 = 20 -16 = 2,
所以正四棱台的高 h = MN = OM + ON = 6,
1
正四棱台的体积V = h (S S
1
+ + SS ) = 6 (8 + 32 + 8 32) =112；
3 3
②当球心在MN 的延长线上时，正四棱台的高 h = OM - ON = 2,
1
则正四棱台的体积V = h (S + S + SS )
1
= 2 (8 32 8 32) 112+ + = .
3 3 3
112
故答案为：112或 .
3
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相
等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些
元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
44．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行的必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木
料制成．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意
趣的藏品．如图的米斗可以看作一个正四棱台，已知该米斗的侧棱长为5 2 ，两个底边长分别为 4 2 和
3 2 ，则该米斗的外接球的表面积是 ．
【答案】100π
【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为O1，下底面中心为O2 ，
由棱台的性质可知，外接球的球心O落在直线O1O2 上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为 4 2 和3 2 ，侧棱长为5 2 ，
则 O1A = 4， O2B = 3， AB = 5 2 ，
2 2
所以 O1O2 = AB - O1A - O2B = 7 ，
设外接球的半径为 R ，设 | OO2 |= h，
若O在线段O1O2 上，则 | OO1 |= 7 - h，
因为O1O2 垂直于上下底面，
2
所以 OO2 + O2B
2 = R2 ，即 h2 + 32 = R2 ，
OO 2 + O 2又 2 21 1A = R ，即 7 - h + 42 = R2 ，
联立解得 h = 4，R2 = 25，
所以该米斗的外接球的表面积为 4πR2 =100π．
若O在O2O1的延长线上，则 | OO1 |= 7 + h ，
同理有 7 + h 2 + 42 = h2 + 9，解得 h = -4（舍）.
故答案为：100π
45．如图，在正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中， A1B1 = 2 ， AB = 2 2 ，该棱台体积V
14 3
= ，则该棱台外接
3
球的表面积为 ．
【答案】16π
【详解】连接B1D1, BD ，取B1D1, BD 的中点 E, F ，连接C1E,CF , EF ，
则外接球球心在直线 EF 上，设球心为O，如图所示，则OC = OC1 = R ，
则 EF ⊥平面 ABCD，
因为正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 中， A1B1 = 2 ， AB = 2 2 ，
故BD = 4, B1D1 = 2，所以C1E =1,CF = 2，
设四棱台的高为 h ，
1 é 2 22 2 2 2 8ù h 14 3故 ê + + ú = ，解得 h = 3 ，3 3
故EF= 3，
设OF = m，则OC 2 = OF 2 + CF 2 = m2 + 4 ，
OC 2 = C E2 + OE21 1 =1
2 + 23 + m ，
2
故m2 + 4 =12 + 3 + m ，解得m = 0，
故半径R = 0 + 4 = 2，
故该棱台外接球的表面积为 4πR2 =16π .
故答案为：16π
【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问
题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距
离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定
理求得球的半径
46．在三棱台 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC, BC = 6, A1B1 = A1C1 = 4 2 ， AA1 = 5 2 ，平面 BB1C1C ^平面 ABC ，
则该三棱台外接球的体积为 ．
500p
【答案】
3
【详解】
分别取BC, B1C1的中点O,O1，则OO1 ^平面 ABC ，且外接球球心M 在直线OO1 上，由题意，
AO = 3, AO = 4,OO = AA21 1 1 1 - A1O1 - AO
2 = 7．
设MA = r, MO1 = x ，
若球心在线段OO1 上，则 r 2 = 9 + (7 - x)2 , r2 = 42 + x2 ，得 x = 3, r = 5；
若球心不在线段OO1 上，则 r 2 = 9 + (7 + x)2 , r2 = 42 + x2 ，无正数解．
4p r3 500p
所以外接球体积为V = = ．
3 3
500π
故答案为：
3
题型九 内切球模型
47．已知圆锥PO的顶点为 P ，其三条母线PA， PB，PC两两垂直．且母线长为 6．则圆锥PO的内切球表
面积与圆锥侧面积之和为（ ）
A．12(10 - 3 6)π B． 24(20 - 7 6)π
C． 60(8 - 3 6)π D．3(40 - 7 6)π
【答案】C
【详解】因为PA， PB，PC两两互相垂直且长度均为 6，
所以VABC 为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长 AB = BC = CA = 6 2 ，
1 6 2
由正弦定理得底面圆的半径 R = × ° = 2 6 ，2 sin 60
所以圆锥的高 PO = 62 - (2 6)2 = 2 3 ．
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径 r ，
1
轴截面三角形面积为 × 4 6 × 2 3
1
= (6 + 6 + 4 6) × r
2 2 ，
所以内切球的半径 r = 6 2 - 4 3．
内切球的表面积为 4π(6 2 - 4 3)2 =4π(120 - 48 6)，
1
圆锥的侧面积为 ×6 ×2π ×2 6 =12 6π，
2
所以其和为 60(8 - 3 6)π .
