专题 3.8 立体中的夹角和距离问题
题型一 求异面直线的夹角
题型二 已知异面直线的夹角求其它
题型三 求线面夹角
题型四 已知线面夹角求其它
题型五 求二面角
题型六 已知二面角求其它
题型七 点到平面的距离
题型一 求异面直线的夹角
1．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BB1 = 2, D, E分别为棱BC, BB1 的中点，F 为
棱 AB 上的动点，且线段C1F 的长度最小值为 5 ，则异面直线 AC 与DE 所成角的余弦值为（ ）
A 6 B 3 C 30 D 10． ． ． ．
6 4 6 5
【答案】A
【详解】由于三棱柱 ABC - A1B1C1 为直三棱柱，所以C1F ^底面 ABC , CF 底面 ABC ,所以C1F ^ CF ,
故C1F = C
2 2 2
1C + CF = 2 + FC ,
故当CF ^ AB时，此时CF 最小，线段C1F 的长度最小值，
由于线段C1F 的最小值为 5 ，故此时CF = 3，F 为 AB 中点，故 AB = 2 ，
连接DF ,则DF / / AC ,故 EDF 为其补角即为异面直线 AC 与DE 所成角，
DE = BD2 BE2 6+ = , DF =1, FE = BF 2 + BE2 6= ,
2 2
2 2
6
÷ +12
6
-
2 2 2 2 2 ÷
cos EDF DE + DF - EF= = è è 6= ,
2DE × DF 6 62 2 ÷è
故异面直线 AC 与DE 6所成角的余弦值为
6
故选：A
2．在正四面体 S - ABC 中，M 是 SC 的中点， N 是 SB 的中点，则异面直线 BM 与 AN 夹角的余弦值为
（ ）
1 1
A． B C 3 D 2． ． ．
6 3 2 2
【答案】A
【详解】
取 SM 的中点E ，连接EN ， AN ，Q N 是 SB 的中点，
\ EN / /MB ，EN
1
= MB ，
2
\ ANE 或其补角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角，
设正四面体的棱长为 4，
Q M 是 SC 的中点， N 是 SB 的中点，△SAB 和△SBC 均为正三角形，
\ BM ^ SC ， AN ^ SB ，且BM = AN = 2 3 ，\ EN = 3 ，
ASE AE2 = SA2 + SE2在△ 中， - 2 × SA × SE ×cos ASE =16 +1- 2 4
1
1 =13，
2
2
cos ANE AN + NE
2 - AE2 12 + 3 -13 1
在VANE 中， = = = ，
2 × AN × NE 2 2 3 3 6
\ 1异面直线 BM 与 AN 夹角的余弦值为 .
6
故选：A.
3．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC
2
为等腰直角三角形，且 AB = AC = AA =1，则异面直线 AB
2 1
1
与 A1C 所成角的正弦值为（ ）
A 2 B 5 C 3 3． 3 ． ．- D．3 3 3
【答案】B
【详解】将直三棱柱 ABC - A1B1C1补形为如图所示的正四棱柱：
连接B1D、 AD ，则B1D / / A1C ，
则异面直线 AB1与 A1C 所成角的平面角为 DB1A (或其补角)，
2
又DB = B A = 12 + 2 = 3 ， AD = 12 +121 1 = 2 ，
3 2 2+ 3 - 2 2
由余弦定理可得： cos DB 2 1A = = ，2 3 3 3
2
sin DB A 1 2 5所以 1 = - ÷ = ，故 B 正确.
è 3 3
故选：B.
4．在三棱锥P - ABC 中，PB = PC = AB = AC = BC = 4，PA = 2 3 ，则异面直线 PB与 AC 所成角的余弦值
是（ ）
1 1 1 1
A．- B． C．- D．
8 8 4 4
【答案】B
【详解】根据题意，画出三棱锥P - ABC ，分别作出 AB 的中点D，PA的中点E ，BC的中点F ，连结
DE ，DF ， EF ，所得图形如下图：
1 1
根据中位线的性质可得：DE / /PB，DF / / AC ，且DE = PB = 2 ，DF = AC = 2，所以异面直线 PB与 AC
2 2
所成角即为DF 和DE 所成锐角，由于PB = PC = AB = AC = BC = 4，PA = 2 3 ，所以在等边VABC 中，
AF = AB2 - BF 2 = 2 3 ，
同理在等边VPBC中，PF = 2 3 ，故PA = PF = AF ，所以△PAF 为等边三角形，故EF = PF 2 - PE2 = 3，
所以在VDEF 中，DE = 2，DF = 2， EF = 3，故由余弦定理可得：
2
cos EDF DE + DF
2 - EF 2 4 + 4 - 9 1
= = = - ，
2DE × DF 2 2 2 8
由于异面直线的夹角范围为 0,
π ù
ú ，所以异面直线 PB与 AC 所成角为 EDF 的补角，即异面直线 PB与 ACè 2
1
所成角的余弦值为 .
8
故选：B
5．在空间四边形 ABCD 中， AD = 2，BC = 2 3 ，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF = 7 ，求异面直线
AD 与 BC 所成的角的大小．
【答案】30o
【详解】如图所示，
设 BD 的中点为 O，连接 EO，FO，则EO / / AD, FO / /BC ，
所以 EOF 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角，
EO 1而 = AD 1, FO
1
= = BC = 3 ，
2 2 EF = 7
，
2 2
VEOF cos EOF EO + FO - EF
2 1+ 3- 7 3
在 中，由余弦定理，得 = = = - ，
2EO × FO 2 3 2
而0o < EOF <180o ，因此 EOF =150o ，
所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为30o．
6．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC = 3，BC = AA1 = 4， AB = 5，D 是 AB 的中点.
(1)求证： AC1 / /平面CDB1；
(2)求异面直线 AC1与B1C 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 2
5
【详解】（1）设C1B与BC1的交点为E ，连接DE ,
∵ ABC - A1B1C1 为直三棱柱，且BC = AA1 = 4，则四边形BCC1B1为正方形，
∴E 为BC1的中点，又 D 是 AB 的中点，
∴DE //AC1，又DE 平面CDB1， AC1 平面CDB1，
∴ AC1 // 平面CDB1．
（2）由（1）可知，DE //AC1，
∴ CED 为直线 AC1与B1C 所成的角（或其补角），
1 5 1 5 1
在VCDE中，ED = AC
2 1
= ,CD = AB = ,CE = CB1 = 2 2 ，2 2 2 2
2 2
CE2 + DE2
2 2
- CD2
2
+
5 5
2 ÷
- ÷
由余弦定理可得， cos CED = = è è 2 2 2=
2CE × DE 2 2 2 5 5
2
AC 2 2即异面直线 1与B1C 所成角的余弦值为为 ．
5
题型二 已知异面直线的夹角求其它
7．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 8, AD = 6
7
，异面直线BD与 AC1所成的的余弦值为 ，则CC1 =
10
（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 2 3 D．3 2
【答案】C
【详解】连接 AC ，交DB 于点O，取CC1 的中点E ，连接OE, BE .
因为 AC1 / / OE，所以BD与 AC1所成的角为 BOE （或其补角）.
令EC = x，在△BEO 中，由 AB = 8, AD = 6，得OB = 5 .
又OE = x2 + 25, BE = x2 + 36 ， cos BOE 7= ，
10
OE2 + OB2 - BE2 7 x2 + 25 + 25 - x2 - 36 7
由余弦定理得 = ，即 = ，解得 x = 3 ，
2OE ×OB 10 2 5 x2 + 25 10
所以CC1 = 2 3 .
故选：C
8．如图，由矩形 ABCD与矩形 ABEF 构成的二面角D - AB - E 为直二面角，M 为 AB 中点，若
AB = 2, AF =1, FM 与BD q cosq 3所成角为 ，且 = ，则 AD =（ ）
3
A．1 B．2 C． 3 D． 2
【答案】D
【详解】取 EF 的中点 N ，连接BN , DN , AN ，如图，
矩形 ABEF 中，M 为 AB 中点，则BM / /NF , BM = NF ，即四边形BMFN 是平行四边形，
有BN / /FM ，因此 DBN 是直线 FM 与BD所成的角或其补角，
显然 AD ^ AB, AF ^ AB ，则 DAF 是二面角D - AB - E 的平面角，有 DAF = 90o ，
即有 AD ^ AF ，而 AB AF = A, AB, AF 平面 ABEF ，于是 AD ^ 平面 ABEF ， AN 平面 ABEF ，
则 AD ^ AN ，由 AB = 2, AF =1，得 AN = BN = 2 ，令 AD = t ，则DN = t 2 + 2, BD = t 2 + 4 ，
2 2 2 2 2
在VBDN 中，由余弦定理得 cos DBN
BD + BN - DN t + 4 + 2 - (t + 2) 1
= = = ，
2BD × BN 2 t 2 + 4 × 2 3
解得 t = 2 ，所以 AD = 2 .
故选：D
9．已知E ，F 分别是三棱锥P - ABC 的棱PA，BC的中点，且PC = 6， AB = 8 .若异面直线PC与 AB 所成
角的大小为60°，则线段 EF 的长可能为（ ）
A． 7 B． 13 C．5 D． 37
【答案】BD
【详解】
取 AC 中点H ，连接EH ，FH ，
因为E ，F 分别为PA，BC的中点，PC = 6， AB = 8，
所以 AB∥ HF ，HE∥PC ，HF = 4，HE = 3，
所以异面直线PC与 AB 所成角与直线HF 和HE 所成角相等，即 EHF = 60°或120°，
2
EHF = 60° cos EHF HE + HF
2 - EF 2 9 +16 - EF 2 1
当 时，根据余弦定理得， = = = ，解得EF = 13；
2 × HE × HF 24 2
2 2 2 2
EHF =120° cos EHF HE + HF - EF 9 +16 - EF 1当 时，根据余弦定理得， = = = - ，解得EF = 37 .
2 × HE × HF 24 2
故答案为：BD.
10．在空间四边形 ABCD中， AB = CD = 6，M , N 分别是对角线 AC, BD 的中点，若异面直线 AB,CD 所成
角的大小为60°，则MN 的长为 .
【答案】3或3 3
【详解】取 AD 中点为E ，连接 NE, ME ，
因为M , N , E 分别是 AC, DB, DA的中点，
1 1
所以，ME / /CD ， NE / / AB ，且ME = CD = 3， NE = AB = 3 .
2 2
又异面直线 AB,CD 所成角的大小为60°，
所以， MEN = 60°或120° .
当 MEN = 60°时，
在VMEN 中，由余弦定理可得，
MN 2
1
= ME2 + NE2 - 2 ME NE cos 60° = 32 + 32 - 2 3 3 = 9，2
所以，MN = 3；
当 MEN =120°时，
在VMEN 中，由余弦定理可得，
1
MN 2 = ME2 + NE2 - 2 ME NE cos120° = 32 + 32 + 2 3 3 = 27 ，2
所以，MN = 3 3 .
综上所述，MN = 3或MN = 3 3 .
故答案为：3或3 3 .
11．空间四边形 ABCD 中， AD = BC = 2，直线 AD 与 BC 所成角大小为 60°， E, F 分别是 AB,CD 的中点，
则EF = ．
【答案】1或 3 .
【详解】取BD的中点为G ，分别连接EG, FG,
因为 E, F 分别是 AB,CD 的中点，所以
EG 1 1= AD =1, FG = BC =1,
2 2
EG / / AD, FG / /BC,
故 EGF 为直线 AD 与BC所成的角或其补角,
EGF π 2π所以 = 或者 EGF = ，
3 3
在VEFG中，EF = EG2 + FG2 - 2EG × FG ×cos EGF
= 12 +12 - 2cos EGF = 2 - 2cos EGF
EGF π 2π所以当 = 时，EF =1 ,当 EGF = 时，EF = 3,
3 3
故EF =1或EF = 3,
故答案为：1或 3 .
12．已知四棱锥P- ABCD，底面 ABCD为正方形，边长为3，PD ^平面 ABCD．
(1)求证：BC ^平面CDP ；
(2)若直线 AD 与BP所成的角大小为60°，求DP的长．
【答案】(1)证明见解析
(2) DP = 3 2 ．
【详解】（1）Q PD ^平面 ABCD，BC 平面 ABCD，
\ DP ^ BC ，
又底面 ABCD为正方形，则 BC ^ DC
且DC DP = D，DC, DP 平面CDP ，
\ BC ^平面CDP ．
（2）Q BC ^平面CDP ，
\ BC ^ CP ，\ CBP 为锐角，
又 Q AD / /BC ，
\ CBP 为直线 AD 与BP所成的角，
\ CBP = 60°，在Rt△CPB中，BC = 3，
\ CP = 3 3 ，
在Rt△CDP 中，CP = 3 3 ，CD = 3，于是DP = 3 2 ．
题型三 求线面夹角
13．如图，等腰梯形 ABCD是圆台OO1 的轴截面，BD
1
= CD = AB = 4 ，E 为下底面eO 上的一点，且
2
BE = AE ，则直线DE 与平面 ABCD所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【详解】连接OO1,OE,OD ，过点D作DF ^ AB 交 AB 于F 点，如下图：
因为几何体为圆台，所以OO1 ^平面 ABE ，所以OO1 ^ OE，
又因为 BE = AE ，所以VABE 为等腰直角三角形，
因为O为 AB 中点，所以OE ^ AB，
又因为 AB IOO1 = O ，所以OE ^ 平面 ABCD，
所以直线DE 与平面 ABCD所成的角为 EDO，
BD CD 1因为 = = AB = 4 ，所以BF
1
= AB - CD = 2，
2 2
所以OO1 = DF = BD
2 - BF 2 = 2 3 ，所以OD = DO21 + OO
2
1 = 4，
tan EDO OE 4所以 = = =1，所以 EDO = 45°，
OD 4
故选：B.
14．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知BD1与 AD 所成的角为60°，BD1与平面 ABCD所成的角为30°，则
下列结论错误的是（ ）
A．BD1 ^ B1C B．BD1与平面 ABB1A1所成的角为30°
C． BD1 ^平面 A1C1D D．BD1与平面BCC1B1所成的角为45°
【答案】C
【详解】如图所示，连接 A1B, BD, BC1, B1D1，
设BD1 = 2，因为BD1与 AD 的夹角为 60°，即 A1D1B = 60°， D1A1B = 90°，所以 A1D1 =1，
又因为BD1与平面 ABCD 所成的角为 30°，即 D1BD = 30°， D1DB = 90°，
所以DD1 =1，故长方体的左、右侧面为正方形，所以BC1 ^ B1C ，
又因为D1C1 ^平面BCC1B1， B1C 平面BCC1B1，所以D1C1 ^ B1C ，
而BC1 IC1D1 = C1，所以 B1C ^ 平面BC1D1，
又因为BD1 平面BC1D1，所以BD1 ^ B1C，所以 A 不符合题意．
在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，可得 A1D1 ^ 平面 ABB1A1，
所以BD1与平面 ABB1A1所成的角为 A1BD1 = 30°，所以 B 不符合题意．
在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，得到BC1 = C1D1 = 2 ，
所以BD1与平面BCC1B1所成的角为 C1BD1 = 45°，所以 D 不符合题意．
若 BD1 ^平面 A1C1D，则BD1 ^ A1C1，则B1D1 ^ A1C1，与已知矛盾，所以 C 符合题意．
故选：C．
15．已知 P，A，B，C 四点不共面，若 CPA = CPB = APB = 60°，直线PC与平面PAB所成的角为q ，
则 cosq = .
3 1
【答案】 / 3
3 3
【详解】
在PC上任取一点 D 并作 DO ^ 平面 APB ，连接PO，则 DPO 就是直线PC与平面PAB所成的角.
过点 O 作OE ^ PA，OF ^ PB，连接DE ，DF .
∵ DO ^ 平面 APB ，PA, PB 平面 APB ，所以DO ^ PA, DO ^ PB ，
因为DO OE = O, DO,OE 面DOE，DO OF = O, DO,OF 面DOF ，
所以PA ^面DOE，PB ^ 面DOF ，
又DE 面DOE，DF 面DOF ，
则DE ^ PA，DF ^ PB .
所以△DEP≌△DFP，∴EP = FP，∴△OEP≌△OFP .
∵ APC = BPC = 60°，
∴点 O 在 APB的平分线上，即 OPE = 30° .
设PE =1 OPE = 30° OP 1 2 3，∵ ，∴ = = .
cos30° 3
在直角VPED中， DPE = 60°，PE =1，则PD = 2 .
在直角△DOP OP 2 3 PD = 2 cos DPO OP 3中， = ， ，则 = = ，
3 PD 3
即直线PC 3与平面PAB所成角的余弦值是 .
3
3
故答案为： .
3
16．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD ^底面 ABCD， AD = PD ， E, F 分别为CD, PB
的中点.
(1)求证：EF ^ 平面PAB；
(2)设 AB = 2BC ，求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
6
【详解】（1）证明：因为PD ^平面 ABCD，且 AB 平面 ABCD，所以PD ^ AB ，
因为 AD ^ AB，且PD AD=D，PD, AD 平面PAD ，所以 AB ^ 平面PAD ，
又因为PA 平面PAD ，所以 AB ^ PA，
取 AB 的中点G ，连接EG, FG ，如图所示，
因为E 为CD 的中点，所以 EG ^ AB，
再由 FG 为△BAP 的中位线，可得FG / /PA，所以FG ^ AB，
所以 AB 垂直于平面EFG 内的两条相交直线EG, FG ，所以 AB ^ 平面EFG ，
又因为EF 平面EFG ，所以 AB ^ EF ，
连接EP, EB ，因为 AD = PD ，则EP = PD2 + DE2 , EB = BC 2 + CE2 ，
所以EP = EB，所以△EPB为等腰三角形，所以EF ^ BP ，
因为 AB I BP = B 且 AB, BP 平面PAB，所以EF ^ 平面PAB .
（2）解：不妨设 BC =1，则 AD = PD =1，
因为 AB = 2BC ，可得 AB = 2, PA = 2, AC = 3 ，
所以VPAB 为等腰直角三角形，且PB = 2 ,
又因为F 是 PB的中点，所以BF =1，且 AF ^ PB，
因为EF ^ BP ，且 AF I EF = F ， AF , EF 平面 AEF ，所以PB ^ 平面 AEF ，
设 BE 交 AC 于点K ，过点K 作KH / /PB交 EF 于点H ，则KH ^平面 AEF ，
连接 AH ，所以 KAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角，
1
由VEKC :VBKA，可得EK = KB, AK = 2CK ，
2
EK 1 EB 6 , AK 2 AC 2 3所以 = = = = ，
3 6 3 3
1 1
又由VEKH :VEBF ，可得KH = BF = ，
3 3
所以 sin KAH KH 3 = = ，即 AC 与平面 AEF 3所成角的正弦值为 .