故选：C.
48．如图，已知四棱锥P- ABCD的底面是边长为 2 的菱形，O为 AC, BD 的交点，PO ^平面 ABCD，
PBA = ABC = 60°，则四棱锥P- ABCD的内切球的体积为（ ）
A 6π． B 6π． C 6π． D 6π．
2 4 8 16
【答案】C
【详解】因为四边形 ABCD为菱形， ABC = 60°，所以VABC 是正三角形，
则OA =1,OB = 3 .
因为PO ^平面 ABCD, AC, BD 平面 ABCD，所以PO ^ AC, PO ^ BD .
设PO = a，则PA = a2 +1 ，PB = a2 + 3 .
在VPAB 中，由PA2 = PB2 + AB2 - 2PB × ABcos PBA，
可得 a2 +1 = a2 + 3 + 4 - 2 2 a2 + 3 ×cos60°，解得 a = 6 ，
所以PO = 6, PA = 7, PB = 3 .
因为O为BD的中点，PO ^ BD，所以 PB = PD .又BC = CD ，PC = PC ，
所以VPCB≌VPCD，同理可证△PCD≌△PAD，VPAD≌VPAB ，
所以 S△PCB = S△PCD = S△PAD = S△PAB .
设四棱锥P- ABCD的内切球的半径为 r ，则
V 1 1P- ABCD = S四边形ABCD × PO = S + S + S + S + S r3 3 四边形ABCD VPCB VPCD VPAD VPAB ，
S
r 四边形ABCD
× PO 2 2sin60° 6 6
= = =
所以 S + 4S
四边形ABCD VPAB 2 2sin60° + 4 1 2 3sin60
，
° 4
è 2 ÷
4 6π
所以四棱锥P- ABCD的内切球的体积V = πr3 = ，
3 8
故选：C.
【点睛】方法点睛：有关几何体外接球、内切球问题的常用结论
1 3 6 6 6（ ）棱长为 a的正四面体的斜高为 a ，高为 a，外接球的半径为 a，内切球的半径为 a .
2 3 4 12
（2）如果三棱锥的三条侧棱互相垂直，那么可以将其补形为长方体或正方体（三棱锥的三条侧棱相等时为
正方体，不相等时为长方体），则长方体或正方体的外接球的球心即三棱锥的外接球球心，长方体或正方体
的体对角线即三棱锥外接球的直径.
1
（3）一个棱锥的内切球半径 r 可以根据内切球球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积公式 V = S表面积r ÷
è 3
求得.
49．已知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的上底面面积为12，其内切球体积为36π，则该正四棱台的表面积为
（ ）
A．312 B．328 C．362 D．368
【答案】A
【详解】
如图，做该正棱台的截面，因为该正四棱台的上底面积为 12，故上底边长为 2 3 ，
4 3
因为内切球体积为36π= πGM ，故GM = 3 .
3
在△GMP 中，GM = 3, MP = 3, GMP = 90o ，
所以GP = 2 3, MPG = 60o ，根据对称性 QPG = 60o ，
故 QPM =120o , QEN = 60o , 所以 GEN = 30o ，
QGN = 3,\EN = 3 3,
正四棱台下底面是一个边长为6 3 的正方形，
故侧面梯形的高为PQ + QE = 3 + 3 3 = 4 3 .