AK 6 6
17．如图，已知在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA ^平面 ABCD， PA = AD =1， AB = 2，E、
F 分别是 AB, PD 的中点．
(1)求证： AF / / 平面PEC ；
(2)求PC与平面 ABCD所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 30
6
【详解】（1）取PC中点为M ，连接 FM ，ME ，如图所示：
1
因为 F，M 分别为 PD，PC 的中点，故可得FM / /DC ，且FM = DC
1
= AB =1；
2 2
AE 1又因为 AE / /DC 且 = DC =1；
2
故可得 AE / /FM ， AE = FM ，则四边形 AFME 为平行四边形，
故可得 AF / /ME ，又 AF 平面PEC, ME 平面PEC ，
故 AF / / 平面PEC ．
（2）连接 AC ，如图所示：
因为PA ^面 ABCD，故 PCA即为PC与平面 ABCD的夹角，
又 AC 面 ABCD，故可得PA ^ AC ；
在Rt△PAC 中，PA = 1， AC = AB2 + BC 2 = 5 ，
故可得PC = PA2 + AC 2 = 6 ，
cos PCA AC 5 30则 = = = ，
PC 6 6
即PC与平面 ABCD 30所成角的余弦值为 ．
6
18．三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AC = 2 2, AA1 = 2, M 为 A1C1中点， A1AC = BAC = 90
o , AM ^ B1C ．
(1)证明： AA1 ^ 平面 ABC ；
(2)求BC与平面 A1B1C 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
6
【详解】（1）由题意可知： AA1 = 2, A1C1 = 2A1M = 2 2 ，且 AA1C1C 为矩形，
tan A MA AA CC 2则 1 = 1 = 2, tan MA1C = 1 = ，A1M A1C1 2
可得 tan A1MA × tan MA1C =1，且 A1MA, MA1C 均为锐角，
则 A1MA + MA1C = 90
o
，即 AM ^ A1C，
又因为 AM ^B1C， A1C B1C = C ， A1C, B1C 平面 A1B1C ，
所以 AM ^ 平面 A1B1C ，
由 A1B1 平面 A1B1C ，则 AM ^ A1B1，
由题意可得 A1C1 ^ A1B1， A1C1 I AM = M ， A1C1, AM 平面 AA1C1C ，
所以 A1B1 ^平面 AA1C1C ，
由 AA1 平面 AA1C1C ，可得 A1B1 ^ AA1，
且 A1B1 ∥ AB ，则 AB ^ AA1 ，
又因为 AC^ AA1， AB AC = A， AB, AC 平面 ABC ，
所以 AA1 ^ 平面 ABC .
（2）连接 A1B ，由题意可得： A1C = 2 3, BC = 4 ，
因为 A1B1 ^平面 AA1C1C ， A1C 平面 AA1C1C ，可得 A1B1 ^ A1C ，
又因为 AC^ AA1， AC ^ AB， AA1 I AB = A， AA1, AB 平面 AA1B1B，
则 AC ^平面 AA1B1B，可知点C到平面 AA1B1B的距离为 AC = 2 2 ，
设点 B 到平面 A1B1C 的距离为d ，
V 1 1 1 1 2 6由 B- A1B1C = VC - A B B 可得： d 2 2 2 3 = 2 2 2 2 21 1 3 2 3 2 ，解得 d = ，3
2 6
所以BC与平面 A1B1C 所成角的正弦值为 d 6= 3 = .
BC 4 6
19 15．如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 2 3 ，E 为BC的中点，VAEC1的面积为 .
2
(1)求C到平面 AEC1的距离；
1
(2)若CE = CC1，平面C1CE ^ 平面 AEC1，求直线 A2 1
E 与平面 AEC1所成角的正弦值.
【答案】(1) 2 5
5
(2) 2 35
35
【详解】（1）设点C到平面 AEC1的距离为d ，
1 1 3
又E 为BC的中点，则VC- AEC = V1 C1 - AEC = V6 ABC- A B C
= 2 3 = ，
1 1 1 6 3
1
则 S d 1 15 d 3 d 2 5AEC = = ，解得△ = .3 1 3 2 3 5
（2）过A 在平面 AEC1内作 AM ^ C1E 交C1E 于M ，如图，
因为平面C1CE ^ 平面 AEC1，C1E 为交线，
所以 AM ^ 平面C1CE ，
过A 在平面 ABC 内作 AN ^ BC 交BC于 N ，
在直三棱柱中平面C1CE ^ 平面 ABC ，BC为交线，
所以 AN ^平面C1CE ，
因为过平面外一点A 有且只有一条直线与平面垂直，
所以 AM , AN 重合，又M , N 分别在EC1, BC 上，
所以M , N 与E 重合，即 AE ^ 平面C1CE ，
又EC1 平面C1CE ，所以 AE ^ EC1 ，
设EC = a ，则CC1 = 2a ，
所以EC = EC 21 + CC
2 = 5a，
1
1 1 15
所以 S△AEC = AE × EC1 = 5a × AE = ，1 2 2 2
3
解得 AE = ，
a
V 1 1 3 1 1所以 A-C CE = A1E × S CC E = a ×2a = 2 3 ，解得 a =1，1 3 △ 1 3 a 2 6
在Rt△AA1E 中， A 21E = AA1 + AE
2 = 4 + 3 = 7 ，
因为 A1C, AC1互相平分，所以 A1，C到平面 AEC1的距离d 相等，
d 2 5即 = ，
5
设直线 A1E 与平面 AEC1所成角为q ，
2 5
则 sinq d 5 2 35= = = .
A1E 7 35
题型四 已知线面夹角求其它
20．已知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的上、下底面边长分别为 2 和 4，若侧棱 AA1与底面 ABCD 所成的角为
60°，则该正四棱台的体积为（ ）
A． 28 3 B 28 6． C．84 2 D． 28 2
3
【答案】B
【详解】如图， S ,O 分别为上底面和下底面的中心，连接OS ，
则OS ⊥底面 ABCD，过点 A1作 A1T ⊥ AO于点T ，则 A1T ⊥底面 ABCD，
因为上、下底面边长分别为 2 和 4，所以 A1S = 2, AO = 2 2 ，
故TO = A1S = 2 ， AT = AO - OT = 2 ，
tan A AT A1T 1 = ，由于 A1AT = 60°，故 AAT 1
T = 3AT = 6 ，
1
故该正四棱台的体积为 22 + 42 + 22 42 6 28 6= .3 3
故选：B
21．如图，三棱锥P - ABC 中，PC ^平面 ABC，CH ^ PB， AB ^ BC ， PA = 4 ，点 C 到 PA 的距离
3
CD = 2，若 BH 和平面 CDH 所成角的正弦值为 ，则 BC 长度为（
4 ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】A
【详解】因为PC ^平面 ABC ，则 AB, AC 平面 ABC ，所以PC ^ AB, PC ^ AC ，
又因为 AB ^ BC ，且PC BC = C ，PC, BC 平面PBC ，
所以 AB ^ 平面PBC ，因为CH 平面PBC ，所以 AB ^ CH ，
因为CH ^ PB，且 AB PB = B , AB, PB 平面PAB，
所以CH ^平面PAB，PA 平面PAB，所以CH ^ PA，
因为 PA = 4 ，CD = 2，PC ^ AC ，所以点D是PA的中点，
又因为CD ^ PA，所以△PAC是等腰直角三角形，
由CH CD = C,CH ,CD 平面CDH ，所以PA ^平面CDH ，
所以 PHD 为BH 和平面CDH 所成的角，因为PA = 4, 则PD = 2，
所以 sin PHD
PD 2 3 8
= = = ，则PH = ，
PH PH 4 3
因为△PAC是等腰直角三角形，所以PC = AC = 2 2 ，
设BC = a ，所以PB = PC 2 + CB2 = 8 + a2 ，又CH = PC 2 - PH 2
2 2
= ，
3
又因为PB ×CH = PC ×CB ，所以 8 + a2 2 2× = 2 2a，
3
解得： a =1 .
故选：A.
22．如图，点 P 是棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 表面上的一个动点，直线 AP 与平面 ABCD所成的角为
45°，则点 P 的轨迹长度为 .
【答案】 π + 4 2
【详解】若直线 AP 与平面 ABCD所成的角为45°，则点 P 的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨，
在平面 ABB1A1内，点 P 的轨迹为对角线 AB1（除掉A 点，不影响）；
在平面 ADD1A1内，点 P 的轨迹为对角线 AD1 （除掉A 点，不影响）；
1
在平面 A1B1C1D1内是以点 A1为圆心 2 为半径的 圆弧，如图，4
故点 P 的轨迹长度为 c = π + 4 2 ．
故答案为： π + 4 2 .
23．已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 内接于半径为2的球，若直线 AC1与平面BCC1B1所成的角为30°，则 AB = .
2 30
【答案】
5
【详解】
取BC的中点D，连接 AD ，C1D ，如下图所示：
根据正三棱柱性质可知 AD ^ BC ，又BB1 ^ 平面 ABC ， AD 平面 ABC ，所以BB1 ^ AD，
又BC I BB1 = B，BC, BB1 平面BCC1B1，所以 AD ^ 平面BCC1B1；
易知 AC1D为直线 AC1与平面BCC1B1所成的角.
设VABC 的外接圆半径为 r ，边长为 a，正三棱柱的高为 h ，
3
则 AD 3= a ， AC = a2
a
1 + h
2 ，所以 2sin 30° = 2 ，可得 h = 2a
2 .
2 a2 + h2
又因为三棱柱 ABC - A1B1C1 内接于半径为 2 的球，
2
2
2 2 2
h 3a h
所以 AD + =3 ÷ 2 ÷ 3 ÷
+ = 22 ÷ ，
è è ÷è è 2
a2 a2
所以 + = 4，解得 a 2 30= ，
3 2 5
AB 2 30即 = .
5
2 30
故答案为：
5
24．如图（1），在VABC 中， AB = BC = 2， ABC = 90o ，E 、F 、H 分别为边 AB 、 AC 、BC的中点，
以 EF 为折痕把△AEF 折起，使点A 到达点 P 位置（如图（2））．当四棱锥P - BCFE的体积最大时，分别求
下列问题：
(1)设平面 PBE 与平面PFH 的交线为 l，求证： l ^平面PEF ；
(2) 2 26在棱PF 上是否存在点 N ，使得BN 与平面PEF 所成角的正弦值为 ？若存在，求PN 的长；若不存
13
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 2存在， PN 2= 或
4 4
【详解】（1）过点 P 在平面 PBE 内作PO ^ BE，垂足为点O，
QEF ^ PE ，EF ^ BE ，PE BE = E ，则EF ^ 平面 PBE ，
QPO 平面 PBE ，\ PO ^ EF ，
QPO ^ BE ，EF I BE = E ，EF , BE 平面BCFE ，
\PO ^ 平面BCFE ，则PO = PE sin PEO，
故当PE ^平面BCFE 时，四棱锥P - BCFE的体积取最大值，
QBE ^ PE ，EF ^ BE ，EF PE = E ，\BE ^ 平面PEF ，
1
因为 EF //BC ，EF = BC ，H 为BC的中点，所以，EF //BH 且EF = BH ，
2
故四边形BHFE为平行四边形，所以，BE //FH ，
Q BE 平面PFH ，FH 平面PFH ，\BE // 平面PFH ，
因为BE 平面 PBE ，平面PBE 平面PFH = l ，\l //BE ，因此， l ^平面PEF .
（2）因为BE ^平面PEF ，\BN 与平面PEF 所成角为 BNE ，
因为EN 平面PEF ，\BE ^ EN ，
BE 1 2 26
所以， sin BNE = = = EN 10，解得 = ，
BE2 + EN 2 1+ EN 2 13 4
π
在Rt△PEF EPF = 10中， ，PE =1， EN = ，
4 4
由余弦定理可得EN 2
5
= = PE2 + PN 2 - 2PE × PN cos π = 1+ PN 2 - 2PN ，
8 4
PN 2所以， - 2PN
3
+ = 0 PN 2 3 2，解得 = 或 .
8 4 4
PF N BN PEF 2 26 2 3 2因此，在棱 上存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，且 PN = 或 .
13 4 4
25．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是边长为 3 的正方形，侧面PBC ^底面 ABCD .
(1)若 PBC = 90°，求证： AC ^ PD ；
(2)若 AC 与平面PCD所成角为30°，求点 A 到直线PC的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 6
2
【详解】（1）如图，连接BD，
因为侧面PBC ^底面 ABCD，侧面PBC 底面 ABCD = BC ，PB ^ BC ，PB 底面PBC ，
所以PB ^ 底面 ABCD，
且 AC 平面 ABCD，可得 AC ^ PB .
在正方形 ABCD中， AC ^ BD ，
PB BD = B ，BD 平面 PBD ，PB 平面 PBD ，
所以 AC ^平面 PBD ，
且 PD 平面 PBD ，可得 AC ^ PD .
（2）因为 AB //CD ， AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以 AB ∥平面PCD，
过 B 作BM ^ PC ，垂足为M ，连接 AM ，
因为侧面PBC ^底面 ABCD，侧面PBC 底面 ABCD = BC ，CD ^ BC ，CD 底面 ABCD，
所以CD ^底面PBC ，
且BM 底面PBC ，可得BM ^ CD，
PC CD = C ，PC,CD 平面PCD，可得BM ^底面PCD，
则 A 到平面PCD的距离即为 B 到平面PCD的距离 BM ，
由 AC 与平面PCD所成的角为30°，则BM = AC sin 30o 3 2= ，
2
又因为 AB //CD ，则 AB ^ 平面PBC ，
且PC, BM 平面PBC ，可得 AB ^ PC, AB ^ BM ，
BM ^ PC ， AB I BM = B， AB, BM 平面 ABM ，
所以PC ^平面 ABM ，
且 AM 平面 ABM ，可得PC ^ AM ，
即 AM 的长度即为点 A 到PC的距离，可得 AM = AB2 + BM 2 9 9 3 6= + =
2 2
所以点 A 到PC 3 6的距离为 .
2
题型五 求二面角
26．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥P - ABC - Q 中，
PA, PB, PC 两两互相垂直，则二面角P - AB - Q的余弦值为（ ）
6 3 1 1A．- B．- C．- D．-
3 3 2 3
【答案】D
【详解】
取 AB 中点D，连接PD,QD, PQ ，交平面 ABC 于点O，
由正棱锥性质及对称性易知O为VABC 的中心，且PD ^ AB, DQ ^ AB，
故 PDQ 为二面角的平面角，
设正三棱锥侧棱长为 2，易得 AB = 2 2，PD = DQ = 2, OD 3 AB 6= = ，
6 3
2
6 4 3
则PQ = 2PO = 2 2 - ÷÷ = ，
è 3 3
16
在VPDQ
2 + 2 -
中由余弦定理得 cos PDQ 3 1= = - .
2 2 2 3
故选：D.
27．如图，在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD， AD ^ CD ，BC = 2， AD = 3，CD = 3 ，边 AD 上一点 E 满
足DE =1，现将VABE 沿 BE 折起到VA1BE 的位置，使平面 A1BE ^平面 BCDE，如图所示.
A F
(1)在棱 A1C 上是否存在点 F，使直线 DF / / 平面 A1BE
1
，若存在，求出 AC ，若不存在，请说明理由；1
(2)求二面角 A1 - BC - D的平面角的正切值.
A1F 1
【答案】(1)存在， =A1C 2
(2)2
【详解】（1）解：当 F 是 AC 的中点时，直线 DF / / 平面 A1BE .
证明如下：
设 A1B 的中点为 N，连接 EN，FN，
因为FN / /BC ，FN
1
= BC ，且ED / /BC ，ED
1
= BC ，
2 2
所以FN / /ED且FN = ED，所以四边形 DENF 是平行四边形，所以DF / /EN ，
又因为 DF 平面 A1BE ，EN 平面 A1BE ，所以 DF / / 平面 A1BE ，
A1F 1
所以存在点 F，使 DF / / 平面 A1BE ，且 =A1C 2
.
（2）解：在平面图形中，连接 CE，则 ECD = 30°， ECB = 60°，
所以CB = CE = BE = AE = AB = 2，
如图所示，取 BE 中点 O，连接 A1O，则BE ^ OA1，
因为 A1O 平面 A1BE ，平面 A1BE ^平面BCDE ，且平面 A1BE 平面BCDE = BE ，
所以 A1O ^平面BCDE ，又因为BC 平面BCDE ，所以 A1O ^ BC
作OM ^ BC 于 M，连接 A1M ，
因为 A1O OM = O，且 A1O,OM 平面 A1OM ，所以BC ^平面 A1OM ，
又因为 A1M 平面 A1OM ，所以 A1M ^ BC ，
所以 A1MO为二面角 A1 - BC - D的平面角，
在直角△A1MO中， A1O = 3 OM
3
， = ，可得 tan A1MO = 2，
2
故二面角 A1 - BC - D的平面角的正切值为 2．
28 2 3．三棱锥P - ABC 中，PC ^平面 ABC，PC = ， AC = 2，BC = 4， AB = 2 3 ，则二面角P- AB-C
3
的大小为 .
【答案】30°
【详解】由题可得 AC 2 + AB2 = BC 2 ，即 AC ^ AB，
如图：
QPC ^平面 ABC， AB 平面 ABC，\PC ^ AB，
又 AC ^ AB，PC AC = C，PC， AC 平面 PAC，
\ AB ^平面 PAC，
而PA 平面 PAC，\ AB ^ PA，
即 PAC 为二面角P- AB-C 的平面角，
2 3
在直角三角形 PCA 中， tan PAC PC 3 3 ， = = =
CA 2 3
可得 PAC = 30°.
故答案为：30°.
29．如图，已知直角三角形 ABC 的斜边BC / / 平面a ，A 在平面a 上，AB，AC 分别与平面a 成30o和 45o 的
角，BC = 6．
(1)求 BC 到平面a 的距离；
(2)求平面 ABC 与平面a 的夹角．
【答案】(1) 6 ；
π
(2) .
3
【详解】（1）过 B 作BE ^ a ，垂足为E ，过C作CF ^ a ，垂足为F ，连 AE 、 AF 、 EF ，
则 BAE = 30o ， CAF = 45o ，
设 BC 到平面a 的距离为d ，由BC / / 平面a ，得 BE = CF = d ，
d
在RtVBEA中， sin30o
d AB = = 2d
= ，则 1 ，在Rt△CAF 中，
AB AC = 2d
，
2
在Rt△ABC 中，BC 2 = AB2 + AC 2 ，则36 = 2d 2 + 4d 2 ，所以 d = 6 .