S 12 108 4 2 3 + 6 3即 表 = + + 4 3=312 .2
故选：A.
50．正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长为 1，则三棱锥 A1 - BCD 内切球的表面积为（ ）
4π 4π 4π 16π
A． 2 B． 2 2 22 3 2 2 1 2 3 C． D．+ + + 2 +1 3 + 2 2 +1 3 + 2 2 +1
【答案】C
【详解】设三棱锥 A1 - BCD 内切球半径为 r ，
三棱锥 A1 - BCD 的表面积 S表 = SVBCD + SVBCA + SVBDA + S1 1 VCDA1
1 1 1 1= + 1 1 3 1 1 3 2 + 2 2 + 1 2 = + 2 + ，
2 2 2 2 2 2 2
A - BCD V 1 1 1 1三棱锥 1 的体积 A1 -BCD = × SVBCD × AA3 1
= 1 1 1 = ，
3 2 6
1
因为VA -BCD = S表r ，1 3
1 1 1 3 1
所以 = + 2 + r ，解得 r = ，
6 3 è 2 2 ÷
÷
1+ 2 2 + 3
2 4π
所以三棱锥 A1 - BCD
4πr =
内切球的表面积为 21+ 2 2 .+ 3
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用内切球的性质得到关于内切球半径 r 的方程，解之即可得解.
51 2．已知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的内切球半径 r = , AB = 2A1B1，则异面直线 A1B1 与DD1所成角的余2
弦值为
10 1
【答案】 / 10
10 10
【详解】由题设知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的高 h = 2.
设 AB = 2A1B1 = 4a，作正四棱台的轴截面，如图所示，
其中 I，J，L 分别为圆 O 与四边形 EFGH 的切点，FK ^ GH ，K 为垂足，
从而有 IF = FL = a ， JG = GL = 2a，
2 1
所以KG = a, FK = 2, FG = 3a，由 9a2 - a2 = 2 ，解得 a = .2
延长侧棱 DD1,CC1，设它们相交于点 P，
则异面直线 A1B1 与 DD1所成的角为 PD1C1 .
因为 AB = 2A1B1 ，
PG BC AB
所以 = =FG B1C1 A
，
1B1
所以PG = 2FG = 6a 3, HD
1
= = AD = A
2 1
D1 = A1B1 = EF = 2a =1，
所以PC = PD = 32 +12 = 10 ，
1 CD
从而 cos PD1C1 = cos PDC
1 10
= 2 = = .
PD 10 10
10
故答案为： .
10
【点睛】关键点点睛：关键是得出 AB = 2A1B1 = 2，进一步得出PG, PD 的长度，由此即可顺利得解.
52．在三棱锥P - ABC 中，VPAB ，VPBC，△PAC ，△ABC 的面积分别 3，4，12，13，且
APB = BPC = APC ，则其内切球的表面积为 ．
9p 9
【答案】 / p
8 8
【详解】因为132 = 32 + 42 +122 ，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥P - ABC 是一个墙角
模型，
π
所以 APB = BPC = APC = ，
2
设三棱锥的三条侧棱 PA，PB，PC 长分别为 PA=x，PB=y，PC=z，
ìxy = 6
则由题意有 íyz = 8 ①，所以有 xyz 2 = 6 8 24 = 672， xyz = 24 2 ，
xz = 24
所以代入①式 x = 3 2, y = 2, z = 4 2 ，
V 1 1 1所以 P- ABC = VA-PBC = SVPBC PA = PB PC PA = 4 2 ，3 3 2
设三棱锥的内切球半径为 R ，则VP- ABC = VO- ABC +VO-PAB +VO-PBC +VO-PAC
1
= S ·R 1 S 1 1 R 32RVABC + VPAB·R + SVPBC·R + SVPAC·R = 3+ 4 +12 +13 = ，3 3 3 3 3 3
32R 3 2 9
所以 = 4 2 ，
3 R =
，所以内切球的表面积为 S = 4πR2 = p .
8 8
9
故答案为： π .8