（2）由（1）知，四边形BCFE 是矩形，过点A 作直线 l / /EF ，显然 l / /BC ，
在平面a 内过点A 作 AO ^ EF 于O，则 AO ^ l ，过O作OG / /BE 交BC于G ，连接 AG，
则OG ^ a ,OG ^ EF ，有OG ^ l ，而 AO IOG = O, AO,OG 平面 AOG ，
于是 l ^平面 AOG ，又 AG 平面 AOG ，则 l ^ AG，即 GAO 平面 ABC 与平面a 的夹角，
1
由（1）知， AB = 2 6，AC = 2 3，则 SVABC = AB × AC = 6 2 ，2
AE2 + AF 2 - EF 2 2 2
在△ AEF 中， AE = 3 2，AF = 6，EF = 6 ，则 cos EAF = = ，
2AE × AF 3
于是 sin EAF
1 1
= ， S
3 VEAF
= AE × AF ×sin EAF = 3 2 ，
2
1
AO EF × AO S
因此 cos GAO = = 2 = VEAF
1
= 0 GAO π1 ，又 < ，则 GAO
π
= ，
AG BC × AG SVABC 2 2 3
2
π
所以平面 ABC 与平面a 的夹角为 .
3
30．如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD和侧面 ABB1A1均是边长为 2 的正方形.
(1)证明：BD1 ^ B1C .
(2)若 B1BC =120
o
，求二面角 A - BC - D1的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 7
7
【详解】（1）
连结BC1，
因为底面 ABCD和侧面 ABB1A1均是边长为 2 的正方形，
所以四边形BCC1B1是边长为 2 的菱形，则B1C ^ BC1，
且四边形 A1B1C1D1和CDD1C1 也是边长为 2 的正方形，
所以C1D1 ^ B1C1，且C1D1 ^ CC1，B1C1 IC1D1 = C1，CC1, B1C1 平面BCC1B1，
所以C1D1 ^平面BCC1B1， B1C 平面BCC1B1
所以C1D1 ^ B1C ，且BC1 IC1D1 = C1，且BC1,C1D1 平面BC1D1，
所以 B1C ^ 平面BC1D1，BD1 平面BC1D1 ,
所以B1C ^ BD1；
（2）
由（1）可知，C1D1 ^平面BCC1B1，且 AB / /C1D1，
所以 AB ^ 平面BCC1B1，且 AB 平面 ABCD，
所以平面 ABCD ^平面BCC1B1，又因为平面BCC1B1 / / 平面 ADD1A1，
所以平面 ABCD ^平面 ADD1A1，且平面 ABCD 平面 ADD1A1 = AD ，
因为 B1BC = A1AD =120
o
，所以 D1DA = 60
o
，
所以△D1DA 为等边三角形，
取 AD 的中点M ，连结D1M ，则D1M ^ AD ，D1M 平面 ADD A1
所以D1M ^平面 ABCD，
再取BC的中点 N ，连结MN , D1N ,则MN ^ BC ，
因为BC 平面 ABCD，所以D1M ^ BC ，
又MN ^ BC ，且 D1M I MN = M ，D1M , MN 平面D1MN ，
所以BC ^平面D1MN ，D1N 平面D1MN ，
所以BC ^ D1N ，
所以 D1NM 为二面角 A - BC - D1的平面角，
D1M = 3 ，MN = 2，D1N = 3+ 4 = 7 ，
所以 cos D1NM
2 2 7
= = ，
7 7
所以二面角 A - BC - D 2 71的余弦值为 .
7
31．如图 1，在矩形 ABCD 中， AB = 4， AD = 2．将△BCD 沿 BD 翻折至VBC1D，且 AC1 = 2 3 ，如图
2．
(1)求证：平面 ABC1 ^ 平面 AC1D；
(2)求平面BC1D与平面 ABD 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
1
(2)
4
【详解】（1）由题意知 AC1 = 2 3 ,AB = 4,BC1 = 2
2
，则 (AC1) + (BC1)
2 = AB2 ，
故 AC1 ^ BC1，又DC1 ^ BC1，且DC1 I AC1 = C1 ,DC1 ,AC1 平面 AC1D，
故BC1 ^ 平面 AC1D，而BC1 平面 ABC1，
故平面 ABC1 ^ 平面 AC1D；
（2）作C1E ^ BD ，垂足为 E，在平面 ABD内过点 E 作EF ^ BD，交 AB 于 F，连接C1F ，
则 C1EF 即为平面BC1D与平面 ABD 夹角或其补角，
2 2 sin DBC DC1 4 2 5由题意知BD = 4 + 2 = 2 5 ， 1 = = = ，DB 2 5 5
4 5
故C E = BC ×sin DBC = ，BE = (BC )2 2 21 1 1 1 - (C1E) = 2 - (
4 5 )2 2 5= ，
5 5 5
AD 1
又在RtVBAD中， tan DBA = = 5，则EF = BE × tan DBA = ，AB 2 5
则BF = BE2 + EF 2 2 5= ( )2 + ( 5 )2 =1，
5 5
又BC1 ^ 平面 AC1D， AC1 平面 AC1D，故BC1 ^ AC1，
则 cos ABC
BC1 1
1 = = , ABC
π
\ = ，
AB 2 1 3
(C F )2 2 2 π故 1 = (C1B) + BF - 2C1B × BFcos = 4 +1- 2 = 3，即C1F = 3，3
( 4 5 )2 ( 5+ )22 2 2 - 3
在VC1EF 中， cos C EF
(C1E) + EF - (C1F ) = = 5 5 11 = ,2C1E × EF 2 4 5 5
4
× ×
5 5
1
故平面BC1D与平面 ABD 夹角的余弦值为 ．4
题型六 已知二面角求其它
32．在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，底面VABC 是边长为 2 3 的正三角形，二面角M - BC - A的
π
大小为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 .
4
125p 125
【答案】 / p
6 6
【详解】取BC的中点为E ，连接 AE ，ME ，VABC 是边长为 2 3 的正三角形，
则 AE ^ BC ， AE = 3，又MA ^ 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，则MA ^ BC ，又MAI AE = A，MA, AE 平
面MAE ，
于是BC ^平面MAE ，而ME 平面MAE ，则BC ^ ME ，因此 MEA为二面角M - BC - A的平面角，
即 MEA
π
= ，则MA = 3，将三棱锥M - ABC 补成三棱柱（VABC 为底面、MA为侧棱），
4
则该三棱柱的外接球就是三棱锥M - ABC 的外接球，
2
设三棱锥M - ABC 的外接球半径为 R ，显然VABC 的外接圆半径 r = AE = 2，
3
MA 5 3
因此R = r 2 + ( )2 22 (3)2 5 4πR3 4π( )= + = ，所以球的体积为V 2 125π .2 2 2 = = =3 3 6
125π
故答案为：
6
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性
质求解.
33．如图，已知在矩形 ABCD 和矩形 ABEF 中， AB = 2， AD = AF = 1，且二面角C - AB - F 为60o ，则异
面直线 AC 与 BF 所成角的余弦值为 ．
7
【答案】 /0.7
10
【详解】连接CE, AE ， AE I BF = O，取CE 中点M ，连接OM , BM ，
Q四边形 ABCD, ABEF 为矩形，\ AB ^ BC ， AB ^ BE ，
平面 ABC 平面 ABF = AB ，BC 平面 ABC ，BE 平面 ABF ，
\ CBE 即为二面角C - AB - F 的平面角，\ CBE = 60o ，
又 BC = AD ，BE = AF ，\BC = BE =1，\△BCE 为等边三角形，\BM 3= ；
2
QO, M 分别为 AE ,CE
1
中点，\OM //AC ，OM = AC ，
2
\ MOB 或其补角即为异面直线 AC 与 BF 所成角，
5
Q AC = BF = 12 + 22 = 5 ，\MO = OB = ，
2
5 5 3
OM 2 + OB2 - BM 2 + -
\cos MOB = = 4 4 4 7= ，
2OM ×OB 5 10
2
7
即异面直线 AC 与 BF 所成角的余弦值为 .
10
7
故答案为： .
10
34．如图，在三棱柱 ADP - BCQ 中，侧面 ABCD为矩形．
(1)设M 为 AD 中点，点 N 在线段PC上，且 NC = 2PN ，求证：PM // 平面BDN ；
π 1
(2)若二面角Q - BC - D的大小为 ，且 AD = AB，求直线BD和平面QCB 所成角的正弦值．
3 2
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
5
【详解】（1）连接MC 交BD于E ，连接 NE ，
因为侧面 ABCD为矩形，
所以 AD//BC ，又M 为 AD 中点，
EC BC
所以 = = 2，
EM DM
又因为 NC = 2PN ，
CN CE
所以 = = 2．
NP EM
所以PM //NE ，又PM 平面BDN ， NE 平面BDN ，
所以PM // 平面BDN ．
（2）在平面QCB 中，过点C作射线CF ^ BC ，
因为底面 ABCD为矩形，所以BC ^ CD，
所以 DCF 为二面角Q - BC - D DCF
π
的平面角，且 = ．
3
又CF CD = C ，CF ,CD 平面CDF ，所以BC ^平面CDF ，
在平面CDF 中，过点D作DG ^ FC ，垂足为G ，连接BG，
因为BC ^平面CDF ，DG 平面CDF ，
所以DG ^ BC ，又BC FC = C ，BC 平面BCQ，FC 平面BCQ，
所以DG ^平面BCQ，
则 DBG 即为直线BD和平面QCB 所成的角，
于是DG 为点D到平面BCQ π 3 3的距离，且DG = DC sin = DC = AB ，
3 2 2
1
设直线BD和平面QCB 所成角为a ，又 AD = AB，
2
3 AB 3
则 sina
DG 15
= = 2 = 2 =
BD AB2 + AD2 2 ，
1+ 1
5
÷
è 2
所以直线BD 15和平面QCB 所成角的正弦值为 ．
5
35．如图，已知四棱锥P- ABCD的底面是菱形， AB = 2, BAD = 60°，对角线 AC, BD 交于点O, PO ^平面
1
ABCD，平面a 是过直线 AB 的一个平面，与棱PC, PD交于点 E, F ，且PE = PC ．
4
(1)求证：EF / /CD ；
PT
(2)若平面a 交PO于点T ，求 的值；
PO
(3)若二面角E - AB - C 的大小为45°，求PO的长．
【答案】(1)证明见解析；
PT 2
(2) = ；
PO 5
(3) PO 5 3= .
6
【详解】（1）
四棱锥P- ABCD的底面是菱形， AB / /CD ，又 AB 平面a ，CD 平面a ，则CD / /平面a ，
而平面a I 平面PCD = EF ，CD 平面PCD，
所以EF / /CD .
（2）
由E, A 平面a ，E, A 平面PAC ，得平面a I 平面PAC = AE ，
而T PO，PO 平面PAC ，于是T 平面PAC ，又T 平面a ，
则T AE ，即 A,T , E 三点共线，由PO ^平面 ABCD， AC 平面 ABCD，则PO ^ AC ，
如图，在△PAC中，过点E 作PO的垂线，垂足为G ，于是GE / / AC ，
1 1 3 GE GE 1 GT GE 1
设PO = t ，由PE = PC ，得PG = t,GO = t ， = = ， = = ，
4 4 4 AO CO 4 TO AO 4
GT 1 GO 1 3 t 3 t PT PG GT 1 t 3 t 2 t PT 2从而 = = × = ，所以 = + = + = ，即 = ．
5 5 4 20 4 20 5 PO 5
（3）
过点O作ON ^ AB 于点 N ，连接TN ，
由PO ^平面 ABCD， AB 平面 ABCD，则TO ^ AB ，而TO ION = O,TO,ON 平面TON ，
则 AB ^ 平面TON ，而TN 平面TON ，于是TN ^ AB，
则有 TNO为二面角E - AB - C 的平面角，即 TNO = 45°，
在菱形 ABCD中，由 AB = 2, BAD = 60° NO 3 3，得 = ，则TO = ，
2 2
2 TO 3 PO 3 5 3由（ ）得 = = ，所以PO = .
5 2 6
36．如图①梯形 ABCD 中 AD∥BC ， AB = 3 ， BC =1，CD = 2 ，BE ^ AD且BE =1，将梯形沿 BE 折叠
得到图②，使平面 ABE ^平面 BCDE，CE 与 BD 相交于 O，点 P 在 AB 上，且 AP = 2PB，R 是 CD 的中点，
过 O，P，R 三点的平面交 AC 于 Q．
(1)证明：Q 是 AC 的中点；
(2)证明： AD ^ 平面 BEQ；
AM
(3)M 是 AB 上一点，已知二面角M - EC - B为 45°，求 的值．
AB
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3) 23
【详解】（1）在图①中过 C 作CF ^ AD ，则EF = BC =1，CF = BE =1
图②中，连接 BD，CE，BD ICE = O
又∵CD = 2 ，∴DF = 1，∴DE = 2，∴DE = 2BC且DE //BC ．
∴VBCO @VEDO，∴DO = 2OB ，
在VBAD中，DO = 2OB ， AP = 2PB
∴OP∥ AD，又PO 平面 ACD， AD 平面 ACD，
∴OP∥平面 ACD，平面OPQR 平面 ACD = RQ ，
∴OP∥RQ ，∴RQ∥ AD ，
又 R 是 CD 的中点，∴Q 是 AC 的中点；
（2）如图，在直角梯形 BCDE 中，BC = BE = 1，∴CE = 2
△CED 中，CE = CD = 2 ，DE = 2，∴CE2 + CD2 = DE2
∴ ECD = 90°，∴CD ^ CE
又∵平面 ABE ^平面 BCDE，平面 ABE 平面 BCDE = BE ， AE ^ BE
∴ AE 平面 BCDE，CD 平面 BCDE，∴ AE ^ CD ，
又 AE ICE = E ，\ CD ^平面 ACE，
又 EQ 平面 ACE，∴CD ^ EQ，
在Rt△ABE 中， AB = 3 ，BE =1，∴ AE = 3-1 = 2
∴ AE = CE ，又由（1）Q 是 AC 的中点，
∴EQ ^ AC ， AC ICD = C ，∴ BQ ^ 平面 ACD，
又CD 平面 ACD，∴EQ ^ CD
又∵ BE⊥ AE ，BE ^ DE ，∴BE ^平面 ADE，
∴BE ^ AD，又BE EQ = E ，∴ AD ^ 平面 BEQ；
（3）如图，过 M 作MH ^ BE，过 H 作HG ^ CE 于点 G，连结 MG，
则∠MGH 为二面角M - CE - B 的平面角，∴ MGH = 45°，
AM
设 = l ，∴MH = 1- l AE = 1- l 2
AB
HE AM
又 = = l ，∴HE = lBE = l
BE AB
在VBCE 中， BEC = 45° HG 2 2， = HE = l
2 2
由 MGH = 45°得HG = MH 2，即 l = 1- l 2 ，
2
l 2 AM 2∴ = ，∴ =
3 AB 3
37．如图 1，在平行四边形 ABCD中， AB ^ AC ， AB = 1，BC = 2，将VACD沿 AC 折起，使得点D到点 P
的位置，如图 2，经过直线 PB且与直线 AC 平行的平面为a ，平面a I 平面 PAC = m，平面a I 平面
ABC = n .
(1)证明：m//n .
π
(2)若二面角P - AC - B 的大小为 ，求 PB的长.
3
【答案】(1)证明详见解析
(2) 2
【详解】（1）由于 AC //a ， AC 平面PAC ，平面a I 平面PAC = m，所以 AC //m ，
由于 AC //a ， AC 平面PAC ，平面a I 平面 ABC = n，所以 AC //n，
所以m//n .
（2）折叠前，四边形 ABCD是平行四边形， AB ^ AC ，所以CD ^ AC ，
折叠后PC ^ AC ，
过C作CE //AB,CE = AB ，则四边形 ABEC 是矩形，所以CE ^ AC ，
π
所以 PCE 是二面角P - AC - B 的平面角，所以 PCE = ，
3
由于PC = CE =1，所以三角形PCE 是等边三角形，所以PE =1，
由于PC ICE = C, PC,CE 平面PCE ，所以 AC ^平面PCE ，
而 AC //BE ，所以BE ^平面PCE ，
由于PE 平面PCE ，所以BE ^ PE ， AC = BE = 22 -12 = 3，
所以PB = BE2 + PE2 = 3 +1 = 2 .
题型七 点到平面的距离
38．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC, AB = AC =1, AA1 = 2 ，则点 C1到平面 AB1C 的距离为
（ ）
A 5 B 10 C 2 5 D 2 10． ． ． ．
2 2 5 5
【答案】C
【详解】由直三棱柱性质可得 AA1 ^ AB，
又 AA1 I AC = A，且 AA1, AC 平面 ACC1 ，所以 AB ^ 平面 ACC1 ，
又 AB//A1B1 ，所以 A1B1 ^平面 ACC1 ；
同理可得 AC ^平面 AA1B1， AB1 平面 AA1B1，所以 AC ^ AB1；
S 1可得 VAB C = AC × AB
1
1 = 1
5
5 = ，
1 2 2 2
1 1 1 1
易知三棱锥B1 - ACC1的体积VB -ACC = SVACC ×A1B1 = 1 2 1= ；1 1 3 1 3 2 3
设点C1到平面 AB1C 的距离为d ，
1 5 1 2 5
则由VB -ACC =VC = d = ，解得 d = .1 1 1-B1AC 3 2 3 5
故选：C
39．如图，在四棱锥P- ABCD中， AD / /BC ， AD ^ PD ，平面PAD ^平面PCD．
(1)证明：BC ^平面PCD；
(2)已知 AD = PD = DC
1
= BC = 2，且 DPC = 30°，求点 D 到平面PAB的距离．
2
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 21
7
【详解】（1）因为平面PAD ^平面PCD，平面PAD 平面PCD = PD，
且 AD ^ PD ， AD 平面PAD ，所以 AD ^ 平面PCD，
又因为 AD / /BC ，所以BC ^平面PCD．
（2）由（1）可知， AD ^ 平面PCD，且 AD 平面 ABCD，所以平面 ABCD ^平面PCD，
过 P 作直线CD 的垂线，垂足为H ，则PH ^平面 ABCD，
由 CPD = DCP = 30°，PD = 2，
可得 PDC =120°，PH = PD sin(180° -120°) = 3 ，PA = 2 2 ， AB = 2 2 ，
因为BC ^平面PCD，PC 平面PCD，所以PC ^ BC ，
则PB2 = BC 2 + PC 2 ，可得PB = 2 7 ，
1
在直角梯形 ABCD中，因为 AD = DC = BC = 2 ，可得 DAB = 135°，
2
1
所以 S△DAB = 2 2 2 sin135° = 2，在等腰VPAB 中，PA = AB = 2 2, PB = 2 7 ，2
取 PB的中点M ，连接 AM ，可得 AM ^ PB ，且 AM = PA2 - ( PB )2 =1，
2
1
所以 SVPAB = PB × AM = 7 ，2
设点D到平面PAB的距离为 h ，
V 1 1 2 21由 D-PAB = VP- ABD ，可得 × S3 VPAB
×h = × SVDAB × PH ，解得3 h =
，
7
2 21
所以点D到平面PAB的距离为 ．
7
40．如图，四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， ABC = 60°， PA ^平面 ABCD，E 为 PD的
中点.
(1)证明：PB / / 平面 AEC ；
(2)设 AD = 2，PA = AB =1，求点 D 到平面 AEC 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
2
【详解】（1）
连接BD，交 AC 于点 O，连接OE，
∵四边形 ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，
又∵E 为PD的中点，∴OE是三角形 PBD 的中位线，∴ PB / /OE ，
又∵ PB / 平面 AEC ，OE 平面 AEC ，∴PB / / 平面 AEC ；
.
（2）
∵平行四边形 ABCD中， ABC = 60°，BC = AD = 2， AB = 1，
∴ AC = AB2 + BC 2 - 2AB × BC cos ABC = 3 ，
则 AC 2 + AB2 = BC 2 ，故 ACD = 90°，
又∵PA ^平面 ABCD，∴VPAB ，VPAD，△PAC都是直角三角形，
∵PA = AB =1，∴PB = 2 ，PC = 2，PD = 5 ，
∴PD2 = PC 2 5+ CD2 ，∴ PCD = 90°，∴EA = EC = ，
2
O AC OE ^ AC OE 1 2因为 是 的中点，所以 ，且 = PB = ，
2 2
S 1所以 △EAC = AC
1
×OE = 3 2 6 = ，
2 2 2 4
S 1 1 3△DAC = AC ×CD = 3 1= ，2 2 2
设点D到平面 AEC 的距离为 h ，
1 1 6 1 1 3
由VD- ACE = VE- ACD = VP- ACD 得：2 h = 1
，
3 4 2 3 2
解得 h 2= .
2
41．如图，四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD 为直角梯形， AB / /CD ， ABC = 90°， AB = 4，
BC = CD = 2，VPAD为等边三角形，BD ^ PA．
(1)证明：BD ^平面PAD ；
(2)求点 C 到面 PBD 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
2
【详解】（1）取 AB 中点E ，连DE ，因为 AB / /CD ， ABC = 90°， AB = 4，BC = CD = 2，
所以四边形EBCD 为正方形，△AED 为等腰直角三角形，则 ADE = 45o , BDE = 45o ,
得， ADE + BDE = 90o ，故BD ^ AD ，
因为BD ^ PA，PA AD = A ，PA，AD 平面PAD ，
所以BD ^平面PAD
（2）设点 C 到平面 PBD 的距离为 h,由（1）得PD = BD = 2 2 ，BD ^ PD，
1
则△BDP 面积为 PD × BD = 4，
2
取 AD 中点O，连PO，则PO ^ AD ，且PO = 6 ，
因为BD ^平面PAD ， PO 平面PAD ，
所以BD ^ PO， AD I BD = D ， AD，BD 平面 ABCD，
所以PO ^平面 ABCD，
1
又△BCD面积为 BC × BD = 2，
2
C - PBD V 1 1三棱锥 的体积为 C-PBD = S△BDP × h = VP-BCD = S PO
2 6
× = ，
3 3 △BCD 3
h 6得 = . 6即点 C 到平面 PBD 的距离 .
2 2
42．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC, ABC = 45°, AA1 = BC = 2, D 是BB1的中点．
(1)证明： A1B ^ 平面 ACD；
(2)求点B1到平面 ACD的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
3
【详解】（1）（1）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，由 AA1 ^ 平面 ABC ， AC 平面 ABC 可得 AA1 ^ AC ,
因 AB ^ AC , AB AA1 = A， AB, AA1 平面 ABB1A1，则 AC ^平面 ABB1A1．
又因 A1B 平面 ABB1A1，所以 AC ^ A1B①．
因为 ABC = 45°, BC = 2，所以 AB = AC = 2 ．
BD AB
又D是BB1的中点，BB1 = AA1 = 2，所以 = ，则△ABD∽△A1AB ，则 A1BA = ADB,AB A A 而1
A1BA + DBA1 = 90
o ,
故 ADB + DBA1 = 90
o ,则 AD ^ A1B②．
由①②，且 AC AD = A, AC, AD 平面 ACD，故 A1B ^ 平面 ACD．
（2）
如图，连接 AB1, B C
1 2
1 ，则 S△AB D = B1D × AB = ．1 2 2
1
因为 AC ^平面 ABB1A1，所以VC- AB D = AC × S
1 2 1
△AB D = 2 = ．1 3 1 3 2 3
因为 AD = AB2 + BD2 = 3, AC ^ AD，
S 1所以 △ACD = AC × AD
6
= ．
2 2
设点B1到平面 ACD的距离为d ，则V
1
B - ACD = S
6d
△ACD × d = ．1 3 6
由VC- AB D = V
1 6d
1 B1 - ACD ，得 = ，解得 d
6
= ，
3 6 3
6
即点B1到平面 ACD的距离为 ．
3
43．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是矩形，平面PCD ^平面 ABCD，点O在线段CD 上，
OD =1，OP = OC = 3，PD = 10 ， AD = 2 3 .
(1)求证：PB ^ AC ．
(2)在线段 AB 上是否存在点 M ，使得点C到平面 PMD的距离为 3？若存在，请求出 AM 的长；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)线段 AB 上存在点M ，使得点C到平面PMD的距离为3，且 AM = 2 2
【详解】（1）连接OB，由题意得 AB = 4，OC = 3，
则OB = OC 2 + BC 2 = 32 + 22 3 = 21， AC = AB2 + BC 2 = 42 2+ 2 3 = 2 7 ，
EO EC OC 3
记OB I AC = E ，易知VEOC :VEBA，得 = = = ，
EB EA AB 4
3
故EO = OB 3 21 3= ，EC = AC 6 7= ，
7 7 7 7
\OE2 + EC 2 = OC 2 ，\ AC ^ OB ，
又OD =1，OP = 3，PD = 10 ，可得OP2 + OD2 = PD2 ，\PO ^ CD ，
又平面PCD ^平面 ABCD，且平面PCD I平面 ABCD = CD，PO 平面PCD，
\PO ^ 平面 ABCD，
又 AC 平面 ABCD，\PO ^ AC ，
又 PO I OB = O，且PO，OB 平面POB ，\ AC ^平面POB ，
又PB 平面POB ，\PB ^ AC .
（2）假设在线段 AB 上存在点M 满足条件，连接MC,OM ，
1 1 1
则三棱锥P - MCD的体积VP-MCD = SVMCD OP = 4 2 3 3 = 4 3 ，3 3 2
设 AM = x 0 x 4 ，
在△PDM 中，PD = 10 ，DM = AD2 + AM 2 = x2 +12 ，
PM = PO2 + OM 2 = x -1 2 +12 + 9 = x2 - 2x + 22 ，
PD2 + DM 2 - PM 2cos PDM x则 = = ，
2PD × DM 10 × x2 +12
2
2
sin PDM 1 x 9x +120= - cos2 PDM = 1- ÷ = ，
è 10 × x2 +12 10 × x2 +12
2
故△PDM 1 9x +120的面积 SVPDM = PD DM sin PDM = ， 2 2
V 1 9x
2 +120
则 P-MCD = VC-PDM = 3 = 4 3 ，3 2
得 x = 2 2 ，
所以线段 AB 上存在点M ，使得点C到平面PMD的距离为3，且 AM = 2 2 ．专题 3.8 立体中的夹角和距离问题
题型一 求异面直线的夹角
题型二 已知异面直线的夹角求其它
题型三 求线面夹角
题型四 已知线面夹角求其它
题型五 求二面角
题型六 已知二面角求其它
题型七 点到平面的距离
题型一 求异面直线的夹角
1．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，BB1 = 2, D, E分别为棱BC, BB1 的中点，F 为
棱 AB 上的动点，且线段C1F 的长度最小值为 5 ，则异面直线 AC 与DE 所成角的余弦值为（ ）
A 6． B 3 C 30． ． D 10．
6 4 6 5
2．在正四面体 S - ABC 中，M 是 SC 的中点， N 是 SB 的中点，则异面直线 BM 与 AN 夹角的余弦值为
（ ）
1 1
A． B． C 3． D 2．
6 3 2 2
3．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC
2
为等腰直角三角形，且 AB = AC = AA =1，则异面直线 AB1
2 1
与 A1C 所成角的正弦值为（ ）
A 2 B 5 3 3． 3 ． C．- D．3 3 3
4．在三棱锥P - ABC 中，PB = PC = AB = AC = BC = 4，PA = 2 3 ，则异面直线 PB与 AC 所成角的余弦值
是（ ）
1 1 1 1
A．- B． C．- D．
8 8 4 4
5．在空间四边形 ABCD 中， AD = 2，BC = 2 3 ，E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF = 7 ，求异面直线
AD 与 BC 所成的角的大小．
6．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC = 3，BC = AA1 = 4， AB = 5，D 是 AB 的中点.
(1)求证： AC1 / /平面CDB1；
(2)求异面直线 AC1与B1C 所成角的余弦值.
题型二 已知异面直线的夹角求其它
7．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 8, AD = 6，异面直线BD与 AC
7
1所成的的余弦值为 ，则CC1 =
10
（ ）
A． 3 B． 2 2 C． 2 3 D．3 2
8．如图，由矩形 ABCD与矩形 ABEF 构成的二面角D - AB - E 为直二面角，M 为 AB 中点，若
AB = 2, AF =1, FM 与BD 3所成角为q ，且 cosq = ，则 AD =（ ）
3
A．1 B．2 C． 3 D． 2
9．已知E ，F 分别是三棱锥P - ABC 的棱PA，BC的中点，且PC = 6， AB = 8 .若异面直线PC与 AB 所成
角的大小为60°，则线段 EF 的长可能为（ ）
A． 7 B． 13 C．5 D． 37
10．在空间四边形 ABCD中， AB = CD = 6，M , N 分别是对角线 AC, BD 的中点，若异面直线 AB,CD 所成
角的大小为60°，则MN 的长为 .
11．空间四边形 ABCD 中， AD = BC = 2，直线 AD 与 BC 所成角大小为 60°， E, F 分别是 AB,CD 的中点，
则EF = ．
12．已知四棱锥P- ABCD，底面 ABCD为正方形，边长为3，PD ^平面 ABCD．
(1)求证：BC ^平面CDP ；
(2)若直线 AD 与BP所成的角大小为60°，求DP的长．
题型三 求线面夹角
1
13．如图，等腰梯形 ABCD是圆台OO1 的轴截面，BD = CD = AB = 4 ，E 为下底面eO 上的一点，且2
BE = AE ，则直线DE 与平面 ABCD所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
14．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知BD1与 AD 所成的角为60°，BD1与平面 ABCD所成的角为30°，则
下列结论错误的是（ ）
A．BD1 ^ B1C B．BD1与平面 ABB1A1所成的角为30°
C． BD1 ^平面 A1C1D D．BD1与平面BCC1B1所成的角为45°
15．已知 P，A，B，C 四点不共面，若 CPA = CPB = APB = 60°，直线PC与平面PAB所成的角为q ，
则 cosq = .
16．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为矩形，PD ^底面 ABCD， AD = PD ， E, F 分别为CD, PB
的中点.
(1)求证：EF ^ 平面PAB；
(2)设 AB = 2BC ，求 AC 与平面 AEF 所成角的正弦值.
17．如图，已知在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA ^平面 ABCD， PA = AD =1， AB = 2，E、
F 分别是 AB, PD 的中点．
(1)求证： AF / / 平面PEC ；
(2)求PC与平面 ABCD所成角的余弦值．
18．三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB = AC = 2 2, AA1 = 2, M 为 A1C1中点， A1AC = BAC = 90
o , AM ^ B1C ．
(1)证明： AA1 ^ 平面 ABC ；
(2)求BC与平面 A1B1C 所成角的正弦值．
19．如图，直三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 2 3 ，E 为BC的中点，VAEC
15
1的面积为 .
2
(1)求C到平面 AEC1的距离；
1
(2)若CE = CC1，平面C1CE ^ 平面 AEC1，求直线 A1E 与平面 AEC1所成角的正弦值.2
题型四 已知线面夹角求其它
20．已知正四棱台 ABCD - A1B1C1D1 的上、下底面边长分别为 2 和 4，若侧棱 AA1与底面 ABCD 所成的角为
60°，则该正四棱台的体积为（ ）
A． 28 3 B 28 6． C．84 2 D． 28 2
3
21．如图，三棱锥P - ABC 中，PC ^平面 ABC，CH ^ PB， AB ^ BC ， PA = 4 ，点 C 到 PA 的距离
3
CD = 2，若 BH 和平面 CDH 所成角的正弦值为 ，则 BC 长度为（
4 ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
22．如图，点 P 是棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 表面上的一个动点，直线 AP 与平面 ABCD所成的角为
45°，则点 P 的轨迹长度为 .
23．已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 内接于半径为2的球，若直线 AC1与平面BCC1B1所成的角为30°，则 AB = .
24．如图（1），在VABC 中， AB = BC = 2， ABC = 90o ，E 、F 、H 分别为边 AB 、 AC 、BC的中点，
以 EF 为折痕把△AEF 折起，使点A 到达点 P 位置（如图（2））．当四棱锥P - BCFE的体积最大时，分别求
下列问题：
(1)设平面 PBE 与平面PFH 的交线为 l，求证： l ^平面PEF ；
(2)在棱PF 上是否存在点 N ，使得BN 与平面PEF 2 26所成角的正弦值为 ？若存在，求PN 的长；若不存
13
在，请说明理由．
25．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是边长为 3 的正方形，侧面PBC ^底面 ABCD .
(1)若 PBC = 90°，求证： AC ^ PD ；
(2)若 AC 与平面PCD所成角为30°，求点 A 到直线PC的距离.
题型五 求二面角
26．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥P - ABC - Q 中，
PA, PB, PC 两两互相垂直，则二面角P - AB - Q的余弦值为（ ）
6 3 1 1A．- B．- C．- D．-
3 3 2 3
27．如图，在直角梯形 ABCD 中，BC∥AD， AD ^ CD ，BC = 2， AD = 3，CD = 3 ，边 AD 上一点 E 满
足DE =1，现将VABE 沿 BE 折起到VA1BE 的位置，使平面 A1BE ^平面 BCDE，如图所示.
A F
(1)在棱 A1C
1
上是否存在点 F，使直线 DF / / 平面 A1BE ，若存在，求出 AC ，若不存在，请说明理由；1
(2)求二面角 A1 - BC - D的平面角的正切值.
28．三棱锥P - ABC 中，PC ^平面 ABC，PC 2 3= ， AC = 2，BC = 4， AB = 2 3 ，则二面角P- AB-C
3
的大小为 .
29．如图，已知直角三角形 ABC 的斜边BC / / 平面a ，A 在平面a 上，AB，AC 分别与平面a 成30o和 45o 的
角，BC = 6．
(1)求 BC 到平面a 的距离；
(2)求平面 ABC 与平面a 的夹角．
30．如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD和侧面 ABB1A1均是边长为 2 的正方形.
(1)证明：BD1 ^ B1C .
(2)若 B1BC =120
o
，求二面角 A - BC - D1的余弦值.
31．如图 1，在矩形 ABCD 中， AB = 4， AD = 2．将△BCD 沿 BD 翻折至VBC1D，且 AC1 = 2 3 ，如图
2．
(1)求证：平面 ABC1 ^ 平面 AC1D；
(2)求平面BC1D与平面 ABD 夹角的余弦值．
题型六 已知二面角求其它
32．在三棱锥M - ABC 中，MA ^ 平面 ABC ，底面VABC 是边长为 2 3 的正三角形，二面角M - BC - A的
π
大小为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 .
4
33．如图，已知在矩形 ABCD 和矩形 ABEF 中， AB = 2， AD = AF = 1，且二面角C - AB - F 为60o ，则异
面直线 AC 与 BF 所成角的余弦值为 ．
34．如图，在三棱柱 ADP - BCQ 中，侧面 ABCD为矩形．
(1)设M 为 AD 中点，点 N 在线段PC上，且 NC = 2PN ，求证：PM // 平面BDN ；
π 1
(2)若二面角Q - BC - D的大小为 ，且 AD = AB，求直线BD和平面QCB 所成角的正弦值．
3 2
35．如图，已知四棱锥P- ABCD的底面是菱形， AB = 2, BAD = 60°，对角线 AC, BD 交于点O, PO ^平面
1
ABCD，平面a 是过直线 AB 的一个平面，与棱PC, PD交于点 E, F ，且PE = PC ．
4
(1)求证：EF / /CD ；
PT
(2)若平面a 交PO于点T ，求 的值；
PO
(3)若二面角E - AB - C 的大小为45°，求PO的长．
36．如图①梯形 ABCD 中 AD∥BC ， AB = 3 ， BC =1，CD = 2 ，BE ^ AD且BE =1，将梯形沿 BE 折叠
得到图②，使平面 ABE ^平面 BCDE，CE 与 BD 相交于 O，点 P 在 AB 上，且 AP = 2PB，R 是 CD 的中点，
过 O，P，R 三点的平面交 AC 于 Q．
(1)证明：Q 是 AC 的中点；
(2)证明： AD ^ 平面 BEQ；
AM
(3)M 是 AB 上一点，已知二面角M - EC - B为 45°，求 的值．
AB
37．如图 1，在平行四边形 ABCD中， AB ^ AC ， AB = 1，BC = 2，将VACD沿 AC 折起，使得点D到点 P
的位置，如图 2，经过直线 PB且与直线 AC 平行的平面为a ，平面a I 平面 PAC = m，平面a I 平面
ABC = n .
(1)证明：m//n .
π
(2)若二面角P - AC - B 的大小为 ，求 PB的长.
3
题型七 点到平面的距离
38．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC, AB = AC =1, AA1 = 2 ，则点 C1到平面 AB1C 的距离为
（ ）
A 5 B 10 C 2 5 D 2 10． ． ． ．
2 2 5 5
39．如图，在四棱锥P- ABCD中， AD / /BC ， AD ^ PD ，平面PAD ^平面PCD．
(1)证明：BC ^平面PCD；
1
(2)已知 AD = PD = DC = BC = 2，且 DPC = 30°，求点 D 到平面PAB的距离．
2
40．如图，四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， ABC = 60°， PA ^平面 ABCD，E 为 PD的
中点.
(1)证明：PB / / 平面 AEC ；
(2)设 AD = 2，PA = AB =1，求点 D 到平面 AEC 的距离.
41．如图，四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD 为直角梯形， AB / /CD ， ABC = 90°， AB = 4，
BC = CD = 2，VPAD为等边三角形，BD ^ PA．
(1)证明：BD ^平面PAD ；
(2)求点 C 到面 PBD 的距离．
42．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AB ^ AC, ABC = 45°, AA1 = BC = 2, D 是BB1的中点．
(1)证明： A1B ^ 平面 ACD；
(2)求点B1到平面 ACD的距离．
43．如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是矩形，平面PCD ^平面 ABCD，点O在线段CD 上，
OD =1，OP = OC = 3，PD = 10 ， AD = 2 3 .
(1)求证：PB ^ AC ．
(2)在线段 AB 上是否存在点 M ，使得点C到平面 PMD的距离为 3？若存在，请求出 AM 的长；若不存在，
请说明理由．
